21.2二次函数表达式的确定课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
D
B
B
B
D
A
C
1﹒已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（ ）2-1-c-n-j-y
A.y＝－6x2+3x+4 B.y＝－2x2+3x－4 C.y＝x2+2x－4 D.y＝2x2+3x－4
解答：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
则，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝2x2+3x－4，
故选：D.
2﹒顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ ）【出处：21教育名师】
A.y＝(x+6)2 B.y＝(x－6)2 C.y＝－(x+6)2 D.y＝－(x－6)2
解答：∵抛物线的顶点为（6，0），
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2，
∵所求抛物线的开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同，
∴a＝－，
∴y＝－(x－6)2，
故选：D.
3﹒若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（ ）21世纪教育网版权所有
A.y＝－(x－2)2－1 B.y＝－(x－2)2－1 C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x－2)2－1
解答：设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2－1，
把（0，3）代入上式得：a(0－2)2－1＝3，
解得：a＝1，
∴y＝(x－2)2－1，
故选：C.
4﹒二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（ ）
A.y＝2x2－4x B.y＝－x(x－2)
C.y＝－(x－1)2+2 D.y＝－2x2+4x
解答：由图象可知：抛物线的对称轴是x＝1（根据抛物线的对称性），顶点坐标为（1，2），
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2+2，
∵抛物线过点（2，0），
∴a(2－1)2+2＝0，
解得：a＝－2，
∴y＝－2(x－1)2+2＝－2x2+4x，
故选：D.
5﹒已知抛物线y＝x2－2(m+1)x+2m2－m的对称轴为x＝3，则该抛物线的解析式为（ ）
A.y＝x2－4x+1 B.y＝x2－6x+6
C.y＝x2－8x+15 D.y＝x2－10x+28
解答：∵抛物线y＝x2－2(m+1)x+2m2－m的对称轴为x＝3，
∴m+1=3，
解得：m＝2，
∴y＝x2－2(2+1)x+2×22－2＝x2－6x+6，
故选：B.
6﹒如果二次函数y＝－x2+bx+c的图象顶点为（1，－3），那么b和c的值是（ ）
A. b＝2，c＝4 B.b＝2，c＝－4 C.b＝－2，c＝4 D.b＝－2，c＝－4
解答：∵二次函数y＝－x2+bx+c的图象顶点为（1，－3），
∴－＝1，则b＝2，
＝－3，则c＝－4，
故选：B.
7﹒已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（ ）www.21-cn-jy.com
A.y＝x2－2x+4 B.y＝－x2+2x－4 C.y＝x2－2x－4 D.y＝－x2+6x－12
解答：设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2－1，
把（0，－4）代入得a×(－3)2＝－4，
解得：a＝－
∴y＝－(x－3)2－1＝－x2+2x－4，
故选：B.
8﹒如果抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标为x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小明观察上表，得出下面结论：
①该抛物线的开口向下；
②该抛物线的对称轴是直线x＝；
③函数y的最大值为6；
④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解答：根据表格中数据可得出抛物线的开口向下，故①正确；
根据表格中数据规律可知抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）即当x＝－2时，y＝0和当x＝3时，y＝0，所以对称轴为x＝，故②正确；21·世纪*教育网
当x＝时，函数有最大值，而表中0和1所对应的y值为6，所以最大值不为6，故③错误；并在直线x＝的左侧，y随x的增大而增大，故④正确，【版权所有：21教育】
综合上述，正确的结论为①②④，
故选：D.
9﹒已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.
A.y＝x2－2x－3 B.y＝x2+2x+3 C.y＝x2－2x－4 D.y＝x2+6x+4
解答：∵抛物线y＝x2－2x+c的对称轴为x＝1，
∴顶点A的横坐标为1，
∵顶点A在直线y＝x－5上，
∴y＝1－5＝－4，则A（1，－4），
把A（1，－4）代入y＝x2－2x+c得：1－2+c＝－4，
解得：c＝－3，
∴y＝x2－2x－3，
故选：A.
