21.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课时练习题
参考答案
一、精心选一选
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
B
B
D
D
D
D
1﹒如果k＜0（k为常数），那么二次函数y＝kx2﹣2x+k2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
解答：当k＜0时，抛物线y＝kx2﹣2x+k2开口向下，所以可以排除B、C，对称轴为直线
x＝＜0，故对称轴在y轴的左侧，所以A选项符合.
故选：A.
2﹒下列函数：①y＝﹣3x2；②y＝2x2﹣1；③y＝(x－2)2；④y＝﹣x2+2x+3.当x＜0时，其中y随x的增大而增大的函数有（ ）21cnjy.com
A．4个 B． 3个 C．2个 D．1个
解答：①y＝﹣3x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，故此项正确；②y＝2x2﹣1，当x＜0时，y随x的增大而减小，故此项错误；③y＝(x－2)2，当x＜0时，y随x的增大而减小，故此项错误；④y＝﹣x2+2x+3，当x＜0时，y随x的增大而增大，故此项正确；
综合上述，有2个符合题意，
故选：C.
3﹒在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
解答：分4种情况讨论：①a＞0，b＞0；②a＞0，b＜0；③a＜0，b＞0；④a＜0，b＜0，
其中当a＜0，b＞0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，直线经过一、三、四象限，由此可知C选项符合，www.21-cn-jy.com
故选：C.
4﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A.只能是x＝－1 B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
解答：设点（－2，0）关于对称轴对称的点的横坐标为x2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，
∴－2＜x2＜2，∴－2＜＜0，
即抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧，
故选：D.
5﹒将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.y＝(x﹣4)2﹣6 B.y＝(x﹣4)2﹣2
C.y＝(x﹣2)2﹣2 D.y＝(x﹣1)2﹣3
解答：把y＝x2﹣6x+5配方得y＝(x－3)2－4，所以将它向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式为y＝(x－3－1)2－4+2＝(x－4)2－2，
故选：B.
6﹒如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ） 21*cnjy*com
A.y＝x2－1 B.y＝x2+6x+5 C.y＝x2+4x+4 D.y＝x2+8x+17
解答：A.y＝x2－1先向上平移1个单位得到y＝x2，再向上平移1个单位即可得到y＝x2+1，故A选项正确；【来源：21cnj*y.co*m】
B.y＝x2+6x+5＝(x+3)2－4，无法经两次简单变换得到y＝x2+1，故B选项错误；
C.y＝x2+4x+4＝(x+2)2，先向右平移2个单位得到y＝x2，再向上平移1个单位即可得到y＝x2+1，故C选项正确；【版权所有：21教育】
D.y＝x2+8x+17＝(x+4)2+1，先向右平移2个单位得到y＝(x+2)2+1，再向右平移2个单位即可得到y＝x2+1，故D选项正确，21教育名师原创作品
故选：B.
7﹒抛物线y＝x2－8x+m的顶点在x轴上，则m等于（ ）
A.－16 B.－4 C.8 D.16
解答：抛物线y＝x2－8x+m的顶点为（4，m－16），
∵抛物线y＝x2－8x+m的顶点在x轴上，
∴m－16＝0，则m＝16，
故选：D.
8﹒已知二次函数y＝x2+(m－1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
解答：抛物线的对称轴为直线x＝－，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴－≤1，
∴m≥－1，
故选：D.
9﹒已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A.图象关于直线x＝1对称
B.函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个
交点的横坐标分别是－1，3
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
解答：由图象可知：图象关于直线x＝1对称，故A选项正确；抛物线的开口向上，有最小值－4，故B正确；抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是－1，3，故C正确；当x＜1时，y随x的增大而减小，故D选项错误，www-2-1-cnjy-com
故选：D.
10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③a－b+c＞0；
④4a－2b+c＜0.
其中正确的是（ ）
A.①② B.只有① C.③④ D.①④
解答：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵－＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴－＝－1，则2a－b＝0，故②错误；
当x＝－1时，y＜0，
∴a－b+c＜0，故③错误；
当x＝－2时，y＜0，
∴4a－2b+c＜0，故④正确，
故选：D.
