(共33张PPT)
二次函数
2.1
北师版 九年级下
第二章 二次函数
C
B
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
D
D
11
11
答 案 呈 现
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9
B
B
C
C
12
13
14
答 案 呈 现
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1
【点拨】
【答案】C
二次函数有三个特征：①必须是整式；②化简后自变量的最高次数必须是2；③二次项系数不为0.
若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )
A．m≠－2 B．m≠2
C．m≠3 D．m≠－3
2
B
关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100 D．常数项是20 000
3
C
二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是( )
A．3 B．5
C．－3或5 D．3或－5
4
D
【点拨】由题意可知x2＋2x－7＝8，解得x1＝3，x2＝－5.
[2023·丽水]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是( )
A．5 B．10
C．1 D．2
5
【点拨】
【答案】D
令h＝0，得10t－5t2＝0，解得t＝0(舍去)或t＝2，∴球弹起后又回到地面所花的时间是2秒，故选D.
如图，它是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是________．
6
11
【点拨】
第一次输入x的值为1，计算出y＝6，选择“否”的程序；第二次输入x的值为2，计算出y＝11，选择“是”的程序，输出即可．
7
B
(母题：教材P29做一做)160元的某电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为( )
A．y＝320(x－1) B．y＝320(1－x)
C．y＝160(1－x2) D．y＝160(1－x)2
8
【点拨】
【答案】D
利用两次降价后的价格＝原价×(1－平均每次降价的百分率)2列函数表达式．
9
【点拨】
【答案】B
如果函数y＝(m－2)xm2－2是二次函数，则m的取值情况是( )
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝－2 D．m为全体实数
10
【点拨】
∵y＝(m－2)xm2－2是二次函数，
∴m2－2＝2且m－2≠0.
∴m＝－2.
【点方法】
【答案】C
求二次函数中待定字母的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.
已知函数y＝(a＋3)xa2＋a－4＋(a＋2)x＋3.
(1)当a为何值时，y为x的二次函数？
11
【解】根据题意，得a＋3≠0且a2＋a－4＝2，解得a＝2.
即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a为何值时，y为x的一次函数？
某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：
12
时间：第x(天) 1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价(元/件) 0.5x＋35 50
日销售量/件 124－2x (1≤x≤60，x为整数)
设该商品的日销售利润为w元．
(1)直接写出w与x的函数关系式：
__________________________．
【点拨】
(2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
【解】当1≤x≤30时，w＝－x2＋52x＋620＝－(x－26)2＋
1 296，
∵－1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1 296；
当31≤x≤60时，w＝－40x＋2 480，
∵－40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为－40×31＋2 480＝
1 240.
∵1 296＞1 240，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是
1 296元．
已知二次函数y＝3(x－1)2＋2.
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
13
【解】y＝3(x－1)2＋2＝3x2－6x＋5，
其中a＝3，b＝－6，c＝5.
(2)当x＝6时，求y的值；
(3)当y＝77时，求x的值．
【解】当x＝6时，y＝3×(6－1)2＋2＝77.
当y＝77时，3(x－1)2＋2＝77，
解得x＝6或x＝－4.
如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点E在边AD上，点P从点C出发，沿CB运动到点B处停止，点Q从点A出发，沿折线AE—EC运动．它们同时出发，运动速度都是1 cm/s，点P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t(s)，
△BPQ的面积为S(cm2)．已知当
点Q到达点E处时，S＝24.
14
(1)AE＝________cm，CE＝________cm；
(2)求S关于t的函数表达式，并直接写出自变量t的取值范围.
4
10(共26张PPT)
二次函数y＝x2，y＝－x2的图象与性质
2.2.1
北师版 九年级下
第二章 二次函数
D
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
B
C
C
11
答 案 呈 现
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9
B
A
12
B
13
14
15
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下面的四个问题中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A．汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路
程y与行驶时间x
B．当电压一定时，通过某用电器的电流y与该用电器的电阻x
C．圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积y与底面圆的半径x
D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x
1
D
(母题：教材P33做一做)用描点法在同一坐标系中画出 y＝x2，y＝－x2，y＝2x2，y＝－2x2的图象．
2
略
二次函数y＝x2的图象经过的象限是( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3
A
【点拨】二次函数y＝x2的图象最低点是原点，开口向上，所以其图象经过第一、二象限．故选A.
[2023·浙江大学附中模拟]下列关于二次函数y＝x2的图象与性质的说法：①图象是一条抛物线；②图象过点(0，0)；③图象开口向上；④图象是轴对称图形；⑤y随x的增大而增大；⑥当x＝0时，函数有最小值，是0.其中正确的有( )
A．0个 B．5个
C．4个 D．3个
4
B
[2023·苏州中学期末]已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)之间的函数关系用图象表示为( )
5
C
抛物线y＝－x2不具有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．不与y轴相交 D．最高点是原点
6
C
【点拨】∵抛物线y＝－x2与y轴交于原点，∴不与y轴相交是错误的．故选C.
7
B
[2023·杭州外国语学校月考]已知二次函数y＝－x2，当－4≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．－16≤y≤－4 B．－16≤y≤0
C．－4≤y≤2 D．－4≤y≤0
8
B
(母题：教材P34习题T2)若点A(2，m)在二次函数y＝－x2的图象上，则m＝________，点A关于x轴的对称点B的坐标是________，点A关于y轴的对称点C的坐标是__________，B，C两点中在抛物线y＝－x2上的点是________．
9
－4
(2，4)
(－2，－4)
点C
【点拨】
若A(2，m)在二次函数y＝－x2的图象上，则m＝－22，∴m＝－4.点A关于x轴的对称点B的坐标是(2，4)．点A关于y轴的对称点C的坐标是(－2，－4)．显然点C(－2，－4)在抛物线y＝－x2上．
函数y＝－x2(－2≤x≤1)的最大值为________，最小值为________.
