新人教A版必修第二册2024春高中数学第10章概率 章末综合测评（含解析）

章末综合测评(五)　概率
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：
满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)
A．　B．　C．　D．
3．(2022·四川泸州叙永一中期中)在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数：
192　907　966　925　271　932　812
458　569　683　257　393　127　556
488　730　113　537　989　431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为(　　)
A．0.25 　B．0.4　C．0.6　D．0.75
4．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的28 730人中随机抽取20人，测得他们的身高分别为(单位：cm) ：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150、151、152、160、165、164、179、149、158、159、175，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之间的概率为(　　)
A．　B．　C．　D．
5．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A．　B．　C．　D．
6．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为的是(　　)
A．颜色相同　 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同　 D．无红球
7．(2022·山东济宁育才中学月考)坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用A1表示“第一次取得白球”，A2表示“第二次取得白球”，则A1和A2是(　　)
A．互斥的事件　 B．相互独立的事件
C．对立的事件　 D．不相互独立的事件
8．在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是(　　)
A．　B．　C．　D．
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法中正确的有(　　)
A．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖
B．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的
C．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
D．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
10．(2022·广雅附中、广州外国语、铁一中学联考)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　　)
A．P(B)＝　 B．P(A∩B)＝0
C．P(B∩C)＝　 D．P(A∪B)＝
11．(2022·武汉十四中月考)某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是(　　)
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
12．去年“国庆节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是(　　)
A．这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80 km/h的概率为0.35
C．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为
D．若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60，65)内的概率为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·甘肃甘南期末)从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为________．
15．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品．从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为________．
16．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5分的概率．
18．(本小题满分12分)(2022·山东威海期末)某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为.若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．
(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；
(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1 100元的概率．
19．(本小题满分12分) 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
20．(本小题满分12分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
顾客数/人 x 30 25 y 10
结算时间/(分/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
21．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
22．(本小题满分12分)(2022·华中师大附中期末)某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入(单位：万元)均在区间[4.5，10.5]内，按[4.5，5.5)，[5.5，6.5)，[6.5，7.5)，[7.5，8.5)，[8.5，9.5)，[9.5，10.5]分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1．
(1)求a，b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5)内的概率．
章末综合测评(五)　概率
1．D　[抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为，与第几次抛掷无关．]
2．C　[由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为，由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.]
3．A　[20组数据中，都不含1，2，3，4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989；故三只豚鼠都没被感染的概率为＝0.25．故选A .]
4．B　[根据题意，分析20人的数据可得，身高在155.5 cm－170.5 cm之间的有9人，则在志愿者中任抽取一人身高在155.5 cm－170.5 cm之间的概率为.故选B.]
5．C　[从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，6种情况，故概率为.故选C.]
6．B　[有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为；颜色不全同的结果有24种，其概率为；颜色全不同的结果有6种，其概率为；无红球的结果有8种，其概率为.]
7．D　[设白球编号为1，2，3，黑球的编号为4，5，从坛子中不放回地取球2次，基本事件有20种，P＝＝，＝＝，P≠P，所以A1和A2是不相互独立的事件．
基本事件包括“第1次取到白球，第2次取到白球”，即A1和A2可以同时发生，
所以A1和A2不是互斥，也不是对立事件．
故选D.]
8．A　[当开关合上时，电路畅通，即A至B畅通，且B至C畅通，可求得A至B畅通的概率为1－×＝，B至C畅通的概率为1－，所以电路畅通的概率为.]
9．CD　[根据概率的意义可知CD正确．]
10．ABD　[由题意知A、B、C为互斥事件，∴P(A∩B)＝P(B∩C)＝0，故B正确、C错误；
∵从100件中抽取产品符合古典概型的条件，∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝P，∴A、D正确．故选ABD.]
11．BCD　[∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，两人能否获得满分相互独立，分别记甲、乙得满分的事件为M，N，则P，，M，N独立．
∴两人均获得满分的概率为P＝＝，故A 正确；
两人至少一人获得满分的概率为1－P＝1－(1－P(M))(1－P(N))＝1－，故B错误；
两人恰好只有甲获得满分的概率为P＝P(M)(1－P(N))＝，故C错误；
两人至多一人获得满分的概率为：
1－P，故D 错误．故选BCD.]
12．ABC　[在A中，由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点横坐标对应的值＝77.5，A正确；在B中，车速超过80 km/h的频率为0.05×5＋0.02×5＝0.35，用频率估计概率知B正确；在C中，由题图可知，车速在[60，65)内的车辆数为2，车速在[65，70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为，即车速都在[60，65)内的概率为，故C正确，D错误．故选ABC.]
13．4　[从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种情况，其中(1，2，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，5)中三个数字之和为奇数，共有4种．]
14．　[由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－.]
15．0.21　[设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C，
则，则P＝0.21．]
16．　[法一：甲、乙两球都落入盒子的概率为.甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为；②甲未落入、乙落入的概率为；③甲、乙均落入的概率为.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
法二：甲、乙两球都落入盒子的概率为.甲、乙两球均未落入盒子的概率为，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－.]
17．解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A，事件A包含的基本事件为(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共3个，
由(1)可知，基本事件总数为8，
所以事件A发生的概率为P(A)＝.
18．解：(1)设选手闯第一关成功为事件A，闯第二关成功为事件B，闯第三关成功为事件C，所以，，
设参加活动的选手没有获得奖金为事件M，
所以P.
(2)设选手闯关获得奖金300元为事件E，选手闯关获得奖金800元为事件D，
所以，P，
设两人最后所得奖金总和为1 100元为事件F，
所以，甲、乙两位选手有一人获得800元，一人获得300元，
所以P.
19．解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是，所以样本包含三个地区的个体数量分别是50×＝2．
所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2．
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的．
记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.
20．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本．顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
21．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，
由表中数据可知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6．
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20 ℃，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900．
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．
22．解：(1)由频率分布直方图，可得0.05＋0.12＋a＋b＋0.2＋0.08＝1，则a＋b＝0.55，①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，
所以0.05＋0.12＋a＋(8.1－7.5)×b＝0.6，
则a＋0.6b＝0.43，②
将①与②联立，解得
所以平均值为0.05×5＋0.12×6＋0.25×7＋0.3×8＋0.2×9＋0.08×10＝7.72．
(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5)内，则P＝P＝P＝0.3．
①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5)内”＝ABC，且BC互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P1＝P＝0.3×0.3×(1－0.3)＋0.3×(1－0.3)×0.3＋(1－0.3)×0.3×0.3＝0.189．
②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5)内”＝ABC，由事件独立性定义，得P2＝P＝PPP＝0.3×0.3×0.3＝0.027．
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5)内的概率P＝P1＋P2＝0.189＋0.027＝0.216．