2023-2024学年数学九年级下册人教版26.1反比例函数精选题练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册人教版26.1反比例函数精选题练习
一、单选题
1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象的交点个数是（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．在函数 （为常数）的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
6．如图，为等腰直角三角形，点的坐标为，斜边轴，轴，如果反比例函数与有交点，那么的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
7．如图，双曲线（）经过矩形的边的中点，交于点．若梯形的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知点、、在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（请用“”连接）
10．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则一次函数的图象一定不经过第 象限．
11．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的值为，则的面积为 ．
12．如图，点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为 ．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，则关于的不等式的解集是 ．

14．如图，矩形中，，轴．
（1）若反比例函数图象的一支恰好经过A、C两点， ．
（2）若反比例函数图象的一支与矩形有交点，则k的取值范围是 ．
15．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于点，点在反比例函数的图象上，且的面积和的面积相等，则 ．
16．如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为点和，则四边形的面积是 ．
三、解答题
17．已知反比例函数（为常数，）的图像与直线有一个交点为．
(1)求的值；
(2)设点为该反比例函数图像上的一点，且，请比较与的大小关系．
18．已知反比例函数．
(1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
19．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A、B，与另一个正比例函数的图象相交于点C、D，其中点A、C在第一象限，且点A横坐标为4．若四边形的面积为24，求点C的坐标．

20．如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标．
21．如图，已知直线经过点，过反比例函数在第一象限的图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，分别交直线于点．
(1)的值是否为常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由；
(2)如果平行于直线的直线与反比例函数的图象在第一象限只有一个公共点，求出这个公共点的坐标．
22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出的x的取值范围；
(3)求的面积．
参考答案：
1．C
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，联立函数解析式得到一元二次方程，利用一元二次方程根的情况进行判断即可得到答案．
【详解】解：由与联立得到，，
整理得
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
函数与的图象的交点个数是2个．
故选：C
2．B
【分析】先判断出反比例函数所在象限，再根据增减性判断函数值，即可求解，本题考查了判断反比例函数所在象限，判断反比例函数的增减性，比较反比例函数值得大小，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质．
【详解】解：，
，
反比例函数 的图象在二、四象限，
点的横坐标为，
该点在第四象限，，
点，，的横坐标，
两点均在第二象限，，，
在第二象限内，随的增大而增大，
，
，
故选：．
3．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数和一次函数的性质判断即可；熟悉两函数的性质是解题的关键．
【详解】解：时，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数过第一、二、三象限．反之，时，反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限．
故选：A.
4．C
【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．设点，根据将点绕原点旋转后得到点，可得，易得，，然后由四边形的面积求解即可．
【详解】解：如下图，
根据题意，点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，
可设点，
∵将点绕原点旋转后得到点，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，，，，
∴四边形的面积
．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了一次函数的图象性质：与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限．
【详解】解：由题意得：，
，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
6．B
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题、一元二次方程根的判别式、等腰直角三角形的性质等知识，反比例函数经过点A时k取最小值，当反比例函数图象和直线有一个公共点时k取最大值，分别进行求解即可．
【详解】解：当反比例函数经过点时，把点的坐标代入得到，
，解得，
此时取最小值为1，
∵为等腰直角三角形，斜边，
∴，
∵点的坐标为，斜边轴，轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立和得到
，
整理得到，，
当，即时，反比例函数与一个交点，此时k取最大值为9，
综上可知，．
故选：B
7．B
【分析】本题考查矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式，先根据矩形的特点设出、的坐标，根据矩形的面积求出点横纵坐标的积，由为的中点求出点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式．
【详解】解：连接，
设，则，，
设，
和都在反比例函数图象上，
，，
即，
梯形的面积为3，
，
，
，
，
，
，解得，
函数解析式为：
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解意义是解题的关键．
根据反比例函数的几何意义逐一分析判定即可．
【详解】解：A．阴影面积，故选项A不符合题意；
B．阴影面积为，故选项B符合题意；
C．阴影面积为2×，故选项C不符合题意；
D．阴影面积为故选项D不符合题意；
故选：B．
9．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题．
【详解】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
点、、在反比例函数的图象上，
当时，，
、在第一象限的图象上，又随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
10．三
【分析】本题考查了一次函数的性质及利用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握一次函数性质是解题关键．由题意知，，所以一次函数解析式为，根据，的值判断一次函数的图象经过的象限．
【详解】解：反比例函数经过，
，
一次函数解析式为，根据、的值得出图象经过一、二、四象限，不过第三象限．
故答案为：三．
11．4
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键．
根据已知条件得到的面积，即可求解．
【详解】解：设，
∵轴，
∴轴，
∴
，
故答案为：4．
12．7
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；
点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为5，得出，由此解出k即可．
【详解】如图所示：
点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴，
四边形和为矩形，
点A、B在第一象限，
，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
，，
阴影部分的面积为5，
，
，
解得：．
故答案为：7．
13．或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点B的坐标是解题的关键．
先求出反比例函数解析式和一次函数解析式，进而求出点的坐标，然后直接利用图象法求解即可.
【详解】∵在反比例函数的图象和一次函数的图象上，
，，
解得：，
∴反比例函数解析式为 一次函数的解析式为，
解方程组得，，
，
由题意得关于的不等式的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于的不等式的解集为或，
故答案为或.
14． 6
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握矩形性质是解答本题的关键．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，解得；
（2）根据条件，分别求出点，，根据反比例函数图象和性质可得．
【详解】解；（1）反比例函数图象的一支恰好经过、两点，
，解得，
故答案为：6．
（2），，轴，是矩形，
，，
反比例函数图象的一支与矩形有交点，
．
故答案为：．
15．/
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识．连接，作轴于点，先由等边三角形及等腰三角形的性质判断出是直角三角形，再由，，，可得出，故可得出的长，再由中点坐标公式求出点坐标，把点代入反比例函数即可求出的值 ．
【详解】解： 连接，作轴于点．
点的坐标为，为等边三角形，
，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点，
∴，
，
∴，
，
∴，
，，，
，
即，
．
点为的中点，坐标为，
则，
故答案为：．
16．//
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案．
【详解】解：当时，，
，
当时，即，
，
，
又点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
当时，，
点，
当时，，
点，
又图象的平移可得，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
又，，
，
，，
，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数，
（1）先求出，得到，再将其代入反比例函数解析式即可得出答案；
（2）当时，，而，即可得出答案；
掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图像与直线有一个交点为，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）由（1）得，反比例函数的解析式为，
∵点为该反比例函数图像上的一点，且，
∴，
∵，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例的性质，
根据反比例函数得性质得，求解不等式即可；
将点A代入可求得，整体代入即可反比例函数解析式．
【详解】（1）解：∵该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，
∴，
解得；
（2）∵点在反比例函数图象上，
∴，
则，
故反比例函数解析式为．
19．点C的坐标为或
【分析】根据正比例函数可得点A的坐标，推出k值为8，根据反比例函数和正比例函数的对称性得到四边形是平行四边形，推出，根据k的几何意义可得，得到，分和两种情况讨论，即得．
【详解】∵，
∴，
∴点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
设点，
当时，
根据对称性知，，，
∴四边形是平行四边形，如图1，
∴．
分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，
∵点A、C在反比例函数的图象上，
∴．
，
∴，
即，
解得，，或，
检验知，，或都是所列方程的根，不合题意，舍去，
∴点．

