(共42张PPT)
二次函数的图象与性质
测素质
北师版 九年级下
第二章 二次函数
C
B
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3
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C
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B
B
A
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答 案 呈 现
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D
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17
一、选择题(每题4分，共32分)
1
C
(母题：教材P41习题T2)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝2(x＋2)2＋3 B．y＝2(x－2)2＋3
C．y＝2(x－2)2－3 D．y＝2(x＋2)2－3
2
B
[2022·郴州]关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是( )
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是(－1，5)
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
3
【点拨】
【答案】D
二次函数y＝(x－1)2＋5的图象的开口向上，顶点坐标为(1, 5)，函数有最小值，最小值为5，当x>1时，y随x的增大而增大，故D正确．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，下列结论正确的是( )
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜－2时，y随x的增大而减小
D．当x＞－2时，y随x的增大而减小
4
【点拨】
【答案】C
根据图象可知a>0，c<0，当x<－2时，y随x的增大而减小，当x>－2时，y随x的增大而增大，故C正确．
已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5
【点拨】
抛物线y＝－3x2－12x＋m开口向下，对称轴为直线 x＝－2，∴当x＝－2时y取最大值y2. 又∵点(－3，y1)，点(1，y3)在抛物线上，∴根据二次函数的性质可得y3＜y1＜y2.
【点方法】
【答案】B
比较抛物线上两点对应的函数值大小的方法：
①如果两点在对称轴的同侧，可以用二次函数的增减性比较大小；
②如果两点在对称轴的两侧，可以利用二次函数图象的对称性将对称轴两侧的函数值大小比较问题转化为同侧的函数值大小比较问题．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－4x＋5 B．y＝x2＋4x＋5
C．y＝－x2＋4x－5 D．y＝－x2－4x－5
6
【点拨】
【答案】A
由抛物线y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，抛物线的顶点坐标是(2，1)，C(0，5)，∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9)．∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.
[2023·淮北一中月考]在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax－b与二次函数y＝bx2＋ax的图象可能是( )
7
【点拨】
【点方法】
【答案】D
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的关系即可得出a，b的正负，根据一次函数图象经过的象限也可得出a，b的正负，再进行对比即可得出结论．
[2023·邵阳]已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线y＝ ax2＋4ax＋3(a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝－2；②点(0，3)在抛物线上；③若x1＞x2＞－2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1＋x2＝－2.其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8
【点拨】
【答案】B
二、填空题(每题4分，共20分)
[2023·泰安]二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是________．
9
10
④②①③
【点拨】
已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
由此判断，表中a＝________.
11
6
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 11 a 3 2 3 6 11 …
【点拨】根据表中的数据可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以(－1，a)与(3，6)关于直线x＝1对称，所以a＝6.
如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为__________．
12
【点拨】
[2023·福建]已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)，B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是___________．
13
－1＜n＜0
【点拨】
三、解答题(共48分)
(12分)[2023·天津一中月考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)和点B(4，3)．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
14
(2)写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值(或最小值)．
【解】∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，
－1)，最小值为－1.
(12分)如图，在 ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y＝a(x－h)2＋k经过x轴上的点A，B．
15
(1)求点A，B，C的坐标；
【解】∵在 ABCD中，CD∥AB，且CD＝AB＝4，点D的坐标是(0，8)，
∴点C的坐标为(4，8)．
设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，
则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标分别为(2，0)，(6，0)．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式．
【解】由(1)可知抛物线的表达式为y＝a(x－4)2＋8，把点A(2，0)的坐标代入表达式，解得a＝－2.
设平移后抛物线的表达式为y＝－2(x－4)2＋8＋m，把点D(0，8)的坐标代入平移后抛物线的表达式，
解得m＝32.
∴平移后抛物线的表达式为y＝－2(x－4)2＋40.