10.如图，已知抛物线y＝－x2+px+q的对称轴为x＝－3，过
抛物线的顶点M的一条直线y＝kx+b与抛物线的另一个交
点为N（－1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PMN
的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A.（0，2） B.（，0）
C.（0，2）或（－，0） D. （0，2）或（，0）
解答：由题意得：，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝－x2－6x－4，
由y＝－x2－6x－4＝－(x+3)2+5得：顶点M的坐标为（－3，5），
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，
∴只需PM+PN最小，
①如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P，则M′（3，5），www-2-1-cnjy-com
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得：，
∴该直线的解析式为y＝x+2，
故当x＝0时，y＝2，即P（0，2）；
②如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则M′N与y轴的交点即为所求的点P，
如①类似即可求得P（－，0），
综合上述，符合条件的点P的坐标是（0，2）或（－，0），
故选：C.
图1 图2
二、细心填一填
11.y＝－4x2－2x； 12. 3； 13. y＝－2x2+8或y＝－2x2－8；
14. y＝x2+x－； 15. y＝－x2+2x+3； 16. y＝x2－2x－3；
17. －1，4，4+2，4－2； 18. .
11.若抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为_________.
解答：∵抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，
∴m2－4＝0，且m－2≠0，
∴m＝－2，
∴y＝－4x2－2x，
故答案为：y＝－4x2－2x.
12.若抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在x轴上，则m＝_________________.
解答：∵抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在y轴上，
∴＝0，
解得：m＝－3，
故答案为：3.
13.若函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，则此函数表达式为_____________________.21·cn·jy·com
解答：∵函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，
∴把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，
∵函数的最大值为8，
∴抛物线的开口向下，即a＜0，顶点纵坐标k＝8，
又∵所求抛物线的形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，
∴a＝－2，
把a＝－2代入ah2+h＝0得：－2 h2+k＝0，
解得：h＝±2，
∴此函数表达式为y＝－2(x－2)2+8或y＝－2(x+2)2+8，
即y＝－2x2+8或y＝－2x2－8，
故答案为：y＝－2x2+8或y＝－2x2－8.
14.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.
解答：∵二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，且与x轴的两个交点A、B，AB＝6，
∴直线与x轴交于（－4，0），（2，0），顶点的横坐标为－1，
∵顶点在函数y＝2x的图象上，
∴y＝2×(－1)＝－2，
∴顶点坐标为（－1，－2），
设二次函数的解析式为y＝a(x+1)2－2，
把（2，0）代入得：0＝9a－2，
解得：a＝，
∴y＝(x+1)2－2＝x2+x－，
故答案为：y＝x2+x－.
15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
解答：由图象可知，
抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴交于（0，3），与x轴交于（－1，0），
设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
则：，解得：，
∴y＝－x2+2x+3，
故答案为：y＝－x2+2x+3.
16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________.
解答：根据图象可：抛物线与x轴的两个交点为（－1，0），（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x－3)，
把（0，－3）代入解析式得：－3＝－3a，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x+1)(x－3)＝x2－2x－3，
故答案为：y＝x2－2x－3.
17.如图，已知直线y＝－x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝－x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－x+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是_____________________________.2·1·c·n·j·y
解答：由题意知：P（a，－a 2+2a+5），
则点Q为（a，－a+3），点B为（0，3），
当点P在点Q上方时，BQ＝，
PQ＝－a 2+2a+5－(－a+3)＝－a 2+a+2，
∵PQ＝BQ，
∴＝－a 2+a+2，
解得：a＝－1或a＝4，
当点P在点Q下方时，BQ＝，
PQ＝－a+3－(－a 2+2a+5)＝a 2－a－2，
∵PQ＝BQ，
∴＝a 2－a－2，
解得：a＝4+2或a＝4－2，
综合上述，a的值为－1，4，4+2，4－2，
故答案为：－1，4，4+2，4－2.
