(共18张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第二章 二次函数
2.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识点
知1－讲
感悟新知
1
二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x－h)2+k之间的关系
1. 二次函数的一般式 y=ax2+bx+c与顶点式y=a(x－h)2+k的互化即y=ax2+bx+c=a2+ .
知1－讲
感悟新知
配方过程
y=ax2+bx+c=a+c=a+c
=a +c=a2－+c=a2 +.
知1－讲
感悟新知
2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法
把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x－h)2+k 的形式.
方法一：描点法. 利用顶点，对称轴，与x，y 轴的交点画图象.
方法二：平移法. 作出二次函数y=ax2 的图象，然后平移，使其顶点平移到(h，k).
感悟新知
知1－练
对于抛物线y=x2－4x+3.
例 1
解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答.
感悟新知
知1－练
(1)将抛物线的表达式化为顶点式.
解：∵ y=x2－4x+3=(x2－4x+4)－4+3=(x－2)2－1，
∴顶点式为y=(x－2)2－1.
感悟新知
知1－练
(2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
解：列表：
“五点”包括顶点，以及关于对称轴对称的两对点.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 －1 0 3 …
抛物线如图2-2-20.
感悟新知
知1－练
1-1. 抛物线y=－x2+x+1 经平移后，不可能得到的抛物线是( )
A. y=－x2+x B. y=－x2－4
C. y=－x2+2 023x－2 024 D. y=－x2+x+1
D
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知2－讲
感悟新知
2
函数 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠ 0) a>0 a>0
图象
知2－讲
感悟新知
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=－ 顶点坐标 续表
知2－讲
感悟新知
增减性 当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小
最值 当x=－时，y最小值= 当x=－时，y最大值=
续表
知2－讲
感悟新知
活学巧记
曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，
顶点纵标是最值，如果要画抛物线，描点平移两条路.
提取配方定顶点，平移描点皆成图.
列表描点后连线，五点大致定全图.
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小都不变.
感悟新知
知2－练
已知抛物线y=2x2－4x－6.
(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标.
例 2
解：开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，－8)
感悟新知
知2－练
(2)求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标.
解：令y=0，得2x2－4x－6=0，解得x1=－1，x2=3.
∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0).
令x=0，得y=－6.∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，－6).
解题秘方：类比一次函数的方法，求图象与x 轴的交点坐标，令y=0，再解方程；求图象与y 轴的交点坐标，令x=0，再代入求值.
感悟新知
知2－练
(3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？
解：当x ≥ 1 时，y 随x 的增大而增大.
知2－练
感悟新知
2-1. 已知二次函数y=x2－4x+m 的最小值是－2，则m 的值为________ .
2-2. [中考· 兰州]已知二次函数y=2x2－4x+5，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜2 D．x＞2
2
B
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
顶点式
对称轴
一般式
顶点
图象
性质
互化(共36张PPT)
3 确定二次函数的表达式
第二章 二次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用待定系数法求二次函数的表达式
二次函数的简单应用
知识点
知1－讲
感悟新知
1
用待定系数法求二次函数的表达式
1. 常见的二次函数表达式的适用条件：
(1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线上三点的坐标；
(2)顶点式y=a(x－h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值；
(3)交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0).
知1－讲
感悟新知
2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤：
(1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式.
技巧提醒
特殊位置抛物线的表达式的求解技巧：
1. 顶点在原点，可设为y=ax2；
2. 对称轴是y 轴( 或顶点在y轴上)，可设为y=ax2+k；
3. 顶点在x轴上，可设为y=a(x － h)2；
4. 抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.
知1－讲
感悟新知
(2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组.
(3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值.
(4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式.
感悟新知
知1－练
如图2-3-1，抛物线y=ax2+bx+c 经过A(－1，0)，B(0，－3)，C(3，0)三点.
例 1
解题秘方：紧扣利用待定系数法求二次函数表达式的步骤解决问题.
感悟新知
知1－练
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
解：将A，B，C三点的坐标代入y=ax2+bx+c 中，得
解得
∴该抛物线对应的函数表达式为y=x2－2x－3.
感悟新知
知1－练
(2)若该抛物线的顶点为D，求sin ∠ BOD 的值.
解：∵ y=x2－2x－3=(x－1)2－4 ，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4).
如图2-3-1，过点D作DH ⊥ y轴于点H.
在Rt△ODH中，∵ DH=1，OH=4，
∴由勾股定理得OD= =.
∴ sin ∠BOD= = .
