7.5 正态分布 学案（含答案）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

7.5　正态分布
[学习目标]　
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及正态曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间[ μ－σ，μ＋σ ]，[ μ－2σ，μ＋2σ ]，[ μ－3σ，μ＋3σ ]内的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题．
一、正态曲线及其特征
问题1　下列随机变量哪个是离散型随机变量：
(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；
(2)白炽灯的使用时间．
问题2　教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？
知识梳理
1．我们称f(x)＝______________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为______________________，称它的图象为正态密度曲线，简称______________．
2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为____________．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从________________．
3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
4．正态曲线的特点：
(1)非负性：对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的________．
(2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为________．
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称．
(4)最大值：曲线在______处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近____轴．
(6)当________一定时，正态曲线的位置由μ确定，正态曲线随着________的变化而沿x轴平移，如图①.
(7)当μ一定时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
5.正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
例1　(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝____，方差σ2＝________.
(2)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
反思感悟　利用正态曲线的特点求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
跟踪训练1　(1)(多选)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有(　　)
A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态密度函数f(x)＝，x∈R的正态曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
二、利用正态分布的性质求概率
知识梳理
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.
例2　设ξ～N(1,22)，试求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．
延伸探究　若本例条件不变，求P(ξ>5)．
反思感悟　利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
(2)随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
三、正态分布的应用
例3　(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn ～N，则为使|Xn|>的概率控制在0.045 5及以下，至少要测量的次数为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)(　　)
A．32 B．64 C．128 D．256
(2)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
反思感悟　解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
跟踪训练3　已知某平台某次促销活动期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600,10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为(附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)(　　)
A．16 B．18 C．20 D．25
1.知识清单：
(1)正态曲线及其特征．
(2)利用正态分布的性质求概率．
(3)正态分布的应用．
2．方法归纳：转化化归、数形结合．
3．常见误区：概率区间转化不等价．
1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
2．某学校共1 000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为(　　)
A．25 B．50 C．75 D．100
3．已知随机变量X服从正态分布N(10,22)，则D(3X－1)等于(　　)
A．6 B．11 C．12 D．36
4．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝________.
7.5　正态分布
问题1　(1)是，(2)不是．
问题2　存在．
知识梳理
1.　正态密度函数
正态曲线
2．X～N(μ，σ2)　标准正态分布
4．(1)上方　(2)1　(3)x＝μ　(4)x＝μ
(5)x　(6)σ　μ
例1　(1)20　2
解析　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以＝，解得σ＝，因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
(2)A　[由图知甲、乙两条生产线的平均值相等，甲的正态曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性．]
跟踪训练1　(1)ABD　[只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散．]
(2)ABC　[由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，
即＝1.99，σ2≠1.99，故D错误．]
知识梳理
0．682 7　0.954 5　0.997 3
例2　解　∵ξ～N(1,22)，
∴μ＝1，σ＝2，
(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
∴P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－
P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－
P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈×(0.954 5－0.682 7)
＝0.135 9.
延伸探究　解　P(ξ>5)＝
P(ξ<－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]
＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]
≈×(1－0.954 5)＝0.022 75.
跟踪训练2　(1)C　[由已知可得曲线关于直线x＝1对称，
P(ξ<2)＝0.6，
所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，
故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2.]
(2)B　[∵P(ξ<2)＝0.2，
P(2<ξ<6)＝0.6，
∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，
即P(ξ<2)＝P(ξ>6)，
∴μ＝＝4.]
例3　(1)C　[根据题意，
P≤0.045 5 P＝P≥1－0.045 5＝0.954 5，
而μ＝0，
则P(－2σ≤Xn≤2σ)≈0.954 5，
所以2σ≤ σ＝≤ n≥128.]
(2)解　由于外直径X～N(4,0.52)，
则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.002 7，
而5.7 [2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
跟踪训练3　B　[∵小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600,
10 000)，
∴P＝
≈＝0.022 75，
∴该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75×800＝18.2≈18.]
随堂演练
1．B　[由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，
即σ＝2.]
2．B　[由已知可得，μ＝100，
所以P(ξ≥100)＝0.5.
又P(80≤ξ≤100)＝0.45，根据正态分布的对称性可得P(100≤ξ≤120)＝0.45，
所以P(ξ>120)
＝P(ξ≥100)－P(100≤ξ≤120)
＝0.5－0.45＝0.05.
所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为1 000×0.05＝50.]
3．D　[因为随机变量X服从正态分布N(10,22)，
所以D(X)＝22＝4，
所以D(3X－1)
＝32D(X)＝9×4＝36.]
4．2
解析　因为ξ～N(μ，σ2)，故正态曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)，从而μ＝＝2，即μ的值为2.