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第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质
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1. [知识初练]二次函数y＝x2的图象是一条________，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标为________；二次函数y＝－x2与二次函数y＝x2的图象的形状________，开口方向________．
抛物线
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上
y轴
(0，0)
相同
相反
2．下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是( )
A
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3．[2023·吕梁期末]下列各点中，一定在二次函数y＝－x2的图象上的是( )
A．(2 ，－6)
B．(－2 ，6)
C．(－2 ，12)
D．(2 ，－12)
D
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4．关于二次函数y＝－x2的图象，下列说法错误的是( )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是最高点
D．它经过点(2，－4)
B
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5．对于抛物线y＝x2和y＝－x2，有以下说法：
①抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴；
②抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反；
③抛物线y＝x2和y＝－x2关于x轴成轴对称；
④点A(－3，9)在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上．
其中正确的是________．(填序号)
①②③
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6. [知识初练]二次函数y＝x2，当x<0时，y随x的增大而__________，当x>0时，y随x的增大而__________； 二次函数y＝－x2，当x<0时，y随x的增大而________，当x>0时，y随x的增大而________．
减小
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增大
增大
减小
7．下列说法：①二次函数y＝x2有最大值，最大值为0；②二次函数y＝x2有最小值，最小值为0；③二次函数y＝－x2有最大值，最大值为0；④二次函数y＝－x2有最小值，最小值为0.其中正确的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
C
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8．[2023·大同模拟]已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
A
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9. [教材改编题]已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，并求出当x为何值时，y随x的增大而增大．
解：(1)由题意得m2＋4m＋5＝2，且m＋2≠0，
解得m＝－1或m＝－3.
∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，
∴m＋2<0，即m<－2，∴m＝－3，∴y＝－x2，
∴最高点的坐标为(0，0)，当x＜0时，y随x的增大而增大．
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10．已知二次函数y＝－x2，当－4≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．－16≤y≤－4
B．－16≤y≤0
C．－4≤y≤2
D．－4≤y≤0
B
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11．[2023·临汾月考]如图，A，B为抛物线y＝x2上两点，且线段AB⊥y轴．若AB＝6，则点A的坐标为( )
A．(3，3) B．(3，9)
C．(－3，3) D．(－3，9)
D
【点拨】∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，
∴由抛物线的对称性可知，点A的横坐标为－3，
当x＝－3时，y＝x2＝9，∴点A的坐标为(－3，9)．
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12. [创新题]如图，边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．
2
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13．[2023·运城月考改编]如图，已知点A(2，m)，
B(n，1)在抛物线y＝x2上．
(1)求m，n的值；
解：(1)把点A(2，m)，B(n，1)的坐标分别代入
y＝x2，得m＝22，1＝n2，∴m＝4，n＝±1.
∵点B在第一象限，
∴n＝1.∴m＝4，n＝1.
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(2)在y轴上是否存在一点P，使得点P到A，B两点的距离之和最小？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
存在．
由(1)知A(2，4)，B(1，1)，作点B关于y轴的对称点B′(－1，1)，
连接AB′交y轴于点P，此时点P到A，B两点的距离之和最小．
设直线AB′的表达式为y＝kx＋b.把点A(2，4)，
B′(－1，1)的坐标分别代入，
∴y＝x＋2.令x＝0，得y＝2，∴点P的坐标为(0，2)．
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14. [运算能力]如图，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3，0)．设点P的坐标为(x，y)．
(1)求△OPA的面积S关于y的关系式；
(2)S是x的什么函数？
解：(1)因为点P的坐标为(x，y)，
所以S＝ y(y>0)．
因为点P(x，y)在抛物线y＝x2上，
所以y＝x2，所以S＝ x2(x>0)，
所以S是x的二次函数．
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(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在抛物线y＝x2上找一点P′，使OP′＝P′A，求出点P′的坐标．
当S＝6时， x2＝6，解得x＝2或x＝－2(舍去)，
所以y＝4，所以点P的坐标为(2，4)．
因为OP′＝P′A，所以易知点P′在OA的垂直平分线上，
所以点P′的横坐标为 .
将x＝ 代入y＝x2，得y＝ ，
所以点P′的坐标为 .