感悟新知
知1－练
1-1. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)中的x 和y 满足下表：
x … 0 1 2
y … 3 0 －1
x 3 4 5 …
y 0 m 8 …
感悟新知
知1－练
求：(1)m 的值；
解：由表格知该抛物线的对称轴为直线x＝2，则点(4，m)与点(0，3)关于直线x＝2对称，
∴ m＝3.
感悟新知
知1－练
(2)这个二次函数的表达式.
感悟新知
知1－练
已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－2，3)，且图象与y 轴的交点在y 轴正半轴上距原点4 个单位长度处，求这个二次函数的表达式.
解题秘方：紧扣已知的顶点坐标，用待定系数法设出顶点式，求出函数的表达式.
例 2
感悟新知
知1－练
解：由于此二次函数图象的顶点坐标为(－2，3)，可设函数表达式为y=a[x－(－2)]2+3，即y=a(x+2)2+3. 由于函数图象经过点(0，4)，因此将(0，4)代入y=a(x+2)2+3 中，解得a= .故这个二次函数的表达式为y=x2+x+4.
感悟新知
知1－练
2-1. 已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.
感悟新知
知1－练
感悟新知
知1－练
已知抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且抛物线经过点C(2，8)，求该抛物线对应的函数表达式.
例 3
解题秘方：紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式.
感悟新知
知1－练
解：∵抛物线与x 轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，
∴可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+2)(x－1).
又∵抛物线经过点C(2，8 ) ，
∴把点C(2，8 )的坐标代入y=a(x+2)(x－1)中，
得8=a(2+2)×(2－1) ，∴ a=2.
故抛物线对应的函数表达式为y=2(x+2)(x－1) ，
即y=2x2+2x－4.
感悟新知
知1－练
3-1.[中考·常德] 如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x=2.
感悟新知
知1－练
(1)求此抛物线的表达式；
解：∵抛物线过点O(0，0)，且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)．
设抛物线的表达式为y＝ax(x－4)，把点A(5，5)的坐标代入，得5a＝5，解得a＝1，
故此抛物线的表达式为y＝x2－4x.
感悟新知
知1－练
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△ OAB 面积为15 时，求B 的坐标；
解： ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设点B的坐标为(2，m)(m＞0)．
感悟新知
知1－练
感悟新知
知1－练
(3)在(2)的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA－PB 的值最大时，求点P 的坐标以及PA－PB 的最大值.
感悟新知
知1－练
知识点
二次函数的简单应用
知2－讲
感悟新知
2
根据实际问题求二次函数表达式的步骤：
(1)先通过已知条件确定抛物线所经过的点的坐标；
(2)根据题意设出合适的二次函数表达式；
(3)用待定系数法和方程思想求出待定系数的值，从而确定二次函数的表达式.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
当实物模型呈抛物线状时，平面直角坐标系的位置决定二次函数表达式的类型.
感悟新知
知2－练
一施工队对某隧道进行美化施工，已知隧道的横截面为抛物线的一部分，其最大高度为7 m，底部宽度OE 为14 m . 如图2-3-2，以点O 为原点，OE 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.
例 4
解题秘方：先用待定系数法求出函数表达式，再利用表达式表示出有关点的坐标和所求量，进而求出函数的最值.
感悟新知
知2－练
(1)写出顶点M 的坐标并求出抛物线的函数表达式.
解：由题意，得点M的坐标为(7，7)，点E的坐
标为(14，0).设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx，
则解得
故抛物线的函数表达式为y=－x2+2x.
感悟新知
知2－练
(2)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OE上.设OA为x m，“脚手架”三根木杆AD，DC，CB 的长度之和为l m. 当x 为何值时，l 最大，最大值是多少？
知2－练
感悟新知
解：由题意知，点A 坐标为(x，0)，则点B，C，D坐标分别为(14－x，0)， (14－x，－x2+2x )， (x，－x2+2x) .则l=AD+DC+CB= (－x2+2x)+(14－2x)+ (－x2+2x )=－x2+ 2x+14=－(x－)2+. ∵－＜ 0，∴当x=时，l有最大值，最大值为 .
感悟新知
知2－练
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物线的函数表达式.
解：(答案不唯一)将抛物线放在如图所示的直角坐标系中，根据已知条件知A，B，C三点的坐标分别是(－10，0)，(10，0)，(0，6)．
感悟新知
知2－练
感悟新知
知2－练
(2)求支柱MN 的长度.
