课时分层作业(一) 平面向量的概念
一、选择题
1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
2．若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不可能都是单位向量
D．不可能都是零向量
3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A．＝ B．||＝||
C．＞ D．＜
4．(多选)下列条件，能使a∥b成立的有( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
5．(多选)如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是( )
A．＝ B．∥
C．与共线 D．＝
二、填空题
6．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．
7．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________．
8．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是________．
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
(1)分别找出与相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
10．(多选)在下列结论中，正确的结论为( )
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
11．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是( )
A．与相等的向量只有1个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
12．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为________．
14．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝．
15．如图所示的方格纸中每个小方格的边长为1，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝．
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
课时分层作业(一)
1．C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．故选C．]
2．D [因为所有的零向量都是相等的向量，故选D．]
3．B [||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．]
4．ACD [若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b．故选ACD．]
5．ABC [根据正方形的特征，结合相等向量、平行向量作出判断，只有D是错误的，与只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．]
6．答案 单位圆
7．菱形 [∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．]
8．南偏东30° [如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，
则tan ∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，即南偏东30°．]
9．解 (1)＝＝．
(2)与共线的向量有：．
(3)与模相等的向量有：．
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
10．ACD [若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以ACD正确，B错误．]
11．ABC [由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，因此选项A，B正确；
而在Rt△AOD中，
因为∠ADO＝30°，所以||＝||，
故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选项D不正确．故选ABC．]
12．0 [与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行．]
13． [如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E．
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以||＝||．
因为△ADE∽△BDC，
所以＝＝，
故||＝．]
14．证明 ∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴＝，即CB＝DA．
又＝，∴CN＝MA，CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形，
∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA．
∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN．
又DN∥MB，∴与的模相等且方向相同，
∴＝．
15．解 (1)画出所有的向量，
如图中所示．
(2)由图知，
①当点C位于点C1或C2时，
||取得最小值，为＝；
②当点C位于点C5或C6时，
||取得最大值，为＝．
故||的最大值为，最小值为．课时分层作业(二) 向量的加法运算
一、选择题
1．化简：等于( )
A． B．
C．0 D．
2．正方形ABCD的边长为1，则||为( )
A．1 B．
C．3 D．2
3．在 ABCD中，＝a，＝b，则＝( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
5．(多选)下列各式中，结果为0的是( )
A．
B．()＋
C．
D．
二、填空题
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则||＝________．
7．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列各式，则：
(1)＝________；
(2)＝________．
8．在平行四边形ABCD中，若||＝||，则四边形ABCD是________．
三、解答题
9．是否存在a，b，使|a＋b|＝|a|＝|b|？请画出图形说明．
10．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＝，则下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上
D．P在△ABC的外部
11．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝( )
A． B．
C． D．
12．(多选)若a＝()＋()，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )
A．a∥b B．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
13．已知＝a，|a|＝3，＝b，|b|＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________．
14．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＝0．求证：＝．
15．如图，小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处，此时水流的速度为6 km/h，测得小船正以6 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向．
课时分层作业(二)
1．D [＝＝．]
2．B [在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以||＝||＝．]
3．B [＝＝＝＝b，即＝b．故选B．]
4．B [＝a表示“向东航行1 km”，＝b表示“向北航行 km”，根据三角形法则，
∴＝a＋b，∵tan A＝，
∴A＝60°，且＝＝2(km)，
∴a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km．故选B．]
5．AD [由向量加法的运算法则知A、D的结果为0．]
6．1 [||＝||，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，且||＝1，
∴△ABD为等边三角形，故||＝1，
因此||＝1．]
7．(1) (2) [(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＝．
(2)由题图可知，＝＝＝，
∴＝＝．]
8．矩形 [如图，||＝||，||＝||＝||，∴||＝||．
∴四边形ABCD为矩形．]
9．解 存在，如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC．
由题意知OA＝OB＝OC＝AC，则∠AOC＝∠COB＝60°．
10．D [＝，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外．故选D．]
11．C [以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＝．]
12．AC [∵a＝＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A正确；0＋b＝b，即B错误，C正确；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错误．故选AC．]
13．3 [如图，因为||＝||＝3，
所以四边形OACB为菱形．
连接OC，AB，则OC⊥AB，
设垂足为D．
因为∠AOB＝60°，
所以AB＝||＝3．
所以在Rt△BDC中，CD＝．
所以||＝|a＋b|＝×2＝3．]
14．证明 ∵＝，
＝，
∴＝．
又∵＝0，∴＝．
15．解 设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图，
连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，
则四边形ACBD为平行四边形，
∴就是小船在静水中的速度．
在Rt△BAC中，||＝6，||＝6，
∴||＝||＝＝6，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴tan ∠DAB＝tan ∠ABC＝1，
∴∠DAB＝45°，∠DAC＝135°，
∴小船在静水中的速度为6 km/h，方向与水流方向的夹角为135°．课时分层作业(三) 向量的减法运算
一、选择题
1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝－ D．＝－
2．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
