2023-2024学年数学九年级下册苏科版第6章图形的相似精选题练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版第6章图形的相似精选题练习
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　）
A． B． C．或 D．或
2．如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，则（ ）
A．1 B． C．3 D．9
4．如图，用一张矩形纸片覆盖等边三角形，，且D、E为边的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
5．若，且面积比为，则与的周长比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，是上一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，与位似，位似中心为点D，位似比为，则的比值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．一个矩形，长大于宽，沿长边对折，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为 ．
10．已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是 ．
11．如图，中，，，，点F、G分别在边和上，且，作的中垂线交于点E，则的值是 ．
12．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为 cm．
13．在平面直角坐标系中，点，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，均落在二次函数图像上，则的值为 ．
14．如图，在正方形中，，点P为上动点，点Q在的延长线上，且，相交于点E，当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为 ．
15．如图，在中，，，点、是边的三等分点，点是上的动点，当取得最小值时，的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，点在点左侧，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，若，，则的值为 ．

三、解答题
17．如图，与是位似图形，且位似比是，若，在图中画出位似中心O，并求的长．
18．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为．
(1)画出；
(2)点坐标为________；
(3)线段上一点经过变换后对应的点的坐标为________．
19．如图，在和中，，，，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，求证：．
20．如图，中，，厘米，厘米，是的中点．点从出发，以厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点作的垂线，交于点，连接，．设它们运动的时间为秒．
(1)当时，，求的值；
(2)当时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值；
21．“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】（1）如图①，是的角平分线，求证．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】（2）如图②，是的弦，在优弧上作出点P，使得．
要求：①用直尺和圆规作图；
②保留作图的痕迹．
【结论应用】（3）在中，最大角是最小角的2倍，且，求．
22．如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接．
(1)如图①，当点G在边上，且，时，求．
(2)如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分．
(3)如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或.
根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，点E的坐标为，
∴点E的对应点的坐标为或，即或，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断是解题的关键．
【详解】解：在和中，，
A、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；
B、，利用两组对应角相等的三角形相似，得到，不符合题意；
C、，不能证明，符合题意；
D、，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到，不符合题意；
故选C．
3．C
【分析】本题考查了比例中项即称线段c是线段a、b的比例中项，根据定义计算是解题的关键．根据比例中项的定义，得到，代入计算，结合线段的非负性，确定答案即可．
【详解】解：因为线段c是线段a、b的比例中项，线段，
所以，
所以或（舍去），
故选：C．
4．B
【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得出，，进而得出，，设，则，，得出，即可求出答案．
【详解】解：∵，D、E为边的三等分点，
∴，，
∴，，
∴，，
设，
则，，
∴，
∴
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解决问题．
【详解】∵，且面积比为，
∴与的相似比为
∴与的周长比为．
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，圆周角定理的推论和勾股定理，当与的交点D落在上时，因为是直径，可以判定，证明推出，同理得到，进而证明垂直平分，求出的长度，进而求出的长度，最后证，即可求出的长度．
【详解】解：如图所示，当与的交点D落在上时，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．利用位似变换的性质判断即可．
【详解】解：∵与位似，位似中心为点D，位似比为，
∴．
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，矩形的性质，相似三角形的判定及性质等知识，设交轴于，交于，设，则，设，利用平行线分线段成比例定理求出，，即可求解．解题的关键是学会利用参数解决问题．
【详解】解：如图，设交轴于，交于，
设，则，设．
点在上，
，
，
四边形是矩形，
，
∴，
，
，，，
，
∴，
，
，
，
，
，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了相似多边形的性质；设原矩形长为，宽为，根据相似多边形的性质，有，进而即可求解．
【详解】不妨设原矩形长为，宽为，
因为对折后与原矩形相似，则必定是沿着长的垂直平分线对折，且对折后矩形的两边长为和．
根据相似多边形的性质，有，
所以，则．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查黄金分割点的定义及求线段长，根据题意，作出图形，由黄金分割点的定义列式代值求解即可得动答案，熟练掌握黄金分割比是解决问题的关键．
【详解】解：由，如图所示：
是线段的黄金分割点，
，
，设，
，即，
解得或（舍去），
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，中垂线的性质，勾股定理，过点作,交于点，证明，得出，由勾股定理得出，再得出，证明，可得出即可求解，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：过点作,交于点，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在中， ，
∵，，
∴，
∴，
∵是的中垂线，
∴，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
12．3
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质的应用，根据相似计算即可．
【详解】∵
∴，
∴，，
∴，
∵的高为，，分别为、，
∴，
∴,
∴，
故答案为：3．
13．
【分析】本题考查的是位似的性质，二次函数的对称性，先求解，或，，再利用二次函数的对称性可得答案．