(12分)商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
16
销售单价x/元 … 50 60 70 …
月销量y/台 … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
【解】∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的 2倍，∴40≤x≤80.设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得，w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋140)＝－x2＋180x－5 600＝－(x－90)2＋2 500，∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2 400元．
17
(1)求抛物线y2的表达式和点B的坐标；
(2)点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交抛物线y2于点D，当线段CD取得最大值时，求S△BCD.(共36张PPT)
二次函数的应用
测素质
北师版 九年级下
第二章 二次函数
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答 案 呈 现
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一、选择题(每题5分，共30分)
[2023·南京金陵中学月考]据省统计局公布的数据，南京市2023年第一季度GDP总值约为4.2千亿元人民币，若该市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是( )
A．y＝4.2(1＋2x) B．y＝4.2(1－x)2
C．y＝4.2(1＋x)2 D．y＝4.2＋4.2(1＋x)
1
C
(母题：教材P50习题T1)某旅行社在“五一”期间接团去外地旅游，经计算，所获营业额y(元)与旅行团人数x(人)满足关系式y＝－x2＋100x＋28 400，要使所获营业额最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
2
【点拨】
【答案】C
y＝－x2＋100x＋28 400＝－(x2－100x＋502－502)＋28 400＝－(x－50)2＋30 900，∴当x＝50时，所获营业额最大．
当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1 B．2
C．0或2 D．－1或2
3
【点拨】
【答案】D
当y＝1时，x1＝0，x2＝2，
∵当a≤x≤a＋1时，函数值有最小值1，
∴a＝2或a＋1＝0，∴a＝2或a＝－1.
(母题：教材P61复习题T18)已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．无法确定
4
【点拨】
【答案】B
[2023·常州一中模拟]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm；点P从点A开始沿AB向B点以 2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
5
【点拨】
【答案】B
在几何动态问题中建立二次函数模型，然后利用二次函数的性质求最值．
九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形(如图)这三种方案，最佳方案是( )
A．方案1 B．方案2
C．方案3
D．方案1和方案2
6
【点拨】
如图，方案1：设AD＝x米，则AB＝(8－2x)米，则菜园面积为x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8(平方米)，当x＝2时，此时菜园面积最大为8平方米；
【答案】C
二、填空题(每题5分，共20分)
公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s＝16t－4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行________m才能停下．
7
16
【点拨】
∵s＝16t－4t2＝－4(t－2)2＋16，
∴当t＝2时，汽车停下来，滑行了16 m.
中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征．如图，它是抛物线型拱桥，当拱顶距水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加________m.
8
【点拨】
【点方法】
先建立适当的直角坐标系，再利用待定系数法求出抛物线的表达式，进而即可求出水面宽度．
[2022·成都]距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝－5t2＋mt＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值
的差)，则当0≤t≤1时，w的取值范围是
________；当2≤t≤3时，w的取值范围
是________．
9
0≤w≤5
5≤w≤20
【点拨】
∵h＝－5t2＋10t＋15＝－5(t－1)2＋20，
∴抛物线的顶点坐标为(1，20)．
∵20－15＝5，∴当0≤t≤1时，w的取值范围是0≤w≤5.
当t＝2时，h＝15；当t＝3时，h＝0.
∵20－15＝5，20－0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是5≤w≤20.
如图，这是一传媒公司寓意为“大鹏展翅”的大门建筑截面图，它是两条关于线段AB的中垂线对称的抛物线，开口朝向左右，顶点是边长为4米的正方形中心，且分别过正方形的两个顶点．若入口水平宽BE为10.5米，则最高点F到地面的高度FE为________米．
10
7
【点拨】
将原图逆时针旋转90°，以正方形ABCD的中心为原点，平行于BE的直线为y轴建立直角坐标系，求出曲线CF所在抛物线的表达式，问题便迎刃而解．
三、解答题(共50分)
(16分)在体育测试时，九年级的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这名男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)．
11
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)该男生把铅球推出去多远？(结果保留根号)
12
(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
(18分)[2023·营口]某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1 440元购进这款洗衣液的数量与去年用1 200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这款洗衣液每瓶的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这款消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
13
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【解】设这款消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，
根据题意得w＝(x－24)[600＋100(36－x)]＝－100x2＋6 600x－100 800＝－100(x－33)2＋8 100，
∵－100＜0，∴当x＝33时，w取最大值8 100.
∴当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8 100元．(共42张PPT)
二次函数与一元二次方程
测素质
北师版 九年级下
第二章 二次函数
D
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A
D
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答 案 呈 现
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①②④
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一、选择题(每题4分，共32分)
小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
1
【点拨】
【答案】D
二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解．
. . .
