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第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时 正切与坡度
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1. [知识初练]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边是____，邻边是____，则tan A＝____．
BC
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AC
2. [教材改编题]在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝1，则∠C的正切值为( )
A
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3．如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，n)，OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值为 ，则点P的坐标为________．
(3，4)
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4．[2023·北京模拟]在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，如果Rt△ABC各边的长都缩小为原来的 ，那么此时∠A的正切值为________．
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5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，求tan A.
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6. [知识初练]如图，一架梯子和地面所成的锐角为∠A，关于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系为tan A的值越大，梯子越________．
陡
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7．如图，有两个梯子斜靠在墙上，梯子ME底端到墙AM的距离AE＝1 m，梯子NE底端到墙BN的距离BE＝3 m，梯子NE顶端到地面的距离NB＝3 m，梯子ME顶端到地面的距离MA＝3 m，则梯子______比较陡．(填“ME”或“NE”)
ME
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8. [知识初练]如图是某山坡的示意图，坡角是______，坡面的铅直高度是指线段________的长度，水平宽度是指线段________的长度，坡度＝________．
∠A
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BC
AC
9．[2023·大同月考]在如图所示的山坡上沿水平方向每前进50 m，高度就升高30 m，那么山坡的坡度i(即tan α)为( )
A．3∶5
B．3∶4
C．4∶3
D．5∶3
A
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10．[2023·太原五中二模改编]如图，河堤的堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶ ，则AC的长为( )
A．5 米
B．10米
C．15米
D．10 米
A
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11. 一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6 m，房顶A离地面EF的高度为6 m，房檐B离地面EF的高度为4 m，则tan∠ABC的值为( )
A
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12. [新情境题][2023·忻州模拟]某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1 m，则DF的长为( )
A
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13．[2023·太原实验中学月考]如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，
则∠B的正切值是( )
D
【点拨】如图，连接AC.由勾股定理，得AC2＝12＋12＝2，
AB2＝22＋22＝8，BC2＝12＋32＝10，∴AC2＋AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan B＝
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【变式题】如图，在边长都为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD
相交于点P，则tan∠APD的值为________．
2
【点拨】如图，把CD向下平移1个单位长度得到C′D′，连接 AD′，
则点C′与点B重合，CD∥C′D′，∴∠APD＝∠ABD′.在△ABD′中，
BD′＝
∴BD′2＋AD′2＝AB2，∴△ABD′是直角三角形，∠AD′B＝90°，
∴tan ∠APD＝tan ∠ABD′＝
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14．[2023·广元中考]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(0，－3)，点C在x轴上，且点C在点A的右侧，连接AB，BC，若tan∠ABC＝ ，则点C的坐标为________．
【思路点睛】先根据已知条件可得出∠ABO＝∠ABC，再根据等面积法可得出
设C(m，0)，则AC＝m－1，CB＝
然后代入即可求解．
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15．为了学生的安全，某校决定把斜坡DE进行改造．如图，四边形ABCD为矩形，斜坡DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶ ，将斜坡DE改造为斜坡AF后，其坡度为i2＝1∶4，求斜坡AF的长度大约是多少．(结果精确到0.01 m，参考数据： ≈1.732， ≈4.123)
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解：∵斜坡DE的坡度为i1＝1∶ ，i1＝tan∠DEC＝ ，
∴ ，∴CE＝ CD.∴在Rt△DCE中，DE＝
＝2DC＝10 m，∴DC＝5 m.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5 m.
∵斜坡AF的坡度为i2＝1∶4，i2＝tan F＝ ，
∴ ，∴BF＝4AB＝20 m，
∴在Rt△ABF中，AF＝ ≈20.62(m)．
故斜坡AF的长度大约是20.62 m.