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
知2－练
感悟新知
课堂小结
确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式
已知条件的
呈现方式
一般式
顶点式
交点式
关键(共35张PPT)
确定二次函数的表达式
2.3
北师版 九年级下
第二章 二次函数
A
1
2
3
4
5
A
6
7
8
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
C
设二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
1
x … －1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小.
【解】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
(2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
(母题：教材P43习题T1)抛物线的顶点为(1，－4)，与y轴交于点(0，－3)，则该抛物线的表达式为( )
A．y＝x2－2x－3
B．y＝2x2＋2x－3
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2－3x－3
2
【点拨】
【答案】A
设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将点(0，－3)的坐标代入，得－3＝a(0－1)2－4，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
3
【点拨】
【答案】C
设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则( )
A．当k＝2时，函数y的最小值为－a
B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为－a
D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a
4
【点拨】
【答案】A
[2023·威海]如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1交x轴于点A(1，0)，C(5，0)，顶点坐标为E(m1，k)．抛物线L2交x轴于点B(2，0)，D(10，0)，顶点坐标为F(m2，k)．
5
(1)连接EF，求线段EF的长；
(2)点M(－7，d1)在抛物线L1上，点N(16，d2)在抛物线L2上．比较大小：d1________d2；
＞
【点拨】
由题意，设抛物线L1：y1＝a1(x－1)·(x－5)，抛物线L2：y2＝a2(x－2)(x－10)，
由(1)得E(3，k)，F(6，k)，
∴a1(3－1)(3－5)＝a2(6－2)(6－10)，∴a1＝4a2，
∴y1＝4a2(x－1)(x－5)，
把M(－7，d1)的坐标代入抛物线L1的表达式得d1＝4a2(－7－1)(－7－5)＝384a2，
把N(16，d2)的坐标代入抛物线L2的表达式得d2＝a2(16－2)(16－10)＝84a2，
∵抛物线L2的开口向上，∴a2＞0，
∴d1＞d2.
(3)若点P(n＋3，f1)，Q(2n－1，f2)在抛物线L1上， f1＜f2，求n的取值范围．
(母题：教材P42例1)根据下列条件求函数表达式．
(1)已知抛物线的顶点在原点，且过点(3，－27)，求抛物线的函数表达式；
6
【解】设抛物线的函数表达式为y＝ax2(a≠0)．
将点(3，－27)的坐标代入，解得a＝－3，
∴抛物线的函数表达式为y＝－3x2.
(2)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过(2，2)和(1，1)两点，求抛物线的函数表达式；
(3)已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且过点(－3，5)，求抛物线的函数表达式．
[2023·绍兴]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c.
(1)当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
7
【解】∵b＝4，c＝3，
∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，
∴该函数图象的顶点坐标为(2，7)．
②当－1≤x≤3时，求y的取值范围；
【解】∵－1≤x≤3，
∴当x＝2时，y有最大值7，
∵2－(－1)＞3－2，
∴当x＝－1时，y有最小值－2，
∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7.
(2)当x≤0时，y的最大值是2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)．
8
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤－2时，请直接写出x的取值范围．
【解】当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1.
已知A(m－1，m2)，B(m＋3，m2)是抛物线y＝x2－2x＋c上两个不同的点．
(1)求m的值和抛物线的函数表达式．
9
(2)当n≤x≤n＋3时，y有最小值－4，求n的取值范围．
【解】∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴当x＝1时，y最小值＝－4，
∴n≤1≤n＋3，解得－2≤n≤1.
(3)对于下面两个结论：
①存在n，使得当n≤x≤n＋3时，y有最小值－3；
②存在n，使得当n≤x≤n＋3时，y有最大值－3.
请判断以上两个结论是否正确．若存在正确的结论，请直接写出n的取值情况．
【解】令y＝x2－2x－3＝－3，解得x＝0或x＝2，
∴存在n值，使得当n≤x≤n＋3时，y有最小值－3，此时n＋3＝0或n＝2，即n＝－3或n＝2；
∵2－0∴不存在n，使得当n≤x≤n＋3时，y有最大值为－3.
综上，结论①正确，n的值为－3或2.(共22张PPT)
实物抛物线的最值
2.4.2
北师版 九年级下
第二章 二次函数
19
1
2
3
4
5
6
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
10
[2023·滨州]某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，那么水管的设计高度应为________．
1
【点拨】
将部分抛物线形水柱放在如图所示的平面直角坐标系中，由题意可知点(1，3)是抛物线的顶点，
则设这段抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋3.
