云南省保山市腾冲市第八中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（含解析）

云南省保山市腾冲市第八中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．函数的图象是( )
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半圆弧
2．已知,且,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
3．已知函数,则( )
A. B. C. D.
4．已知等差数列满足,若数列的前n项和为,则( )
A. B. C. D.
5．已知数列,都是等差数列,记,分别为,的前n项和,且,则( )
A. B. C. D.
6．已知函数,其导函数记为,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
7．已知、为双曲线的左、右焦点,点P在C上,,则的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知函数的图象如图所示,是的导函数,则下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列关于空间向量的命题中,不正确的是( )
A.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B.平行且模相等的两个向量是相等向量
C.若,则
D.两个向量相等,则它们的起点与终点相同
10．下列说法中错误的是( )
A.已知,,平面内到,两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.已知,,平面内到,两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到点,两点的距离之和等于点到,的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点,距离相等的点的轨迹是椭圆
11．等差数列中,为其前n项和,,,则以下正确的是( )
A. B.
C.的最大值为 D.使得的最大整数
12．过点作曲线的切线l,则直线l的方程可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知,是两个空间向量,若,,,则____________.
14．若,,是平面内的三点,设平面的法向量,则_______________.
15．在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线的焦点,A,B是抛物线上两个不同的点,若,则线段AB的中点到y轴的距离为_____________.
16．等比数列的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为,偶数项之和为,则这个等比数列的公比______________.
四、解答题
17．已知正三棱柱中，，，点O，分别是边，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求正三棱柱的侧棱长；
（2）求向量与所成角的余弦值.
18．已知为偶函数,当时,,求曲线在点处的切线方程.
19．已知正项等差数列的前n项和为,若,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)记的前n项和为,求.
20．如图,在三棱台中,,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证：平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,, , ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.
21．在①对任意满足;②;③.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.问题:已知数列的前n项和为__________,若数列是等差数列,求出数列的通项公式;若数列不是等差数列,说明理由.
22．设函数,曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式;
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
参考答案
1．答案：D
解析：可化为,所以的图象是半圆弧.
故选：D.
2．答案：D
解析： ,
,
,
,
.
故选：D.
3．答案：A
解析：因,所以,
,
故选：A.
4．答案：A
解析：设等差数列的公差为d,则,解得
则
所以
则
故选：A.
5．答案：D
解析：由,
.
故选：D
6．答案：B
解析：函数定义域为R,
令,则的定义域为R,,
又,故是奇函数,
所以,故,
所以.
故选：B.
7．答案：A
解析：双曲线,则,所以,
则,平方得,
且,
由余弦定理,
即,
解得,
则.
故选：A.
8．答案：B
解析：由函数的图象可知为单调递增函数,
故函数在每一处的导数值,即得,,
设,,则A,B连线的斜率为,
由于曲线是上升的,故,,
作出曲线在,处的切线,设为,,A,B连线为,
结合图象可得,,的斜率满足,
即,
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对于选项A：由相等向量的定义知A正确;
对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量,B错;
对于选项C：若两个向量不相等,但模长仍可能相等,例如不共线的单位向量,C错;
对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同,而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同,D错,
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：A中,,则平面内到,两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A错误;
B中,到,两点的距离之和等于6,小于,这样的轨迹不存在,所以B错误;
C中,点到,两点的距离之和为,则其轨迹是梢圆,所以C正确;
D中,轨迹应是线段的垂直平分线,所以D错误.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：,,
,
,,
数列的公差,故A错误;
,,故B正确;
,当时,取得最大值;
,故D正确;
故选：BCD.
12．答案：AD
解析：
,设切点坐标为,则
解得或
当时,切线方程为;
当时,切点为,斜率,故切线方程为,整理为
故选：AD.
13．答案：
解析：由题意得,,,
则,即,则
则,
故答案为：.
14．答案：
解析：由,,
得,
因为为平面的法向量,则有,
即
由向量的数量积的运算法则有解得,
所以
故正确答案为
15．答案：1
解析：由,得准线方程为,
设,,由,
即,得,
所以AB的中点到y轴的距离为.
故答案为：1.
16．答案：
解析：设数列共有项,
由题意得,,
则,
解得,
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设正三棱柱的侧棱长为h.
由题意得，，，，，
则，.因为，
所以，解得（负值舍去）.故正三棱柱的侧棱长为.
（2）由（1）可知，，
所以，，，
所以，
即向量与所成角的余弦值为.
18．答案：
解析：令,则,所以,
因为为偶函数,所以时,,则点在函数图象上,,
所以,所以切线方程为：,即.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）设正项等差数列的公差为d,则.
,即,,,
又,,成等比数列, ,即,
解得或 (舍去),
,故.
（2）结合（1）得,
①,
得②,
①－②得,
,
.
20．答案：(1)证明见解析
(2)60°
解析：（1）证明:连接DG,CD,设,连接OH,
在三棱台中, ,G为AC的中点,
可得,,所以四边形DFCG为平行四边形.
则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以,
又平面FGH,平面FGH,所以平面FGH.
（2）由题知,不妨设设,则.
在三棱台中,G为AC的中点,由,
可得四边形DGCF为平行四边形,因此,又平面ABC,
所以平面ABC.在中,由,,G是AC中点.
所以, ,因此GB,GC,GD两两垂直.
以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以,,,.
可得,,故,.
设是平面FGH的一个法向量,则由,可得,
可得平面FGH的一个法向量.
因为是平面ACFD的一个法向量,.
所以.
所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60°.
21．答案：答案见解析
解析：若选择条件①：
因为对任意,,满足,
所以,即,
因为无法确定的值,所以不一定等于2,
所以数列不一定是等差数列.
若选择条件②：
由,
则,即,,
又因为,所以,
所以数列是等差数列,公差为,
因此数列的通项公式为.
若选择条件③：
因为
所以,
两式相减得,,,
即,
又,即,
所以,,
又,,所以,
所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列.
所以.
22．答案：(1);
(2)证明见解析.
解析：(1)方程可化为,
当时,.
又,
于是,解得
故.
(2)证明：设为曲线上任一点,由知,
曲线在点处的切线方程为,
即.
令得, ,从而得切线与直线,交点坐标为.
令,得,从而得切线与直线的交点坐标为.
所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积为.
曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,此定值为6.