2023-2024学年数学九年级下册人教版27.1图形的相似精选题练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册人教版27.1图形的相似精选题练习
一、单选题
1．若线段，，，是成比例线段，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个矩形的长为，宽为，现沿着其中一边的平行线剪去一个矩形后，使得留下来的矩形与原矩形相似，则留下来的矩形面积为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，直线，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
6．一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．则与的大小关系是(　　)
A． B． C． D．无法确定
8．如图，在中，D、E分别为、边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，则的值为 ．
10．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，则 ．
11．我们可以把较短边与较长边的比值是黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感，现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那相邻一条较短边的边长等于 厘米．（结果保留根号）
12．如图，直线，，，，则线段 ．
13．我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的边的长度为 ．
14．如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是 ．
15．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 ．
16．如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，四边形四边形，，．
(1)___________；
(2)求边的长度．
18．如图，在中，，点D是边上的一点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，使点E落在线段上，连接，点F为线段的中点，连接，．
(1)①依题意补全图形；
②若，判断的形状，并证明；
(2)若，，当点D在线段上运动，且时，线段的最小值为__________．
19．在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的面积等于8cm2．
(2)请问P、Q两点在运动过程中，是否存在，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
20．已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，求的值．
21．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
(1)将绕点A按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）．
(2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使．
22．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图1中的度数： ；
(2)拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点M，连接交于点N（如图2），判断的形状是 ，并说明理由；
(3)迁移探究
如图3，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长： ．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】解：∵，，，是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，设留下来的矩形的宽为，由留下来的矩形与原矩形相似可得，解得，再由题意可知留下来的矩形长为原矩形的宽，利用矩形面积公式计算即可求解，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
【详解】解：设留下来的矩形的宽为，
则，
解得，
∵留下来的矩形长为原矩形的宽，
∴留下来的矩形面积为，
故选：．
3．A
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：∵，
∴，，
观察四个选项，选项A正确，符合题意，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果．
【详解】∵，
∴，
∵
∴．
故选：D
5．C
【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．由平行线分线段成比例可得出答案．
【详解】解：过点作交于点，交于点，
，
，
，
．
故选：C
7．B
【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得出，进而根据正方形的面积与矩形的面积可得，即可求解．
【详解】解：．
理由如下：
∵是线段的黄金分割点，且，
∴，
∴．
故选：B．
8．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质解答即可．本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】A、∵，
∴，错误，不符合题意；
B、∵，
∴，错误，不符合题意；
C、∵，
∴，正确，符合题意；
D、∵，
∴，故Ｄ错误，不符合题意；
故选C．
9．
【分析】本题考查分式的化简求值，由，代入即可求解．
【详解】解：，
，
故答案为：．
10．6
【分析】本题考查了比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解．
【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得，即，
∵，，，
∴
解得．
故答案为：6．
11．/
【分析】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割．据此列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，设相邻一条较短边的边长等于厘米，
∴，
解得，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可计算出的长．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
∴．
故答案为：．
13．或2
【分析】分两种情况：①边为矩形的长时，②边为矩形的宽时，根据宽与长的比是分别求出矩形的长即可．
本题考查了黄金分割，读懂题意，掌握黄金矩形的定义是解题的关键．
【详解】分两种情况：
①边为矩形的长时，则边为矩形的宽，
则；
②边为矩形的宽时，则边为矩形的长，
则；
综上所述，该矩形的的长度为或2，
故答案为：或2．
14．
【分析】本题考查了作图 复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、平行线分线段成比例定理．根据作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【详解】解：由作法得平分，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，
而，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，再根据求解即可．
【详解】∵支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】如图取的中点，连接，，连接交于．首先证明是等腰直角三角形求出，，解直角三角形求出，即可解决问题．
【详解】如图，取的中点，连接，．连接交于．
四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，四点共圆，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握折叠的性质及正方形的性质是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似多边形的性质；
（1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得；
（2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长．
【详解】（1）解：∵四边形四边形，
∴
∴
故答案为：
（2）解：∵四边形四边形
∴
∵，
∴
解得：
18．(1)①依题意补全图形；②等腰直角三角形，见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理
（1）①依题意补全图形．
②延长到点G，使得，连接，证明四边形是平行四边形，直线是线段的垂直平分线，利用三角形全等和两直线平行，同旁内角互补，证明即可
（2）过点A作于点H，连接，并延长交于点M，证明是等边三角形，且边长为3，根据垂线段最短，作，当点F与点G重合时，最小计算即可．
【详解】（1）①根据题意，补图如下：
②当，是等腰直角三角形，理由如下：
延长到点G，使得，连接，
∵ F是的中点，，，
∴四边形是平行四边形，直线是线段的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴，
故是等腰直角三角形．
（2）过点A作于点H，连接，并延长交于点M，
∵，，，
∴，
∵点F为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，且边长为3，
根据垂线段最短，作，当点F与点G重合时，
最小，
故，
故答案为：．
19．(1)2秒
(2)存在，秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及平行线分线段成比例定理，根据已知条件得出是解题的关键．
（1）根据题意表示出的长，再利用三角形面积公式求出即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理得出，进而代入求出即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
由题意，得，
整理，得 ，
解得：，，
当时，，此时点Q越过C点，不合题意，舍去，
即经过2秒后，的面积等于8cm2 ．
（2）存在．
∵若，则点P、Q应分别边、上，此时，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
解得：，
∵满足，
∴秒时，．
20．2
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，得出，，推出即可得出结果．
【详解】解：如图，过点作交于点，
则，，
为的中点，
，
，
，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了旋转作图，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线分线段成比例定理．
（1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可；
（2）取格点D，连接交于点P，即可得出答案．
【详解】（1）解：为所求作的三角形；
（2）解：点P即为所求作的点．
∵，，，
∴．
22．(1)
(2)等边三角形，理由见解析
(3)或
【分析】（1）由折叠的性质可得，从而可得；
（2）由折叠可证， ，得到，即点N是的中点，从而，，得证，根据（1）可得，因此为等边三角形；
（3）由点H是边的三等分点得到或，分两种情况讨论：①当时，，，易证，从而设，则，，在中，根据勾股定理有，求解即可；②当时，同①思路即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠的性质可得，，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：为等边三角形．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得，
∴，
∵由折叠可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N是的中点，
∴，，
∴，
∵由（1）有，
∴，
∴为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（3）∵点H是边的三等分点，
∴或，
①当时，，，
∵，，，
∴，
∴
设，
则，，
∵在正方形中，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，，
∵，，，
∴，
∴，
设，
则，，
∵在正方形中，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定及性质，勾股定理，综合运用各个知识，运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键．
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