2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪)．在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．
2
如图，当两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′，B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面________米．
19
3
10
【点拨】
[2023·兰州]一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离
起跳点A的水平距离为1 m时达到最
高点，当运动员离起跳点A的水平距
离为3 m时离水面的距离为7 m.
4
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
[2023·河南]小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝ 3 m，CA＝2 m，击球点P在y轴上．
5
若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2.
(1)求点P的坐标和a的值；
【解】在y＝－0.4x＋2.8中，令x＝0得y＝2.8，
∴点P的坐标为(0，2.8)．
把点P(0，2.8)的坐标代入y＝a(x－1)2＋3.2
得a＋3.2＝2.8，
解得a＝－0.4，
∴a的值是－0.4.
某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
6
方案一，抛物线形拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m.
其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN.
方案二，抛物线形拱门的跨度ON′＝8 m，拱高P′E′＝6 m.
其中，点N′在x轴上，P′E′⊥ON′，OE′＝E′N′.
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1，并比较S1，S2的大小．(共43张PPT)
营销中的最值
2.4.3
北师版 九年级下
第二章 二次函数
1
2
3
4
5
6
7
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
1
(1)m＝________，n＝________；
－2
60
(2)求第x天的销售额W(元)与x之间的函数关系式；
(3)在试销售的30天中，销售额超过1 000元的共有多少天？
“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，
通过描点(图①)，发现该蔬菜
需求量y需求(吨)关于售价x(元/千
克)的函数图象可以看成抛物线，
其表达式为y需求＝ax2＋c，
部分对应值如下表：
2
②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y供给＝x－1，函数图象见图①.
售价x/(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y需求/吨 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
请解答下列问题：
(1)求a，c的值．
(2)根据图②，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【点方法】
(1)利用待定系数法求解即可；
(2)设这种蔬菜每千克获利w元，根据w＝x售价－x成本列出函数关系式，化成顶点式求解；
(3)根据题意列出方程，求出x的值，再求总利润即可.
. . . . .
数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性；形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．请你结合所学的数学解决下列问题．
3
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝(4a＋2)x2＋(9－6a)x－ 4a＋4(实数a为常数)的图象为图象T.
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
(1)当x＝60时，p＝________；
4
400
(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？
【解】由题意可得，
W＝(x－40)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000.
(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
小强：∵50≤x≤65，
设日销售额为y元，则
y＝x·p＝x(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 000x＝－10(x－50)2＋
25 000，
当x＝50时，y值最大，此时y＝25 000；
当x＝65时，W值最大，此时W＝8 750，
∴小强正确．
小红：当日销售利润不低于8 000元时，
即W≥8 000，
－10(x－70)2＋9 000≥8 000，
解得60≤x≤80.
∵50≤x≤65，
∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.
故小红错误，当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65.
[2023·临沂]综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
5
售价/(元/盆) 日销售量/盆
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下 表中：
18
售价/(元/盆) ____ ____ ____ ____ ____
日销售量/盆 ____ ____ ____ ____ ____
54
20
50
22
46
26
38
30
30
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
【解】∵每天获得400元的利润，
∴(x－15)(－2x＋90)＝400，解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，定价为25元/盆或35元/盆．
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【解】设每天获得的利润为w元．
根据题意，得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－ 1 350＝－2(x－30)2＋450.
∵－2<0，∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元/盆时，每天能够获得最大利润450元．
[2022·宁波]为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y(千克)与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，平均单株产量减少0.5千克．
6
(1)求y关于x的函数表达式．
【解】∵每平方米种植的株数每增加1株，平均单株产量减少0.5千克，
∴y＝4－0.5(x－2)＝－0.5x＋5.
即y关于x的函数表达式为y＝－0.5x＋5(2≤x≤8，且x为整数)．
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【解】设每平方米小番茄的产量为W千克．
根据题意，得W＝x(－0.5x＋5)＝－0.5x2＋5x＝－0.5(x－5)2＋12.5.
∵－0.5＜0，∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5.
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中1 000 m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m2)与其种植面积x(单位：m2)的函数关系如图所示，
其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植
成本为50元/m2.
7
(1)当x＝________m2时，y＝35元/m2；
500
【点拨】
(2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
此时，1 000－x＝1 000－400＝600.
当600≤x≤700时，W＝40x＋50(1 000－x)＝－10x＋50 000.
