数学人教A版（2019）必修第二册6.1平面向量的概念 课件（共41张ppt）

(共41张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
课时学习素养目标：1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景，培养数学抽象的核心素养.2.理解平面向量的几何表示和基本要素，培养直观想象的核心素养.3.理解平行向量、相等向量、共线向量的概念，并能根据图形判断向量是否平行（共线）、相等.
任务学习一 向量的概念与表示
任务学习二 相等向量与共线向量
任务学习一 向量的概念与表示
活动探究
李老师每天下班开车5千米从学校回到家，你能据此确定李老师家的位置吗？为什么？
提示 不能确定李老师家的位置.要想确定李老师家的位置，不仅要知道李老师家与学校的直线距离，还要知道李老师家在学校的什么方向.
新知生成
1.向量的概念
（1）向量：既有______又有______的量叫做向量.
（2）数量：只有大小没有方向的量称为数量.
大小
方向
2.向量的表示
（1）有向线段
具有______的线段叫做有向线段.有向线段包含三个要素：______、
方向、长度.
（2）向量的表示
①几何表示：向量可以用有向线段 来表示，记作向量 .有向线段
的长度 表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向.
②字母表示：向量可以用字母 ， ， ， 表示（印刷时用黑体
， ， ， 表示，书写时用 ， ， ， 表示）.
方向
起点
方向
自主思考1 “有向线段就是向量，向量就是有向线段”，这种说法正确吗？
_____________________________________________________________
___________________________________________________
提示：不正确，向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，而有向线段规定了起点、方向和长度，向量可以用有向线段表示.
（3）向量的长度（模）
向量 的大小称为向量 的长度（或称模），记作_ ____.

自主思考2 若 ， ，则 ，该结论是否正确？
_____________________________________________________________
__________________________________________
提示：不正确.因为向量有方向，而方向没有大小之分，所以两个向量不能比较大小，但两个向量的模可以比较大小.
3.两个特殊向量
（1）零向量：长度为___的向量叫做零向量，记作0.
（2）单位向量：长度等于_____________的向量，叫做单位向量.
0
1个单位长度
能力探究
探究点一 向量的基本概念自测自评
1.下列各量中，向量的个数为( )
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦
电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩时间.
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，故符合题意的有③风力，⑤位移，⑥人造卫星的速度，⑧向心力，共4个.
2.下列说法中正确的是( )
D
A. 的两条边都是向量
B. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量
C. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小
D. 向量的模一定是非负数
[解析] A错误， 的两条边只有方向，没有大小，不是向量；B错
误，温度没有方向，不是向量；C错误，向量不能比较大小；易知D正
确.故选D.
3.下列说法正确的是( )
D
A. 长度为0的向量都是零向量 B. 零向量是最小的向量
C. 向量的大小与方向有关 D. 单位向量的方向都相同
[解析] 由零向量的概念知A正确；由于向量是不能比较大小的，故B不正确；向量的大小与方向无关，故C不正确；单位向量的方向不一定相同，故D不正确.
解题感悟
1.判定一个量是向量的两个关键条件
（1）有大小；
（2）有方向.
这两个条件缺一不可.
2.向量的模的非负性：向量 的模等于线段 的长度，因此向量的
模是非负实数.
3.零向量的方向是任意的.
探究点二 向量的几何表示精讲精练
例1 在如图所示的坐标纸（每个小方格的边长为1）上，画出下列向量：
（1） ，点 在点 北偏东 方向；
[解析] 由于点 在点 北偏东 方向，所以在坐标纸上点 距点 的横向小方格数与纵向小方格数相等.又 ，小方格的边长为1，所以点 距点 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点 的位置可以确定，画出向量 ，如图所示.
（2） ，点 在点 正东方向.
[解析] 由于点 在点 正东方向，且 ，
所以在坐标纸上点 距点 的横向小方格数为
4，纵向小方格数为0，于是点 的位置可以确
定，画出向量 ，如图所示.
迁移应用1 如图，某人从点 出发，向西走
了 后到达 点，然后改变方向，沿北
偏西一定角度的某方向行走了 到达
点，最后又改变方向，向东走了 到
达 点，发现 点在 点的正北方向（图中
每个小方格的边长为 .
（1） 作出向量 ， ， ；
[解析] 根据题意可知，点 在点 的正西方向，且 ，
因为 点在 点的正北方向，所以 ，又点 在点 的正西方
向， ， ，所以 ，即 ， 两
点的位置可以确定，
作出 ， ， ，如图所示.
（2） 求 的模.
[解析] 作出向量 ，如图所示，由题意可
知， ，且 ，所以
四边形 是平行四边形，则
，所以 的模为
.
任务学习二 相等向量与共线向量
活动探究
某地一网格形街道分布图如图所示，方格
由若干个边长为1的小正方形拼成，甲同学从
地到 地，乙同学从 地到 地，丙同学从
地到 地，分别用向量表示甲、乙、丙三位同学
的位移，并判断它们有何关系.
提示 甲、乙、丙三位同学的位移分别用向量 ， 和 表示，如
图所示.由图可知向量 与 的大小相等、方向相同， 与 的大
小不等、方向相反.
新知生成
1.平行向量
方向____________的非零向量叫做平行向量.向量 与 平行，记
作 .
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 .
2.相等向量
长度______且方向______的向量叫做相等向量.向量 与 相等，
记作 .
