2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数精选题练习

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版第5章二次函数精选题练习
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数在时有最小值，则(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
3．把二次函数的图像向左平移2个单位，所得函数图像对应的表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线上移动，若点C、D、E的坐标分别为、、，点A的横坐标的最大值为2，则点B的横坐标的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，抛物线与直线的交点A的横坐标是2，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知二次函数，当时，函数值的最小值为0，则的值为 ．
10．对于任何的实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点坐标是 ．
11．已知二次函数的图象与轴交于，两点，且满足．当时，则该函数的最大值与满足的关系式是 ．
12．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为 米．
13．若二次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为 ．
14．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；（的实数）．其中正确的结论有 个．
15．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球达到的最大高度是 ．
16．如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线是反比例函数（）图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点是波浪线上的点，则 ；若点和是波浪线上的点，则的最大值为 ．

三、解答题
17．已知，，取什么值时，与相等？
18．已知二次函数的图像经过点．
(1)求m的值；
(2)该二次函数的图像是否经过点，判断并说明理由．
19．如图，空地上有一堵墙，某人利用墙和木栏围成一个矩形菜园．已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．设矩形的宽为x，写出矩形菜园的面积与x（m）之间的函数表达式．
20．如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口H离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度，竖直高度．洒水车到绿化带的距离为d(单位：m)，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)若距喷水口水平距离为米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水 并写出你的判断过程；
(2)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则洒水车离绿化带的距离d的范围是多少
21．已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中、．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)写出该抛物线顶点M的坐标；
(3)连接，则的面积的面积______．
22．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
(1)__________；
(2)如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，则菱形的边长为__________；
(3)如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图像上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查二次函数的识别，牢记二次函数的定义（形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数）是解题的关键．根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、是一次函数，不符合题意；
D、，分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线，进而分和两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：二次函数解析式为，
二次函数对称轴为直线，
当时，
在时有最小值，
当时，，
；
当时，
在时有最小值，
当时，，
；
综上所述，或，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查的是函数图象的平移，熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解本题的关键．
根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答．
【详解】二次函数的顶点坐标是，
把向左平移两个单位所得对应点坐标为，
平移后的二次函数表达式为，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，进而得到抛物线解析式为，求出当时，，再根据方程在的范围内有解，得到二次函数与直线在的范围内有交点，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
∴当时，，
∵方程在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，分别根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，以及一次函数经过的象限判断出a的符号以及对称轴的位置，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：A、二次函数开口向上，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，互相矛盾，不符合题意；
B、二次函数开口向上，则，对称轴为直线，一次函数经过第一、三、四象限，则，不符合题意；
C、二次函数开口向上，则，对称轴为直线，一次函数经过第一、三、四象限，则，符合题意；
D、二次函数开口向下，则，一次函数经过第一、三、四象限，则，互相矛盾，不符合题意；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理．解题的关键在于熟练掌握、两点间的距离公式为，完全平方式的最小值为0的性质．
根据直角坐标系中两点间的距离公式，非负数的最小值，求解即可．
【详解】∵点A坐标为，点坐标为，
∴，
∴有最小值是．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，求解函数与轴的交点坐标，如图，当顶点在处时，A点的横坐标最大，求解解析式，再求解当顶点在处时，B点的横坐标最小时的抛物线，再求解函数与轴的交点坐标即可得到答案．
【详解】解：如图，当顶点在处时，A点的横坐标最大，
设抛物线的表达式为，代入，解得，
则抛物线的表达式为；
如图，当顶点在处时，B点的横坐标最小，
这时抛物线的表达式为，
当时，，
解得：，，
∴，
∴点B的横坐标的最小值为1．
．
故选A
8．A
【分析】本题考查了二次函数与正比例函数图象的综合，图形的对称性，求不等式的解集；由于直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称，则直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称，由此得点B的横坐标，结合函数图象即可求得不等式的解集．
