(共28张PPT)
6 利用三角函数测高
第一章 直角三角形的边角关系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
测量倾斜角
测量底部可以到达的物体的高度
测量底部不可以到达的物体的高度
知识点
知1－讲
感悟新知
1
测量倾斜角
1. 测倾器 测量倾斜角可以用测倾器. 简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1-6-1).
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. “刻度为90° ~0° ~90°”的意思是使半圆度盘的刻度以0°为中心，然后向左、向右分别增加到90°，即度盘的刻度不是0° ~180°.
2. 测倾器的原理是对顶角相等及同角的余角相等.
3. 两点间互看的仰角和俯角的度数是相等的(两直线平行，内错角相等).
知1－讲
感悟新知
2. 使用测倾器测量倾斜角的步骤
(1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置.
(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数.
根据对顶角相等及同角的余角相等可以知道，所测倾斜角(即仰角、俯角)等于铅垂线所指的度数，读出铅垂线所指的度数，即为倾斜角的度数.
感悟新知
知1－练
王晓红在阳台上望楼前的一棵大树，测得大树底部和树梢的俯角、仰角分别如图1-6-2 及图1-6-3，请你帮助她读出测得的俯角、仰角.
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣测倾器测量倾斜角的步骤，读出俯角和仰角的度数.
解：俯角为45°，仰角为30°.
感悟新知
知1－练
1-1. 某数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A 处测得楼顶C 处的仰角为30°，沿AD 方向前进60 m 到达B 处，测得楼顶C 处的仰角为45°，则∠ ACB=_____ .
15°
知识点
测量底部可以到达的物体的高度
知2－讲
感悟新知
2
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
知2－讲
感悟新知
如图1-6-4，测量MN 高度的步骤如下：
(1)在测点A 处安置测倾器，测得M 的
仰角∠ MCE=α ；
(2)量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l；
(3)量出测倾器的高度AC=a .
求出MN 的高度MN=ME+EN=ltanα +a.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
●测量时，测倾器的支杆必须与水平面垂直，而不是与所在的地面垂直，注意不要忘记测倾器的高度.
●为了尽可能减少误差，一般对同一测量对象多次测量取平均值.
感悟新知
知2－练
如图1-6-5，李亮用测倾器在点D 处测量旗杆BC 的
高度，测倾器的高度AD=1.21 m，地面上DC=20.04 m，仰角α=28°，请你帮李亮计算一下旗杆BC 有多高(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 28°≈
0.469 5，cos 28°≈ 0.882 9，
tan 28°≈ 0.531 7).
例 2
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣测倾器测出的角度以及解直角三角形求出高度.
知2－练
感悟新知
解: 如图1-6-5，过点A 作AE ⊥ BC 于点E，由题意，
得AE=DC=20.04 m，EC=AD=1.21 m，
∠ BAE=α =28°.
在Rt△ABE 中，BE=AE·tan α =
20.04×tan 28°≈20.04×0.531 7≈10.66(m).
∴ BC=BE+EC ≈ 10.66+1.21 ≈ 11.9(m).
∴旗杆BC 的高约为11.9 m.
感悟新知
知2－练
2-1. 如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C 处24 m 的A 处放置高度为1.5 m 的测角仪AB，测得旗杆顶端D 的仰角为32°，
求旗杆CD 的高度.(结果精确到
0.1 m，参考数据：sin 32 ° ≈0.53，
cos 32°≈ 0.85，tan 32°≈ 0.62)
知2－练
感悟新知
解：过点B作BE⊥CD于点E，则四边形ABEC为矩形，
∴ CE＝AB＝1.5 m，BE＝AC＝24 m.
在Rt△DBE中，∠DBE＝32°，∴DE＝BE·tan ∠DBE＝BE·tan 32°≈24×0.62＝14.88 (m)，
∴ CD＝CE＋DE≈1.5＋14.88≈16.4(m).
答：旗杆CD的高度约为16.4 m.
知识点
测量底部不可以到达的物体的高度
知3－讲
感悟新知
3
所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
如图1-6-6，测量MN 高度
的步骤如下：
知3－讲
感悟新知
(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角为∠MCE=α ；
(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角为∠MDE=β ；
知3－讲
感悟新知
(3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B 之间的距离AB=b.