二、细心填一填
11. y＝2(x－)2+； 12. 4； 13. y＝－(x+3)2+2，不唯一；
14.（4，3）； 15.（－1，7）； 16. 1；
17. a+4； 18. ③④ .
11.把二次函数y＝2x2－6x+10，化成y＝a(x－h)2+k的形式是_______________________．
解答：y＝2x2－6x+10＝2(x2－3x)+10＝2[(x－)2－]+10＝2(x－)2+，
故答案为：y＝2(x－)2+.
12.若抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，则k－n的值为______．
解答：∵抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，
∴＝n，
∴k－n＝4，
故答案为：4.
13.请写出一个以直线x＝﹣3为对称轴，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_______________________．21世纪教育网版权所有
解答：本题答案不唯一，如y＝－(x+3)2+2，
故答案为：y＝－(x+3)2+2，不唯一.
14.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB∥x轴，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为________________.21教育网
解答：由题意知：A、B两点的纵坐标相等，且到对称轴的距离相等，
∴点B的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）.
15.已知点A（－3，7）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为______________.21*cnjy*com
解答：抛物线的对称轴为直线x＝－2，
设点A关于对称轴对称的点的坐标为（x，7），
则＝－2，
解得：x＝－1，
所以对称点的坐标为（－1，7），
故答案为：（－1，7）.
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为____________.
第16题图 第17题图 第18题图
解答：∵y＝x2－2x+2＝(x－1)2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∵AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1，
故答案为：1.
17.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为_________.（用含a的式子表示）
解答：如图，∵对称轴为直线x＝﹣2，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，
∴OB＝4，
∵由抛物线的对称性知AB＝AO，
∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB＝△ABC的周长+OB＝a+4，
故答案为：a+4．
18.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是___________.
（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②a－b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
解答：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴为x＝－＞0，
∴b＜0，故①不正确；
∵x＝－1时，y＞0，
∴a－b+c＞0，故②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底为2，
∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝－2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2＝4，故③正确；
由＝－2，得c＝－1，
∴b2＝4a，故④正确，
综合上述，结论正确的有：③④，
故答案为：③④.
三、解答题
19.已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请在坐标系中画出平移后的图象，并写出平移后图象所对应的函数关系式.【出处：21教育名师】
解答：（1）画函数图象如图所示：
（2）抛物线的顶点坐标为（－1，2）；抛物线与x轴的两个交点坐标（－3，0），（1，0）；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+＝﹣(x+1)2+2，
∴平移后的函数关系式为y＝﹣(x+1－3)2+2＝﹣(x－2)2+2，
即y＝﹣x2+2x.
20.已知抛物线y＝－x2+4x－3.
（1）在给定的坐标标中画出该抛物线；
（2）用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线与x轴的两个交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，请根据图象直接写出A、B、C三点的坐标；
（4）当x取何值时，抛物线在x轴的上方？
解答：（1）画函数图象如图所示：
（2）∵y＝－x2+4x－3＝－(x－2)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
（3）由图象可知：A(1，0)，B（3，0），C（0，－3）；
（4）当1＜x＜3时，抛物线在x轴的上方.
21.设函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k
取0时的函数图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）交函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值.21·世纪*教育网
解答：（1）当k＝0时，y＝－(x－1)(x+3)，所画函数图象如图所示：
（2）①根据图象可知，图象都经过点（1，0）和（－1，4）；
②图象与x轴的交点是（1，0）；
③k取0和2时的函数图象关于点（0，2）中心对称；
④函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）的图象都经过（1，0）和（－1，4）等.
（3）平移后的函数y3的表达式为y3＝(x+3)2－2，
所以当x＝－3时，函数y3的最小值是－2.
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1与抛物线C1：y＝x2－2x－1相交于A、C两点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B.21·cn·jy·com
（1）求点A、C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若抛物线C2：y＝ax（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
解答：（1）由，得：，，
∴点A、C的坐标分别为（3，2），（0，－1）；
（2）由题意知：点A与B关于抛物线C1的对称轴对称，
∵抛物线C1的对称轴为x＝1，且A（3，2），
∴B（－1，2），
∴AB＝4，
设直线AB与y轴交于点D，则CD＝1+2＝3，
∴S△ABC＝ABCD＝×4×3＝6；
（3）如图，当C2过点A点，B点临界点时，
把A（3，2）代入y＝ax2得：a＝，
把B（－1，2）代入y＝ax2得：a＝2，
∴a的取值范围为≤a＜2.