4．(多选)在 ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＝0 B．＝
C．＝ D．＝0
5．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A．()－
B．－()
C．－()－()
D．－
二、填空题
6．四边形ABCD是边长为1的正方形，则||＝________．
7．已知 ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
8．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．
三、解答题
9．(源自苏教版教材)如图，点O是 ABCD的两条对角线的交点，＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝．
10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外＝16，||＝||，则||＝( )
A．8 B．4 C．2 D．1
11．(多选)下列结论正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝
B．若向量＝，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则||＝AB＋BC
12．(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．||＝||
D．||＝||
13．已知菱形ABCD的边长为2，则向量的模为________；||的取值范围是________．
14．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|及△AOB的面积．
15．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
课时分层作业(三)
1．答案 B
2．C [a－b必定与a是平行向量．故选C．]
3．A [＝＝a－b＋c．]
4．ABD [因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＝0，
＝＝＝，
＝＝0，故选ABD．]
5．ABC [选项A中，()－＝＝＝；选项B中，－()＝－0＝；选项C中，－()－()＝＝＝()＋＝；选项D中，－＝＝2．]
6． [||＝||＝＝．]
7．b－a －a－b [如图，＝＝＝b－a，＝
＝－＝－a－b．]
8．[2，6) [根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6．]
9．证明 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝．
因为b＋c＝＝＝，
＋a＝＝，
所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝．
10．C [根据||＝||可知，
△ABC是以A为直角的直角三角形，
∵||2＝16，
∴||＝4，又∵M是BC的中点，
∴||＝||＝×4＝2．
故选C．]
11．AD [由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝，A正确；三角形内＝，但AC≠AB＋BC，B错误；反向共线时，||＝||≠||＋||，也即AC≠AB＋BC，C错误；反向共线时，||－||＝|＋(－)|＝AB＋BC，D正确．]
12．BCD [菱形ABCD中，如图，
≠，||＝||，
∴A不正确，B正确．
又||＝||＝||＝2||，||＝||＝2||＝2||，
∴C正确；又||＝||＝||，||＝||＝||，
∴D正确，故选BCD．]
13．2 (0，4) [因为＝＝，所以||＝||＝2．又＝，在菱形ABCD中，||＝||＝2，所以|||－|||＜||＝||＜||＋||，即0＜||＜4．]
14．[解] 由已知得||＝||，以为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝．
15．解 由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝＝a－b．
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．课时分层作业(四) 向量的数乘运算
一、选择题
1．平面向量a，b共线的充要条件是( )
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．存在λ∈R，使得b＝λa
D．存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
3．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的是( )
A．a＝2e，b＝－2e
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
4．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
5．(2022·江苏南通期末)在△ABC中，已知D是AB边上一点，且3＝＋2，则( )
A．＝2 B．＝
C．＝2 D．＝
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ，则λ＝________．
7．设点C在线段AB上，且2＝3，则＝________＝________．
8．已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
三、解答题
9．如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示．
10．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于( )
A． B．
C． D．
11．已知在△ABC中，向量＝λ()(λ∈R)，则点P的轨迹经过△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．外心 D．重心
12．点P在△ABC所在平面上，且满足＝2，则＝( )
A． B．
C． D．
13．已知在△ABC中，点M满足＝0，若存在实数m使得＝m成立，则m＝________．
14．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b．
(1)若2＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
15．设O为△ABC内任一点，且满足＋2＋3＝0．
(1)若D，E分别是边BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
课时分层作业(四)
1．D [注意向量a，b是否为零向量，分类讨论．若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知，存在实数λ，使得b＝λa，即λa－b＝0．故选D．]
2．AB [A正确；B正确；C错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b；D错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n．故选AB．]
3．ABC [对于A，b＝－a，有a∥b；
对于B，b＝－2a，有a∥b；
对于C，a＝4b，有a∥b；
对于D，a与b不共线．故选ABC．]
4．C [由条件可知＝－，所以AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．]
5．C [3＝＋2，则有＝2()，可得＝2．故选C．]
6．2 [∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴＝＝2，∴λ＝2．]
7． － [因为2＝3，所以＝，AC＝AB，CB＝AB，所以＝＝－．]
8．A，B，D [∵＝e1＋2e2,＝
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2，
∴共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．]
9．解 ＝＝－＝－a＋b＋c．
＝＝－＋＝－c－b＋a＝a－b－c．
10．C [如图，＝＝＝)＝×2＝．
]
11．D [设D为BC中点，则＝2，所以＝2λ，即点P在中线AD所在直线上，可知点P的轨迹必过△ABC的重心．]
12．B [因为＝2＝2()，所以3＝＝，所以共线，且3||＝||，所以＝．]
13．3 [∵＝0，
∴＝－，
又由＝m得()－2＝m，
即－3＝m＝－m，所以m＝3．]
14．解 (1)因为2＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3．
(2)＝＝－a＋4b，＝＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝．
15．解 (1)证明：如图，
＝2＝2．
因为＋2＋3＝()＋2()＝2(＋2)＝0，即2＝0，所以与共线．又OD与OE有公共点O，所以D，E，O三点共线．
(2)由(1)知2||＝||，
所以S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE
＝2××S△ABC＝S△ABC，所以＝3．课时分层作业(五) 向量数量积的概念及性质
一、选择题
1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3
C．－3 D．3
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3
3．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为( )
A．4e B．－4e
C．2e D．－2e
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
5．(多选)下列命题正确的是( )
A．0·a＝0
B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
二、填空题
6．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·＝________．
7．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________．
8．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________．
三、解答题
9．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e．
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
10．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
11．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则···的值为( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求：
(1)在上的投影向量；
(2)在上的投影向量．
