山东省青岛第十五中学2023-2024学年高二下学期期初质量检测试卷（含答案）

青岛实验高中2023—2024学年度第二学期
期初质量检测高二数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a，3，b，9，c成等比数列，且，则等于（ ）
A．1 B． C． D．－1
2．直线与平行，则a的值为（ ）
A． B．或0 C．0 D．－2或0
3．已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.2，则A，B不去同一个城市上大学的概率为（ ）
A．0.3 B．0.56 C．0.54 D．0.7
5．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，P是两曲线的一个交点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6．与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
7．已知函数的图象过点，令，.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（ ）
A. B. C．中最大 D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
B．已知，O为坐标原点，点是圆外一点，直线m的方程是，则m与圆相交
C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
D．若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是
11．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点，，点P在l上的射影为，则（ ）
A．若，则
B．设，则
C．过与抛物线C有且仅有一个公共点直线至多有2条
D．以PQ为直径的圆与准线l相切
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的图象在处的切线方程为
B．当时，在上有2个极值点
C．当时，在上有最小值、无最大值
D．若的图象恒在直线的上方，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若从集合中任取3个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足3个元素中恰好含有2个连续整数的概率等于______．
14．若函数在处取得极大值10，则的值为______．
15．已知圆C的圆心坐标为．若直线l：与圆C相切于点，则圆C的标准方程为______．
16．设经过点的等轴双曲线的焦点为，，此双曲线上一点N满足，则的面积______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）．
（1）若选择方案一，求甲获胜的概率；
（2）用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二，判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由．
18．（本小题12分）
设是数列的前n项和，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（本小题12分）已知直线平分圆C：的圆周，且该圆被y轴截得的弦长是圆的一条最长的弦．
（1）求圆C的标准方程；
（2）已知动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A、B，记四边形MACB的面积为S，求S的最小值．
20．（本小题12分）
已知等差数列的前n项和，，，数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
21．（本小题12分）
设函数．
（1）求函数的极值；
（2）若在时恒成立，求a的取值范围．
22．（本小题12分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如图，过作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若的周长为，求的最大值．
期初质量检测高二数学试卷答案
一、单项选择题
1-4．DAAB 5-8．ACDB
二、多项选择题
9．AD 10．BD 11．ABD 12．ACD
三、填空题
13． 14． 15． 16．3
四、解答题
17．【答案】解：（1）记“选择方案一，甲获胜”为事件A，“第i局甲获胜”为事件，
则，，两两相互独立，且，
因为，，为互斥事件，
所以．
故选择方案一，甲获胜的概率为．
（2）记硬币正面朝上为1，反面朝上为0．
掷3枚硬币，样本空间为，包含8个等可能的样本点，
记“掷3枚硬币，恰有2枚正面朝上”为事件B．
则，所以．
因此方案二被选择的可能性更大．
18．【答案】解：（1）当时，，则；
当时，，则，
可得是以2为首项，2为公比的等比数列，则；
（2）由，
前n项和．
19．【答案】解：（1）由题意知，圆心在直线上，
即，又因为圆心C在y轴上，所以，由以上两式得：，，
所以故圆C的标准方程为．
（2）如图，圆C的圆心为，半径，因为MA，MB是圆C的两条切线，
所以，，故，
又因为，根据平面几何知识，要使S最小，只要最小即可．
易知，当点M坐标为时，．此时．
20．【答案】解：（1），
所以数列是公比的等比数列；
，即，，
由，解得，，
所以．
（2）由（1）知，
所以，①
，②
①－②得
，
所以．
21．【答案】解：（1）由题可知，
①当，，在上单调递增，∴没有极值；
②当，时，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴在时取得极大值，没有极小值．
综上所述，当时，无极值；
当时，有极大值，无极小值；
（2）．
∵，∴，
令，，则原问题，，
∵，，
∴，，单调递增；，，单调递减；
∴，∴．∴a的取值范围为．
22．【答案】解：（1）由题意知，即．
化简得，所以；
（2）因为的周长为，所以，得，
由（1）知，所以椭圆C的方程为，
且焦点，，
①若直线l的斜率不存在，则直线轴，直线方程为
，，，，，
故；
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由，消去y并整理得
，设，，
则，，
，，由可得．
综上所述，，所以的最大值是．