【详解】解：如图，与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称，
∴直线与抛物线的交点B、直线与抛物线的交点A关于y轴对称，
∴B的横坐标是，
由得，表明抛物线在直线的上方时，自变量的范围，
观察图象知，，
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意；
若，当时，函数值y最小，最小值为0，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先把解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可．
【详解】解：，
当，即时，的值与无关，，
所以，抛物线总经过一个固定的点．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了利用二次函数的性质求最值，由二次函数的性质得，从而可得函数的最大值是时所对应的函数值；理解二次函数的性质，能找出取最大值是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点，
图象开口向上，对称轴为直线，
，
，
对称轴在和之间，
当时，
函数的最大值是时所对应的函数值，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为．
【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：得到：，
解得，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米，
故答案为：26．
13．或
【分析】本题考查利用函数图象解方程，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象平移等知识，根据题意，令，数形结合，由二次函数图象的平移，将二次函数（为常数）的图象与轴的交点向左平移个单位长度即可得到答案，熟练掌握二次函数图象的平移是解决问题的关键．
【详解】解：令，
将二次函数（为常数）的图象向左平移个单位长度即可得到，
二次函数（为常数）的图象与轴的交点为和，
的图象与轴的交点为和，
关于的方程的解为或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线的开口方向向下，
∴，
∵对称轴在轴右侧，
∴对称轴为，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
∴，
∴，故错误；
当时，，
∴，故错误；
当时，，故正确；
由图象可知对称轴为直线，则，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵图象开口向下，
∴当时，有最大值，
当时，，则
∴，故正确；
综上可知：正确，共个，
故答案为：．
15．3
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵铅球行进高度与水平距离之间的关系为，
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，y有最大值3
∴铅球达到的最大高度是．
故答案为：3．
16． 11
【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由抛物线求出点A、点B；再将点P代入抛物线解析式可求得a的值；由点B求出双曲线k，再求出C，得到12个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解．
【详解】解：∵点A在抛物线上，
∴令，则，
∴，
又∵点B是抛物线的顶点，
∴，
∴,
则点再抛物线上，即；
∵点B在双曲线上，
∴，
∴双曲线解析式为，
∴点，
∵，
所以点P的纵坐标和时的纵坐标相等，
当时，,
所以，
∵波浪线的最高点为二次函数顶点，
所以n的最大值为12，
所以最大值为．
故答案为11，．
17．当为1或4时，与相等
【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，即，解得：，
当为1或4时，与相等．
18．(1)1；
(2)不在，理由见解析．
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）将代入二次函数可得答案；
（2）计算时的函数值可判断二次函数的图像是否经过点；
【详解】（1）解：将代入二次函数得，，
解得，
∴m的值是1．
（2）由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
∴点不在这个二次函数图像上．
19．
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，先根据题意得到，则，再根据矩形面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，则．
∴．
20．(1)行人会被洒水车淋到水，见解析
(2)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与轴的交点，二次函数的平移；
（1）设上边缘抛物线为，根据题意求出该抛物线，当时，求出其与轴的交点，将该距离与米进行比较，若大于米则会被淋湿，若小于米则不会被淋湿．
（2）根据上边缘抛物线，设下边缘抛物线为，利用点H求出抛物线解析式，根据绿化带的高度和宽度，求出距离d的最大值和最小值，即可解题．
【详解】（1）解：设上边缘抛物线为，
由题意可得，，，
，
，
，
．
当时，，（舍去），
，
行人会被洒水车淋到水．
（2）解：设下边缘抛物线为
，
，
，（舍去），
，
当时，，（舍去），
，
当时，，（舍去），
，
．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入函数解析式，求出值，即可得出结果；
（3）分别表示出两个三角形的面积，即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴为，且抛物线经过
，解得：，
这条抛物线的表达式为；
（2）把代入抛物线的表达式为得，，
抛物线顶点；
（3）如图：
，
，
．
22．(1)1；
(2)；
(3)为定值1，理由见解析．
【分析】（1）当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；
（2）由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；
（3）如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1；
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴不在二次函数图象上，
将代入，解得，
故答案为：1；
（2）解：由①知，二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴，
设菱形的边长为，则，
∵轴，
∴，
由菱形的性质得，，
∴轴，
∴B、C关于y轴对称，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），（舍去），，
∴菱形的边长为；
（3）解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，

由正方形的性质可知，为、的中点，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
由题意知，，，，则，，
设，则，，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，
∴，
∴，
∴是定值，值为1；
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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