∵－10＜0，
∴当x＝700时，W有最小值，最小值为－10×700＋50 000＝43 000，∴42 000＜43 000，
∴当甲种蔬菜的种植面积为400 m2，乙种蔬菜的种植面积为600 m2时，W最小．
(3)学校计划今后每年在这1 000 m2土地上，均按(2)中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28 920元？
【解】由(2)可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42 000元，且乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30 000(元)，
则甲种蔬菜的种植成本为42 000－30 000＝12 000(元)．
由题意，得12 000(1－10%)2＋30 000(1－a%)2＝28 920.
设a%＝m，整理，得(1－m)2＝0.64，
解得m1＝0.2＝20%，m2＝1.8(不符合题意，舍去)，
∴a%＝20%，∴a＝20.
答：当a为20时，2025年的总种植成本为28 920元．(共22张PPT)
实际应用中的最值
2.4.4
北师版 九年级下
第二章 二次函数
1
2
3
4
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．
1
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
[销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量]
【解】设利润为w元，当22≤x≤30时， w＝(x－20)(－x＋
70)＝－x2＋90x－1 400＝－(x－45)2＋625.
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－
2 000＝－2(x－35)2＋450，
当x＝35时，w取得最大值为450.
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.
2
(1)求y与x之间的函数表达式(不求自变量的取值范围)；
(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)
【解】设老张明年种植该作物的总利润为w元．
依题意得w＝[2 160－(4x＋200)＋120]·x＝－4x2＋2 080x＝－4(x－260)2＋270 400.
∵－4＜0，∴当x＜260时，w随x的增大而增大．
由题意知x≤240，∴当x＝240时，w最大，最大值为
－4×(240－260)2＋270 400＝268 800.
答：当种植面积为240亩时总利润最大，最大利润是
268 800元．
【点方法】
在实际问题中求最值时，解题思路是列二次函数表达式，用配方法把函数表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值，或者利用函数的增减性求函数的最值．
公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)、速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
3
(1)当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车以10 m/s的速度匀速行驶，何时两车相距最近，最近距离是多少？
(母题：教材P61复习题T21)施工队要修建一个横断面为抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图①)．
4
(1)求出这条抛物线对应的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．
(3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使点A，D在抛物线上，点B，C在地面OM上(如图②)．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB，AD，DC的长度之和的最大值．请你帮施工队计算一下．(共35张PPT)
4 二次函数的应用
第二章 二次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用二次函数解实际问题
知识点
知1－讲
感悟新知
1
用二次函数解实际问题
1. 常用方法
利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象与性质去解决问题.
知1－讲
感悟新知
2. 一般步骤
(1)审：仔细审题，理清题意；
(2)找：找出问题中的变量和常量；
(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题；
(4)解：根据已知条件，借助二次函数的表达式、图象与性质等求解实际问题；
(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论.
知1－讲
感悟新知
要点解读
1. 用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义.
2. 在实际问题中求最值时，用配方法把函数表达式化为y=a(x－h)2+k 的形式求函数的最值，或者针对函数表达式用顶点坐标公式求函数的最值.
感悟新知
知1－练
[中考·宿迁] 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元)，每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件．
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：：紧扣利润问题中单件利润、销售量和总利润之间的关系建立函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题.
感悟新知
知1－练
(1)请写出y 与x 之间的函数表达式.
解：y=50－.
感悟新知
知1－练
(2)当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250 元？
解：由题意得(40+x)=2 250，
解得x1=10，x2=50.
因为x+40 ≤ 60，所以x ≤ 20，所以x=10.
故当x为10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2 250 元.
销售量×单个利润=总利润
感悟新知
知1－练
(3)设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？
解：由题意得w=(40+x) =－(x－30)2+2 450.
因为－<0，所以当x<30 时，w随x 的
增大而增大.因为0 ≤ x ≤ 20，所以当x=
20 时w最大，最大值是2 400.
温馨提示：当顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，最值不能在顶点处取.
感悟新知
知1－练
1-1. 已知某商店所销售的毛绒玩具每件的进价为30 元，在某段时间内若以每件x元(30≤x≤50，且x 为整数)出售，可卖出(50－x)件. 若要使该商店销售该玩具的利润最大，每件的售价为( )
A. 35 元 B. 40 元 C. 45 元 D. 48 元
B
感悟新知
知1－练
1-2.(易错题)某商品的进价为每件30 元，现在的售价为每件40 元，每星期可卖出150 件．市场调查反映：每件售价每涨1 元(售价每件不能高于45 元)，每星期少卖10 件．设每件售价为x 元(x 为非负整数)，若要使每星期的利润最大，且销量较大，则x 应为( )
A. 41 B. 42 C. 42.5 D. 43
B
感悟新知
知1－练
如图2-4-1，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场
ABCD，其中∠ C=120°．若新建墙BC 与CD 总长为12 m，求该梯形储料场ABCD 的最大面积.
