数学人教A版（2019）必修第二册6.2.4向量的数量积运算 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
6.2 平面向量的运算（5）
向量的数量积运算
第六章 平面向量
教学目标：
1、通过物理中功等实例，能给出平面向量数量积概念，能解释其物理意义，会计算平面向量的数量积，体会向量数量积的定义方式
2、能根据平面向量数量积的定义发现数量积的几何意义
3、会用数量积判断两个向量的垂直关系，领悟研究向量运算性质的数学思想，体会数学学运算与逻辑推理的关系。
4、能作出向量的投影，并能结合图形解释其几何意义
教学重点：平面向量数量积的概念及其物理意义、数量积的几何性质；向量投影的概念，投影向量的意义
教学难点：平面向量数量积的概念及其几何性质，投影向量的意义
环节一 整体统摄 明确思路
问：类我们学习了向量的加、减、数乘运算，这些称为向量的线性运算，回顾其学习过程，总结向量线性运算的研究路径？
物理背景
定义
运算法则
运算律
应用
类比数的运算和向量的线性运算，那么向量和向量是否能够相乘呢？如果能，向量的乘法该如何研究呢？
物理背景
定义
运算法则
运算律
应用
环节二 揭示背景 给出概念
(情景)如图所示，如果作用在小车上的力为F，小车在水平面上的位移为s，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为_____________.
W＝|F||s|cos θ
功是由力和位移两个向量来确定，可以把“功”看成是两个向量“相乘”的结果。也就是说，力对物体做功可以作为“向量乘法”的物理背景。
根据功的计算公式，我们需要先定义向量的夹角。
环节二 揭示背景 给出概念
向量的夹角：
已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，
作 ， ,
则叫做向量与的夹角.
注：1.向量的夹角可表示为<>；
2.向量夹角范围是.
θ
与同向
与垂直，记作
与反向
<
<
<
环节二 揭示背景 给出概念
辨析1：试判断下列向量的夹角。
60°
辨析2：已知||＝||＝2，且与的夹角为60°，则＋与的夹角是多少？－与的夹角又是多少？
环节二 揭示背景 给出概念
平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝___________.
规定：零向量与任一向量的数量积为____.
|a||b|cos θ
0
特别提醒：
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
环节二 揭示背景 给出概念
课本例9：已知，，与的夹角，求.
课本例10：设，，求与的夹角.
变式：已知，求.
求数量积
求夹角
求模长
环节二 揭示背景 给出概念
=||||
求夹角：
求模长：||==
公式及其变形使用：
环节三 例题练习 巩固理解
练习1、已知正三角形ABC的边长为1，求：
2、已知中，，，当或时，试判断的形状.（课本20页2题）
关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合
思考1：向量数量积的正负由什么决定？具体有什么关系？
环节三 例题练习 巩固理解
思考2：
与同向
<
与反向
<
环节四 辨析概念 明确投影向量
问题1：结合图像，请你解释一下的物理意义是什么？
思考：类比意义，结合下列图像，说一说的几何意义是什么？
O
θ
M1
投影
力在物体运动方向上的分力大小
环节四 辨析概念 明确投影向量
投影
投影向量
投影向量
环节四 辨析概念 明确投影向量
练习：求作在上的投影向量.
问题2：
(1)在上的投影向量与
(2)的方向与什么有关？
(3)如何表示在上的投影向量
共线，
夹角影响投影向量的方向，所有可以分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论.
环节四 辨析概念 明确投影向量
下面我们探究的关系，进而给出的明确表达式
1、当为锐角时，
与方向相同，
，
所以
O
θ
M1
与
2、当为直角时，
3、当为钝角时，
，
所以
=
与方向相反，
，
所以
环节四 辨析概念 明确投影向量
下面我们探究的关系，进而给出的明确表达式
4、当=0时，
与方向相同，
，
所以
O
M1
与
5、当=时，
与方向相反，
=，
所以
环节四 辨析概念 明确投影向量
从上面的讨论可知，
对于任意的，
上的投影向量为=
上的投影向量的模长为
与
问题3：上的投影向量为
温馨提示
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
(3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果.
上的投影向量为
上的投影向量为
其中是与方向相同的单位向量，
是与方向相同的单位向量.
环节四 辨析概念 明确投影向量
环节四 辨析概念 明确投影向量
练习
1、已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量.
1
2、已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________.
(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
环节五 深化定义 探究性质
问题4：在探究投影向量时发现，当由特殊位置关系时，投影向量具有特殊性，那么此时它们数量积又有什么特殊性？
O
M1
2、当=时，
设是非零向量，它们的夹角是
是与方向相同的单位向量，则
1、当
时
3、当=时，
同向时，
反向时，
环节六 目标检测 检验效果
√
A.30° B.60° C.120° D.150°
√
5.已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________.
e
√
1.(多选)对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是
A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C.若a⊥b，则a·b＝0
√