第五章 相交线与平行线 达标检测
一、单选题：
1．下图中的四个图形中，能由图经过一次平移得到的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形平移的特点进行判断即可.
【详解】A、B、D选项的图形都不能由原图经过一次平移得到，
C选项的图形都能由原图经过一次平移得到.
故选C.
【点睛】本题考点：图形的平移.
2．如图，下列判断中错误的是（ ）
A．∠A+∠ADC= 180° 所以ABCD B．∠l=∠2，所以ADBC
C．ABCD，所以∠ABC+∠C= 180° D．ADBC，所以∠3=∠4
【答案】D
【分析】根据平行线的判定和性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵∠A＋∠ADC＝180°，
∴ABCD，不符合题意；
B、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，不符合题意；
C、∵ABCD，
∴∠ABC+∠C= 180°，不符合题意
D.∵ABCD，
∴∠1=∠2，得不到∠3=∠4，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行；平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
3．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐 ，第二次向右拐
B．第一次向左拐 ，第二次向右拐
C．第一次向左拐 ，第二次向右拐
D．第一次向左拐 ，第二次向左拐
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，由图可知，第一次向左拐，要使最后行驶方向与原来相反，则第二次也要向左拐，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】如图，第一次向左拐，要使最后行驶方向与原来相反，则第二次也要向左拐，
∵∠1+∠3=180°，∠2=∠3，
∴∠1+∠2=180°，
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练地掌握平行线的性质是解题的关键．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【分析】首先根据角的平分线的定义求得∠BON，然后根据对顶角相等求得∠MOC，然后根据∠AOM＝90°﹣∠COM即可求解．
【详解】∵OE平分∠BON，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠COM＝∠BON＝40°，
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠COM＝90°﹣40°＝50°．
故选B．
【点睛】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义以及对顶角的性质，正确求得∠MOC的度数是关键．
5．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，推出，进而得到，即可求出的度数．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴
∴
∵
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．如图所示，，，下列说法不正确的是（ ）
A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解；A、点B到AC的垂线段是线段AB，正确；
B、点C到AB的垂线段是线段AC，正确；
C、线段AD是点A到BC的垂线段，故错误；
D、线段BD是点B到AD的垂线段，正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对点到直线距离概念的理解和掌握，解决本题的关键是明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
7．如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是( )
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
【分析】由∠A与∠B的两边分别平行，即可得∠A与∠B相等或互补，然后分两种情况，分别从∠A与∠B相等或互补去分析，即可求得∠A的度数．
【详解】解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A与∠B相等或互补．
分两种情况：
①如图1，
当∠A+∠B=180°时，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=126°；
②如图2，
当∠A=∠B，∠A=3∠B-36°，
解得：∠A=18°．
所以∠A=18°或126°．
故选：C．
【点睛】此题考查的是平行线的性质，如果两角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．此题还考查了方程组的解法．解题要注意列出准确的方程组．
8．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是( )
A．∠A＝∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F＝180°
C．∠A﹣∠E+∠C+∠F＝90° D．∠A+∠E+∠C+∠F＝360°
【答案】B
【分析】延长AE、FC交于点G，过G作GH//CD，根据AB//GH得∠A+∠AGH=180°，根据GH//CD得∠FCD=∠FGH，由外角性质的∠AEF=∠AGH+∠FGH+∠F，根据等量关系整理即可的结论.
【详解】延长AE、FC交于点G，过G作GH//CD，
∵AB//CD，GH//CD，
∴AB//GH//CD，
∴∠A+∠AGH=180°，∠F=∠FCD，
∴∠AEF=∠AGH+∠FGH+∠F=180°-∠A+∠FCD+∠F，
整理得：∠A+∠AEF-∠FCD-∠F=180°，
故选B.
【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；熟练掌握平行线性质并正确作出辅助线是解题关键.
9．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48 B．42 C．40 D．24
【答案】A
【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出OE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE-DO=10-4=6，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE） BE=（10+6）×6=48，
故选：A.
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
10．如图，点在线段上，点、分别在线段、的延长线上，平分交于点，且，．则图中与相等的角有（ ）．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】B
【分析】由对顶角相等和同旁内角互补，两直线平行可以证得EC∥BF，则同位角∠ECD=∠F，结合已知条件，角平分线的定义，可以证得DG∥CE，根据平行线的性质得出结论即可.