10
0
－4
【点拨】本题易忽略在取值范围内当x＝0时y取得最大值，最大值为0，而不是当x＝1时取得最大值．
已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
(1)k的值为________，对称轴为________________；
(2)若点A的坐标为(1，m)，则该图象上点A的对称点的坐标为___________；
11
－3
y轴(或直线x＝0)
(－1，－1)
(3)请在图中画出该函数图象，并根据图象写出当－2≤x＜1时，y的取值范围．
【解】如图所示．
当－2≤x＜1时，
－4≤y≤0.
如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．4π
D．以上都不对
12
【点拨】
【答案】B
抛物线C1与抛物线C2关于x轴对称，所以阴影部分的面积等于半圆形的面积．
(母题：教材P34习题T2)点M(－3，9)在二次函数y＝x2的图象上吗？请分别写出点M关于x轴的对称点N、关于y轴的对称点P、关于原点的对称点Q的坐标．点N，P，Q在二次函数y＝x2的图象上吗？
13
【解】∵x＝－3时，y＝(－3)2＝9，
∴点M在二次函数y＝x2的图象上．
由题意，得点N(－3，－9)，点P(3，9)，点Q(3，－9)．
在y＝x2中，当x＝－3时，y＝(－3)2＝9；
当x＝3时，y＝32＝9，
∴点P在二次函数y＝x2的图象上，点N，Q不在二次函数 y＝x2的图象上．
[2023·北京四中模拟]如图，点P是抛物线y＝x2上第一象限内的点，点A的坐标为(6，0)．
14
(1)若点P的坐标为(x，y)，△POA的面积为S，求出S与x的关系式；
(2)当S＝6时，求点P的坐标；
(3)在抛物线y＝x2上求出一点P′，使P′O＝P′A，求出此时点P′的坐标．
【解】∵P′O＝P′A，∴P′在线段OA的垂直平分线上，
∴点P′的横坐标为3.
当x＝3时，y＝x2＝9，∴点P′的坐标为(3，9)．
已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上．
(1)求点A的坐标．
15
【解】把点A(1，a)的坐标代入y＝x2，得a＝1，
∴点A的坐标为(1，1)．
(2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．(共31张PPT)
二次函数y＝ax2的图象与性质
2.2.2
北师版 九年级下
第二章 二次函数
C
A
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
D
B
B
11
答 案 呈 现
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9
C
D
0≤y≤9
12
C
13
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关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
1
【点拨】
【答案】C
y＝3x2的图象是一条抛物线，开口向上，关于y轴对称，顶点是抛物线的最低点，它与y＝－3x2的图象关于x轴对称，故C错误，符合题意．
若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )
A．(2，4) B．(－2，－4)
C．(－4，2) D．(4，－2)
2
【点拨】
【答案】A
本题不必求出a，根据二次函数图象的对称性可知图象必经过点(2，4)．
二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
3
【点拨】
【答案】D
由y＝ax＋a可知一次函数的图象必过点(－1，0)，故A，B错误．当a＜0时，y＝ax2的图象开口向下，y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限；当a＞0时，y＝ax2的图象开口向上，y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限，故C错误，D正确．
二次函数y＝ax2的图象如图所示，则不等式ax＞a的解集是( )
A．x＞1
B．x＜1
C．x＞－1
D．x＜－1
4
【点拨】
【答案】B
由图象可知a＜0，
∴不等式ax＞a的解集为x＜1，故选B.
对于函数y＝4x2，下列说法正确的是( )
A．当x>0时，y随x的增大而减小
B．当x>0时，y随x的增大而增大
C．y随x的增大而减小
D．y随x的增大而增大
5
【点拨】
【答案】B
∵抛物线y＝4x2开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．故选B.
已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a＞1
C．a≠1 D．a＜1
6
B
【点拨】利用函数的增减性可知a－1>0，∴a>1.
[2023·厦门双十中学月考]已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
7
【点拨】
【答案】C
根据抛物线的对称性可知点(2，y1)在抛物线y＝ax2 (a>0)上，利用函数的增减性可知y1>y2>0.
8
D
已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值．
9
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
【解】∵函数图象的开口向下，∴m＋3＜0.
∴m＜－3.∴m＝－4.
∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
∵函数有最小值，∴m＋3＞0.
∴m＞－3.∴m＝1. ∴当m＝1时，该函数有最小值．
已知二次函数y＝x2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是________.
10
0≤y≤9
【点拨】∵抛物线y＝x2开口向上，顶点坐标是(0，0)，－1≤x≤3，∴当x＝0时，y＝x2取得最小值，为0，当 x＝3时，y＝x2取得最大值，为9，∴y的取值范围是0≤y≤9.
【点易错】
二次函数的增减性是以对称轴为分界线的，本题易忽略当自变量的取值范围包含顶点的横坐标时，函数在其图象的顶点处取得最值．
根据条件，求下列各题中m的值或取值范围．
(1)函数y＝(2m－1)x2有最小值；
(2)函数y＝(m－2)x2，当x＜0时，y随x的增大而增大；
11
由已知得，m－2<0，∴m<2.