相同或相反
相等
相同
自主思考 向量中的“平行”与平面几何中的“平行”一样吗 向量相等与实数相等一样吗？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3.共线向量
任一组平行向量都可以平移到________直线上，因此，平行向量
也叫做共线向量.
同一条
提示：不一样.向量中的“平行”包括向量所在的直线重合和平行,而平面几何中的“平行”不包含重合的情况.向量相等不仅要大小相等，还要方向相同，而实数相等只需大小相等.
能力探究
探究点一 相等向量与共线向量的概念精讲精练
例2（1） 多选题 下列说法正确的是( )
BCD
A. 长度相等的向量是相等向量
B. 若 ， ，则
C. 若向量 与 不共线，则 与 都是非零向量
D. 向量 与 共线是 ， ， ， 四点共线的必要不充分条件
[解析] 相等向量不仅要长度相等，还要方向相同，故A中说法错误；由向量相等的概念可知B中说法正确；因为零向量与任意向量都共线，所以若向量 与 不共线，则 与 都是非零向量，故C中说法正确； ， ， ， 四点共线 向量 与 共线，反之不成立，故D中说法正确.
（2） 下列说法正确的是( )
B
A. 平行向量不一定是共线向量
B. 零向量与任意单位向量平行
C. 因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性
D. 因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量
解题感悟
1.零向量与任意向量平行，所以向量间的平行不具有传递性，非零向量间的平行才具有传递性.
2.任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示.
3.特殊向量的特殊性
（1）所有的零向量都相等；
（2）两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等（易忽略向量的方向）.
迁移应用2 多选题 下列说法正确的有( )
BD
A. 共线的单位向量必相等
B. 方向为南偏东 的向量与方向为北偏西 的向量是共线向量
C. 若 与 是共线向量，且模相等，则
D. 若 ，则点 与点 重合
[解析] 共线的单位向量的方向可能相同，也可能相反，故A中说法错
误；根据方向角作图（图略）可知，B中说法正确； 与 的方向不一
定相同，故C中说法错误；根据相等向量的定义知，点 与点 一定
重合，故D中说法正确.故选 .
探究点二 相等向量与共线向量的应用精讲精练
例3 如图所示，在 中，三边长均不相等， ，
， 分别是 ， ， 的中点.
（1） 写出所有与 共线的向量；
[解析] ， 分别是 ， 的中点，
，
与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .
（2） 写出所有与 长度相等的向量；
[解析] ， ， 分别是 ， ， 的中点，
， ，
.
， ， 均不相等，
与 长度相等的向量有 ， ， ， ， .
（3） 写出所有与 相等的向量.
[解析] 与 相等的向量有 ， .
解题感悟 寻找相等向量或共线向量的方法
（1）相等向量：先找与已知向量的模相等的向量，再确定哪些是同向的.
（2）共线向量：寻找与已知向量同向或反向的向量.
迁移应用3 如图， 和 是在各边的三
等分点处相交的两个全等的正三角形，设 的
边长为 ，写出图中给出的所有长度为 的向量中，
（1） 与向量 相等的向量；
[解析] 与向量 相等的向量，即与向量 大小
相等、方向相同的向量，有 ， .
（2） 与向量 共线的向量；
[解析] 与向量 共线的向量，即与向量 方向相同或相反的向量，
有 ， ， ， ， .
（3） 与向量 平行的向量.
[解析] 与向量 平行的向量，即与向量 方向相同或相反的向量，有 ， ， ， ， .
课堂达标
1.下列说法中正确的是( )
A
A. 零向量的模都相等
B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 向量的模一定是正数
D. 共线向量是在同一条直线上的向量
[解析] 对于B，方向相反的两个非零向量一定共线，故B中说法错误；对于C，向量的模是非负实数，故C中说法错误；对于D，共线向量不一定在同一条直线上，也可能在平行直线上，故D中说法错误；易知A中说法正确，故选A.
2.设 ， 是非零向量， ， 分别是与 ， 同方向的单位向量，
则下列各式中正确的是( )
D
A. B. 或
C. D.
[解析] 两个单位向量的模相等，但是方向可能不同，所以A，B不正确；
题中没有明确向量 , 的模的大小关系，所以C不正确；
因为 ， 均是单位向量，所以 ，所以D正确.故选D.
3.多选题 如图所示，四边形 ，四边形 ，
四边形 是完全相同的菱形，则下列结论中一定
成立的有( )
ABD
A. B. 与 共线
C. 与 共线 D.
[解析] 由题意可知 ， ， ，而
不一定等于 ，故 与 不一定平行，所以选项C不一定成立.
故选 .
4.在平面直角坐标系 中，已知 ， 与 轴的正方向所成
的角为 ，与 轴的正方向所成的角为 ，试作出 .
[解析] 如图，根据题意及 的长度来确定 .
5.如图， ， ， ， 分别是四边形 各边
的中点.
（1） 写出所有与向量 相等的向量；
[解析] 与向量 相等的向量为 .
（2） 写出所有与向量 平行的向量；
[解析] 与向量 平行的向量有 ， ， ， ， .
（3） 写出所有与向量 的模相等的向量；
[解析] 与向量 的模相等的向量有 ， ， .
（4） 写出所有与向量 的模相等、方向相反的向量.
[解析] 与向量 的模相等、方向相反的向量有 ， .