2023-2024学年数学九年级下册人教版27.2相似三角形精选题练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册人教版27.2相似三角形精选题练习
一、单选题
1．如图，在中，平分，点在边上，且．若，，则（ ）
A．6 B． C． D．
2．如图，在中，过上一点且平行于边的直线将分成面积相等的两个部分，则的值为（ ）．

A． B． C． D．
3．如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，有一个三角形的台面，把各边中点连线所围成的三角形铺上带花纹的黑色大理石（图中阴影部分），其余部分铺上米白色的大理石，那么黑色大理石与米白色大理石的面积之比为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，正方形中，E，F分别是上的点，交于M，交BD于点N，若平分，，记，，，则有（ ）
A． B． C． D．
6．如图，以的边为直径，交于点D，交的延长线于点E，若，则的长度为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，若，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
8．如图，用一根杠杆撬一块石头，当用力向下压杠杆的端点时，杠杆便绕支点转动，另一端点就向上抬起，从而撬动石头．已知动力臂与阻力臂的长度之比为，如果端点向上翘起才能使石头滚动，那么至少要将端点向下压（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
9．如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应中线的比为 ．
10．如图，的中线交于点O，连接，则 ．
11．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为米，同时量得小艺与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 米．
12．如图，直角为一个测量小孔直径的工具，其中直角边被平均分成了20等份，现被充分插人到一个小管后，管口正好在刻度10上，则管口的直径的长度为 ．
13．如图，在中，为直径，长为，点为的三等分点，在同一侧的圆周上有不同的两点，使得，且，连接，则与的面积之和为 ．
14．如图，在中，点在上，，点在上，且，则 ．
15．如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点，与反比例函数交于点，如果，则的值为 ．

16．如图，若内一点P满足，则称点P为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家克雷尔首次发现．后来被法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．已知中，，P为的布罗卡尔点，若，则 ．
三、解答题
17．如图，已知四边形为平行四边形，连接，过点A的直线交于点E，交于点F，交的延长线于点G．求证：．
18．如图，在中，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，求的长．

19．如图，在中，是的外接圆，且以为直径．
(1)设的中点为点，求的长度；
(2)设劣弧的中点为点，求的长度．
20．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度，如图2：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得米，将标杆沿方向平移米到点处（米）．这时地面上的点，标杆的顶端点，塔尖点正好又在同一直线上，测得米，点与塔底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？
21．如图，在中，，设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向以每秒的速度向点C做匀速移动的同时，点Q自点B沿方向以每秒的速度向点A做匀速移动，当Q点到达A点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，？
(2)能否与相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
22．如图，在一张圆形桌子的正上方有一个亮着的灯泡，如果桌子的高度为1米，桌面的直径为米，灯泡到地面的距离为米，那么桌子在地面上形成的影子的面积为多少平方米．（结果保留）
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先利用三角形外角性质得到，再利用得到，所以，而为公共角，则可判断，然后利用相似比可求出的长．
【详解】解：，
即，
而，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
解得．
故选：C．
2．A
【分析】考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由可得出，利用相似三角形的性质结合，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选∶A
3．B
【分析】连接，，首先根据勾股定理求出，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，，证明出，利用相似三角形的性质求出．
【详解】解：如图所示，连接，，

∵，，，
∴，
∵以为直径的半圆与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴解得．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
4．C
【分析】本题考查了中位线的定义与性质，先根据“把各边中点连线所围成的三角形铺上带花纹的黑色大理石（图中阴影部分）”得出是的中位线，结合中位线的性质，即可作答．
【详解】解：如图
依题意，分别是的中点。
∴是的中位线，
即
∴
∴
则相似比为
∴
那么黑色大理石与米白色大理石的面积之比为，
故选：C．
5．D
【分析】先根据正方形的性质证明得到，再由角平分线的定义得到；证明，，得到，，则；证明，进而证明，得到；过点M作于点H，如图，由角平分线的性质得到，再证明，得到，得到，则．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点M作于点H，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质等等，通过证明三角形相似和三角形全等求出x、y、z的值是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键，连接，先由直径所对的圆周角是直角得出，再证明，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】连接，