(3)函数y＝(m＋1)x2与y＝2x2的图象形状相同；
(4)函数y＝mxm2＋m的图象是开口向下的抛物线．
【解】由已知得，|m＋1|＝|2|，∴m＝1或－3.
由已知得，m2＋m＝2且m<0，∴m＝－2.
12
【点拨】
【答案】C
∵AN2＝x12＋(y1＋1)2，BN2＝x22＋(y2＋1)2，
AB2＝(x1－x1)2＋(y1－y2)2，
∴易得AN2＋BN2－AB2＝8k2.
∴当k＝0时，AN2＋BN2＝AB2，此时AN⊥BN.
当k≠0时，AN2＋BN2≠AB2，此时AN与BN不垂直．
∴④错误．故选C.
当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：
13
v/(km/min) 0 1 2 3 4
I 0 2 8 18 32
(1)请根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出坐标(v，I)所对应的点，并用光滑的曲线将各点连接起来；
【解】如图．
(2)根据下表中数据的呈现规律，直接写出用v表示I的二次函数表达式；
【解】 I＝2v2.
(3)当汽车的速度分别是1.5km/min，2.5km/min，4.5km/min时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少．
【解】∵I＝2v2，∴当v＝1.5 km/min时，
I＝2×1.52＝4.5；
当v＝2.5 km/min时，I＝2×2.52＝12.5；
当v＝4.5 km/min时，I＝2×4.52＝40.5.(共36张PPT)
二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
2.2.3
北师版 九年级下
第二章 二次函数
C
D
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
A
D
D
11
答 案 呈 现
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9
A
D
D
C
12
13
14
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1
C
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
2
【点拨】
【答案】D
由y＝x2＋m可知二次函数图象开口向上，故B错误；由y＝－mx＋n2可知一次函数的图象与y轴交于正半轴或过原点，故A错误，再由m的符号可得C错误，故选D.
[2023·台州]抛物线y＝ax2－a(a≠0)与直线y＝kx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＜0，则直线y＝ ax＋k一定经过( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
3
【点拨】
【答案】D
[2023·广东]如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为( )
A．－1
B．－2
C．－3
D．－4
4
【点拨】
【答案】B
[2023·安徽]下列函数中，y的值随x的增大而减小的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝－x2＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
5
【点拨】
【答案】D
选项A中，函数y＝x2＋1，x＜0时，y随x的增大而减小，故A不符合题意；选项B中，函数y＝－x2＋1，x＞0时，y随x的增大而减小，故B不符合题意；选项C中，函数y＝2x＋1，y随x的增大而增大，故C不符合题意；选项D中，函数y＝－2x＋1，y随x的增大而减小，故D符合题意．故选D.
[2022·荆门]抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是( )
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
6
【点拨】
【答案】D
A，B两点也可能在对称轴的异侧，选项中缺少此类情况，故选D.
[2022·湖州]将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是( )
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
7
【点拨】
【答案】A
根据函数图象的平移规律“上加下减”可知所得抛物线的表达式是y＝x2＋3.
(母题：教材P36习题T3)将抛物线y＝2x2＋3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( )
A．向下平移3个单位长度
B．向上平移3个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
8
【点拨】
【答案】A
抛物线y＝2x2＋3向下平移3个单位长度后可得抛物线y＝2x2，故选A.
9
【点拨】
【答案】D
对于二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
10
【点拨】
抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝0，所以当x＝0时，y取最小值为－3，当x＝2时，y取最大值为5，故选C.
【点方法】
【答案】C
求二次函数的最值时，要确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值．
求符合下列条件的抛物线对应的函数表达式：
(1)抛物线y＝ax2－1过点(1，2)；
11
【解】将点(1，2)的坐标代入y＝ax2－1，得2＝a－1，
解得a＝3，∴y＝3x2－1.
(2)抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1)．
【解】∵抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝－1.
将点(0，1)的坐标代入y＝－x2＋c，得c＝1，
∴y＝－x2＋1.
(母题：教材P35议一议)已知抛物线y＝ax2经过点(2，－8).
(1)将上述抛物线向下平移3个单位长度，求所得抛物线的表达式；
12
【解】∵抛物线y＝ax2经过点(2，－8)，
∴－8＝4a，解得a＝－2，∴抛物线的表达式为y＝－2x2.
将抛物线y＝－2x2向下平移3个单位长度，所得抛物线
的表达式为y＝－2x2－3.
(2)若A为抛物线y＝ax2上一点，直线AB⊥x轴，AB＝5，沿y轴平移抛物线y＝ax2，使之过点B，求平移后所得抛物线的表达式．
【解】根据题意可知相当于将图象向上或向下平移5个单位长度，故平移后所得抛物线的表达式为y＝－2x2＋5或y＝－2x2－5.
如图，抛物线y＝ax2＋4经过x轴上的一点A(－2，0)，抛物线的顶点为C，P是抛物线上的一动点(P不与点A，B重合)，过点P作x轴的垂线，
垂足为M.若△AMC为等腰三
角形，求点P的坐标．
13
如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2＋3相交于点A(1，b)．
14
(1)求a与b的值；
【解】把点A(1，b)的坐标代入y＝2x，得b＝2，
∴A(1，2)．
把点A(1，2)的坐标代入y＝ax2＋3，得a＝－1.
(2)若点B(m，4)在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积；
(3)若P是x轴上一个动点，求当PA＋PC最小时点P的坐标.