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16. [几何直观]魏晋时期数学家刘徽利用图①中的“青朱出入图”，通过“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图②，若S2＝4S1，则tan α＝________．
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第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第2课时 正弦、余弦
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1. [知识初练]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sin A＝________，cos A＝________．
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2．[2023·长治期末]如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则cos B的值为( )
C
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3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，cos A＝ ，则AC的长为________．
6
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4．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝100，sin A＝ ，则AB的长是________．
80
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5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求sin B和cos B的值．
解：作AD⊥BC于D，如图．
∵AB＝AC，∴BD＝ BC＝5,
∴cos B＝
∵AD＝
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6. [知识初练]如图，梯子与地面的夹角为∠A，梯子越陡，
sin A的值越______，cos A的值越______．(均填“大”或“小”)
大
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小
7．如图表示的是甲、乙两架梯子斜靠在墙上的情况，则cos α______cos β，______梯子更陡．(前一空填“>”“<”或“＝”，后一空填“甲”或“乙”)
<
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甲
8. [知识初练]锐角A的________、________、________都是∠A的三角函数．
正弦
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余弦
正切
9．[2023·大同一中期末]如图，大同南站某自动扶梯AB的倾斜角为31°，长为15米，则大厅两层之间的高度BC为( )
A．15 sin 31°米
B．15 cos 31°米
C．15 tan 31°米
D．以上都不对
A
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10. [教材改编题]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝
，则sin B的值为( )
A
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11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝4，sin B＝ .
(1)求AB；
(2)求tan C.
解：(1)∵BC＝4，∠A＝90°，sin B＝ ，
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12．[2023·山西实验中学一模]如图，点P(12，a)在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，PH⊥x轴于点H，则cos∠OPH的值为( )
B
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13．[2023·内江中考]在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a2＋|c－10|＋ ＝12a－36，则sin B的值为________．
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14. [创新题]我们知道四边形具有不稳定性，容易变形(给定四边形各边的长，其形状和大小不确定)．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为α，我们把sin α的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为5，其变形后的平行四边形的面积为4，那么这个平行四边形
的“变形系数”是________．
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15. [创新题][2023·长治期末]如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都是1.如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sin α＝________．
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16．如图，两架梯子AD，CB斜靠在墙AE上，tan B＝1，
sin D＝ ，哪架梯子更陡？
解：在Rt△BEC中，tan B＝1，∴ ＝1.
设BE＝CE＝x(x>0)，则BC＝
∴sin B＝ ，∴梯子AD更陡．
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17. [原创题][推理能力]在本节课的学习后，小明观察了自己的量角器，发现中心点与内刻度线0°至90°之间可以围成一个圆心角为90°的扇形，如图所示，如果有一点A在弧PQ上(不与点P，Q重合)，过点A作AB⊥OQ，垂足为B，连接AO，记∠AOB＝α.
AB
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(2)当sin α＝ 时，请在图中画出此时
点A所在的位置(用A′表示)；
(3)当点A在弧PQ上运动时，sin α的值随着α的变化如何变化？说说你的理由．
如图．
当点A在弧PQ上运动时，即当α在0°
至90°之间变化时，sin α随着α的增大而增大．
理由：因为sin α＝ ，随着α的增大，AB增大，而OA
不变，所以sin α随着α的增大而增大．
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第一章 直角三角形的边角关系
3 三角函数的计算
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1．用计算器求cos 12°，正确的按键顺序是( )
A
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2．用计算器求sin 28°，cos 27°，tan 26°的值，它们的大小关系是( )
A．tan 26°B．tan 26°C．sin 28°D．cos 27°C
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3. [教材改编题]用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1)sin 70°；
(2)tan 65°；
(3)2sin 15°·cos 15°；
(4)cos 24°12′.
解：(1)sin 70°≈0.94.
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tan 65°≈2.14.
2sin 15°·cos 15°＝0.5.
cos 24°12′≈0.91.
