2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用 同步练习题（含解析）

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用精选题
一、单选题
1．已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．142857被称为世界上最神秘的数字，，所得结果是这些数字反复出现，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．设是定义在R上的奇函数，其导函数为，且也是奇函数，当，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C． D．（）
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若不等式在上恒成立，e是自然对数的底数，则实数的取值范围是 ．
13．若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
14．已知函数及其导函数的图象如图所示，若函数在上恰有3个不同的零点，且，则= .
四、解答题
15．已知函数，，．
(1)求的极值；
(2)若与的图象有两个交点，求实数的取值范围．
16．已知函数，．
(1)若函数在点处的切线过原点，求实数a的值；
(2)若，求函数在区间上的最大值．
17．已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
18．已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴．
(1)求的解析式和单调区间；
(2)保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围．
19．已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】求出函数的导数，由题意可得在上有变号零点，即可分离参数，利用换元法，结合二次方程的判别式以及二次函数的性质，即可求得a的物质范围.
【详解】函数的定义域为，且，
由于函数存在极值点，即在上有变号零点，
由，得，
令，则，则a的取值范围为在上的值域，
且需满足的，即；
对于，当时，，
故，即实数的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点睛：本题考查了导数的应用，根据函数存在极值点求参数的范围，解答的关键是求导后，将原问题转化为在上有变号零点的问题，继而参变分离，结合二次方程以及二次函数的性质即可求解.
2．A
【分析】根据导数的几何意义结合基本不等式求解即可.
【详解】，
因为函数在点处的切线与直线垂直，
所以，即，则不可能同时为负数，
当或时，，
当时，，
当时，，
当且仅当时，取等号，
综上所述，的最大值为.
故选：A.
3．A
【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得出，构造函数，利用函数的单调性，即可判断出，从而得出结果.
【详解】由，得到，又，所以，
所以，，又，
所以，又，得到，
令，则，所以，
得到，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，当时，，
得到在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，所以，得到，
故选：A.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断的大小，通过构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数的单调性，即可求出结果.
4．D
【分析】设，利用导数研究函数的单调性可得，结合可得，则；由得，进而，即可求解.
【详解】由题意知，，
设，，
当时，单调递增，
所以，所以.
因为，所以，
得，所以，即；
由，得，所以，即，
所以，即.
综上.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
常用的不等式： ，，
，，.
5．B
【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】令，得，代入曲线，
所以的最小值即为点到直线的距离.
故选：B.
6．A
【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.
7．B
【分析】由是奇函数推导的图象关于轴对称，进而推出函数的周期为4，进一步求出a值即可求解.
【详解】因为是定义域为R的奇函数，
所以，，．
因为当，，所以，从而．
因为是奇函数，则
则，
令，则，得，即，
故的图象关于轴对称，因此有，
且，从而有，
所以，故是周期为4的周期函数，
又因为，所以，
所以，
故选：B．
8．B
【分析】利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为，所以，所以切点为，又，
由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
故选：B
9．BC
【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10．ABD
【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【详解】因为，
所以，即，
令，得，故A正确；
因为，
当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，
即，又，
所以，所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，
所以有，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列.
11．BC
【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项正确；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误.
故选：BC.
12．
【分析】将不等式化为，即得，讨论的取值范围，当时，构造函数，利用函数单调性可得，化为，继而再构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
所以，即,
①若，则，而，符合题意；
②若，令，则在恒成立，
∴在单调递增，又，，，
∴由，得；
由在恒成立，则可化为，
令，，
当时，；当时，，
在单调递减，单调递增，
∴，即有．综上：，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合的结构特点，合理变形为，即而化为，从而可采用构造函数的方法，利用导数即可求解问题.
13．
【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有，设，
所以函数在点A处的切线方程为，
所以原点O到点A处切线的距离为，
因为，
所以
当且仅当时等号成立，
因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行，
所以，即在A，B两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍.