【解】如图，设点C关于x轴的对称点为C′，则C′的坐标为(0，－3)，连接AC′交x轴于点P，此时PA＋PC最小.(共33张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
2.2.4
北师版 九年级下
第二章 二次函数
C
D
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
B
增大
11
答 案 呈 现
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9
A
B
12
13
答 案 呈 现
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(母题：教材P39习题T1)对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )
①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
【点拨】
【答案】C
抛物线y＝2(x－1)2开口向上，顶点坐标为(1, 0)，对称轴为直线x＝1，与x轴的交点坐标即为它的顶点坐标(1, 0)．故①③④正确．
[2023·南充]若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是( )
A．(m，n＋1) B．(m＋1，n)
C．(m，n－1) D．(m－1，n)
2
【点拨】
【答案】D
∵抛物线y＝a(x＋1)2可看作是由抛物线y＝ax2向左平移1个单位长度得到的，∴抛物线y＝ax2上的点P(m，n)向左平移1个单位长度后，会在抛物线y＝a(x＋1)2上．故点(m－1，n)在抛物线y＝a(x＋1)2上．故选D.
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
3
【点拨】
【答案】B
A选项，由抛物线可得a＜0，由直线可得a＞0，矛盾，故错误；C选项，由抛物线可得，c＞0，由直线可得c＜0，矛盾，故错误；D选项，由抛物线可得a＞0，由直线可得 a＜0，矛盾，故错误．
已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( )
A．－12 B．12
C．32 D．－32
4
【点拨】
【答案】D
二次函数y＝－2(x＋m)2的图象的对称轴为直线x＝－m，根据题意可知x＝－m＝－3，所以m＝3，即二次函数的表达式为y＝－2(x＋3)2，所以当x＝1时，y＝－32.
(母题：教材P37议一议)在函数y＝(x－1)2中，当x>1时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
5
增大
【点拨】∵y＝(x－1)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x>1时，y随x的增大而增大．
6
【点拨】
(母题：教材P39习题T3)把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
7
【点拨】
【答案】A
根据函数图象平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项，求解即可．
将抛物线y＝－3x2向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝－3(x＋2)2 B．y＝－3(x－2)2
C．y＝－3x2＋2 D．y＝－3x2－2
8
【点拨】
【答案】B
根据函数图象的平移规律“左加右减”可知所得抛物线的表达式为y＝－3(x－2)2.
已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)求出将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式．
9
【解】由题意知，这条抛物线的表达式为y＝3(x＋2)2.
将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达
式为y＝3(x－2)2.
已知抛物线y＝－3x2，若抛物线不动，把y轴向左平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的表达式为________________.
10
y＝－3(x－2)2
【点拨】由题意，可把y轴向左平移2个单位长度看作坐标轴不动，抛物线向右平移2个单位长度，然后利用平移规律求解即可．
如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA．
11
(1)求抛物线的表达式；
【解】由题意知，顶点A的坐标是(－1，0)，
∴OA＝1.∵OA＝OB，∴OB＝1，∴B(0，－1)．
把B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得－1＝a·12，
解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
(3)若点D(2，y1)，E(3，y2)在此抛物线上，比较y1与y2的 大小．
【解】把点C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2，
得b＝－(－3＋1)2＝－4.
∵抛物线y＝－(x＋1)2的对称轴是直线x＝－1，
－1＜2＜3，∴y1＞y2.
如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)．
12
(1)求点D的坐标．
【解】∵B(1，0)，点A在抛物线y＝x2上，
∴A(1，1)．∴AD＝AB＝1.∴D(2，1)．
(2)将抛物线y＝x2沿x轴适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
【解】∵原抛物线y＝x2经过点O(0，0)，
∴原抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线y＝(x－1)2经过点B(1，0)．
在y＝(x－1)2中，令x＝2，则y＝(2－1)2＝1，
∴点D在新抛物线上．
如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
13
(1)求点A，B的坐标．
【解】在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；
令x＝0，得y＝4，
∴点A，B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB．
(3)写出抛物线的对称轴．
抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(共33张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
2.2.5
北师版 九年级下
第二章 二次函数
C
C
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
D
A
B
11
答 案 呈 现
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9
D
2或4
D
12
[2023·兰州]已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的是( )
A．图象的对称轴为直线x＝－2
B．图象的顶点坐标为(2，3)
C．函数的最大值是－3
D．函数的最小值是－3
1
C
二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
2
【点拨】
【答案】C
由题图可知m＜0，n＜0，故一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限．
[2022·温州]已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是( )
A．若c＜0，则a＜c＜b
B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b
D．若c＞0，则a＜b＜c
3
【点拨】
【答案】D
由y＝(x－1)2－2，可知该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大；当 x＜1时，y随x的增大而减小．∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A，B均不符合题意；若c＞0，则a＜ b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
4
【点拨】
【答案】B
把点A，B的坐标代入函数表达式，根据y1将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线是( )
A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4
C．y＝(x－3)2－4 D．y＝(x＋3)2－4
5
A
[2023·徐州]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为( )
A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x＋3)2＋4
6
【点拨】
【答案】B
将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝(x＋1－2)2＋3－1，即y＝(x－1)2＋2.故选B.