18.如图，抛物线y＝－x2+bx+c过A（0，2），B（1，3），CB⊥x轴于点C，四边形CDEF是正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为__________________________.【来源：21·世纪·教育·网】
解答：把A（0，2），B（1，3）代入y＝－x2+bx+c得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝－x2+x+2，
设正方形CDEF的边长为a，则D（1，a），E（1－a，a），
把E（1－a，a）代入y＝－x2+x+2得：－(1－a)2+(1－a)+2＝a，
整理得：a2+3a－6＝0，
解得：a1＝，a2＝（舍去），
∴正方形CDEF的边长为，
故答案为：.
三、解答题
19.已知二次函数y＝－2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，－2）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积.
解答：（1）把A（0，4）和B（1，－2）代入y＝－2x2+bx+c得：
，解得：，
∴此抛物线的解析式为y＝－2x2－4x+4，
（2）∵y＝－2x2－4x+4
＝－2(x2+2x)+4
＝－2[(x+1)2－1]+4
＝－2(x+1)2+6，
∴此抛物线的对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，6）；
（3）由（2）知：顶点C（－1，6），
∵点A（0，4），∴OA＝4，
∴S△CAO＝OA＝×4×1＝2，
即△CAO的面积为2.
20.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点.
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
（3）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△BCE的面积.
解答：（1）把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得：，
∴此抛物线的函数关系式为y＝x2－6x+5；
（2）∵y＝x2－6x+5＝(x－3)2－4，
∴抛物线的对称轴为x＝3，
又∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大；
（3）把x＝4代入y＝x2－6x+5得：y＝－3，
∴E（4，－3），
把C（0，5），E（4，－3）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y＝－2x+5，
设直线y＝－2x+5交x轴于点D，则D（，0），
∴OD＝，
∴BD＝5－＝，
∴S△CBE＝S△CBD+S△EBD＝××5+××3＝10，
即△BCE的面积为10.
21.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象是由y＝－x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与x轴的交点为A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P是抛物线对称轴上l上一动点，求使AP+CP的值最小时点P的坐标.
解答：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象是由y＝－x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到， 21*cnjy*com
∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2+4，
即y＝－x2+2x+3；
（2）当y＝0时，－(x－1)2+4＝0，解得：x1＝－1，x2＝3，
∴A（－1，0），B（3，0），
当x＝0时，y＝3，则C（0，3），
抛物线y＝－(x－1)2+4的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，
连接BC交直线x＝1于点P，如图，则PA＝PB，
∴PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时AP+CP的值最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0）、C（0，3）分别代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝－x+3，
当x＝1时，y＝－x+3＝2，
∴P点坐标为（1，2）.
22.如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y轴的直线.21教育网
（1）求此二次函数的表达式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A（－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，求点B的坐标.【来源：21cnj*y.co*m】
解答：（1）∵对称轴是经过（－1，0）且平行于y轴的直线，
∴－＝－1，
∴m＝2，
∵二次函数的图象经过点P（－3，1），
∴9－3m－8＝0，
解得：n＝－2，
∴此二次函数的表达式为y＝x2+2x－2；
（2）把P（－3，1），A（－4，0）代入y＝kx+b得：
，解得：，
∴直线PA的解析式为y＝x+4，
由得或，
∵点B在点P的右侧，
∴点B的坐标为（2，6）.
23.如图，抛物线y＝x2－bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x＝2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.21cnjy.com
解答：（1）由题意得：，
解得：b＝4，c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x+3；
（2）存在，
∵点A与点C关于直线x＝2对称，
∴连接BC与直线x＝2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，解得：k＝－1，b＝3，
∴直线BC的解析式为y＝－x+3，
∴直线BC与直线x＝2的交点坐标为（2，1），
即点P的坐标为（2，1）.