14．/
【分析】根据给定的图象，结合导数可得在上递增，由此求出，借助最大值点求出，再作出在上的图象，数形结合求解即得.
【详解】因为在区间上，两个函数图象均为正值，则原函数在区间上单调递增，
因此最大值为的函数图象是原函数的图象，
由及，得，解得，
于是，由，得，即，，
而，则，因此，
依题意，在上的图象与直线有3个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，
观察图象知，，，所以.
故答案为：
15．(1)极大值为1，无极小值
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的正负判断函数的单调性，即可求得答案；
（2）与的图象有两个交点，即方程有两个根，从而构造函数，求出其导数，利用导数确定其最大值，从而求出a的范围，继而结合零点存在定理验证适合题意，即可确定答案.
【详解】（1）由题意得，
令，得，当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
故时函数取到极大值，极大值为，无极小值；
（2）由题意与的图象有两个交点，即有两个根，
即方程有两个根，
令，，
令，
①若，即，则在上单调递增，
至多有一个零点，不满足题意；
②若，在上单调递减，
当时，，
令，得，故当时，，
当时，，令，得，
故当时，，
所以在上存在唯一零点，且，
当时，，当时，，
故时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，即，
故，
要使得有两个零点，则必有，即，
由于，此时，得；
下证时，有两个零点，
因为，由（1）知恒成立，
故，仅当时取等号，
所以，
故在和上各有一个零点，
综上，当时，有两个零点，即与的图象有两个交点.
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求解函数极值以及根据图象交点求参数的范围，综合性强，难度较大，难点在于（2）中，将函数图象的交点问题转化为方程有两个根后，要连续构造函数，利用导数的知识，解决问题，计算十分复杂，计算量大，需要有明确的解析思路和较强的计算能力.
16．(1)
(2)
【分析】（1）代入求出切点，求导，利用导数的意义求斜率，再由点斜式写出直线方程求出；
（2）求导，分析单调性，求出最值即可.
【详解】（1）切点，，．
切线过，
∴，∴．
（2），，
，或3，
则当或时，,当时，,
在上为减，在为增，
，，∴．
17．(1)；
(2)时，单调递减区间为，单调递增区间为;
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案;
（2）求出函数的导数，讨论k的取值范围，确定导数的正负，即可求得的单调区间；
（3）由于不等式可变为，所以可构造函数，利用（2）的结论可证明故该函数为上的增函数，利用函数的单调性，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，
故在处的切线斜率为，而，
所以在处的切线方程为，即.
（2）由题意得，则，
令，即，
令，即，
时，单调递减区间为,单调递增区间为.
（3）证明：由（2）可知，当时，在上单调递增，而，
即在上恒成立，故在上单调递增，
设，则，
因为，则，故，
所以在上单调递增，而，
则，即，而，
故，即.
【点睛】关键点点睛：证明不等式时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为可变形为，由此可构造函数，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.
18．(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据周期性求出，再结合对称轴处的特殊值和的范围，可求出，从而求出解析式，利用整体代换来求单调区间即可；
（2）利用三角函数的伸缩平移变换，可求出的解析式，再利用整体代换和数形结合的思想来求的范围.
【详解】（1）由题设条件知的最小正周期，所以．
又因为，，所以，．
令，得的单调递增区间为，
令，得的单调递减区间为．
（2）由题可知，
所以当时，．
若在区间恰有两个极值点，
则在区间恰有两个极值点，
因此，解得的取值范围是．
19．(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间.
（2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.
（3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.
【详解】（1）函数定义域为，求导得，
设，则，
①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减；
②当时，有两个零点，
则当或时，，即；当时，，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的递减区间为；
当时，的递减区间为，递增区间为.
（2）由（1）知，当时，时，，
则，令，
于是，
，
所以.
（3）函数，
由于与同号，则只有一个零点，
令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，
由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意；
当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得，
由， 则，由（2）知，当时，，
则，即，
因此，
由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，
显然，
而，则，于是当时，存在三个不同的零点，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
答案第1页，共2页