[2022·玉林]小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度；
③向下平移4个单位长度；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度．
你认为小嘉说的方法中正确的有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7
【点拨】
【答案】D
求出①②③④中图象的函数表达式分别为y＝(x－2)2；y＝(x－1)2－1；y＝x2－4；y＝－x2＋4.将点(2，0)的坐标代入验证即可得解．
8
【点拨】
【答案】D
[2023·牡丹江]将抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位长度，再向右平移______个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
9
2或4
【点拨】
抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位长度后的解析式为y＝(x＋3)2－1，设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝(x＋ 3－h)2－1，∵抛物线经过原点，∴(3－h)2－1＝0，解得 h＝2或4.
[2022·河北]如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在C的对称轴右侧．
10
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值．
【解】∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4.
当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4，
解得x1＝5，x2＝7.
∵点P(a，3)在对称轴的右侧，
∴a＞6.∴a＝7.
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数表达式恰为y＝－x2＋6x－9.求点P′移动的最短路程．
二次函数y＝2x2的图象先向上平移6个单位长度，再向右平移3个单位长度．部分点的坐标变化如下表．
11
6
y＝2x2 y＝2(x－3)2＋6
(0，0) (3，m)
(1，2) (4，8)
(2，8) (5，14)
(－1，2) (2，8)
(－2，8) (1，14)
(1)m的值为________；
【解】平移后的函数图象如图．
【解】∵点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在平移后的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，∴当P，Q两点同在对称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，当P，Q两点同在对称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2.
(3)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在平移后的函数图象上，且P，Q两点在对称轴同一侧，若y1＞y2，试比较x1，x2的大小.
12
(1)当m＝5时，求n的值；
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围；
(3)直线AC与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
抛物线从如图①所示的位置向左平移到如图②所示的位置，m逐渐减小，且m≥0，点B沿y轴向上移动．(共36张PPT)
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
2.2.6
北师版 九年级下
第二章 二次函数
(1，－3)
D
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
D
D
B
11
答 案 呈 现
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9
D
C
12
13
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在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是__________．
1
(1，－3)
【点拨】
将抛物线y＝x2＋2x－1绕原点旋转180°后所得到的抛物线表达式为－y＝(－x)2＋2·(－x)－1，即y＝－x2＋ 2x＋1.再将抛物线y＝－x2＋2x＋1向下平移5个单位长度，得抛物线y＝－x2＋2x＋1－5＝－(x－1)2－3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是(1，－3)．
[2023·贵州]已知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则点P(a，b)所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2
【点拨】
【答案】D
[2023·株洲]如图所示，直线l为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是( )
A．b恒大于0
B．a，b同号
C．a，b异号
D．以上说法都不对
3
【点拨】
【答案】C
[2023·大连]已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
4
【点拨】
【答案】D
∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，∵当x＝0时，y＝－1，当x＝3时，y＝9－6－1＝2.∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选D.
5
【点拨】
【答案】D
6
【点拨】
【答案】B
二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7
【点拨】
【答案】D
[2023·鄂州]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，且过点(－1，0)，顶点在第一象限.
给出以下结论：①ab＜0；②4a＋2b＋c＞0；③3a＋ c＞0；④若A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)是抛物线上的两点，且x1＋x2＞2，则y1＞y2.
其中正确的选项是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
8
【点拨】
∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，
∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，∴－＝1，
∴b＝－2a，∴b＞0，∴ab＜0，故①正确；
∵二次函数图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1，
∴二次函数图象与x轴的另一交点为(3，0)，
结合函数图象可得x＝2时y＞0，
∴4a＋2b＋c＞0，故②正确；
【答案】D
∵x＝－1时y＝0，∴a－b＋c＝0，
将b＝－2a代入得3a＋c＝0，故③错误；
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，x1＜x2，
∴当x1＋x2＞2时，点A(x1，y1)到对称轴的距离小于点B(x2，y2)到对称轴的距离，
∵二次函数图象开口向下，∴y1＞y2，故④正确．
综上所述，正确的结论是①②④.故选D.
(母题：教材P39例1)将二次函数y＝－2x2－4x＋5化成 y＝a(x－h)2＋k的形式是_________________.
9
y＝－2(x＋1)2＋7
【点拨】将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k时，易在配方时漏掉二次项系数而出错．
10
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连接CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数表达式．
[2023·丽水]已知点(－m，0)和(3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上．
(1)当m＝－1时，求a和b的值；
11
(2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2＜m＜－1时，求n的取值范围；
【解】∵二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象过点(－m，0)和(3m，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象过点(0，3)，
(3)求证：b2＋4a＝0.
[2023·北京]在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t.
(1)若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；
12
(2)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围.
已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值；
13
【解】把点(0，－3)，(－6，－3)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，解得b＝－6，c＝－3.
(2)当－4≤x≤0时，求y的最大值；
【解】y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6.
∵－4≤x≤0，
∴当x＝－3时，y取得最大值，最大值为6.
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值.
【解】①若－3＜m≤0，
当x＝0时，y取得最小值，最小值为－3；
当x＝m时，y取得最大值，最大值为－m2－6m－3，
∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，
解得m＝－2或m＝－4(舍去)．(共19张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
2.1 二次函数y=x2，y=－x2 的图象与性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数y=x2的图象的画法
二次函数y=x2和y=－x2 的图象与性质
知识点
知1－讲
感悟新知
1
二次函数y=x2的图象的画法
画二次函数y=x2 的图象，一般用描点法，具体步骤如下：
(1)列表：先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地各取2个点.
(2)描点：在直角坐标系中，先将y 轴右侧的2 个点描出
来，然后根据对称关系找到y 轴左侧的2个点.