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第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质
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1. [知识初练]抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴是________，顶点是________，当a＞0时，开口向______，顶点是抛物线的最______点；当a＜0时，开口向______，顶点是抛物线的最________点；|a|越大，开口越______(填“宽”或“窄”)．
y轴
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(0，0)
上
低
下
高
窄
2．已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的取值范围是( )
A．m＜－1
B．m＜1
C．m＞－1
D．m＞1
A
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3．关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．顶点坐标为(0，3)
C．对称轴为y轴
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
C
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4．[2023·太原模拟]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在二次函数y＝－2x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y3＜y2
B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y1＜y2
D
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5．若抛物线y＝ax2经过点P(－ ，4)，则该抛物线一定还经过点( )
A．(4，－ )
B．( ，4)
C．(－4， )
D．(－ ，－4)
B
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6．[2023·吕梁期中]二次函数y＝2x2－1的图象的顶点坐标是___________．
(0，－1)
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7．抛物线y＝2x2＋1的对称轴是________．
y轴
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8．[2023·太原山西大学附中一模]对于二次函数y＝－ x2＋2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2.若x1>x2>0，则y1和y2的大小关系是( )
A．y1>y2
B．y1C．y1＝y2
D．无法比较
B
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9.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝ x2＋1与二次函数y＝－ x2－1的图象，并说明这
两个函数的图象与性质的相同点与不同点．
解：列表如下：
x … －4 －2 0 2 4 …
y＝ x2＋1 … 5 2 1 2 5 …
y＝－ x2－1 … －5 －2 －1 －2 －5 …
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描点、连线，如图所示：
相同点：两个函数的图象都是抛物线，
对称轴都是y轴，顶点都在y轴上，形状相同．
不同点：函数y＝ x2＋1的图象开口向上，函数y＝－ x2－1的图象开口向下；函数y＝ x2＋1的图象的顶点坐标为(0，1)，函数y＝－ x2－1的图象的顶点坐标为(0，－1)；对于y＝ x2＋1，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大，当x＝0时，函数y有最小值1；对于y＝
－ x2－1，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大
而减小，当x＝0时，函数y有最大值－1.
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10．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是( )
A．y＝x2＋3
B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2
D．y＝(x－3)2
A
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11．抛物线y＝－6x2－5可以看成是由抛物线y＝－6x2按下列何种变换得到的？( )
A．向上平移5个单位长度
B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度
D．向右平移5个单位长度
B
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12．函数y＝ax＋3和y＝ax2－2(a≠0)的图象在同一坐标系内的位置可能是( )
C
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13．[2023·临汾期末改编]在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为( )
A．a1＜a3＜a2
B．a1＜a2＜a3
C．a2＜a1＜a3
D．a3＜a1＜a2
B
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14．已知二次函数y＝ax2与y＝－2x2＋c.
(1)随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
(2)若这两个函数图象的形状相同，则a＝________；若函数y＝ax2的图象沿y轴向下平移2个单位长度就能与y＝－2x2＋c的图象完全重合，则c＝________；
解：(1)二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但对称轴、顶点坐标不变；二次函数y＝－2x2＋c的图象随着c的变化，开口大小、开口方向和对称轴都不变，但顶点坐标会变化．
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±2
－2
(3)二次函数y＝－2x2＋c中x，y的几组对应值如下表：
表中m，n，p的大小关系为__________．(用“＜”连接)
p＜m＜n
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x －2 1 5
y m n p
15. [创新题] [模型观念]如图①是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在图②所示的坐标系中画出y关于
x的函数图象；
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x 5 10 20 30 40 50
y 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5
解：图象如图所示．
(2)①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x表示y的二次函数的表达式：_______________；
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x 5 10 20 30 40 50
200
200
200
200
200
200
(3)当水面宽度为36 m时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能不能在这个河段安全通过？请说明理由．
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不能．理由如下：当水面宽度为36 m时，x＝18，则
y＝ x2＝ ×182＝1.62，此时该河段的最大水深为1.62 m，
因为货船吃水深度为1.8 m，而1.62<1.8，
所以当水面宽度为36 m时，
该货船不能在这个河段安全通过．(共20张PPT)
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
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1. [知识初练]抛物线y＝－ (x－3)2的开口向________，对称轴是__________，顶点坐标为__________，当x>3时，y随x的增大而________．
下
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直线x＝3
(3，0)
减小
2．抛物线y＝2(x＋1)2不经过的象限是( )
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
C
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3．在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，y随x的增大而减小，则二次函数y＝k(x－1)2的图象大致是( )
B
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4．已知二次函数y＝(x－1)2，当x＜1时，y随x的增大而__________．(填“增大”或“减小”)
减小
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5．已知二次函数y＝－2(x＋b)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大，当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y＝________．
－32
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6. [知识初练]抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口向______，其顶点坐标是________，对称轴是___________，当x>1时，y随x的增大而________．
下
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(1，－3)
直线x＝1
减小
7．[2023·运城期末]抛物线y＝(x－1)2＋2与y轴的交点坐标为( )
A．(1，2)
B．(0，3)
C．(0，1)
D．(0，2)
B
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8．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象大致是( )
C
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9．已知二次函数y＝－(x－2)2＋3.
