第二章 二次函数 有关二次函数的最值问题 练习 北师大版数学九年级下册（含答案解析）
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| 名称 | 第二章 二次函数 有关二次函数的最值问题 练习 北师大版数学九年级下册（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 165.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-12 17:42:21 | ||
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文档简介
有关二次函数的最值问题
一．选择题（共10小题）
1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（ ）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣
9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大 C．y1最小，y4最大 D．无法确定
二．填空题（共10小题）
11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是 ．
14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是 ，最大值是 ．
15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为 ．
16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝ ．
17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为 ．
18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ．
19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝ ．
20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}＝ ，max{0，3}＝ ；
（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 n …
（1）表中n的值为 ；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c＝1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．
二次函数的最值精选题41道
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．
2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；
当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．
3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，
解得：h＝5或h＝1（舍）；
③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为﹣1或5，故选：B．
4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC BC﹣PC CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．
∵1＞0，∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（ ）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．
又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．
故选：C．
7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，
∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4，
设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m
解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4，
设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）
∴＝﹣2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣
解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．
9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．
10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大 D．无法确定
解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 s≥9 ．
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．
12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ 9 ．
解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是 ﹣1.5或 ．
解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．
14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是 1 ，最大值是 9 ．
解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1
∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：ymax＝9，当x＝﹣1时，ymin＝1．故答案为1，9．
15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为 ﹣2或 ．
解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上，
当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；
当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1，
∴m＝±，∴m＝；
当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意，
故答案为：﹣2或．
16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝ ﹣5 ．
解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到 3＝﹣（x+3）2+5，解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．
17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为 1 ．
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．
18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ﹣4或2 ．
解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∵＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为﹣4或2．
19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝ 1 ．
解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，
∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，
∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．
20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是 0 ．
解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．
∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）
＝x2﹣11x+24＝﹣，
∴当x≤ 时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．
故答案为：0．
三．解答题（共5小题）
21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}＝ 5 ，max{0，3}＝ 3 ；
（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．
解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．
（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．
（3）联立两函数解析式成方程组，
，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．
画出直线y＝﹣x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．
（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 n …
（1）表中n的值为 5 ；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，
∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；
（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；
（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，
∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵m＜m+1，∴y1＜y2．
25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c＝1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．
解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．
又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．
又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．
若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；
L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．
在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；
在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．
又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．
（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+c，
y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，
当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；
当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；
∴c＝﹣或2．
当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝，
∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．
一．选择题（共10小题）
1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（ ）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣
9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大 C．y1最小，y4最大 D．无法确定
二．填空题（共10小题）
11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 ．
12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ ．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是 ．
14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是 ，最大值是 ．
15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为 ．
16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝ ．
17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为 ．
18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ．
19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝ ．
20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是 ．
三．解答题（共5小题）
21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}＝ ，max{0，3}＝ ；
（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 n …
（1）表中n的值为 ；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c＝1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．
二次函数的最值精选题41道
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或 C．2或 D．2或或
解：二次函数的对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，
解得m＝﹣，m＝（舍去）；
③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，
综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．
2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；
当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．
3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，
解得：h＝5或h＝1（舍）；
③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为﹣1或5，故选：B．
4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC BC﹣PC CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．
∵1＞0，∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（ ）
A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．
又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．
故选：C．
7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，
∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4，
设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m
解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4，
设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）
∴＝﹣2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．
8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣
解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝﹣，不合题意，舍去；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±，
∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．
综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．
9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
A．3 B．﹣3或 C．3或﹣ D．﹣3或﹣
解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．
10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）
A．y3最小，y1最大 B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大 D．无法确定
解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是 s≥9 ．
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，
代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．
12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝ 9 ．
解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），
当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．
如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．
则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是 ﹣1.5或 ．
解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上，
当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；
当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；
当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．
14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是 1 ，最大值是 9 ．
解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1
∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：ymax＝9，当x＝﹣1时，ymin＝1．故答案为1，9．
15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，则m的值为 ﹣2或 ．
解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上，
当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；
当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1，
∴m＝±，∴m＝；
当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意，
故答案为：﹣2或．
16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝ ﹣5 ．
解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到 3＝﹣（x+3）2+5，解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．
17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为 1 ．
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．
18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是 ﹣4或2 ．
解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
∵＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为﹣4或2．
19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝ 1 ．
解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，
∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，
∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．
20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是 0 ．
解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．
∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）
＝x2﹣11x+24＝﹣，
∴当x≤ 时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．
故答案为：0．
三．解答题（共5小题）
21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}＝ 5 ，max{0，3}＝ 3 ；
（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；
（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．
解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．
（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．
（3）联立两函数解析式成方程组，
，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．
画出直线y＝﹣x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．
解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，
∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，
∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；
②a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大，
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；
（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2，
∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，
∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；
②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4，
∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；
③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4，
m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；
④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3，
m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；
综上，t的值为﹣1或2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴，∴，
∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．
（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．
当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 n …
（1）表中n的值为 5 ；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2，
∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；
（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；
（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，
∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵m＜m+1，∴y1＜y2．
25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c＝1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．
解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．
又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．
又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．
若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；
L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．
在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；
在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．
又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．
（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+c，
y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，
当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；
当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；
∴c＝﹣或2．
当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝，
∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．