(3)连线：按照自变量由小到大(或由大到小)的顺序，把所描各点用光滑的曲线顺次连起来.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. 二次函数y=x2 的自变量的取值范围是全体实数，故应以原点(0，0)为中心对称取值.
2. 二次函数图象的两端是无限伸展的，画图象时要画“出头”.
感悟新知
知1－练
画出二次函数y=x2 的图象.
例 1
解：列表.
解题秘方：紧扣描点法的步骤画出二次函数y=x2 的图象.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
感悟新知
知1－练
描点、连线，如图所示.
感悟新知
知1－练
1-1. 已知三角形的底边长为4x cm，底边上的高为x cm，面积为y cm2，下列图象能表示y与x之间的函数关系的是( )
C
知识点
二次函数y=x2和y=－x2 的图象与性质
知2－讲
感悟新知
2
二次函数y=－x2 的图象可类比y=x2 的图象来画，二者的图象与性质的区别与联系如下表.
知2－讲
感悟新知
二次函数 y=x2 y=－x2
图象
知2－讲
感悟新知
图象形状 抛物线 开口方向 向上 向下
对称轴 y 轴 顶点坐标 原点(0，0) 增减性 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而减小；当x>0 时，y 的值随x 值的增大而增大 当x<0 时，y 的值随x 值的增大而增大；当x>0 时，y 的值随x 值的增大而减小
续表
知2－讲
感悟新知
最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0
联系 (1)自变量x 的取值范围都是全体实数； (2)若把函数y=x2 的图象和函数y=－x2 的图象画在同一平面直角坐标系中，则两图象既关于x 轴成轴对称，又关于原点成中心对称 续表
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1.对于二次函数，一般从图象特征(开口方向、顶点坐标、对称轴)、函数变化( 即增减性)、最大(最小)值等方面加以研究.
2.若把二次函数y=x2的图象和二次函数y=－x2的图象画在同一平面直角坐标系中，则两个图象既关于x 轴成轴对称，又关于原点成中心对称.
感悟新知
已知y= 是y关于x的二次函数，其图象为抛物线.
例 2
解题秘方：紧扣二次函数y=x2 和y=－x2 的图象与性质求待定字母的值或取值范围.
知2－练
感悟新知
(1)求满足条件的k 的值.
解：由题意，得k2－2=2，≠ 0， 解得k=±2 .
知2－练
感悟新知
(2)k 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标. 当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？
解：若抛物线有最低点，则抛物线的开口向上，
∴＞0，即k>0. ∴ k=2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，∴最低点的坐标为(0，0).
∵ ＞0，∴当x>0 时，y的值随x值的增大而增大.
知2－练
感悟新知
(3)k 为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y 的值随x 值的增大而减小？
解：若二次函数有最大值，则对应抛物线的开口向下，
∴＜0，即k＜0. ∴ k=－2.
∵二次函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)，∴当k=－2 时，二次函数有最大值，最大值为0，当x>0 时，y的值随x值的增大而减小.
知2－练
知2－练
感悟新知
2-1. 如图，A，B 分别为函数y=x2 图象上两点，且线段AB垂直于y 轴， 若AB=8， 则点A 的坐标为( )
A. (4，4)
B. (4，16)
C. (－4，4)
D. (－4，16)
D
知2－练
感悟新知
2-2. 若A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)为二次函数y=－x2的图象上的三点，则y1，y2，y3 的大小关系是( )
A. y1 ＜ y2 ＜ y3
B. y3 ＜ y2 ＜ y1
C. y3 ＜ y1 ＜ y2
D. y2 ＜ y1 ＜ y3
C
课堂小结
二次函数y=x2，y=－x2 的图象与性质
y=x2
抛物线
开口方向
y=－x2
图象
性质
对称轴
增减性(共28张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
2.2 二次函数y=ax2，y=ax2+c 的图象与性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数y=ax2 的图象与性质
二次函数y=ax2+c的图象
知识点
知1－讲
感悟新知
1
二次函数y=ax2 的图象与性质
二次函数y=ax2(a ≠ 0)的图象与性质
y=ax2 a ＞ 0 a ＜ 0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 (0，0)
知1－讲
感悟新知
对称轴 y 轴(或直线x=0) 增减性 在对称轴的左侧，即x＜ 0时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即x ＞ 0时，y 随x 的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即x ＞ 0 时，y 随x 的增大而减小
最值 当x=0 时，y 最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0
续表
知1－讲
感悟新知
要点解读
1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴为界，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小.
2. 在二次函数y=ax2(a ≠ 0)中，a的正负性决定开口方向， |a| 决定开口的大小.
3. 二次函数y=－ax2(a ≠ 0)与y=ax2(a ≠ 0)的图象关于x 轴对称.
感悟新知
知1－练
如图2-2-6，四个二次函数的图象分别对应① y=ax2；② y=bx2；③ y=cx2；④ y=dx 2. 且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
例 1
解题秘方：紧扣“a 的符号”及“|a|的大小”采用数形结合思想进行解答.
感悟新知
知1－练
(1)比较a，b，c，d 的大小；
解：由抛物线的开口方向，
知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0.
由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|，
因此a ＞ b，c ＜ d.
∴ a ＞ b ＞ d ＞ c.
开口越大，二次项系数的绝对值越小.
感悟新知
知1－练
(2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.
∴ a+c=0，b+d=0.