借助－=b求出ME，
则MN=ME+EN= +a.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1.测量时，测点B必须与A，N在同一条直线上，只有这样才能保证AB+BN=AN成立.
2.测量时，测点A与B之间的距离必须可以直接测得.
3.两次测量过程中度盘的圆心必须在同一水平面上.
感悟新知
知3－练
[中考·绍兴] 如图1-6-7，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，
向前走6 m 到达点B，测得杆顶端点P
和杆底端点Q 的仰角分别是
60°和30°.
例 3
解题秘方：解几个直角三角形，根据线段之间的和、差关系求出高度.
感悟新知
知3－练
(1)求∠ BPQ 的度数；
解：如图1-6-7，延长PQ 交直线AB 于点E.
(1)在Rt △PBE中，
∵∠PBE=60°，∠PBE=60°，
∴∠BPQ=90°－∠PBE=
90°－60°=30°.
感悟新知
知3－练
(2)求该电线杆PQ的高度.(结果精确到1 m，参考数据：≈ 1.7，≈ 1 .4 )
解：设PE=x m.
在Rt△APE中，∠PAE=45°，则AE=PE=x m.
在Rt△BPE中，∵∠PBE=60°，tan ∠PBE=，
∴ BE= = PE = x m.
感悟新知
知3－练
∵ AB=AE－BE，∴ x－x=6，解得x=9+3.
∴ PE=(9+3)m，BE= ×(9+3)=3+3(m).
在Rt△BEQ中，∵∠QBE=30°，tan ∠QBE= ，
∴ QE=BE·tan 30°= ×(3+3)=3+(m).
∴ PQ=PE－QE=9+ 3－(3+)=6+2 ≈ 9(m).
即该电线杆PQ 的高度约为9 m.
知3－练
感悟新知
3-1. [中考· 泸州] 如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20m 到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C. 在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度.(参考数据：sin 37°≈
，cos 37°≈，tan 37°≈，计算结
果用根号表示)
知3－练
感悟新知
知3－练
感悟新知
课堂小结
利用三角函数测高
测量物体
的高度
测倾器
工具
底部可
到达
类型
底部不
可到达(共35张PPT)
解直角三角形
测素质
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
A
A
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
D
D
B
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
B
B
10.4
12
438
13
14
15
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
一、选择题(每题4分，共32分)
1
A
2
【点拨】
【答案】A
3
【点拨】
【答案】B
4
【点拨】
【答案】D
先根据题意得出AD的长，再在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，最后由CE＝CD＋DE即可得出结论．
[2023·十堰]如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为( )
A．1.59米
B．2.07米
C．3.55米
D．3.66米
5
【点拨】
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝45°＝∠ACB.
∴AC＝AB＝5米．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，
∴∠ABD＝60°.
【答案】D
6
【点拨】
【答案】B
7
【点拨】
【答案】B
8
【点拨】
【答案】D
二、填空题(每题5分，共20分)
一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100 m所上升的高度为________m.
9
[2022·武汉]如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工，取∠ABC＝150°，BC＝1 600 m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是_______m.
10
【点拨】
如图，过点C作CE⊥BD于点E，则∠BEC＝∠DEC＝90°.
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBD＝30°，∴∠BCE＝90°－30°＝60°.
11
10.4
【点拨】
某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238 m，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度约为______m(结果保留整数，参考
数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，
tan 50°≈1.19)．
12
438
三、解答题(共48分)
13
(1)AB的长；
(2)∠CAB的正切值．
(16分)[2023·潜江]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长(结果精确到0.1米)(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)．
14
(18分)2023年6月6日是第28个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑(如图①)的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
15
如图②，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长度为10 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时，(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想，求此时顶部边缘A′处离桌面
的高度A′D的长．(结果精确到1 cm；
参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈
0.31，tan 72°≈3.08)(共40张PPT)
锐角三角函数的计算
测素质
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
C
C
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
D
B
C
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
A
D
45°
37°
12
21
13
14
15
16
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
17
18
一、选择题(每题4分，共32分)
1
C
2
C
3
【点拨】
【答案】D
4
【点拨】
【答案】B
5
【点拨】
【答案】B
6
【点拨】
【答案】C
7
【点拨】
【答案】A
8
【点拨】
连接OB，AC，交于点M，连接AE，BF，交于点N，作直线MN，则直线MN为符合条件的直线l，如图所示．
∵四边形OABC是矩形，
∴OM＝BM.