当时，四边形是平行四边形，如图2， ，
∴，
即，
解得，或，
检验知，，或都是所列方程的根，不合题意，舍去，
∴点．
综上，点C的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，正比例函数与反比例函数性质，平行四边形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义，三角形面积公式和梯形面积公式，分类讨论，是解决问题的关键．
20．(1)
(2)或
【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法．
（1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可；
（2）设，构建方程求解．
【详解】（1）解∵一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∴P点的坐标为或．
21．(1)是，1
(2)
【分析】（1）设点，则点的横坐标为，点的纵坐标为，再分别表示出，进而求解即可；
（2）设平行于直线的直线为，联立可得，再根据一元二次方程根的判别式求出b的值，再解方程即可．
【详解】（1）设点，则点的横坐标为，点的纵坐标为．
直线经过点，
为等腰直角三角形，
，
，
即的值为常数1．
（2）设平行于直线的直线为，
联立可得，
由题意，
解得（舍），或，
，解得，
此时，
即所求公共点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的综合，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．(1)
(2)或
(3)的面积为8
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式；
（2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可；
（3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答．
【详解】（1）解：将点代入得，
解得：，
∴，
把代入得，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式的解析式为；
（2）解：∵，，
∴由图可知，当或时，，
∴当或时，；
（3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，
把代入得，
∴，则，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴
．
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