(1)直接写出该函数图象的开口方向和顶点坐标；
(2)当x满足________________时，y随x的增大而减小；
(3)当1＜x＜4时，求y的取值范围．
解：(1)该函数图象的开口向下，顶点坐标是(2，3)．
x＞2
易知y在x＝2处取得最大值3，
当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝－1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是－1＜y≤3.
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10．[2023·大同期中]将二次函数y＝－2x2的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的二次函数的表达式是( )
A．y＝－2(x＋2)2
B．y＝－2(x－2)2
C．y＝－2x2＋2
D．y＝－2x2－2
B
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11．将抛物线y＝2(x－3)2＋2先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是( )
A．y＝2(x－6)2
B．y＝2(x－6)2＋4
C．y＝2x2
D．y＝2x2＋4
C
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12．通过平移二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象，得到的二次函数的图象的顶点坐标是(－3，－3)，下列平移方法正确的是( )
A．向左移动1个单位，向上移动2个单位
B．向右移动1个单位，向上移动2个单位
C．向左移动5个单位，向下移动4个单位
D．向右移动5个单位，向下移动4个单位
C
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13．[2023·运城期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝b(x－a)2的大致图象可能为( )
A
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14．[2023·朔州月考]已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________．
a≤2
【点拨】∵二次函数y＝3(x－a)2图象的对称轴为直线x＝a，
∴当x＞a时，y随x的增大而增大，∴a≤2.
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15．如图，已知二次函数y＝a(x－4)2＋2的图象经过点A(2，0)．
(1)求a的值；
(2)若二次函数的图象与y轴交于点B，且其对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
解：(1)把点A(2，0)的坐标代入y＝a(x－4)2＋2，得
a×(2－4)2＋2＝0，解得a＝－ .
由(1)可知y＝－ (x－4)2＋2，∴易得C(4，0)．
对于y＝－ (x－4)2＋2，令x＝0，则y＝－6，∴B(0，－6)，
∴OB＝6.∵A(2，0)，∴AC＝4－2＝2，∴S△ABC＝ ×2×6＝6.
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16. [推理能力]如图是抛物线y＝ x2，当抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度时，抛物线正好经过点A(0，3)．
(1)求m的值；
(2)画出平移后的图象；
解：(1)平移后得到的抛物线对应的函数表达式为
y＝ (x－m)2，把点A(0，3)的坐标代入，得3＝ (0－m)2，
解得m1＝3，m2＝－3.因为m>0，所以m＝3.
如图．
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(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的
对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，
使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
由(1)可知，新抛物线对应的函数表达式为y＝ (x－3)2.如图，作新抛物线的对称轴直线x＝3，连接BC，与直线x＝3交于点P，
此时BP＋CP的值最小．易知点C的坐标为(6，3)．
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设直线BC所对应的函数表达式为y＝kx＋b，
把点B ，C(6，3)的坐标代入，
故直线BC所对应的函数表达式为y＝ x.