【详解】解：∵，
∴
∴EC∥BF
∴，
又∵CE平分∠ACB
∴
∵
∴
∴DG∥CE
∴
∴
故选B.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键.
二、填空题：
11．如图，将周长为18cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 cm．
【答案】1.5．
【分析】由平移可知四边形ABFD的周长=△ABC+AD+CF，根据平移可知AD=CF.
【详解】解：由题意可知AD=CF，均为平移的距离，则AD=(21-18)=1.5cm，
故答案为1.5cm.
【点睛】本题考查了平移的概念.
12．将一副透明的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠CAD= ．
【答案】15°.
【分析】由于图形由一副三角板组成，则∠C=30°，∠EAD=45°，由AE∥BC，根据平行线的性质得到∠EAC=∠C=30°，然后利用∠CAD=∠EAD-∠EAC进行计算即可．
【详解】∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C=30°，
而∠EAD=45°，
∴∠CAD=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°．
故答案为15．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
13．小丽把一块含30°角的直角三角尺摆成如图所示的造型，其中角的顶点B，C分别在直线a，b上，若a∥b，∠1=55°则∠2= ，∠3= ．
【答案】 125° 145°
【分析】利用平角的定义计算出∠4，然后利用互补计算∠3的度数．
【详解】如图，
∵a∥b，
∴∠1+∠5=180°，∠3+∠1=180°，
∴∠5=180°-55°=125°，
∴∠2=∠5=125°，
∵∠4=180°-90°-55°=35°，
∴∠3=180°-35°=145°．
故答案为125°，145°．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC= ，∠2= ．
【答案】 153° 54°
【分析】由垂线的定义和角平分线的定义即可得出结果．
【详解】∵OF⊥OC，∴∠DOF=∠COF=90°．
∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1．
∵∠1与∠3的度数之比为3：4，∴∠AOD：∠3=3：2．
∵∠3+∠AOD=90°，∴∠3=36°，∠AOD=54°，∴∠2=∠AOD=54°，∠1∠AOD=27°，∴∠EOC=180°－∠1=180°－27°=153°．
故答案为153°，54°．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线定义，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．如图所示，点E在AC的延长线上，有下列条件∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠A=∠DCE，④∠D=∠DCE，⑤∠A+∠ABD=180°，⑥∠A+∠ACD=180°，其中能判断AB∥CD的是 ．
【答案】①③⑥
【分析】根据同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行可以进行判定.
【详解】①正确,根据内错角相等,两直线平行,若∠1=∠2,则AB∥CD,
②错误, 根据内错角相等,两直线平行,若∠3=∠4,则BD//AC,不能判定AB∥CD,
③正确, 根据同位角相等,两直线平行,若∠A=∠DCE,则AB∥CD,
④错误,根据内错角相等,两直线平行,若∠D=∠DCE则BD//AC,不能判定AB∥CD,
⑤错误, 根据同旁内角互补,两直线平行, 若∠A+∠ABD=180°, 则BD//AC,不能判定AB∥CD,
⑥正确,根据同旁内角互补,两直线平行, 若∠A+∠ACD=180°,则AB∥CD,
所以正确的有①③⑥,
故答案为 ①③⑥.
【点睛】本题主要考查直线平行判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握两直线平行的判定定理.
16．如图，已知，垂足分别为E，F．若，则AD与BC之间的距离是 ．
【答案】5
【解析】略
17．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意，设，则，构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知：，
∵，
，
∵，
∴设，则，
，
，
，
，
故答案为：．
18．如图，，，．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】略
三、解答题：
19．如图，的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上，请将先向下平移三个单位长度后再向右平移四个单位长度后得到．
(1)画出平移后的图形；
(2)在（1）的条件下，连接、，直接写出三角形的面积为______．
【答案】(1)作图见解析；
(2)的面积为．
【分析】（）根据平移的性质作图即可；
（）利用三角形面积公式计算即可；
此题考查了作图——平移，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图，
的面积为．
20．填空完成推理过程：
如图，直线，交于点，，，．求证：．
证明：∵（已知），
∴（____________）．
∵（已知），
∴______（等量代换）．
∵（已知），
∴（等式的性质），
即，
∴______（等量代换），
∴（____________）．
【答案】两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质与判定完成填空即可求解．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等；）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等式的性质），
即，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21．如图，AB∥CD，直线F分别与AB、CD交于点G，H，GM⊥EF，HN⊥EF，交AB于点N，∠1=50°．
（1）求∠2的度数；
（2）求∠HNG的度数．
【答案】（1）50°；（2）40°.