23.如图，已知抛物线y＝－x2－x+1与直线y＝－x+1相交于A、B两点，点A在y
轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）若点N是抛物线上一点（点N在AB上方），过点N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；2-1-c-n-j-y
（2）在（1）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.
解答：（1）∵点A在y轴上，且直线y＝－x+1经过点A，
∴当x＝0时，y＝1，
∴A（0，1），
∵BC⊥x轴，且C（－3，0），
∴当x＝－3时，y＝－×(－3)+1＝，
∴B（－3，），
∵点N是抛物线y＝－x2－x+1上，
∴可设N（x，－x2－x+1），则M，P点的坐标分别为（x，－x+1），（x，0），
∴MN＝PN－PM＝－x2－x+1－(－x+1)＝－x2－x＝－(x+)2+，
∴当x＝－时，MN的最大值为；
（3）如图，连接BN，BM，BM与NC互相垂直平分，
则四边形BCMN是菱形，
∴BC∥MN，MN＝BC，且BC＝MC，
∴－x2－x＝，且(－x+1)2+(x+3)2＝，
解得：x＝－1，则y＝4，
故当N的坐标为（－1，4）时，BM和NC互相垂直平分.
2015～2016学年度九年级上学期数学课时练习题
21.2二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质
一、精心选一选
1﹒如果k＜0（k为常数），那么二次函数y＝kx2﹣2x+k2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2﹒下列函数：①y＝﹣3x2；②y＝2x2﹣1；③y＝(x－2)2；④y＝﹣x2+2x+3.当x＜0时，其中y随x的增大而增大的函数有（ ）21cnjy.com
A．4个 B． 3个 C．2个 D．1个
3﹒在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A.只能是x＝－1 B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
5﹒将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A.y＝(x﹣4)2﹣6 B.y＝(x﹣4)2﹣2
C.y＝(x﹣2)2﹣2 D.y＝(x﹣1)2﹣3
6﹒如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）www.21-cn-jy.com
A.y＝x2－1 B.y＝x2+6x+5 C.y＝x2+4x+4 D.y＝x2+8x+17
7﹒抛物线y＝x2－8x+m的顶点在x轴上，则m等于（ ）
A.－16 B.－4 C.8 D.16
8﹒已知二次函数y＝x2+(m－1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
9﹒已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A.图象关于直线x＝1对称
B.函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个
交点的横坐标分别是－1，3
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
10.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③a－b+c＞0；
④4a－2b+c＜0.
其中正确的是（ ）
A.①② B.只有① C.③④ D.①④
二、细心填一填
11.把二次函数y＝2x2－6x+10，化成y＝a(x－h)2+k的形式是_______________________．
12.若抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，则k－n的值为______．
13.请写出一个以直线x＝﹣3为对称轴，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_______________________．21世纪教育网版权所有
14.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB∥x轴，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为________________. 21*cnjy*com
15.已知点A（－3，7）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为______________.【出处：21教育名师】
16.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为____________.
第16题图 第17题图 第18题图
17.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为_________.（用含a的式子表示）21教育网
18.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是___________.
（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②a－b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
三、解答题
19.已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请在坐标系中画出平移后的图象，并写出平移后图象所对应的函数关系式.2·1·c·n·j·y
20.已知抛物线y＝－x2+4x－3.
（1）在给定的坐标标中画出该抛物线；
（2）用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设抛物线与x轴的两个交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，请根据图象直接写出A、B、C三点的坐标；www-2-1-cnjy-com
（4）当x取何值时，抛物线在x轴的上方？
21.设函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k
取0时的函数图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）交函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值.【来源：21cnj*y.co*m】
22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1与抛物线C1：y＝x2－2x－1相交于A、C两点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B.2-1-c-n-j-y
（1）求点A、C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若抛物线C2：y＝ax（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
23.如图，已知抛物线y＝－x2－x+1与直线y＝－x+1相交于A、B两点，点A在y
轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）若点N是抛物线上一点（点N在AB上方），过点N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；21·cn·jy·com
（2）在（1）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.