(母题：教材P52习题T1)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2
【点拨】
【答案】C
当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，即x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，∴抛物线与x轴的交点为(2，0)；当x＝0时， y＝－x2＋4x－4＝－4，∴抛物线与y轴的交点为(0， －4)．故抛物线与坐标轴有2个交点．
若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个大于1的不相等的实数根
B．有两个小于1的不相等的实数根
C．有一个大于1、另一个小于1的实数根
D．没有实数根
3
【点拨】
【答案】C
根据题意画出草图，根据抛物线与x轴的交点位置判断即可．
[2023·太原五中模拟]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．abc<0
B．b2－4ac<0
C．a－b＋c<0
D．2a＋b＝0
4
【点拨】
【答案】D
已知抛物线y＝x2－6x＋p(p为常数)与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－6x＋p＝0的两个实数根是( )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝－1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝5
5
【点拨】
【答案】D
[2022·南充]已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线y＝mx2－2m2x＋n(m≠0)上，当x1＋x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为( )
A．0＜m≤2 B．－2≤m＜0
C．m＞2 D．m＜－2
6
【点拨】
【答案】A
由y1＜y2，可得mx12－2m2x1＋n＜mx22－2m2x2＋n，整理得m(x2－x1)(x2＋x1－2m)＞0.∵x1＜x2，即x2－x1＞0，∴m(x2＋x1－2m)＞0.当m＞0时，x2＋x1－2m＞0，即x1＋x2＞2m.又∵x1＋x2＞4，∴2m≤4，解得m≤2，∴0＜m≤2；当m＜0时，x2＋x1－2m＜0，即x1＋x2＜2m＜0，与x1＋ x2＞4矛盾．综上可得，m的取值范围为0＜m≤2.
如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A (－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥ －kx＋m的解集是( )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
7
【点拨】
【答案】D
∵函数y＝kx＋m与y＝－kx＋m的图象关于y轴对称，∴直线y＝－kx＋m与抛物线y＝ax2＋c的交点A′，
B′与点A，B也关于y轴对称．如图所示．
∵A(－3，y1)，B(1，y2)，∴A′(3，y1)，
B′(－1，y2)．根据函数图象得，不等
式ax2＋c≥－kx＋m的解集是－1≤x≤3.
[2023·十堰]已知点A(x1，y1)在直线y＝3x＋19上，点B(x2，y2)，C(x3，y3)在抛物线y＝x2＋4x－1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A．－12＜x1＋x2＋x3＜－9
B．－8＜ x1＋x2＋x3 ＜－6
C．－9＜ x1＋x2＋x3 ＜0
D．－6＜ x1＋x2＋x3 ＜1
8
【点拨】
【答案】A
令3x＋19＝x2＋4x－1，整理得x2＋x－20＝0，解得x1＝－5，x2＝4，∴直线y＝3x＋19与抛物线的交点的横坐标为－5，4，∵y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5，∴抛物线开口向上，顶点为(－2，－5)，把y＝－5代入y＝3x＋19，解得x＝－8，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则－8＜x1＜－5， x2＋x3＝－4，∴－12＜x1＋x2＋x3＜－9.故选A.
二、填空题(每题5分，共20分)
抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标是________________．
9
(3，0)，(－1，0)
【点拨】令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3, 0)．
[2023·苏州中学期中]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．当y>0时，自变量x的取值范围是__________.
10
－1＜x＜3
【点拨】
利用函数图象与x轴的一个交点坐标与对称轴求解另一个交点坐标，然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．
【点方法】
y>0时自变量x的取值范围即为图象在x轴上方部分对应x的取值范围．
(母题：教材P53习题T2)已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是____________．
11
k>－1且k≠0
【点拨】由题意可知方程kx2－6x－9＝0有两个不同的解，利用Δ>0即可求出k的取值范围，同时要注意k≠0.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a＋b＋c＝0.下列四个结论：
①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0
y2.
其中正确的是________．(填写序号)
12
①②④
【点拨】
三、解答题(共48分)
(12分)(母题：教材P58复习题T3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
13
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
【解】x1＝1，x2＝3.
1＜x＜3.
x＞2
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【解】由题图可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点时，k<2.
故方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根时，k的取值范围为k<2.
【点方法】
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解．
(12分)[2023·苏州中学期中]已知二次函数y＝2x2－3x＋m－2.