感悟新知
知1－练
1-1. 若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a的值为( )
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
1-2. 抛物线y=x2，y=－4x2，y=－x2，y=5x2中开口最大的是( )
A. y=x2B. y=－4x2 C. y=－x2 D. y=5x2
B
A
感悟新知
知1－练
[易错题] 已知函数y=(m+2)xm2+m－4是关于x的二次函数.
解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分x>0 和x<0 两种情况讨论函数的增减性.
例 2
感悟新知
知1－练
(1)求满足条件的m 的值.
解：由题意，得解得m=2 或m=－3.
∴当m=2 或m=－3 时，函数为二次函数.
感悟新知
知1－练
(2)当m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
解：若图象有最低点，则抛物线的开口向上，
∴ m+2>0，即m>－2. ∴ m=2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，
∴最低点的坐标为(0，0).
当x>0 时，y 随x 的增大而增大.
感悟新知
知1－练
(3)当m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
解：若函数有最大值，则抛物线的开口向下，
∴ m+2<0，即m<－2. ∴ m=－3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为(0，0)，∴当m=－3 时，函数有最大值0. 当x>0 时，y 随x 的增大而减小.
感悟新知
知1－练
2-1.(易错题)已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，则a 的值为( )
A. 4 B. ±4 C. －4 D. 0
2-2.[中考·常州] 已知二次函数y=(a－1)x2，当x ＞ 0 时，y 随x 的增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A. a ＞ 0 B. a ＞ 1 C. a ≠ 1 D. a ＜ 1
C
B
感悟新知
知1－练
2-3.(易错题)关于二次函数y=ax2(a ≠ 0)的说法： ① x>0 时，y 随x 的增大而增大；② a 越大，图象开口越小；③图象的对称轴是y 轴； ④ 当a>0 时，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两点，且满足x1y2>0. 其中正确的是 ____________(填序号).
③④
知识点
二次函数y=ax2+c的图象
知2－讲
感悟新知
2
1. 二次函数y=ax2+c 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系
它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+c 的图象可由二次函数y=ax2 的图象上下平移|c| 个单位长度得到.
知2－讲
感悟新知
平移规律口诀
上加下减，纵变横不变.
“上加下减”指抛物线的位置上下平移规律，即抛物线y=ax2+c是由抛物线y=ax2上下平移｜c｜个单位长度得到的.“上加”表示当c为正数时，向上平移；“下减”表示当c为负数时，向下平移.
“纵变横不变”指坐标的平移规律，即抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
知2－讲
感悟新知
2. 二次函数y=ax2+c 的图象
y=ax2+c a>0 a<0 c ＞ 0 c ＜ 0 c ＞ 0 c ＜ 0
图象
知2－讲
感悟新知
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) 对称轴 y 轴 续表
知2－讲
感悟新知
3. 二次函数y=ax2+c 的图象的画法
(1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图.
(2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象向上(c ＞ 0)或向下(c ＜ 0)平移|c| 个单位长度，即可得到二次函数y=ax2+c 的图象.
感悟新知
知2－练
画出函数y=－x2+1 与y=－x2－1 的图象，并根据图象回答下列问题.
例 3
解题秘方：紧扣抛物线y=ax2+c 与抛物线y=ax2 间的关系及图象的平移规律解答.
感悟新知
知2－练
解：列表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=－x2+1 … －8 －3 0 1 0 －3 －8 …
y=－x2－1 … －10 －5 －2 －1 －2 －5 －10 …
感悟新知
知2－练
描点、连线，即得到这两个函数的图象，如图2-2-7.
感悟新知
知2－练
(1)抛物线y=－x2+1 经过怎样的平移才能得到抛物线y=－x2－1 ？
解：由图象可以看出，抛物线y=－x2+1 向下平移2 个单位长度得到抛物线y=－x2－1.
感悟新知
知2－练
(2)对于函数y= －x2+1，其图象与x 轴的交点的坐标是_________________；对称轴是 _______ ；顶点坐标是 _______.
(－1，0)，(1，0)
y 轴
(0，1)
知2－练
感悟新知
3-1. 把抛物线y=ax2+c向上平移4个单位长度，得到的抛物线的表达式为y=－2x2， 则a，c 的值分别为( )
A. 2，4 B. －2，－4
C. －2，4 D. 2，－4
B
知2－练
感悟新知
3-2. 二次函数y=－x2－2 的图象大致是( )
D
课堂小结
二次函数y=ax2，y=ax2+c 的图象与性质
y=ax2
性质
y=ax2＋c
平移
图象
特殊
到一般
y=x2
y=－x2(共30张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
2.3 二次函数y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k 的图象与性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数y=a(x－h)2 的图象
二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质
二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系
知识点
知1－讲
感悟新知
1
二次函数y=a(x－h)2 的图象
1. 二次函数y=a(x－h)2 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系
它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a(x－h)2 的图象可由二次函数y=ax2 的图象左右平移|h| 个单位长度得到.
知1－讲
感悟新知
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1.“左加”表示y=ax2的图象向左平移h 个单位长度得到y=a(x+h)2 的图象.
2.“右减”表示y=ax2的图象向右平移h个单位长度得到y=a(x－h)2 的图象.
3.“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变.
知1－讲
感悟新知
2. 二次函数y=a(x－h)2 的图象
函数 y=a(x－h)2(a>0) y=a(x－h)2(a<0)
图象
知1－讲
感悟新知
顶点坐标 (h，0) 对称轴 直线x=h 顶点位置 当h>0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)；当h<0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上) 开口方向 向上 向下
续表
感悟新知
知1－练
在平面直角坐标系中，函数y=－x－1 与y=－(x－1)2的图象大致是图2-2-12 中的( )
例 1
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知1－练
解题秘方：由两个函数图象的位置与系数的关系判断.