4．已知tan α＝6.866，用计算器求锐角α，按键顺序正确的是( )
D
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5．若cos A＝0.675 3(∠A为锐角)，则∠A≈________．(结果精确到0.01°)
47.52°
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6.[知识初练]某楼梯的侧面示意图如图所示，已测得BC的长约为3.5 m，∠BCA约为29°，则用计算器求得该楼梯的高度AB约为( )
A．1.70 m
B．3.06 m
C．1.94 m
D．2.05 m
A
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7. 如图，一架梯子AC斜靠在墙BC上，AC＝2.6 m，BC＝
1 m，用计算器求∠CAB约为( )
A．14°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
D
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8. [跨学科综合题]西周时期，周公旦设计了一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离(即BC的长)为a.已知冬至时该市的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC的高约为( )
A．a sin 28° B．a cos 28°
C．a tan 28° D.
C
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9．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )
A
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10．若cos A＝0.910 9，则锐角A≈________．(结果精确到0.01°)
24.37°
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11．等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
49.5°
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12.[创新题]小明在使用计算器求解题目：“已知sin A＝0.425，求锐角A的度数”时，突然发现计算器的 键发生了故障，而其他键可以正常使用，请你帮小明想个办法求出∠A的度数(结果精确到0.01°)．
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cos B＝ ＝sin A＝0.425，∴∠B≈64.85°，
∴∠A＝90°－∠B≈25.15°.
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13.[新情境题][运算能力]图①是某酒店的大门，已知门的宽度AD＝2米，两扇门的大小相同(即AB＝CD，且AB＋CD＝AD)．现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°(示意图如图②所示)．
(1)求点C到直线AD的距离．(用计算器计算，结果精确到0.01米)
解：(1)如图①，过点C作CH⊥AD于点H.
由题意得∠D＝67°，CD＝ AD＝1米，
∴CH＝CD·sin 67°≈0.92米．
∴点C到直线AD的距离约为0.92米．
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(2)将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α(如图③所示)，问α为多少度时，点B，C之间的距离最短？
(用计算器计算，结果精确到0.1°)
如图②，连接BC，点A，B，C三点共线时，B，C之间的距离最短，
过点C作CP⊥AD于点P.由(1)得CP＝CD·sin 67°＝sin 67°米，
DP＝CD·cos 67°＝cos 67°米，
∴AP＝(2－cos 67°)米．
在Rt△ACP中，tan α＝ ，
∴α≈29.8°.∴当α约为29.8°时，点B，C之间的距离最短．
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第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
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1.[知识初练]在△ABC中，若∠C＝90°，已知AC和BC的长，则求出________、∠A和_________________的值的过程，称为解直角三角形ABC.
AB
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∠B(或∠B；AB)
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的度数，最适宜的方法是( )
A．计算tan A的值求出
B．计算sin A的值求出
C．计算cos A的值求出
D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
C
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3．[2023·晋城月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝31，c＝31 ，则b＝________，∠A＝________度，∠B＝________度．
31
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4.[教材改编题]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，BC＝6，解这个直角三角形．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 ，BC＝6，
∴由勾股定理得AB＝
∵tan B＝
∴∠B＝30°，∴∠A＝180°－90°－30°＝60°.
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5．[2023·北京期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝ ，则BC等于( )
A.
B．1
C．2
D．3
B
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6.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝4，则AB的长度为( )
D
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7．[2023·大同期末]如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则AB的长为( )
D
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8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8 ，∠A＝45°，求这个三角形的其他元素．
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解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝45°.∴∠A＝∠B.∴a＝b.
∵sin A＝ ，∴a＝c·sin A，∴a＝8.∴b＝8.
9．如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面DE垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面DE的夹角为26°，经测得AB＝1.8 m，
则OC的长为( )
A．0.9cos 26° m B．0.9sin 26° m
B
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10. [科学素质][易错题]在太原的某条街上有一种智能垃圾桶，这种智能垃圾桶不仅可以供行人休息，而且垃圾桶一侧的中部还有USB接口可供行人充电．此种垃圾桶的侧面示意图如图所示，其中AC∥ED，AB∥EF∥GH，CD＝20 cm，DE＝60 cm，EF＝100 cm，GH＝80 cm，∠CDE＝∠EFG＝90°，∠DEF＝130°，则此种垃圾桶的高度(C到地面的距离)约为________cm.(参考数据：
sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，
结果保留一位小数)
233.8
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11．[2023·朔州模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝ .
(1)求BC的长；
解：(1)过点A作AD⊥BC于D，如图，则sin∠ABC＝ ，
∴AD＝AB·sin∠ABC＝5× ＝3，
∴BD＝ ＝4.
∵AB＝AC，∴BC＝2BD＝8.
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(2)BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．
补全图形，如图．
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝ .
∵BE⊥AC，∴sin∠ECB＝ ，
∴BE＝BC·sin∠ECB＝8×
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12. [模型意识][2023·阳泉月考]小龙同学在学习三角函数的相关知识时，老师告诉他求一个角的三角函数值，这个角应该在直角三角形里才好求，但是他在解题过程中遇到了这样一个难题，题目如下：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠BDC＝60°，AD＝2BD，求sin ∠ABD的值．请你运用所学知识
帮他解决问题．
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解：过A点作AE⊥BD交BD的延长线于E点，如图．
∴∠AED＝∠C＝90°，在Rt△BDC中，∠BDC＝60°，
∴cos ∠BDC＝cos 60°＝ 设CD＝a，则BD＝2a，
∴BC＝BDsin ∠BDC＝2asin 60°＝2a× ∵AD＝2BD，
∴AD＝4a，∴AC＝AD＋CD＝4a＋a＝5a.在Rt△ACB中，AB＝
在Rt△ADE中，∠ADE＝
∠BDC＝60°，∴AE＝ADsin ∠ADE＝4asin 60°＝4a×
在Rt△ABE中，sin ∠ABD＝
∴sin ∠ABD的值为
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第一章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
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【构建思维模型】
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1．[2023·晋城期中]如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔5海里的点A处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离AB的长是( )
A．5海里
B．5sin 50°海里
C．5cos 50°海里
D．5tan 50°海里
C
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2．[2023·郴州中考]某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地A处测得小岛C在它的北偏东60°方向，2 h后到达B处，此时测得小岛C在它的北偏西45°方向(如图)，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据： ≈1.41， ≈1.73.
结果精确到0.1 km)．
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解：过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图，
则∠AHC＝∠BHC＝90°，由题意知∠CAH＝90°－60°＝30°，
∠CBH＝90°－45°＝45°.
在Rt△ACH中，tan∠CAH＝tan30°＝
在Rt△CHB中，tan∠CBH＝tan 45°＝
∴BH＝CH，∴AB＝AH＋BH＝( ＋1)CH.
又∵AB＝40×2＝80(km)，∴( ＋1)CH＝80，
∴CH＝40 －40≈40×1.73－40＝29.2(km)．
即该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为29.2 km.
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3．[2023·岳阳中考改编]2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC约是______米(结果精确到0.1米，sin 21.8°≈0.371 4，cos 21.8°
≈0.928 5，tan 21.8°≈0.400 0)．
9.5
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4．[2023·太原山大附中期末改编]为测量一座塔的高度，小华站在这座塔对面的高楼上(塔和高楼在同一水平地面上)测得塔顶、塔底的俯角分别为30°和60°，已知楼高为100米．
(1)请根据题意，画出示意图；
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解：(1)示意图如图所示．
(2)求塔的高度．
如图，过点D作DB⊥AC于点B，
∵∠EAC＝90°－60°＝30°，AC＝100米，
∴CE＝AC·tan 30°＝ 米，
易得BD＝CE＝ 米，
∵∠DAB＝90°－30°＝60°，∴AB＝ 米．
∴DE＝BC＝AC－AB＝ 米．即塔的高度为 米．
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5．[2023·朔州期末]如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶2，堤高BC＝5 m，则坡面AB的水平宽度AC的长为________m.