当x＝3时，y＝ ，所以点P的坐标为
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第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
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1. [知识初练]抛物线的表达式y＝－x2＋4x－7可化成y＝－(x－______)2－______的形式，对称轴是__________，顶点坐标是__________．
2
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3
直线x＝2
(2，－3)
2．[2023·山西实验中学一模]将二次函数y＝x2－2x＋3变形为顶点式得到的表达式为( )
A．y＝(x－1)2＋4
B．y＝(x－1)2＋2
C．y＝(x＋2)2＋6
D．y＝(x－2)2＋6
B
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3．抛物线y＝－3x2＋6x－1的对称轴是( )
A．直线x＝2
B．直线x＝1
C．直线x＝－2
D．直线x＝－1
B
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4．抛物线y＝－x2－4x－3的顶点到x轴的距离为________．
1
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5. [知识初练]抛物线y＝－2x2－12x－18开口________，与y轴的交点在______半轴，对称轴为_____________，当x______－3时，y随x的增大而减小，当x______－3时，y随x的增大而增大．
向下
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负
直线x＝－3
＞
＜
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．a>0
B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．c<0
D．b＝2a
A
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7．已知(－3，y1)，(－1，y2)是抛物线y＝3x2－6x－5上的两点，则y1____y2.(填“>”“<”或“＝”)
＞
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8．[2023·山西实验中学模拟]将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝－5(x＋1)2－1
B．y＝－5(x－1)2－1
C．y＝－5(x－1)2＋3
D．y＝－5(x＋1)2＋3
D
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9．如果将抛物线y＝x2－2平移，使平移后的抛物线与抛物线
y＝x2－8x＋9重合，那么它平移的过程是_______________________________________________．
【变式题】[2023·太原山西大学附中一模节选]将抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2，则抛物线C1的表达式为______________．
先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度
y＝x2－2x－3
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10．将二次函数y＝x2＋8x＋5的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标为_____________．
(－2，－6)
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11．[2023·达州中考]如图，拋物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)关于直线x＝1对称．下列五个结论：①abc>0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c>0；④am2＋bm>a＋b；⑤3a＋c>0.其中正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
B
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12．[2023·临汾期末]如图，将抛物线P1：y＝x2＋2x＋m平移后得到抛物线P2：y＝x2－5x＋n，两抛物线与y轴分别交于点C，D，抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，
分别交抛物线P1，P2于点A，B.
(1)求抛物线P1的对称轴和点A的横坐标；
解：(1)抛物线P1的对称轴为直线x＝－ ＝－1.
∵AB∥x轴，∴点A，E关于直线x＝－1对称，
∵点E的横坐标为1，∴点A的横坐标为－3.
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(2)求线段AB和CD的长度．
抛物线P2的对称轴为直线x＝－
易知点E，B关于直线x＝ 对称，
∴点B的横坐标为4，∴AB＝4－(－3)＝7.
∵点E是抛物线P1，P2的交点，
∴1＋2＋m＝1－5＋n，∴n－m＝7，
易知C(0，m)，D(0，n)，∴CD＝n－m＝7.
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13. [创新题][推理能力]如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．
(1)若一个二次函数的特征数为[－2，1]，则此函数图象的顶点坐标为________．
(2)①若一个二次函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则得到的
图象对应的函数的特征数为___________；
(1，0)
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[2，－3]
②若一个二次函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]
特征数为[2，3]的二次函数的表达式为y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
特征数为[3，4]的二次函数的表达式为y＝x2＋3x＋4＝
∴将特征数为[2，3]的函数的图象先向左平移 个单位长度，
再向下平移 个单位长度可以得到特征数为[3，4]的函数的图象．
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[即时练透]/利用函数的增减性比较函数值大小
【例题】已知A(－3，y1)，B(2，y2)两点都在抛物线y＝－2(x－1)2＋k上，比较y1，y2的大小．
解题过程如下：
(1)该抛物线的开口向________，对称轴为直线x＝1.
(2)画出抛物线的简图
(标明对称轴位置)．
下
如图所示.
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(3)增减性：当x>1时，y随x的增大而________；当x<1时，y随x的增大而________．
(4)①增减法比较函数值：点A，B位于对称轴的________侧(填“同”或“异”)，与点A关于对称轴对称的点A′的坐标为(________，y1)，可得y1________y2.
②距离法比较函数值：A到对称轴的距离比B到对称轴的距离_____(填“近”或“远”)，由图象得y1____y2.