∵点B的坐标为(10，4)，
∴M(5，2)，AB＝10，BC＝4.
∵四边形ABEF为菱形，∴BE＝AB＝10.
【答案】D
二、填空题(每题4分，共24分)
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是________.
9
已知一条长度为10 m的斜坡两端的垂直高度差为6 m，那么该斜坡的坡角度数约为________．(结果精确到1°)
10
37°
关于x的一元二次方程x2－2x＋tan α＝0有两个相等的实数根，则锐角α＝________.
11
45°
【点拨】由题意得4－4tan α＝0，故tan α＝1，则锐角α＝45°.
如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约________m(结果取整数)．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
12
21
【点拨】
一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和 (－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为_____________.
13
14
【点拨】
三、解答题(共44分)
(10分)(母题：教材P10习题T1) 计算：
15
16
(12分)对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sin α＝sin(180°－α)，cos α＝－cos(180°－α).
(1)求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；
17
(2)若一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.
18
课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 调查内容 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
材料 所需材料为石料、混凝土等
调查内容 驳岸 的剖 面图 相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6 m，AE＝1.5 m，CD＝3.5 m.
计算 结果 … 交通展示 …(共26张PPT)
1.解直角三角形的六种常见类型
练素养
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
1
2
3
4
5
6
7
8
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
1
如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
2
(母题：教材P16例2)如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
3
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．
4
5
6
(1)求AC的长；
(2)求tan∠FBD的值．
7
【点方法】
8
已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
9
【解】方程整理得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，
则Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
(2)求sin A＋sin B的值．
【点方法】
解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．(共21张PPT)
2.锐角三角函数解实际问题的四种常见应用
练素养
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
1
2
3
4
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
[2023·凉山州]超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C，E两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A，D，B，F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD，EF, 且CD＝EF＝7 m，CE＝895 m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行
驶到点B所用时间为45 s.
1
(1)求A，B两点之间的距离(结果精确到1 m)；
【解】没有超速．理由如下：∵900÷45＝20(m/s)，
∴小型汽车每小时行驶20×3 600＝72 000(m)．
∵72 000 m＝72 km，72＜80，
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速．
[2023·温州改编]根据背景素材，探索解决问题．
背景素材：测算发射塔的高度
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN(如图①)，他们通过自制的测倾仪(如图②)在A，B，C
三个位置
观测，
2
测倾仪上的示数如图③所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决：
【分析规划】选择两个观测位置：点____和点____．
【获取数据】写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
A
B
(答案不唯一)．
【推理计算】计算发射塔的图上高度MN.
【换算高度】楼房实际宽度DE为12 m，请通过测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm.
[2022·常德]第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆
坡、终点区四部分组成，
如图是其示意图．
3
已知：助滑坡道AF＝50 m，弧形跳台的跨度FG＝7 m，顶端E到BD的距离为40 m，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米．(结果保留整数，参考数据：
sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，
sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，
sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)
【解】如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH－EM＋EN.
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40 m.
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°.
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50 m，
∴AH＝AF·sin∠AFH≈50×0.64＝32(m)．
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m m，
则FM＝(7－m)m，
∴EM＝MG·tan∠EGM＝mtan 36° m，
EM＝FM·tan∠EFM＝(7－m)tan 25° m.
∴mtan36°＝(7－m)tan25°，解得m≈2.74.
∴EM≈2.0 m.
∴AB＝AH－EM＋EN≈32－2.0＋40＝70(m)．
答：此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70 m.
[2023·绍兴]图①是某款篮球架，图②是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行于地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°.
4
(1)求∠GAC的度数；
【解】∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°.
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°－∠AGC＝90°－32°＝58°，
∴∠GAC的度数为58°.
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由(参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62)．
【解】该运动员能挂上篮网．
理由如下：如图，延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.
∵DE∥OB，∴∠DMA＝∠AOB＝90°.
∵∠GAC＝58°，∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∴∠ADM＝90°－∠DAM＝32°.