【详解】解：∵点，以点为位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，
∴，或，，
当过，时，
∴，解得：，
当过，时，
∴，解得：，
综上：，
故答案为：
14．
【分析】本题考查了正方形的综合题，关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题．
先画出点E运动的路线，过E作，交于点F，根据，可得，设，则，，再根据，可求得，利用勾股定理可得．
【详解】解：当点P在点A处时，如图，
，
，
，
当点P运动到点B时，如图，
，
所以点E运动的路线，如图，
，
过E作，交于点F，即，
∵四边形为正方形，
，
在中， ，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
解得：，
，，
在中，
．
故答案为：．
15．
【分析】如图，作关于的对称点，连接交于，连接，则，可知当三点共线时，取得最小值，如图，连接，过作于，由题意知，设，，则，，，由勾股定理得，，由轴对称的性质可知，，，可求，证明，则，即，可求，由勾股定理得，，根据，求，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，则，
∴，
当三点共线时，取得最小值，
连接，过作于，
∵，，
∴，
设，，则，，，
由勾股定理得，，
由轴对称的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查反比例函数值的几何意义，待定系数法求解析式，相似三角形的判定的性质，掌握反比例函数图象的性质，比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键．
如图所示，过点作于点，作轴于点，可得，，设，用含的式子表示点的坐标，由此可得直线，的解析式， 从而求出的坐标，分别求出的长，再根据可求出的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作轴于点，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，且在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，即点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
令，则 ，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，，，，
∴，，，
∴，
，整理得，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．见解析，
【分析】本题考查了位似中心的确定方法，位似图形的性质；
连接，的交点即为位似中心O，然后根据位似比可求的长．
【详解】解：如图，点O即为所求；
∵与的位似比是，，
∴．
18．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是位似变换的性质，
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，再由再第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可；
（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案；
（3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此可得答案．
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：∵与关于原点位似，且相似比为，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
（3）解：∵与关于原点位似，且相似比为，
∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ，
故答案为：．
19．(1)见解析；
(2)；
(3)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；
（1）根据等角的余角相等得出，进而证明，即可得证；
（2）过点作，，进而证明得出，进而得出四边形为正方形，根据正方形的性质，即可得证；
（3）取的中点，连接，由（2）可知，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而根据得出，则是等腰三角形，即，即可得证．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）过点作，，
由（1）可知，，
∴，，（对应边上的高相等）
又∵
∴
∴
∴
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴°
（3）如图所示，取的中点，连接，
由（2）可知，，，
∴在中，点是的中点，
∴，即，
∴是等腰三角形，且，
∵是外角，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰三角形，即，
∴，
∴．
20．(1)
(2)或
【分析】此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．
（1）先表示出，，，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（2）先判断出，得出，再判断出，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1），
厘米，厘米，
厘米，
．
，
．
；
（2）由题意，厘米，厘米，厘米．
根据题意得：，
．
，即．
，
以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
．
当时，
，
当时，，
．
综上，或
21．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）小明思路，作，利用平行线分线段成比例定理得到，再利用等角对等边求得，即可证明结论；
小红思路，作，利用面积法即可证明结论；
（2）作弦的垂直平分线，再作线段的垂直平分线，利用垂径定理即可求解；
（3）利用相似三角形，利用相似三角形的性质，即可求出的长．
【详解】（1）解：小明思路：过点B作交的延长线于点D，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
小红思路：分别过点P，C作，垂足为D，E，F，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴．
∴；
（2）解：①作弦的垂直平分线，交弦于点D，交点E，
由垂径定理得，
②再作线段的垂直平分线，交弦于点C，
③连接并延长交点P，
点P即为所求；
∵，
∴平分，
∵，
∴，
由（1）的结论得，
同理，点也为所求；
（3）如图所示，作的平分线交于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
即
∴，
∴（负值舍去）．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的作法确定的圆的条件，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定等知识，解决问题的关键是掌握题意，正确的作出图形．
22．(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）先根据正方形的性质，得到，然后利用直角三角形的性质推得，再根据全等三角形的判定得到，从而求得的长，最后根据勾股定理计算即得答案；
（2）延长和相交于点P，先根据正方形的性质，证明，然后证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质，证得，从而得到，即得答案；
（3）过点G作，交的延长线于点Q，先证明，得到，，进一步推得，从而可得，继续推理可证明，得到，即可得到答案．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）延长和相交于点P，
E是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即平分；
（3）过点G作，交的延长线于点Q，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
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