减小
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增大
异
5
<
远
<
【心得体会】距离法比较函数值时，若a>0，点到对称轴距离越近，函数值越__________；若a<0，点到对称轴距离越近，函数值越________．
小
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第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
第1课时 由两点确定二次函数的
表达式
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1．[2023·大同月考]已知二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象经过点(－2，－1)，(1，5)，则该二次函数的表达式为( )
A．y＝2x2＋4x－1
B．y＝x2＋4x－2
C．y＝－2x2＋4x＋1
D．y＝2x2＋4x＋1
A
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【变式题1】已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过(－1，0)，(0，5)两点，则这个二次函数的表达式为_________________．
【变式题2】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的形状与抛物线y＝x2＋2x－3相同，且经过原点及点(1，0)，则b＋c的值是________．
y＝－x2＋4x＋5
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－1
2．[2023·宁波中考]如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当y≤－2时，请结合图象直接写出x的取值范围．
解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和
B(0，－5)，∴
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，
∴顶点坐标为(－1，－6)．
－3≤x≤1.
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3．已知二次函数图象的顶点坐标是(1，－2)，且经过点(0，－5)，则它的表达式是( )
A．y＝－3(x＋1)2－2
B．y＝3(x＋1)2－2
C．y＝－3(x－1)2－2
D．y＝3(x－1)2－2
C
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【变式题】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝－x2＋2x－3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x－3
D．y＝x2－2x＋3
B
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4．若抛物线C1与抛物线C2：y＝2x2－4x－1的顶点重合，且与y轴的交点坐标为(0，1)，则抛物线C1的表达式是________________．
y＝4(x－1)2－3
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5．[2023·忻州期中]已知抛物线的顶点坐标为(2，4)，且经过点(1，3)．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)动点P(x，5)能否在该抛物线上？请说明理由．
解：(1)由题意可设y＝a(x－2)2＋4，
将(1，3)代入得3＝a＋4，解得a＝－1，
∴y＝－(x－2)2＋4.
不能，理由：
∵y＝－(x－2)2＋4的最大值为4，
∴动点P(x，5)不能在该抛物线上．
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6．[2023·大同模拟]已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点B(0，－2)，且与反比例函数y＝－ 的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2＋x－2
D．y＝x2＋x＋2
A
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【点拨】将A(m，4)的坐标代入反比例函数的表达式得
4＝－ ，解得m＝－2，∴A(－2，4)．
将A(－2，4)，B(0，－2)的坐标代入二次函数的表达式，
则二次函数的表达式为y＝x2－x－2.故选A.
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7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为___________________．
y＝－x2－4x＋5
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8. [易错题]已知二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离为8，它的对称轴为直线x＝－1，函数的最值为2，则该函数的表达式为__________________________________.
y＝6(x＋1)2＋2或y＝－10(x＋1)2＋2
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【易错点睛】本题易错点是只考虑图象与y轴的交点在正半轴的情况，忽略交点在负半轴的情况．
9．[2023·丽水中考]已知点(－m，0)和(3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上．
(1)当m＝－1时，求a和b的值；
解：当m＝－1时，图象过点(1，0)和(－3，0)，
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(2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2解：∵函数图象过点(－m，0)和(3m，0)，
∴函数图象的对称轴为直线x＝m.
∵图象过点(n，3)，(0，3)，∴易得n＝2m.
∵－2返回
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(3)求证：b2＋4a＝0.
证明：由题意得－ ＝m，顶点坐标为(m，am2＋bm＋3)．
∴b＝－2am.将(－m，0)和(3m，0)分别代入表达式可得
①×3＋②得12am2＋12＝0，
∴am2＝－1.∴am2＋bm＋3＝am2－2am2＋3＝－am2＋3＝4.
∴12a－b2＝16a.∴b2＋4a＝0.
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10. [运算能力][2023·太原模拟]综合与探究
如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C，直线y＝－ x＋2经过B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
解：(1)对于y＝－ x＋2，令y＝0，则－ x＋2＝0，解得x＝4，
∴B(4，0)．将A(1，0)，B(4，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，
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(2)点P是线段BC上一个动点(不与B，C重合)，过点P作PD⊥x轴于点Q，交抛物线于点D，当点Q是线段PD的中点时，求点P的坐标．
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∴QD＝－ m2＋ m－2.∵点Q是PD的中点，∴PQ＝DQ，
∴－ m＋2＝－ m2＋ m－2，解得m1＝2，m2＝4.