例 2
解题秘方：紧扣求图形面积的方法建立二次函数关系，利用二次函数的性质解决面积最值问题.
感悟新知
知1－练
解：如图2-4-2，过点C 作CE ⊥ AB 于E，设CD=x m，
梯形储料场ABCD 的面积为S m2，则BC=(12－x)m.
易知四边形ADCE 为矩形，∴AD=CE，CD=AE=x m，
∠ DCE=90°，
∴∠ BCE= ∠ BCD－∠ DCE=30°.
在Rt△CBE 中，
∵∠ CEB=90°，∠ BCE=30°，
感悟新知
知1－练
∴BE=BC=(6－x)m，∴ AD=CE=(6－x)m，
AB=AE+BE=x+6－x=(x+6)m，∴ S=(CD+AB)·AD= (x+x+6 )·(6－x)=－(x－4)2+ 24. ∴当x=4 时，S 取得最大值，S最大值=24．∴当CD长为4 m 时，梯形储料场ABCD 的面积最大，最大面积为24m2．
感悟新知
知1－练
2-1. [中考·菏泽] 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120 米.
感悟新知
知1－练
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
感悟新知
知1－练
感悟新知
知1－练
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2 株，知牡丹每株售价25 元，芍药每株售价15 元，学校计划购买费用不超过5 万元，求最多可以购买多少株牡丹.
感悟新知
知1－练
解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1 200－a)平方米，
由题意可得25×2a＋15×2(1 200－a)≤50 000，解得a≤700.
∴牡丹最多种植700平方米.
700×2＝1 400(株).
答：最多可以购买1 400株牡丹.
感悟新知
知1－练
[中考·衢州]某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 m 处达到最高，高度为5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合. 如图2-4-3 所示，以水平方
向为x轴，喷水池中心为
原点建立直角坐标系.
例 3
感悟新知
知1－练
解题秘方：根据实物模型建立二次函数模型，利用二次函数的性质求最值是解决问题的关键.
感悟新知
知1－练
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.
解：设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x－3)2+5(a ≠ 0)，将点(8，0)的坐标代入y=a(x－3)2+ 5，得25a+5=0，解得a=－ . ∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=－(x－3)2+5(0感悟新知
知1－练
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
解：当y=1.8 时，有－ (x－3)2+5=1.8，
解得x1=－1(舍去)，x2=7，
∴为了不被淋湿，身高1.8 m的王师傅站立时必须在离水池中心7 m 以内.
感悟新知
知1－练
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施进行如下扩建改造：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
感悟新知
知1－练
解：当x=0 时，y=－×(0－3)2+5=.
设扩建改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=－x2+bx+. ∵该函数图象过点(16，0)，∴ 0=－× 162+16b+ ，解得b=3. ∴扩建改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=－x2+3x+=－(x－)2+ . ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为m.
感悟新知
知1－练
3-1. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲在O点正上方1 m 的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数关系式y=a(x－4)2+h，
已知点O与球网的水平距离
为5 m，球网的高度为1.55 m.
感悟新知
知1－练
(1)当a=－时，
①求h的值；
感悟新知
知1－练
②通过计算判断此球能否过网.
感悟新知
知1－练
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.
感悟新知
知1－练
3-2. [中考· 滨州]如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出. 小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力， 小球的飞行高度y(单位：m) 与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y=－5x2+20x，请根据要求解答下列问题.
感悟新知
知1－练
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行的时间是多少？
解：当y＝15时，15＝－5x2＋20x，
解得x1＝1，x2＝3.
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是1 s或3s.
感悟新知
知1－练
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
解：当y＝0时，0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4.
4－0＝4(s)．
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
感悟新知
知1－练
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20.
∴当x＝2时，y取得最大值，y最大值＝20.
答：在飞行过程中，2 s时小球飞行高度最大，最大高度是20 m．
课堂小结
二次函数的应用
实际问题
图形面积
抛物线型
数学模型
分类
利润问题
转化
二次
函数
增减性
最值(共29张PPT)
5 二次函数与一元二次方程
第二章 二次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系
二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系
知识点
知1－讲
感悟新知
1
二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系
一般地，由二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0 时，函数值是0，因此x=x0 是方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的一个根.
