第七章 习题课 二项分布与超几何分布的综合应用 学案（ 含答案）-2024春高中数学选择性必修3（人教版）

习题课　二项分布与超几何分布的综合应用
[学习目标]　
1.了解二项分布与超几何分布的区别与联系.
2.掌握超几何分布、二项分布的均值和方差的计算．
一、二项分布的综合应用
例1　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个红绿灯，假设他在各红绿灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
反思感悟　(1)二项分布的实际应用类问题的求解步骤
①根据题意设出随机变量；
②分析随机变量服从二项分布；
③求出参数n和p的值；
④根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生概率的和，或者利用对立事件求概率．
跟踪训练1　世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负(踢成平局)，将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2∶0，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟(含加时赛)仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为.每轮点球结果互不影响．
(1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与均值；
(2)若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．
二、超几何分布的综合应用
例2　交通拥堵指数(TPI)是衡量交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：TPI＝，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI [1,1.5) [1.5,2) [2,4) 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：
(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及均值E(X)．
反思感悟　超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情境分析所求概率分布问题是否由具有明显特征的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．
(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
跟踪训练2　已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及均值；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P.
三、二项分布与超几何分布的区别与联系
例3　已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取．请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分．
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和均值．
反思感悟　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练3　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求这40件产品中质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列和均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列和均值．
1．知识清单：
(1)二项分布的综合应用．
(2)超几何分布的综合应用．
(3)二项分布与超几何分布的区别与联系．
2．方法归纳：类比．
3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．
1．同时抛掷2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的均值是(　　)
A. B.
C．1 D.
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)
A. B.
C. D.
3．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的均值为B，则A，B的值分别为(　　)
A.，5 B.，10
C.，5 D.，10
4．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，恰好全为黑球的概率为，则黑球的个数为____．若记取出的3个球中黑球的个数为X，则D(X)＝________.
习题课　二项分布与超几何分布的综合应用
例1　解　(1)方法一　由ξ～B，得P(ξ＝k)＝C×k×5－k，
k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝，
P(ξ＝1)＝C××4＝，
P(ξ＝2)＝C×2×3＝，
P(ξ＝3)＝C×3×2＝，
P(ξ＝4)＝C×4×＝，
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
方法二　∵ξ～B，
∴E(ξ)＝5×＝.
(2)P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k×，k＝0,1,2,3,4，η＝5时，5个均为绿灯．
即P(η＝0)＝0×＝，
P(η＝1)＝×＝，
P(η＝2)＝2×＝，
P(η＝3)＝3×＝，
P(η＝4)＝4×＝，
P(η＝5)＝5＝.
故η的分布列为
η 0 1 2 3 4 5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－＝.
跟踪训练1　解　(1)由题意知，
X～B，X可能的取值为0,1,2,3,4,5.
P(X＝0)＝5＝，
P(X＝1)＝C5＝，
P(X＝2)＝C5＝，
P(X＝3)＝C5＝，
P(X＝4)＝C5＝，
P(X＝5)＝5＝.所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
E(X)＝5×＝.
(2)设“第四轮点球结束时，乙队进了4个球并胜出”为事件A，
由题意知，甲、乙两队比分为1∶4或2∶4，设“甲、乙两队比分为1∶4”为事件A1，“甲、乙两队比分为2∶4”为事件A2，
若甲、乙两队比分为1∶4，则乙射进4次，甲前三次射进一次，第4次未进，P(A1)＝C×
3××4＝，
若甲、乙两队比分为2∶4，则乙射进4次，甲前四次射进两次，P(A2)＝C×4×4＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
即在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率为.
例2　解　(1)由题图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.
(2)由题图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的只有1月3日和1月4日这2天，
所以X的可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
跟踪训练2　解　(1)X的可能取值为0,1,2，P(X＝k)＝，其中k＝0,1,2，故分布列为
X 0 1 2
P
均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝×××＝.
例3　解　若选①，由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，服从超几何分布，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若选②，由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
跟踪训练3　解　(1)质量超过505克的产品的频率为
5×0.05＋5×0.01＝0.3，
∴质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12.
(2)质量超过505克的产品数量为12，则质量未超过505克的产品数量为28，X的可能取值为0,1,2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的均值为
方法一　E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(X)＝＝.
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
∴Y的均值为
方法一　E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　E(Y)＝2×＝.
随堂演练
1．B　[设抛掷2枚硬币一次，2枚硬币均正面向上为事件A，则P(A)＝，
易知X～B，
所以E(X)＝3×＝.]
2．D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]
3．B　[设10门大炮击中目标的次数为X，则根据题意可得X～B，
所以A＝P(X＝3)＝C×3×7＝，
10门大炮总得分的均值B＝10××2＝10.]
4．3　
解析　设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰好全为黑球的概率为P＝＝，可得n＝3，由题意知，随机变量X服从超几何分布，
取出的3个球中黑球的个数X的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)＝×1＋×2＋×3＝，D(X)＝×2＋×2＋×2＝.