∵点P在线段BC上(不与B，C重合)，
∴0第二章 二次函数
4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决
最值问题
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1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．不能确定
B
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【变式题】用长为8 m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，那么这个窗框的最大透光面积是(铝合金型材宽度忽略不计)( )
C
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2．[2023·阳泉期末]如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积的最大值为________．
18
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3．[2023·晋中模拟]如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°， AB＝8 cm, AC＝6 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也随之停止运动，则△APQ面积的最大值是________．
16 cm2
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4．[2023·菏泽中考节选]某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已购买篱笆120米，设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积．
解：设与墙平行的一边长为x米，面积为y平方米，则与墙垂直的一边长为 米，∴y＝x· ＝－ x2＋40x
＝－ (x－60)2＋1 200，∴当x＝60时，y有最大值1 200，
此时 ＝20.
答：与墙平行的一边长为60米，与墙垂直的一边长为20米时，
花园面积最大，最大面积为1 200平方米．
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5. [科学素质]根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系是h＝－5t2＋20t，当飞行时间t为________s时，小球达到最高点．
2
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6．[2023·晋城模拟]某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形状喷出，该水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A.已知OC＝OB＝8 m，OA＝2 m，则该水流距水平面的最大高度AD的
长度为________m.
9
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7. [立德树人·关注生活]如图，小明的父亲在相距2米的两棵树(AB，CD)间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面的距离都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子．以A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标
系，则绳子的最低点距地面的距离为______．
0.5米
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【点拨】设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
将(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)代入y＝ax2＋bx＋c，
∴抛物线的表达式为y＝2x2－4x＋2.5.
∵2>0，∴当x＝－ ＝1时，y取最小值，为0.5.
即绳子的最低点距地面的距离为0.5米．
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8. [跨学科综合题]某班生物小组计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案(如图)，最佳方案是( )
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．面积都一样
C
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9. [教材改编题]如图，在Rt△EFG的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上，EF＝60，
FG＝80，设AB＝x.
(1)用含x的代数式表示BC为__________．
(2)设矩形ABCD的面积为S，当x为何值时，S的值最大？最大值是多少？
由(1)得BC＝100－ x，∴S＝AB·BC
＝x· x2＋100x
＝－ (x－24)2＋1 200，
∴当x＝24时，S的值最大，最大值是1 200.
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10. [应用意识][2023·吕梁期中]综合与实践：
【问题情境】山西晋城景德桥，又名沁阳桥、西关大桥，是山西晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．其桥拱截面可以看成抛物线的一部分(如图)，在某一时刻，桥拱内的水面宽20米，桥拱截面顶点B到水面的距离为4米(此时桥拱截面与水面的交点分别为O，A)．
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【模型建立】
(1)如图，在该时刻，以O为原点，OA所在直线为x轴，在桥拱截面所在平面内建立直角坐标系，则桥拱截面所在抛物线的表达式为____________________．
【问题解决】
(2)求在距离水面2米处的桥拱宽度．
y＝－ (x－10)2＋4
令y＝2，可得－ (x－10)2＋4＝2，
解得x1＝10＋5 ，x2＝10－5 ，
∴所求桥拱宽度为10＋5 －(10－5 )＝10 (米)．
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(3)现有两条宽4米，高3米(带货物)的小舟相向而行，恰好同时接近拱桥，问两条小舟能否同时从桥下穿过？并说明理由．
两条小舟能同时从桥下穿过，理由如下：
当y＝3时，－ (x－10)2＋4＝3，
解得x1＝15，x2＝5，
∴最大能通行的宽度为15－5＝10(米)．
4＋4＝8(米)，∵10>8，∴两条小舟能同时从桥下穿过．
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第二章 二次函数
4 二次函数的应用
第2课时 利用二次函数解决利润和其他问题
1
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【构建思维模型】
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二次
函数
最值
1. [2023·大同模拟]某种产品的销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数表达式y＝－x2＋2x＋3，则盈利( )
A．最大值为3万元
B．最大值为4万元
C．最小值为3万元
D．最小值为4万元
B
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2．每件160元的电器连续降价两次后的价格为每件y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x之间的函数表达式为( )
A．y＝320(x－1)
B．y＝320(1－x)
C．y＝160(1－x2)
D．y＝160(1－x)2
D
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3．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100－x)件，应如何定价才能获得最大利润？
解：设所获得的利润为w元，
则w＝(x－30)(100－x)
＝－x2＋130x－3 000
＝－(x－65)2＋1 225.