知1－讲
感悟新知
2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别
一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0) 与二次函数y=ax2+ bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下：
知1－讲
感悟新知
判别式 结果 内容 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠ 0)的根的情况 有两个不等的实数根x= 有两个相等的实数根x1=x2=－ 没有实数根
知1－讲
感悟新知
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象 a>0
a<0
续表
知1－讲
感悟新知
抛物线与x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点
续表
知1－讲
感悟新知
拓宽视野
已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成是已知二次函数y=ax2+bx+c 的函数值y=m，求自变量x 的值. 一元二次方程ax2+bx+c=m的解是抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=m 的公共点的横坐标.
感悟新知
知1－练
二次函数y=x2－6x+n 的图象如图2-5-1，若关于x的一元二次方程x2－6x+n=0 的一个根为x1=1，则另一个根x2=________ .
例 1
5
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣抛物线与x 轴两交点和对称
轴的关系求解.
解：由图象知抛物线与x轴的一个交点为(1，0).
由题知抛物线的对称轴为直线x=－=3.
∴抛物线与x轴的另一个交点是(5，0).
∴方程的另一个根为x2=5.
可用一元二次方程根与系
数的关系进行验证.
感悟新知
知1－练
1-1. 抛物线y=x2+2x+m－1 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )
A. m<2 B. m>2 C. 01-2.[中考· 成都] 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y=x2+2x+k与x 轴只有一个交点，则k= _____．
A
1
知识点
二次函数的图象与一元二次方程的近似根的关系
知2－讲
感悟新知
2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的根.
知2－讲
感悟新知
1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根
(1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，就是方程ax2+bx+c=0的根的个数.
知2－讲
感悟新知
(2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
(3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
知2－讲
感悟新知
方法提醒
估计一元二次方程的根的方法：
对于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax12+bx1+c>0，且ax22+ bx2+c<0，那么在x1与x2之间存在一个根，取x3=.若ax32+bx3+c>0，则取x4= ；若ax32+bx3+c<0，则取x4=.
这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止.
知2－讲
感悟新知
2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的根
(1)将方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；
(3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
感悟新知
知2－练
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2+2x－3=－8 的近似根(结果精确到0.1).
例 2
解题秘方：画出二次函数y=－x2+2x+5 的图象，利用二次函数的图象与x 轴的公共点计算一元二次方程的近似根.
知2－练
感悟新知
解：整理方程，得－x2+2x+5=0.
作函数y=－x2+2x+5 的图象
如图2-5-2.
知2－练
感悟新知
由图象可知，抛物线与x 轴公共点的横坐标分别在－2 和－1之间，3 和4 之间，即方程－x2+2x－3=－8 的两个实数根分别在－2和－1 之间，3 和4 之间. 用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，从而确定方程的近似根为x1 ≈ －1.4，x2 ≈ 3.4.
感悟新知
知2－练
2-1. [中考·苏州]若二次函数y=ax2+1 的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x－2)2+1=0 的实数根为( )
A. x1=0，x2=4
B. x1=－2，x2=6
C. x1= ，x2=
D. x1=－4，x2=0
A
知识点
二次函数y=ax2+bx+c 的图象的特征与a，b，c的符号关系
知3－讲
感悟新知
3
二次函数y=ax2+bx+c 中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab 的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，b2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴的交点情况，具体如下表：
知3－讲
感悟新知
字母或式子的符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y 轴
ab>0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧
ab<0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧
知3－讲
感悟新知
c c=0 图象过原点
c>0 图象与y 轴正半轴相交
c<0 图象与y 轴负半轴相交
b2－4ac b2－4ac=0 图象与x 轴有唯一一个交点
b2－4ac>0 图象与x 轴有两个交点
b2－4ac<0 图象与x 轴没有交点
续表
知3－讲
感悟新知
收藏夹
二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的函数值：
当x=1时，y=a+b+c；
当x=－1 时，y=a－b+c；
当x=2 时，y=4a+2b+c.
感悟新知
知3－练
已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图2-5-3，有下列结论： ① a+b+c<0； ② a－b+c>0； ③ abc>0； ④ b2<4ac；⑤ b=2a. 其
中正确的结论有( )
A. 4 个 B. 3 个
C. 2 个 D. 1 个
例 3
知3－练
感悟新知
解题秘方：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断.
知3－练
感悟新知
解：当x=1 时，对应的函数值y<0，即a+b+c<0，故①正确；当x=－1 时，对应的函数值y>0，即a－b+c>0，故②正确；观察图象知抛物线过原点，∴ c=0，∴ abc=0，故③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b2－4ac＞ 0，即b2＞ 4ac，故④错误；∵抛物线的对称轴是直线x=－1，
∴ －=－1，∴ b=2a，故⑤正确.