(1)若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围．
14
(2)当二次函数的图象经过点(－1，6)时，确定m的值，并求出此二次函数图象与坐标轴的交点坐标．
(12分)随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x(x为整数)个月每台的销售价格为y(单位：
元)，y与x的函数关系如图所
示(图中ABC为一折线)．
15
(1)当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
(12分)二次函数y＝－x2＋(a－1)x＋a(a为常数)图象的顶点在y轴右侧．
(1)写出该二次函数图象的顶点横坐标(用含a的代数式表示)；
16
(2)该二次函数表达式可变形为y＝－(x－p)·(x－a)的形式，求p的值；
【解】∵y＝－x2＋(a－1)x＋a＝－[x2－(a－1)x－a]＝－(x＋1)(x－a)，∴p＝－1.
(3)若点A(m，n)在该二次函数图象上，且n>0，过点(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的取值范围．
令y＝0，则－(x＋1)(x－a)＝0，∴x＝－1或x＝a.
∴C(－1，0)，D(a，0)．∴CD＝a＋1.
∵点A(m，n)在该二次函数图象上，且n>0，
∴点A在CD上方．
∵过点(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，∴CD≤3.
∴a＋1≤3，即a≤2.∴11.求二次函数表达式的方法
练素养
北师版 九年级下
第二章 二次函数
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如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C．
1
(1)求抛物线的表达式；
【解】存在，点P的坐标为(－2，3)或(3，－12)．
[2022·牡丹江]已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，如图．
2
(1)求抛物线的表达式；
【解】∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，
B(3，0)两点，
∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)，
即y＝－x2＋2x＋3.
(2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是________．
(母题：教材P43习题T1)已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．
(1)求这条抛物线的对称轴；
3
【解】∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋
2a2－a－3，
∴这条抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【解】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴Q(3，y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1，y2)．
∴当a＞0时，若y1＜y2，则－1＜m＜3；
当a＜0，若y1＜y2，则m＜－1或m＞3.
如图，抛物线L：y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，D为抛物线L的顶点.
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(1)求抛物线L的表达式；(共49张PPT)
2.二次函数的图象与性质的九种常见类型
练素养
北师版 九年级下
第二章 二次函数
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答 案 呈 现
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[2023·合肥一六八中学模拟]二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数 y＝bx－c在同一坐标系内的图象大致是( )
1
【点拨】
【答案】A
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(2，0)，B(3n－4，y1)，C(5n＋6，y2)三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax2＋bx＋c＝x有两个相等的实数根．
(1)求抛物线的表达式；
2
(2)若n＜－5，试比较y1与y2的大小；
(3)若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
[2022·雅安]抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2－9，则下列结论中，正确的序号为( )
①当x＝2时，y取得最小值－9；②若点(3，y1)，(4，y2)在其图象上，则y2＞y1；③将其图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数表达式为y＝(x－5)2－5；④函数图象与x轴有两个交点，且两个交点之间的距离为6.
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3
【点拨】
∵抛物线的函数表达式为y＝(x－2)2－9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向上，顶点坐标为(2，－9)．
∴当x＝2时，y取得最小值－9，①正确．
∵当x＞2时，y随x的增大而增大，且2＜3＜4，
∴y2＞y1，②正确．
【答案】B
将函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数表达式为y＝(x＋1)2－5，③错误．
令(x－2)2－9＝0，解得x1＝－1，x2＝5，
5－(－1)＝6，④正确．
如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB＝3，抛物线 y1＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，连接AB．
4
(1)求抛物线y1的表达式；
(2)若P(m，n)在抛物线y1上，当m<2时，求n的取值范围；
【解】∵y1＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
∴抛物线y1的对称轴为直线x＝1，有最大值为4.
∵P(m，n)在抛物线y1上，
∴当m＜2时，n的取值范围为n≤4.
(3)将抛物线y1沿水平方向平移|k|个单位长度得到抛物线y2，y2恰好经过线段AB的中点，求k的值．
【解】根据题意，得抛物线y1向右平移|k|个单位长度得到抛物线y2＝－(x－1－|k|)2＋4，向左平移|k|个单位长度得到抛物线y2＝－(x－1＋|k|)2＋4，
[2023·济南外国语学校月考]如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2＋mx与x轴交于另一点A(2，0)．
5
(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；
【解】∵抛物线y＝2x2＋mx与x轴交于点A(2，0)，∴2×22＋2m＝0.
∴m＝－4.∴y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2.
∴抛物线顶点M的坐标为(1，－2)．
(2)求直线AM的表达式．
[2022·常德]如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2.