15．已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点．
(1)求·的值；
(2)求·的最大值．
课时分层作业(五)
1．B [由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3．]
2．C [因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，又|a|＝4，则4××|b|＝－12，解得|b|＝6．]
3．D [向量b在向量a方向上的投影向量为|b|·cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e．故选D．]
4．C [如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°．]
5．AD [A正确，因为0的长度为0，结合数量积的定义可知0·a＝0．B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0．D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝＝1，故a2＝b2．]
6．－ [因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝．所以·＝1××cos 150°＝－．]
7．e [因为a与b的夹角为60°，a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×e＝e．]
8． [设a与b的夹角为θ，
由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝．]
9．解 (1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10．
(2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝5×cos 120°e＝－e．
10．B [由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)，故选B．]
11．D [由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25．]
12．A [cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝．∴|a×b|＝2×5×＝8．故选A．]
13．等边三角形 －8 [·＝||||·cos ∠BAC，
即8＝4×4cos ∠BAC，
于是cos ∠BAC＝，因为0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝60°．
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
此时·＝||||cos 120°＝－8．]
14．解 如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．又D是BC边的中点，
所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2．
延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°．
(1)设与向量方向相同的单位向量为e1，则在上的投影向量是
||cos 135°e1＝4×e1＝－2e1．
(2)设与向量方向相同的单位向量为e2，
则在上的投影向量是
||cos 135°e2＝2×e2＝－2e2．
15．解 (1)如图所示，由向量数量积的定义可得·＝·＝||||·cos θ．
由图可知，||cos θ＝||，
因此·＝||2＝1．
(2)·＝||||cos α＝||cos α，而||cos α就是向量在上的投影向量的模，当在上的投影向量的模最大，即为||时，·最大，此时点B与点E重合，所以·的最大值为1．课时分层作业(六) 向量数量积的运算律
一、选择题
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A． B．
C．3 D．5
2．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b, c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
4．(2022·全国乙卷) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
5．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是( )
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
二、填空题
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝________．
7．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
8．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________，设a在b方向上的投影向量为λb，则λ＝________．
三、解答题
9．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|．
10．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
11．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝( )
A． B．－
C． D．－
12．(多选)已知正△ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝1 B．a⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1
13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________．
14．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
课时分层作业(六)
1．C [由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]
2．C [设向量a与b的夹角为θ．
因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝3，
所以cos θ＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．]
3．B [因为c与d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．]
4．C [∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，
又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，
∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，
∴a·b＝1．
故选C．]
5．ACD [根据向量数量积的分配律知A正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
因为a，b不共线，
所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；
D正确．故选ACD．]
6． [∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0．
∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝，
∴|a＋b|＝＝＝．]
7．11 [设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．]
8． 1 [∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0 b·a－b2＝0 b·a＝b2，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝＝，
由a在b方向上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝3，知a在b方向上的投影向量为3·，
即3·＝λb，解得λ＝1．]
9．解 (1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，
所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7，所以cos θ＝－．
又θ∈[0，π]，所以θ＝．
(2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，
所以ta2＋a·b＝0，
所以t＋1×2×＝0，所以t＝1，
所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×＋4＝3．所以|c|＝．
10．D [由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝．]
11．D [∵E，F是菱形ABCD中边BC，CD的中点，
∴＝＋＝＝)，
又||＝||＝2，且〈〉＝60°，
∴·＝·)
＝·＋||2－||2
＝||·||·cos 60°＋×22－×22
＝－．]
12．CD [分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误；
∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，
∴|a＋b|＝，故A结论错误；
∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确；
a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D结论正确．]
13．5或－8 [因为3a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，
即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8．]
14．解 因为a，b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a，b不共线，
当a·b>0时，
(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝＝3t＋(6＋2t)＋4>0，得t>－，
当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以
解得所以当t≠3时，a，b不共线，
综上，t的取值范围为t>－且t≠3，
即t的取值范围为∪．
15．解 (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c．
(2)因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，
解得k<0或k>2．
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