2015～2016学年度九年级上学期数学课时练习题
21.2 二次函数表达式的确定
一、精心选一选
1﹒已知二次函数的图象经过点（－1，5），（0，－4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（ ）21教育网
A.y＝－6x2+3x+4 B.y＝－2x2+3x－4 C.y＝x2+2x－4 D.y＝2x2+3x－4
2﹒顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（ ）www-2-1-cnjy-com
A.y＝(x+6)2 B.y＝(x－6)2 C.y＝－(x+6)2 D.y＝－(x－6)2
3﹒若二次函数的图象的顶点坐标为（2，－1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（ ）2-1-c-n-j-y
A.y＝－(x－2)2－1 B.y＝－(x－2)2－1 C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x－2)2－1
4﹒二次函数的图象如图所示，则它的解析式正确的是（ ）
A.y＝2x2－4x B.y＝－x(x－2)
C.y＝－(x－1)2+2 D.y＝－2x2+4x
5﹒已知抛物线y＝x2－2(m+1)x+2m2－m的对称轴为x＝3，则
该抛物线的解析式为（ ）
A.y＝x2－4x+1 B.y＝x2－6x+6
C.y＝x2－8x+15 D.y＝x2－10x+28
6﹒如果二次函数y＝－x2+bx+c的图象顶点为（1，－3），那么b和c的值是（ ）
A. b＝2，c＝4 B.b＝2，c＝－4 C.b＝－2，c＝4 D.b＝－2，c＝－4
7﹒已知二次函数的图象的顶点为（3，－1），与y轴的交点为（0，－4），则这个二次函数的表达式为（ ）www.21-cn-jy.com
A.y＝x2－2x+4 B.y＝－x2+2x－4 C.y＝x2－2x－4 D.y＝－x2+6x－12
8﹒如果抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标为x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
小明观察上表，得出下面结论：
①该抛物线的开口向下；
②该抛物线的对称轴是直线x＝；
③函数y的最大值为6；
④在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，其中正确的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9﹒已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.
A.y＝x2－2x－3 B.y＝x2+2x+3 C.y＝x2－2x－4 D.y＝x2+6x+4
10.如图，已知抛物线y＝－x2+px+q的对称轴为x＝－3，过
抛物线的顶点M的一条直线y＝kx+b与抛物线的另一个交
点为N（－1，1），要在坐标轴上找一点P，使得△PMN
的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A.（0，2） B.（，0）
C.（0，2）或（－，0） D. （0，2）或（，0）
二、细心填一填
11.若抛物线y＝(m－2)x2+mx+m2－4的经过坐标原点，则该抛物线的解析式为___________.
12.若抛物线y＝x2+(m－1)x+(m+3)顶点在x轴上，则m＝_________________.
13.若函数y＝a(x－h)2+k的图象经过坐标原点，且最大值为8，形状与抛物线y＝－2x2－2x+3相同，则此函数表达式为_____________________.21世纪教育网版权所有
14.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________________.
15.二次函数的图象如图所示，则其解析式为________________________.
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16.已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式是_______________________.
17.如图，已知直线y＝－x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y＝－x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－x+3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是_____________________________.21·cn·jy·com
18.如图，抛物线y＝－x2+bx+c过A（0，2），B（1，3），CB⊥x轴于点C，四边形CDEF是正方形，点D在线段BC上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF的边长为__________________________.2·1·c·n·j·y
三、解答题
19.已知二次函数y＝－2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，－2）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积.
20.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0），C（0，5）三点.
（1）求此抛物线的函数关系式；
（2）当x取何值时，二次函数中的y随x的增大而增大？
（3）若过点C的直线y＝kx+b与抛物线相交于点E（4，m），请求出△BCE的面积.
21.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象是由y＝－x2向右平移1个单位，再向上平移4个单位所得到，这时图象与x轴的交点为A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P是抛物线对称轴上l上一动点，求使AP+CP的值最小时点P的坐标.
22.如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点P（－3，1），对称轴是经过（－1，0），且平行于y轴的直线.【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求此二次函数的表达式；
（2）一次函数y＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A（－4，0），与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，求点B的坐标.21·世纪*教育网
23.如图，抛物线y＝x2－bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x＝2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.21cnjy.com