6
(1)求此抛物线的表达式；
【解】∵抛物线过点O(0，0)，且它的对称轴为直线
x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)．
∴设抛物线的表达式为y＝ax(x－4)，
把点A(5，5)的坐标代入，得5a＝5，解得a＝1.
∴y＝x(x－4)＝x2－4x.
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求点B的坐标；
【解】如图，∵点B是抛物线对称轴上的
一点，且点B在第一象限，
∴设B(2，m)(m＞0)．
设直线OA的表达式为y＝kx，将点A(5，5)
的坐标代入，得5k＝5，解得k＝1.
∴直线OA的表达式为y＝x.
(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值最大时，求点P的坐标以及PA－PB的最大值．
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
7
(1)求抛物线的表达式．
【解】由题意得y＝－(x＋1)(x－3)，
∴y＝－x2＋2x＋3.
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标．
【解】由(1)可得该抛物线的对称轴为直线x＝1.
令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)．
设P(1，m)．∵PB＝PC，∴PB2＝PC2.
∴(3－1)2＋m2＝12＋(m－3)2，解得m＝1.
∴P(1，1)．
(3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在．
假设存在点M满足条件，作PQ∥BC，PQ交y轴于点Q，作MN∥BC交y轴于点N.
设直线BC的表达式为y＝kx＋n，将点B(3，0)，点C(0，3)的坐标分别代入，得直线BC的表达式为y＝－x＋3.
8
(1)求抛物线的表达式．
(2)在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A′，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标．
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】存在．
点N的坐标为(6，6)或(－6，－6)或(－2，6)．
9
【点拨】
【答案】C
(母题：教材P43习题T2)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
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(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
【解】由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－2).
将点C(0，4)的坐标代入，得4＝－2a，
解得a＝－2，
∴该抛物线所对应的函数表达式为y＝－2(x＋1)·(x－2)，即y＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
【解】如图，连接OP，
设点P的坐标为(m，－2m2＋2m＋4)(0【点方法】
求解图形面积的最值问题时，若是规则几何图形，则可依据几何图形的面积公式建立函数关系；若是不规则图形，则要用割补图形的方法，将不规则的几何图形转化成规则的几何图形，然后通过计算规则几何图形的面积和(或面积差)建立函数关系．
. .
已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1的顶点为A，点B的坐标为(3，5)．
(1)求抛物线过点B时顶点A的坐标．
11
【解】∵抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1过点B(3，5)，
∴把点B(3，5)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，整理得m2－4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3.
当m＝1时，y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点A的坐标为 (1，1)；
当m＝3时，y＝x2－6x＋14＝(x－3)2＋5，顶点A的坐标为(3，5)．
综上，顶点A的坐标为(1，1)或(3，5)．
(2)点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式．
【解】∵y＝x2－2mx＋m2＋2m－1＝(x－m)2＋2m－1，∴顶点A的坐标为(m，2m－1)．
∵点A的坐标记为(x，y)，
∴x＝m，y＝2m－1.
∴y＝2x－1，
即y与x的函数表达式为y＝2x－1.
(3)如图，已知C点的坐标为(0，2)，当m取何值时，抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段BC只有一个交点？
【解】由(2)可知，抛物线的顶点在直线y＝2x－1上运动，且形状不变．
由(1)知，当m＝1或3时，抛物线过点B(3，5)．
把C(0，2)的坐标代入y＝x2－2mx＋m2＋2m－1，得m2＋2m－1＝2，解得m＝1或m＝－3.
∴当m＝1或m＝－3时，抛物线经过点C(0，2)．
如图，当m＝－3或m＝3时，抛物线与线段BC只有一个交点(即线段CB的端点)；
当m＝1时，抛物线同时过点B，C，不合题意．
∴m的取值范围是－3≤m≤3且m≠1.(共20张PPT)
二次函数图象信息题的四种常见类型
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第二章 二次函数
B
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B
[2022·滨州]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－2，0)，B(6，0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：
①b2－4ac＞0；② 4a＋b＝0；
③当y＞0时，－2＜x＜6；
④ a＋b＋c＜0.
其中正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
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【点拨】
【答案】B
如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是( )
2
【点拨】
【答案】B
∵y＝ax2＋(b－k)x＋c，∴y＝y2－y1.由图象可知，在点A和点B之间，y＞0；在点A左侧或点B右侧，y＜0，故选项B符合题意．
[2023·随州]如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x＝2.