解：∵ k=－1<0，b=－1<0，∴ y=－x－1 的图象过第二、三、四象限. 又∵ a=－<0，h=1，∴y=－(x－1)2的图象开口向下，顶点坐标为(1，0). ∴同时符合条件的图象只有A.
答案：A
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知1－练
1-1. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为______ ；对称轴是_________ ；当______时，函数值y 有 ______ ，此时值为______ .
(4，0)
直线x＝4
x＝4
最小值
0
知识点
二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质
知2－讲
感悟新知
2
1. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与二次函数y=ax2 的图象的关系
它们的形状(开口大小、方向)相同，只是位置不同；二次函数y=a(x－h)2+k 的图象可由二次函数y=ax2 的图象平移得到.
知2－讲
感悟新知
2. 二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质
函数 y=a(x－h)2+k(a>0) y=a(x－h)2+k(a<0)
图象
知2－讲
感悟新知
顶点位置 当h>0，k>0 时，顶点在第一象限；当h<0，k>0 时，顶点在第二象限；当h<0，k<0 时，顶点在第三象限；当h>0，k<0 时，顶点在第四象限 对称轴 直线x=h 开口方向 向上 向下
续表
知2－讲
感悟新知
增减性 在对称轴的左侧，y 随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；
在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小
最值 当x=h 时，y 最小值=k 当x=h 时，y 最大值=k
续表
知2－讲
感悟新知
特别解读
●从y=a(x－h)2+k(a ≠ 0)中可以直接得出抛物线的顶点坐标，所以通常把它称为二次函数的顶点式，顶点坐标是(h，k).
●将二次函数y=ax2的图象左右平移|h| 个单位长度得到二次函数y=a(x－h)2 的图象， 再将二次函数y=a(x－h)2 的图象上下平移|k|个单位长度得到二次函数y=a(x－h)2+k 的图象.
感悟新知
知2－练
对于抛物线y=－(x+1)2+3，下列结论：
① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1；
③ 顶点坐标为(－1，3)；④当x>1 时，y 随x 的增大而减小.
其中正确结论有_______________ .
例 2
①③④
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象与性质逐一判断.
解：∵ a=－1<0，
∴抛物线的开口向下，故①正确；
对称轴为直线x=－1，故②错误；
顶点坐标为(－1，3)，故③正确；
当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
知2－练
感悟新知
2-1.[中考· 兰州] 已知二次函数y=－3(x－2)2－3，下列说法正确的是( )
A. 图象的对称轴为直线x=－2
B. 图象的顶点坐标为(2，3)
C. 函数的最大值是－3
D. 函数的最小值是－3
C
知2－练
感悟新知
2-2. 二次函数y=(x－m)2－1，当x ≤ 3 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_________ .
m≥3
知识点
二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k之间的关系
知3－讲
感悟新知
3
1. 位置关系
知3－讲
感悟新知
2. 图象与性质关系
函数 y=a(x－h)2+k y=a(x－h)2 y=ax2+k y=ax2
相同点 形状 图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同 对称性 图象都是轴对称图形 增减性 当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y 随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
知3－讲
感悟新知
函数 y=a(x－h)2+k y=a(x－h)2 y=ax2+k y=ax2
不同点 顶点 (h，k) (h，0) (0，k) (0，0)
对称轴 直线x=h y 轴 续表
知3－讲
感悟新知
特别解读
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2 ，y=a(x－h)2+k 中a 的值相等， 所以这四条抛物线的形状、开口方向完全一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.
感悟新知
知3－练
已知抛物线y=a(x－h)2+k 是由抛物线y=－x2向上平移2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度得到的.
例 3
解题秘方：紧扣特殊形式的二次函数间的关系进行解答.
感悟新知
知3－练
(1)求出a，h，k 的值.
解：∵抛物线y=－x2向上平移2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度后得到的抛物线是y=－(x－1)2+2，
∴ a=－，h=1，k=2.
感悟新知
知3－练
(2)在同一直角坐标系中，画出y=a(x－h)2+k与y=－x2的图象.
解：函数y=－(x－1)2+2
与y=－x2 的图象如图2-2-13.
感悟新知
知3－练
(3)观察y=a(x－h)2+k 的图象，当x _______ 时，y 随x 的增大而增大；当x _______时，函数有最_______值，最_______值是_______ .
<1
=1
大
大
2
感悟新知
知3－练
(4)观察y=a(x－h)2+k 的图象，你能说出对于一切x 的值，y 的取值范围吗？
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知3－练
3-1.将抛物线y=(x－2)2－4 先向右平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后的抛物线的顶点坐标为( )
A. (4，－3) B. (0，－3)
C. (3，－2) D. (－3，－2)
A
感悟新知
知3－练
3-2. [中考·广西] 将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度，再向上平移4 个单位长度，得到的抛物线是( )
A. y=(x－3)2+4
B. y=(x+3)2+4
C. y=(x－3)2－4
D. y=(x+3)2－4
A
课堂小结
二次函数y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k的图象与性质
y=ax2
y=a(x－h)2+k
上下左右平移
y=a(x－h)2
y=ax2+k
左右平移
左右平移
上下平移
上下平移