在Rt△ADM中，AD＝0.8米，
∴AM＝AD·sin32°≈0.8×0.53＝0.424(米)，
∴OM＝OA＋AM≈2.5＋0.424＝2.924(米)．
∵2.924米＜3米，
∴该运动员能挂上篮网．(共18张PPT)
3.构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
练素养
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
1
2
3
4
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
[2023·天津]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
1
(1)求DE的长；
(2)设塔AB的高度为h(单位： m)．
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号) ；
2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，
当飞船到达A点时，从位于地面C处
的雷达站测得AC的距离是8 km，仰
角为30°；10 s后飞船到达B处，
此时测得仰角为45°.
2
(1)求点A离地面的高度AO；
[2023·营口]为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，如图，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上， B位于C的北偏西55°方向上，
3
【解】如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
由题意得∠ACD＝25°，∠BCD＝55°，
∠FAB＝20°， AB＝1 000米，CD∥FA，
∴∠CAF＝∠ACD＝25°，
∠ACB＝∠BCD－∠ACD＝30°，
∴∠BAC＝∠FAB＋∠CAF＝45°，
[2023·张家界]“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．如图，某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面225 m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200 m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 15°≈
0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
4
【解】如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ＝90°，
由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m.
在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，
∴CQ＝BC＝225 m.
∴PC＝PQ＋CQ＝425(m)．(共30张PPT)
求锐角三角函数值的七种常用方法
练素养
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
A
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
A
[2022·常州]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝________.
1
【点拨】
过点D作DE⊥BC于点E，利用平行线的判定和性质以及角平分线的定义可知∠CDB＝∠CBD，从而CD＝BC，进而利用勾股定理求得DE和BD的长，最后根据正弦的定义求解即可．
2
【点拨】
【答案】A
[2022·枣庄]北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图，它的主体形状呈正六边形，若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝________.
3
4
【点拨】
【答案】D
(1)已知∠A为锐角，求证：sin2 A＋cos2 A＝1；
5
6
【点方法】
当出现边与边的比时，可引入参数，用含参数的式子表示三角形的三边长，再用定义求解．
7
【点拨】
【答案】A
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF＝DE，连接AE，AF，CF.
8
(1)求证：四边形AECF是菱形；
【证明】∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.
又∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点拨】
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值.
9
【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°.
根据图形得∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°.
根据折叠的性质，知∠EFC＝∠D＝90°，
∴∠AFE＋∠BFC＝90°.
而在Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.
问题呈现
如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N 和E，C，DN与EC相交于点P，求tan ∠CPN的值.
10
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现，问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中了.
问题解决
(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为_____________；
2
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN 的值.
思维拓展
(3)如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数.(共27张PPT)
全章热门考点整合应用
北师版 九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
A
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
9.9
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
C
1
2
A
3
C
4
【点拨】
设DE交AC于点T，过点E作EH⊥CD于点H，如图所示.
∵在Rt△ABC中，点D是边BC的中点，
∴AD＝DB＝DC.∴∠B＝∠DAB.
∵∠B＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE.
∴AB∥DE.
∴∠DTC＝∠BAC＝90°.
【答案】D
[2022·广东]sin 30°＝________．
5
(母题：教材P24复习题T6)计算：
6
(2)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°.
7
【点拨】
8
9.9
【点拨】
[2023·贵州]贵州旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．
9
设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50 m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576 m，DF⊥AF，垂足为点F.
(图中所有点都在同一平面内，
点A、E、F在同一水平线上)
(1)求索道AB的长(结果精确到1 m)；
【解】如图，延长BC交DF于点G，
∵BC∥AE，∴∠CBE＝∠AEB＝90°.
∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°.
∵CD＝AB≈594 m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD·cos∠DCG≈594×cos 45°≈419(m)．
∴AF＝AE＋EF＝AE＋BG＝AE＋BC＋CG≈576＋50＋419＝1 045(m)，
即水平距离AF的长为1 045 m.
如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA的值为________．
10
【点拨】
如图，连接AF，过点F作FG⊥AB于点G.
∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°.
随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实，如图①是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．
11
【解】如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点F；过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.
易得四边形AECF是矩形，
∴∠ECD＝90°，AF＝CE，FC＝AE.
∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝90°－60°＝30°.