10
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6．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，坝高CF为4.5米．求：
(1)坡BC的长；
(2)坡BC的坡度．
解：(1)∵∠B＝30°，CF＝4.5米，
∴BC＝ ＝4.5×2＝9(米)．
∵BC＝9米，∠B＝30°，
∴BF＝BC·cos 30°＝ 米．
∴坡BC的坡度为
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7．如图，在一条笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离
海岸线l的距离为_________km.
【思路点睛】过点C作CD⊥l于点D，过点B作BE∥CD交AC于点E，可得BE＝CE＝AB＝2 km，然后利用勾股定理与锐角三角函数即可求解．
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8．[2023·黄冈中考]综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼的高度CE为15米，则尚美楼的高度DF为___________米．
(结果保留根号)
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9．[2023·大同期末]某地计划将一个山坡改造成一个滑雪场的滑道，如图，滑道由AB和BC两段组成，AB的坡角∠A＝15°，BC的坡角α＝20°，已知山坡的水平距离AD＝1 500 m，铅直高度CD＝450 m，求滑道AB的铅直高度BE的长．(结果精确到1 m．参考数据：sin 15°≈0.26，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，
tan 20°≈0.36)
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解：过点B作BF⊥CD于点F.由题意可得BE⊥AD，CD⊥AD，
则四边形BEDF是矩形，∴BE＝DF，BF＝DE.
设FD＝BE＝x m，∴FC＝CD－FD＝(450－x) m.
在Rt△ABE中，∠A＝15°，BE＝x m，tan A＝
在Rt△BCF中，∠CBF＝20°，CF＝(450－x)m，
∵AE＋ED＝AD，∴ 解得x≈270.
答：滑道AB的铅直高度BE的长约为270 m.
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10. [应用意识][2023·广安中考]为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，
tan 58°≈1.60， ≈1.73)
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(1)求步道DE的长度；
解：(1)过点D作DF⊥AE交AE的延长线于点F，
如图所示，由题意得AE⊥AC，DC⊥AC，
∴四边形ACDF为矩形，∴DF＝AC.
∵AC＝170米，∴DF＝170米．
∴DE＝ ＝200(米)．
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(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店
购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，
请通过计算 说明他走哪条路较近．(结果精确到个位)
∵∠EAB＝30°，∠EAC＝90°，∴∠BAC＝60°.
∴在Rt△BAC中，AB＝ ＝340(米)，CB＝AC·tan 60°＝
170× ≈170×1.73＝294.1(米)． ∴AB＋DB＝340＋100＝440(米)．
∵四边形ACDF为矩形，∴AF＝CD＝CB＋DB≈294.1＋100＝394.1(米)．
在Rt△DFE中，EF＝ ＝106.25(米)．∴AE＝AF－EF
≈394.1－106.25＝287.85(米)．∴AE＋ED≈287.85＋200≈488(米)．
∴AE＋ED>AB＋DB.∴走A→B→D这条路较近．
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第一章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60°角
的三角函数值
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1. [知识初练]完成下面的表格．
角度 正弦值 余弦值 正切值
30°
45°
60°
1
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2.[2023·运城期中]2tan 45°的值是( )
A．1
B.
C．2
D.
C
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3．[2023·北京大兴区期中]如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则α的余弦值为( )
A
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4．计算：sin230°＋cos230°＝________．
1
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5．[2023·山西实验中学一模]计算：
(1)2sin 60°－3tan 30°；
(2)cos 45°－tan 60°(1－sin 30°)．
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6．若cos A＝ (∠A为锐角)，则∠A的度数为( )
A．60°
B．30°
C．45°
D．30°或60°
B
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7．[2023·大同期末]在△ABC中，∠B＝75°，tan A＝ ，则∠C＝________．
45°
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8．如图，在△ABC中，若sin A＝ ，tan B＝ ，则∠C的度数为________．
75°
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9. [教材改编题]如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9 m，眼睛与地面的距离为1.6 m，那么这棵树的高度大约为( ≈1.73)( )
A．5.2 m B．6.8 m
C．9.4 m D．17.2 m
B
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10．如图，学校的保管室有一架5 m长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45°.如果梯子底端O固定不变，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB为__________m(结果保留根号)．
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11．[2023·杭州中考]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则 ＝( )
D
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12．[2023·吕梁月考]在△ABC中，∠A与∠B都是锐角，且满足等式 ＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
【点拨】由题意得sin A－ ＝0，tan B－ ＝0，
∴sin A＝ ，tan B＝ ，∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－30°＝90°.