∵－1＜0，∴当x＝65时，w取最大值，
∴定价为每件65元才能获得最大利润．
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4．[2023·运城月考]某超市以每件8元的价格购进一批生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售单价定为________元时，才能使每天所获销售利润最大．
11
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5．[2023·运城期末]某企业设计了一款工艺品，每件的成本是60元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围．
解：由题意得y＝(x－60)[50＋5(100－x)]＝(x－60)(550－5x)
＝－5x2＋850x－33 000.∵每件的成本是60元，且销售单价不得低于成本，
∴60≤x≤100，∴每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数
表达式为y＝－5x2＋850x－33 000(60≤x≤100)．
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6．某公司举行年会，一共有n个人参加，若每两个人都要握手一次，握手的总次数为y，则y与n之间的函数表达式为( )
A．y＝n2＋n B．y＝n2－n
C
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7．[2023·北京通州区月考]某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，x秒后的高度为y米，且时间x与高度y的关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第5秒与第15秒时的高度相等，则发射后第几秒时炮弹所在高度达到最高？( )
A．第8秒 B．第10秒
C．第12秒 D．第15秒
B
【思路点睛】二次函数图象是一个轴对称图形．
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8．一个容器内盛满纯酒精50 kg，第一次倒出若干千克纯酒精后加入相同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内的酒精溶液含纯酒精y kg，设每次倒出 x kg，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝50(50－x) B．y＝
C．y＝(50－x)2 D．y＝50
D
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9．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则售价为每件________元时才能使利润最大．
65
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10. [立德树人·传统文化]中国是茶的故乡，是世界上最早发现和利用茶树的国家，某公司经销某种茶叶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
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销售单价x(元/千克) 56 65 75
销售量y(千克) 128 110 90
解答下列问题：
(1)y与x的函数关系式为______________；
(2)销售这种茶叶一周获得的利润的最大值为________元；
y＝－2x＋240
2 450
【点拨】设销售这种茶叶一周获得的利润为W元，
则W＝(x－50)×y＝(x－50)(－2x＋240)＝－2x2＋340x－12 000＝－2(x－85)2＋2 450.
∵－2<0，∴x＝85时，W最大，为2 450，即销售这种茶叶一周获得的最大利润为2 450元．
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(3)规定这种茶叶的销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2 000元的周利润，请计算销售单价的范围．
若获得2 000元的周利润，则－2(x－85)2＋2 450＝2 000，
解得x1＝70，x2＝100，
∵函数W＝－2(x－85)2＋2 450的图象为开口向下的抛物线，
∴当70≤x≤100时，W≥2 000，
又∵规定这种茶叶销售单价不得高于90元/千克，
∴销售单价的范围为70≤x≤90.
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11. [应用意识][2023·临汾期中]太谷壶瓶枣，是山西省太谷区特产，传说在春秋战国时期就有栽培，果实大，以形似“壶”状而得名．红枣味甜可口，营养丰富，保健医疗价值很高，民间有“每日食三枣，一辈子不显老”的说法．某经销商销售一种新品种壶瓶枣，这种新品种的进价为每千克50元(规定每千克销售利润不低于5元且不高于30元)，现在以每千克75元的售价卖出，则每周可卖出80千克．该经销商通过对当地市场调查发现：若每千克降价5元，则每周多卖出20千克．为提高销量，该经销商决定暂时降价销售，设每千克
售价降低x元，每周销售利润为y元．
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(1)当售价为每千克65元时，每周销售量为______千克，每周销售利润为______元 .
(2)求y与x之间的函数表达式并写出自变量x的取值范围．
120
1 800
由题意可得：y＝(75－x－50)＝(25－x)(80＋4x)
＝－4x2＋20x＋2 000，
∵5≤25－x≤30，∴－5≤x≤20，又∵x>0，∴0∴y＝－4x2＋20x＋2 000(0返回
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(3)当售价定为每千克多少元时，该经销商每周可获得最大利润？最大利润是多少元？
y＝－4x2＋20x＋2 000＝－4(x2－5x)＋2 000
＝－4 ＋2 000＝－4(x－2.5)2＋2 025，
∵－4<0，∴抛物线的开口向下，又∵0∴当x＝2.5时，y取得最大值，此时y＝2 025，75－x＝72.5.