3
【点拨】
【答案】B
∵对称轴为直线x＝2，x1＜2＜x2且x1＋x2＞4，∴点P(x1，y1)到对称轴的距离小于点Q(x2，y2)到对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错误．故选B.
[2023·枣庄]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，
4
【点拨】
【答案】C
⑤由图象知，当x＝1时，y有最小值．∴对于任意实数m，都有am2＋bm＋c≥a＋b＋c，即m(am＋b)≥a＋b，故⑤正确．综上，②④⑤正确，故选C.
二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象上．
(1)求点B的坐标(用含a的代数式表示)．
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【解】令x＝0，∴y＝a·02＋b·0＋a＝a.
∴点A的坐标为(0，a)．
∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为(4，a)．
(2)求二次函数图象的对称轴．
【解】∵点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(4，a)，
点A，B都在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象上，∴A，B关于二次函数图象的对称轴对称．
∴对称轴为直线x＝2.
(3)已知点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋2，y3)在二次函数y＝ax2＋bx＋a(a<0)的图象上．若0【解】y3＞y2＞y1.
理由：∵对称轴是直线x＝2，0∴点(m－1，y1)，(m，y2)在直线x＝2的左侧，
点(m＋2，y3)在直线x＝2的右侧．
∵0∴2<2－(m－1)<3，1<2－m<2，0∵a<0，∴y3>y2>y1.(共29张PPT)
用二次函数解实际应用问题的五种常见类型
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第二章 二次函数
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(母题：教材P48习题T4)图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点 6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
1
(1)求桥拱顶部O与水面之间的距离．
(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆所在抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m．已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
2
(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
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(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
【解】设垂直于墙的边长为x米，围成的矩形花园的面积为S平方米，则平行于墙的边长为(120－3x)米，根据题意得S＝x(120－3x)＝－3x2＋120x＝－3(x－20)2＋ 1 200，∵－3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1 200，
此时120－3x＝120－3×20＝60，
∴当垂直于墙的边长为20米，平行于墙的边长为60米时，花园面积最大，为1 200平方米；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【解】设购买牡丹m株，则购买芍药1 200×2－m＝
(2 400－m)株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m＋15(2 400－m)≤50 000，
解得m≤1 400，
∴最多可以购买1 400株牡丹．
[2023·南充]某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y(元)与每日产销x(件)满足关系式y＝ 80＋0.01x2.
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(1)若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元、w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
【解】根据题意，得
w1＝(8－m)x－30(0≤x≤500)，
w2＝(20－12)x－(80＋0.01x2)
＝－0.01x2＋8x－80(0≤x≤300)．
(2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)．
【解】∵8－m>0，∴w1随x的增大而增大．又0≤x≤500， ∴当x＝500时，w1有最大值，即w1最大＝－500m＋3 970(元).
∵w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01(x－400)2＋1 520.
又∵－0.01＜0，对称轴为直线x＝400，
∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，
∴当x＝300时，
w2最大＝－0.01×(300－400)2＋1 520＝1 420(元)．
(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【解】①若w1最大＝w2最大，
即－500m＋3 970＝1 420，解得m＝5.1；
②若w1最大＞w2最大，
即－500m＋3 970＞1 420，解得m<5.1；
③若w1最大＜w2最大，即－500m＋3 970＜1 420，解得m>5.1.
又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：
当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；
当4≤m<5.1时，选择A种产品产销；
当5.1答：m＝5.1时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大；当4≤m<5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大；当5.1＜m≤8时，工厂选择B产品产销日利润最大．
[2022·台州]如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h(单位：m)．
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如图②，我们可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的一部分；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度为EF的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平
距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌
溉车到l的距离OD为d(单位：m)．
(1)若h＝1.5，EF＝0.5 m.
①求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
【解】∵上边缘抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴点(0，1.5)关于直线x＝2的对称点为(4，1.5)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
∴点B的坐标为(2，0)．
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
(2)若EF＝1 m，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．(共46张PPT)
全章热门考点整合应用
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第二章 二次函数
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已知函数y＝(m＋3)xm2＋4m－3＋5是关于x的二次函数．
(1)求m的值．
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(2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？
(3)当m为何值时，该函数有最大值？
【解】∵函数图象的开口向上，∴m＋3>0.