∴△ABC是直角三角形．故答案为B.
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B
13. [科学素质][新情境题]随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏＋”项目正在逐步走进我们的生活．光伏发电可以为我们提供清洁能源，从而减少污染和能源消耗(图①)．如图②，长BC＝8 m、宽为1.5 m的太阳能电池板与水平面的夹角为30°，经过太阳光的正投影，它在水平面所形成
的阴影的面积为________．
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14．计算：
(1)sin 30°＋cos260°－tan 45°＋ tan 30°；
(2)2sin 45°－|1－ |－ ＋(2 025－π)0.
原式＝2× －1)－9＋1＝ － ＋1－9＋1＝－7.
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15. [创新题][推理能力]我们知道了30°，45°和60°这三个特殊角的三角函数值，让我们一起尝试探究15°角的正切值吧！
方法一：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.
步骤 操作方法 具体过程
步骤一 在含30°角的直角三角形中构造15°角； 延长CB到点D，使BD＝BA，连接AD.可以找到15°的角有：____________.
步骤二 找到含有15°角的直角三角形，并用未知数表示15°角的对边与邻边； 在Rt△______中，设AC＝m，那么BC＝______，BD＝________，那么CD＝________．(用含m的代数式表示)
步骤三 计算15°角的正切值. 计算：tan 15°＝________.
∠D，∠DAB
ACD
2m
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方法二：如图②，在等腰三角形EFG中，EF＝EG，∠FEG＝30°.
步骤 操作方法 具体过程
步骤
一 在顶角为30°的等腰三角形中构造15°角； 过点E作EH⊥FG，垂足为H，过点G作GP⊥EF，垂足为P.可以找到15°的角有：_________________________.
步骤
二 找到含有15°角的直角三角形，并表示15°角的对边与邻边； (请自己写出具体过程)
步骤
三 计算15°角的
正切值. (请自己写出具体过程)
∠FEH，∠GEH，∠FGP
在Rt△FPG中，设PG＝n，则EG＝2n，EP＝ n，∵EF＝EG，∴EF＝2n，∴FP＝(2－ )n.
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第一章 直角三角形的边角关系
全章整合与提升
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1．[2023·山西实验中学一模]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下列式子正确的是( )
A．sin A＝
B．tan A＝
C．cos B＝
D．tan B＝
A
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2．[2023·乐山中考]我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin θ＝( )
B
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3．[2023·阳泉月考]如图，在△ABC中，sin B＝ ，AB＝6，AC＝2 ，则cos C为________．
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4．[2023·连云港中考]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，AC＝4，OE＝2.求OD的长及tan∠EDO的值．
解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC＝2AO.
∵AC＝4，∴AO＝2.
在Rt△AOD中，∵E为AD的中点，∴OE＝ AD.
∵OE＝2.∴AD＝4.
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5．计算：
(1)[2023·常德中考]1－
(2)3tan 30°＋cos2 45°－(－2)－1－|－cos 60°|.