答：当售价定为每千克72.5元时，该经销商每周可获得
最大利润，最大利润是2 025元．
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第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
1
2
3
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5
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1．[2023·太原期末]抛物线y＝3x2＋5x与两坐标轴的交点的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
B
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2．[2023·太原模拟]已知二次函数y＝－x2－2x－n(n为常数)的图象与x轴有两个交点，则n的取值范围是________．
【变式题1】已知二次函数y＝x2＋(k－1)x＋1的图象与x轴无交点，则k的取值范围是__________．
【变式题2】[2023·郴州中考]抛物线y＝x2－6x＋c与x轴只有一个交点，则c＝________．
n<1
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－19
3. [知识初练]已知一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝－2，则二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴的交点坐标为_________________．
(1，0)，(－2，0)
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4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
C
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5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝2，x2＝6，若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是(2，0)，则点B的坐标是( )
A．(8，0) B．(4，0)
C．(6，0) D．(－2，0)
C
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6．[2023·长治期末]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝0
B．x1＝3，x2＝－1
C．x1＝－3，x2＝－1
D．x1＝－3，x2＝1
D
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7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________________．
x1＝－2，x2＝1
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8．(1)已知二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，求A，B两点的坐标；
(2)在如图所示的网格中，
画出(1)中函数的图象．
解：(1)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∵点A在点B左侧，∴A(1，0)，B(3，0)．
略．
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9. [易错题]抛物线y＝x2＋2x－3与坐标轴的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
D
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【易错点睛】本题中易忽略抛物线与y轴的交点，而只考虑与x轴的交点．
10．若抛物线y＝x2－4x＋m与直线y＝kx－13(k≠0)交于点(2，－9)，则关于x的方程x2－4x＋m＝k(x－1)－11的解为________________．
x1＝2，x2＝4
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11．[2023·阳泉模拟]已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
证明：∵Δ＝(－2m)2－4×1×(m2＋3)＝4m2－4m2－12
＝－12＜0，∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点．
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(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
解：y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3，
把函数y＝(x－m)2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数y＝(x－m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象沿y轴向下平移3个单位
长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
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12. [运算能力]在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－6ax与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)已知点C(3，2)，P(1，－2a)，点Q在直线PC上，且点Q的横坐标为6.
①点Q的纵坐标为________(用含a的式子表示)；
解：(1)令y＝0，则ax2－6ax＝0，解得x1＝0，x2＝6，
∵点A在点B的左侧，∴A(0，0)，B(6，0)．
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3a＋5
②若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
当a＞0时，如图①，当x＝1时，y＝ax2－6ax＝－5a＜－2a，
即点P在抛物线上方，易知点Q在点B的正上方，
∴线段PQ与抛物线无公共点；
当a＜0时，如图②，同理可得，点P在抛物线的下方，
易知当点Q与点B重合或在点B的上方时，线段PQ与抛物线
恰有一个公共点，即3a＋5≥0，解得a≥－ ，
∴－ ≤a<0.综上，a的取值范围为－ ≤a＜0.
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[即时练透]/利用抛物线的对称性解题
【例题】已知抛物线y＝x2＋bx＋4经过(－1，n)和(3，n)两点，求b与n的值．
解题关键：若抛物线上不重合的两个点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1＝y2，则A，B两点关于抛物线的对称轴对称，且该抛物线的对称轴为直线
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解题过程如下：由抛物线的表达式y＝x2＋bx＋4可知其对称轴为直线x＝________．
由抛物线经过(－1，n)和(3，n)两点，可知其对称轴为直线x＝________＝______．
∴________＝______，解得b＝__________．
∴抛物线的表达式为y＝____________．
将点(3，n)的坐标代入表达式，可得n＝________．
1
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1
－2
x2－2x＋4
7
【针对练习】
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表：
则对应的抛物线的顶点坐标为__________，
当x＝5时，对应的函数值为__________．
(2，－4)
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5
x －1 0 1 2 3
y 5 0 －3 －4 －3
2．函数y＝ax2＋4ax＋m(a＜0)的图象过点(1，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是______________；不等式ax2＋4ax＋m≥0的解集为__________．
x＜－5或x＞1
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－5≤x≤1