∵以的边为直径，
∴，
∵，
∴，
，
∵，，
，
故选：C．
7．C
【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据相似三角形的判定及性质进行解答即可．
【详解】解：在矩形中，，
则：，
∴
∵，
∴
，
，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先作出图形，证明，从而可得答案．
【详解】解：如图：、都与水平线垂直，即；

则，
∵杠杆的动力臂与阻力臂之比为，
即；
∴当时，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形对应中线的比为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质；灵活运用三角形中位线性质和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．先根据三角形中位线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质得到的值．
【详解】解：∵的中线交于点O，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．6
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；证明，根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
解得：，
∴旗杆的高度为6米，
故答案为：6．
12．5
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，证明运用相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∴
∴
∴
∴，
解得．
故答案为：5．
13．
【分析】延长交于点，连接，根据题意可证，过点作，垂足为点，连接，可求得和，过点作，垂足为点，则，可得，则有，结合即可求得．
【详解】解：延长交于点，连接，如图，
∵，
∴，
∵点为的三等分点，
∴，
由对称性得，
∵，
∴，
则，
过点作，垂足为点，连接，则，
∵，
∴，
则，
过点作，垂足为点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线和熟悉三角形所涉及的性质．
14．
【分析】本题主要考查相似三角形的应用， 题意可得得出，得出，即可得出结论
【详解】
，
又
，
，
设，
∵，
则，
解得，
．
故答案为：
15．
【分析】本题考查反比列函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键．
先根据直线与反比例函数只有唯一的公共点，联立解析式得方程组，由求得a，从而求得点A、B坐标，再过点A作于E，过点C作于F，证明，得 ，求得，从而得到点，然后把代入，求解即可．
【详解】解：联立得，
∴
∴
∵直线与反比例函数只有唯一的公共点，
∴
解得：，（不符合题意，舍去）
∴
∴
解得：，
∴
∴，
∴，
令，则，
∴，
过点A作于E，过点C作于F，如图，

∴，，
∴
∵
∴
∵于E， 于F
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
把代入，得
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．作于H，通过证明，可得，可得的值，即可求解．
【详解】解：作于H，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
17．详见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先由平行四边形的性质得出对边平行，继而得出，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
18．2
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据正方形的性质，得证明结合，得四边形是矩形，再设根据相似三角形的对应边成比例列式代入计算，即可作答．
【详解】解：设正方形的边长
∵四边形是正方形，
∴
∴
∵是的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴设
∵
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵
∴
∴
解得：，
∴
19．(1)
(2)厘米
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质：
（1）连接运用垂径定理得，再根据勾股定理得出；
（2）过点作，垂足为点，连接，证明，求出，再根据勾股定理可得结论．
【详解】（1）解：连接 如图，
为直径，点为的中点，
，且，
；
（2）解：过点作，垂足为点，连接，则，
为直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
20．此塔的高度有30米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
答：此塔的高度有30米．
21．(1)
(2)能，或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，在解答时要注意进行分类讨论，不要漏解．
（1）由勾股定理求出，当时，作，垂足为E，证明，由相似三角形的性质得出，得出，则可得出答案；
（2）分与两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵中，，
∴，
∴，
如图，当时，作，垂足为E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴t为时，；
（2）解：能．
当时，，即，
解得；
当时，，即，
解得；
∴或时，与相似．
22．平方米
【分析】本题考查分式方程的应用及相似三角形的应用，根据题意找出相似三角形，根据相似三角形性质设未知数列方程并解方程即可解决．
【详解】解：设桌子在地面上的影子的半径为米，
则，
解得（米），
经检验，是原方程的解，
（平方米）
答：桌子在地面上形成的影子的面积为（平方米）．
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