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6. [原创题][跨学科综合题]如图①是神秘的北纬30°线的示意图，它有着无数的自然及文明之谜，贯穿了四大文明古国，既有许多奇妙的自然景观，又存在着许多令人难解的神秘、怪异现象，多个国家的河流在这一纬度线入海．图②中OA是地球半径，AB是北纬30°线所在圆的半径，已知地球半径约为6 400 km，∠A
＝30°，求北纬30°线的长约为多少千米．
解：在Rt△ABO中， ＝cos A，
∴AB＝OA·cos A≈6 400×cos 30°＝6 400× ＝3 200 (km)，
∴2π·AB≈6 400 π km.
答：北纬30°线的长约为6 400 π km.
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7．[2023·吕梁一模]在交城县的卦山群峰中，位于中央的小山峰上屹立着一座白塔，它在卦山诸多名胜中最引人注目．某数学小组为测量白塔的高度，在A处(如图)测得塔顶C的仰角为45°，然后沿着斜坡AB前进13米到达B处，在B处测得到塔脚的距离BD＝15米，已知tan ∠BAE＝ ，∠E＝90°，
求白塔的高度CD.
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解：过点B作BF⊥AE于F，依题意，得AB＝13米，四边形BDEF是矩形，∠CAE＝45°，∴EF＝BD＝15米，BF＝DE.
在Rt△BAF中，tan ∠BAF＝ 设BF＝5k米，则AF＝12k米，
∴AB＝ ＝13k米．∵AB＝13米，∴k＝1. ∴AF＝12米，
BF＝5米，∴DE＝BF＝5米，AE＝AF＋EF＝12＋15＝27(米)．
在Rt△ACE中，AE＝ ＝27(米)，
∴CE＝AE·tan ∠CAE＝27米．
∴CD＝CE－DE＝27－5＝22(米)．
答：白塔CD的高度为22米．
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8. [数形结合思想][2023·运城月考]如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝ ，BC＝6.
(1)求△ABC的面积；
解：(1)过点A作AH⊥BC于点H，如图，
则∠AHB＝∠AHC＝90°.在Rt△ABH中，∠B＝45°，
∴∠BAH＝45°，∴AH＝BH.设AH＝x，则BH＝x，
在Rt△AHC中，tan C＝ ，∴HC＝2x.
∵BC＝6，∴x＋2x＝6，解得x＝2，即AH＝2，
∴S△ABC＝ ·BC·AH＝6.
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8. [数形结合思想][2023·运城月考]如图，已知△ABC中，∠B＝45°，tan C＝ ，BC＝6.
(2)AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.求DE的长．
由(1)得AH＝2，CH＝4，在Rt△AHC中，
AC＝ ∵DE垂直平分AC，
∴ED⊥AC，CD＝
在Rt△EDC中，tan C＝
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9. [立德树人·家国情怀][方程思想]为了维护海洋权益，我国两艘海监船在我国某岛东西海岸线上的A，B两处巡逻，同时发现一艘不明船只停在C处海域．如图所示，AB＝60( )海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，在A处测得C在北偏西30°的方向上，分别求出A与C及B与C的距离．(结果保留根号)
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解：由题意得∠CBA＝90°－45°＝45°，∠CAB＝90°－30°＝60°.
如图，过点C作CE⊥AB于点E.设CE＝x海里，在Rt△CBE中，
∠CBE＝45°，∴易得BE＝CE＝x海里．在Rt△CAE中，
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10．在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10 ，AC＝5 ，
则△ABC的面积是__________．
75或25
【思路点睛】本题没有图，在画图的过程中，注意要进行分类讨论．
【点拨】如图①，当△ABC为锐角三角形时，作AD⊥BC于D.
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝10，BD＝AB·cos B＝10，在Rt△ACD中，
AD＝10，AC＝5 ，∴CD＝ ＝5，∴BC＝BD＋CD＝15，
∴S△ABC＝ BC·AD＝ ×15×10＝75.如图②，当△ABC为钝角三角形时，
作AE⊥BC交BC的延长线于E.同理可得AE＝10，BE＝10，CE＝5，∴BC＝
BE－CE＝5，∴S△ABC＝ BC·AE＝ ×5×10＝25.故答案为75或25.
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