答案：B
知3－练
感悟新知
3-1. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，有下列说法：
① a>0；② b>0；③ c<0； ④ b2－4ac>0.
其中正确的有( )
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
B
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一
元二次方程
图象与字母系数a，b，c的关系
二次函数图象与x轴的公共点个数
函数值为0时的一元二次方程根的个数(共40张PPT)
二次函数与一元二次方程
2.5
北师版 九年级下
第二章 二次函数
9
C
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
B
C
B
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
B
12
13
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
[2023·郴州]已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝________．
1
9
【点拨】∵抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，∴Δ＝b2－4ac＝36－4m＝0，解得m＝9.
若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为( )
A．直线x＝－3 B．直线x＝3
C．直线x＝1 D．直线x＝－1
2
【点拨】
【答案】C
[2023·仙桃]抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴相交于点A(－3，0)，B(1，0)．下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3b＋2c＝0；④若点P(m－2，y1)，Q(m，y2)在抛物线上，且y1＜y2，则m≤－1.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3
【点拨】
①由题意得y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)＝ax2＋ 2ax－3a，∴b＝2a，c＝－3a，∵a＜0，∴b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴相交于点A(－3，0)，B(1，0)，∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，故②正确；
【答案】B
[2023·牡丹江]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，(3，0)．
4
【点拨】
【答案】D
根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的一个解的范围是( )
5
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y＝ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
A．x＞3.26 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【点拨】
【答案】C
根据函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0的解及函数y＝ax2＋bx＋c的增减性可判断出方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围．
已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)．则下列结论正确的是( )
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
6
【点拨】
【答案】B
关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的
解为抛物线y＝x2＋2x－3与直线y＝m
的交点的横坐标，关于x的方程x2＋
2x－3－n＝0的解为抛物线y＝x2＋
2x－3与直线y＝n的交点的横坐标．
如图．由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，故选B.
(母题：教材P51议一议)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为
________________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为___________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为____________．
7
x1＝－1，x2＝2
－1＜x＜2
x≤－1或x≥2
【点拨】
方程ax2＋bx＋c＝0的解为抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标；不等式ax2＋bx＋c>0的解集是抛物线在x轴上方部分的x的取值范围；不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是抛物线在x轴上及x轴下方部分的x的取值范围．
[2023·聊城]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1.下列结论：①3a＋c＞0；②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；
④满足ax2＋bx＋c＞2的x的取值范围为－2＜
x＜0.其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8
【点拨】
关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1的解可看作抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1的交点的横坐标，由图象可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个交点，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根，故③错误；
【答案】B
不等式ax2＋bx＋c＞2的解集可看作抛物线y＝ax2＋ bx＋c在直线y＝2上方部分的点的横坐标组成的集合，∵抛物线经过点(0，2)，(0，2)关于直线x＝－1对称的点为(－2，2)，∴x的取值范围为－2＜x＜0，故④正确．故选B.
若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是____________．
9
b<1且b≠0
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b＞0且b≠0，解得b＜1且b≠0.本题易忽略函数图象与y轴的交点不能在原点处，即b≠0，否则函数图象与坐标轴只有两个交点．
[2022·青岛]已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
10
【解】将点P(2，4)的坐标代入y＝x2＋mx＋m2－3，得4＝4＋2m＋m2－3，解得m1＝1，m2＝－3.
又∵m＞0，∴m＝1.
(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【解】有2个交点．理由：∵m＝1，∴y＝x2＋x－2.
∵在x2＋x－2＝0中，Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
11
(2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．
【点方法】
根据一元二次方程与二次函数的关系，当已知抛物线与x轴一个公共点的坐标和对称轴时，可根据轴对称的性质求出抛物线与x轴另一个公共点的坐标，从而求得对应一元二次方程的根．
可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝0时，y<0，当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间.
(1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
12
【解】利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝2时，y<0；当x＝3时，y>0，所以方程的另一个根在2和3之间.
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1.
13
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小．求点P的坐标和PA＋PC的最小值；
【解】如图，连接BC，线段BC与直线x＝1的交点就是
所求作的点P.
设直线CB的表达式为y＝kx＋b′，
【解】补全图形如图．
由(1)，得抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，
由(2)，得yBC＝－x＋3，
故设M(t，－t2＋2t＋3)，
则Q(t，－t＋3)．
∴MQ＝－t2＋3t，