【分析】（1）利用平行线的性质，求∠2的度数.(2)利用平行线的性质和互余求角.
【详解】（1）∵AB∥CD，
∴∠EHD=∠1=50°，
∴∠2=∠EHD=50°；
（2）∵HN⊥EF，
∴∠NHG=90°
∵∠NGH=∠1=50°，
∴∠HNG=90°﹣50°=40°．
【点睛】：平行线的判定定理
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
平行线的性质定理：
（1）两直线平行，同位角相等.
（2）两直线平行，内错角相等.
（3）两直线平行，同旁内角互补.
平面几何中，判定定理和性质定理是成对出现的，定义也可以作为判定定理使用.
22．如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．
【答案】∠N=∠M
【分析】过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，由平行线的性质可得∠BMD=ABM+∠CDM，∠BND=∠ABN+∠CDN，再根据角平分线的性质，即可得到∠BMD和∠BND的关系．
【详解】解：∠BMD=2∠BND．理由如下：
过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，
又∵AB∥CD，
∴ME∥CD，NF∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
∴∠ABM=∠BME，∠CDM=∠DME（两直线平行，内错角相等），
∴∠BMD=∠BME+∠DME=∠ABM+∠CDM．
同理可得：∠BND=∠ABN+∠CDN．
∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，
∴∠ABM=2∠ABN，∠CDM=2∠CDN（角平分线定义）
∴∠BMD=2∠BND．即∠N=∠M
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
23．如图1，点P为直线AB、CD内部一点，连接PE、PF，∠P=∠BEP+∠PFD．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，点G为AB上一点，连接GP并延长交CD于点H，若∠PHF=∠EPF，过点G作GK⊥EP于点K，求证：∠PFH十∠PGK=90；
(3)如图3，在(2)的条件下，PQ平分∠EPF，连接QH，∠FPH=∠PFH+∠EPQ，当∠PHQ=2∠GPE时，∠QHC=∠QPF-10，求∠Q的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10°
【详解】分析：（1）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质，得到∠BEP=APE，然后根据三角形的外角的得到∠MPF=∠PFD，再根据平行线的判定证明；
（2）类似于（1），过点P作PN∥KG，根据平行线的判定与性质证明；
（3）根据角平分线的性质，设∠EPQ=∠QPF=，∠MPF=∠PFH=β，得到∠QHC=°，然后根据平行线的性质，得到∠FPH=2α+2β与∠MPH=2α+3β，然后根据三角形的内角和得2α+3β+2α=180°，进而得出∠PHQ=2α-（α-10°）=α+10°，然后根据角平分线的性质得到α+5°=β，再过点Q作QK∥GH，根据平行线的性质求解.