∴m>－3.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数图象的开口向上．
∵函数有最大值，∴m＋3<0.
∴m<－3.∴m＝－5.
∴当m＝－5时，该函数有最大值．
【点拨】
当函数的二次项系数含字母时，要注意二次项系数不为0.解此类题易只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误．
[2023·北师大附中期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为( )
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【点拨】
A.由一次函数图象可得a＞0，由二次函数的图象开口向下可得a＜0，二者矛盾，故A错误；B.由一次函数图象可得a＜0，由二次函数的图象开口向下可得a＜0，结果一致，且两函数图象交于y轴上一点(0，c)，故B正确；C.由一次函数图象可得a＜0，由二次函数的图象开口向上可得a＞0，二者矛盾，故C错误；D.由一次函数图象可得a＜0，由二次函数的图象开口向上可得a＞0，二者矛盾，故D错误．
【答案】B
已知二次函数y＝mx2－4m2x－3(m为常数，m≠0)，点P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，则m的取值范围是( )
A．m≥1或m＜0 B．m≥1
C．m≤－1或m＞0 D．m≤－1
3
【点拨】
【答案】A
∵抛物线y＝mx2－4m2x－3，∴对称轴为直线x＝2m，抛物线与y轴的交点坐标为(0，－3)．∵P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，∴①当m＞0时， 2m＞0，此时，当x＝4时，y≤－3，即m·42－4m2·4－3≤ －3，解得m≥1.②当m＜0时，2m＜0，当0≤x≤4时，y随x的增大而减小，则当0≤xP≤4时，yP≤－3恒成立．综上，m的取值范围是m≥1或m＜0.
4
【点拨】
【答案】C
5
【点拨】
【答案】C
如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
6
(1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积的最大值为________平方厘米．
150
一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图)，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且
点A到对称轴的距离OA＝3，点B在
抛物线上，点B到对称轴的距离是1.
7
(1)求抛物线的表达式；
【解】设抛物线的表达式为y＝ax2＋9，
把点A(3，0)代入，得9a＋9＝0，解得a＝－1，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋9.
(2)为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
【解】如图，作A点关于y轴的对称点A′
(－3，0)，
连接A′B交OC于点P，则P点即为所求．
把x＝1代入y＝－x2＋9，得y＝8，∴B(1，8)．
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝－x2＋2bx＋b－1(b>0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9.求b的取值范围．
(母题：教材P50习题T2)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元．
8
(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱，如果调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场每天的利润最大？最大利润是多少？
【解】设甲种商品降价a元，利润为w元，则每天可多卖出20a箱．
由题意得w＝(15－a)(100＋20a)＝－20a2＋200a＋1 500＝－20(a－5)2＋2 000.
∵－20<0，∴当a＝5时，w有最大值，最大值是2 000.
答：当降价5元时，该商场每天的利润最大，最大利润是 2 000元．
如图，线段AB的长为2，点C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，求DE长的最小值．
9
某市“建立社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备的费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比，比例系数为0.9；另外种植每公顷蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元.
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(1)某基地的菜农共修建大棚x公顷，当年收益(扣除修建和种植成本后)为y万元，写出y关于x的函数表达式．
【解】y＝7.5x－(2.7x＋0.9x2＋0.3x)＝－0.9x2＋4.5x.
(2)除种子、化肥、农药投资只能当年使用外，其他设施3年内不需要增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大，收益就越大？如果不是，修建面积为多少时可以获得最大收益？请帮助工作组为基地修建大棚提一项合理的建议．
【解】设按3年计算，每年的平均收益为z万元．
根据题意，得z＝7.5x－(0.9x＋0.3x2＋0.3x)＝－0.3x2＋ 6.3x＝－0.3(x－10.5)2＋33.075.
由函数表达式可知，并不是修建大棚面积越大收益就越大，当修建面积为10.5公顷时可以获得最大收益．
建议：当大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降，修建面积不宜盲目扩大．(建议不唯一，合理即可)
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【点拨】
【答案】A
二次函数y＝ax2－3ax＋3的图象过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为
________________．
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【点拨】
如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
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(2)C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
【解】如图，过点A作x轴的垂线，
垂足为D，连接CD；过点C作CE⊥
AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
则点D的坐标为(2，0)．
【点方法】
(2)中求四边形OACB的面积利用了分割法，即将四边形OACB的面积分割成若干个小三角形的面积之和．