∴∠KQP=GPQ=50°，∠KQH=∠PHQ=40°
∴∠Q=10°．
详解：(1)证明：过点P作PM∥AB
∴∠BEP=APE．
∵∠EPF=∠BEP+∠PFD
∴∠MPF=∠PFD．
∴PM∥CD
∴AB∥CD．
（2）∵PM∥AB
∴∠MPG=∠PHF
∵∠PHF=∠EPF
∴∠MPG=∠EPF
∴∠MPF=∠GPK．
∵MP∥CD
∴∠MPF=∠∠PFH
∴∠PFH=∠GPK
∵GK⊥PE
∴∠GKE=90°
过点P作PN∥KG
∴∠NPK=∠GKE=90°，∠KGP=∠GPN
∴∠GPK+∠GPN=90°
∴∠PFH+∠PGK=90°．
（3）∵PQ平分∠EPF
设∴∠EPQ=∠QPF=
∵∠QHC=∠QPF-10°
∴∠QHC=°
∵PM∥CD
∴设∠MPF=∠PFH=β，∠MPH+∠PHF=180°
∵∠FPH=∠PFH+∠EPQ
∴∠FPH=β+α
∴∠FPH=2α+2β．
∴∠MPH=2α+3β
∵∠PHC=∠EPF=2α
∴2α+3β+2α=180°．
∵∠QHC=α-10°
∴∠PHQ=2α-（α-10°）=α+10°
∵∠PHQ=2∠GPE
∴∠GPE=∠PHQ=α+5°
由（2）得，∠EPG=∠MPF
即 α+5°=β
∴α=30°，β=20°．
∴∠QHP=40°
过点Q作QK∥GH
∴∠KQP=GPQ=50°，∠KQH=∠PHQ=40°
∴∠Q=10°．
点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，通过添加辅助线，综合利用平行线的性质和判定解题是关键.第五章 相交线与平行线 达标检测试题
一、单选题：
1．下图中的四个图形中，能由图经过一次平移得到的是( )
A． B． C． D．
2．如图，下列判断中错误的是（ ）
A．∠A+∠ADC= 180° 所以ABCD B．∠l=∠2，所以ADBC
C．ABCD，所以∠ABC+∠C= 180° D．ADBC，所以∠3=∠4
3．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐 ，第二次向右拐
B．第一次向左拐 ，第二次向右拐
C．第一次向左拐 ，第二次向右拐
D．第一次向左拐 ，第二次向左拐
4．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，，，下列说法不正确的是（ ）
A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段
7．如果与的两边分别平行，比的3倍少，则的度数是( )
A． B． C．或 D．以上都不对
8．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是( )
A．∠A＝∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F＝180°
C．∠A﹣∠E+∠C+∠F＝90° D．∠A+∠E+∠C+∠F＝360°
9．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48 B．42 C．40 D．24
10．如图，点在线段上，点、分别在线段、的延长线上，平分交于点，且，．则图中与相等的角有（ ）．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题：
11．如图，将周长为18cm的△ABC沿BC平移得到△DEF．平移后，如果四边形ABFD的周长是21cm，那么平移的距离是 cm．
12．将一副透明的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠CAD= ．
13．小丽把一块含30°角的直角三角尺摆成如图所示的造型，其中角的顶点B，C分别在直线a，b上，若a∥b，∠1=55°则∠2= ，∠3= ．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，∠1与∠3的度数之比为3：4，则∠EOC= ，∠2= ．
15．如图所示，点E在AC的延长线上，有下列条件∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠A=∠DCE，④∠D=∠DCE，⑤∠A+∠ABD=180°，⑥∠A+∠ACD=180°，其中能判断AB∥CD的是 ．
16．如图，已知，垂足分别为E，F．若，则AD与BC之间的距离是 ．
17．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ．
18．如图，，，．若，则的度数为 ．
三、解答题：
19．如图，的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上，请将先向下平移三个单位长度后再向右平移四个单位长度后得到．
(1)画出平移后的图形；
(2)在（1）的条件下，连接、，直接写出三角形的面积为______．
20．填空完成推理过程：
如图，直线，交于点，，，．求证：．
证明：∵（已知），
∴（____________）．
∵（已知），
∴______（等量代换）．
∵（已知），
∴（等式的性质），
即，
∴______（等量代换），
∴（____________）．
21．如图，AB∥CD，直线F分别与AB、CD交于点G，H，GM⊥EF，HN⊥EF，交AB于点N，∠1=50°．
（1）求∠2的度数；
（2）求∠HNG的度数．
22．如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？请说明理由．
23．如图1，点P为直线AB、CD内部一点，连接PE、PF，∠P=∠BEP+∠PFD．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2，点G为AB上一点，连接GP并延长交CD于点H，若∠PHF=∠EPF，过点G作GK⊥EP于点K，求证：∠PFH十∠PGK=90；
(3)如图3，在(2)的条件下，PQ平分∠EPF，连接QH，∠FPH=∠PFH+∠EPQ，当∠PHQ=2∠GPE时，∠QHC=∠QPF-10，求∠Q的度数．
