江苏省无锡市2024年中考数学易错模拟卷（一）（含解析）

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江苏省无锡市2024年中考数学易错模拟卷（一）
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列各数比小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．函数y中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≠3 C．x≥3 D．x≥0
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．点P在反比例函数的图像上，垂直于x轴，垂足为A，垂直于y轴，垂足为B．则矩形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
6．下列调查适合用普查方式的是（ ）
A．某品牌灯泡的使用寿命 B．全班学生最喜爱的体育运动项目
C．长江中现有鱼的种类 D．全市学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．菱形
8．如图，七巧板是我国民间流传最广的一种传统智力玩具，也被西方称为“东方魔板”，它是由正方形分割成七块板组成．若这个正方形的面积为16，则图中两块面积之和为5的是（ ）
A．①⑦ B．②④ C．①③ D．④⑥
9．如图，四边形中，，，．若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒．他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成5个矩形纸板，他用其中1个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器，圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务．“奋斗者”号下潜63次，发现已知最深鲸落，深度达5609米．数据5609用科学记数法可表示为 ．
13．分解因式： ．
14．命题“如果，那么”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
15．若二元一次方程组的解为，则 ．
16．抛物线与坐标轴的交点个数为 个．
17．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 ．
18．如图，已知四边形为矩形，，，点在上且，则 ；若点为平面内一点，且，连接，当时，的值为 ．
三、解答题
19．（1）计算：
（2）化简：
20．（1）解不等式组
（2）已知，，请比较M和N的大小．
21．如图，在中，E是边上一点，连接、、，与交于点O，，求证：
(1)．
(2)
22．某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x<0.5），第二组（0.5≤x<1），第三组（1≤x<1.5），第四组（1.5≤x<2），第五组（x≥2）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
23．将分别标有数字1，2，4，5的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为质数的概率是______．
(2)随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回），再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率是多少？
24．如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的半径和的长．
25．某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，
(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）
26．（1）如图，已知A是直线外一点．用直尺和圆规作，使过A点，与直线相切于Q，且．（请保留作图痕迹，不写做法）
（2）在（1）的条件下，若，则的半径长为______，的内接的面积最大值为______．
27．如图，矩形ABCD中，，．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）．
(1)求AP的取值范围；
(2)连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当时，求AP的长．
28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，连接．

(1)求二次函数的函数表达式；
(2)设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值；
(3)若点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：∵，
∴比小的数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，注意绝对值越大的负数的值越小是解题的关键．
2．C
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】由题意得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故选C.
【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．B
【分析】根据幂的乘方运算、同底数幂的乘除法运算、合并同类项法则，即可一一判定．
【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.与不是同类项，不能进行加法运算，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除法运算、合并同类项法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
4．A
【分析】先通分，再进行分式的加减运算．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减运算．掌握分式加减运算法则是解题的关键．也考查了平方差公式．
5．C
【分析】设点P的坐标为，可求得，，再根据矩形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为，
则，，
把点P的坐标代入函数解析式，得：，
矩形的面积是：，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用反比例函数的系数求面积，熟练掌握和运用利用反比例函数的系数求面积的方法是解决本题的关键．
6．B
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A．该选项如果进行普查，那么全部灯泡作废，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意；
B．该选项适宜普查；
C．该选项如果进行普查，所需人力、物力、时间和经费较多，难度大，所以只适宜抽样调查，故此选项不符合题意；
D．该选项如果进行普查，所需人力、物力和时间较多，所以只适宜抽样调查，，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．掌握普查和抽样调查是解题的关键．
7．D
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、直角三角形可能是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握相关概念是解本题的关键．
8．C
【分析】分别求出各部分的面积即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为16，
∴正方形的边长为．
∴对角线的长为，
∴①、②的直角边长为，
③、④、⑤、⑥在对角线上的边长为，
③的斜边为，
⑦的直角边长为2，
∴
，
，
，
∴面积之和为5的是①③，①⑤，②③，②⑤．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，算术平方根的意义，以及勾股定理等知识，求出各部分的面积是解答本题的关键．
9．A
【分析】根据题意可得，再根据直角三角形斜边中线的性质解得，以为边作等边，连接，由勾股定理解得的长，继而证明 ，由全等三角形对应边相等得到，最后根据三角形三边关系即可求解．
【详解】解：取的中点F，连接，
，
∴为等边三角形，
，，
，
，
以为边作等边，如图，连接，则，
∵F为中点，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴当且仅当过点F时，最长，此时，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边的中线、 勾股股定理、三角形三边关系等知识，掌握相关知识是解题关键．
10．B
【分析】根据题意可画出草图，将大矩形分为5个小矩形， 其中1个为底面，其余4个为侧面，要求满足可拼成一个无盖的长方体， 经分析绘图，发现有4种情况，设侧面的高为x厘米，底面的长为a厘米，底面的宽为b厘米， 根据草图分别列出三元一次方程据，解出侧面高可能的值，即可得到答案．
【详解】根据题意可得，有4种分割方法，
设侧面的高为x厘米，底面的长为a厘米，底面的宽为b厘米，
如图1，，解得；
如图2，，解得；
如图3，，解得， ；
如图4，，解得．
∴侧面高不可能是．
故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论是解答本题的关键．
11．
【分析】若使二次根式在实数范围内有意义，被开方数必须大于等于零，由此可列出不等式，求解即可．
【详解】解：若使在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式被开方数必须大于等于零．
12．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数,且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
13．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．
【详解】
，
故答案：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．
14．假
【分析】先把原命题的条件和结论互换写出对应的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，这是一个假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．
15．
【分析】把、的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值．
【详解】解：将代入方程组，
得：，
得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值．
16．2
【分析】当时，求出与轴交点的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的解，即抛物线与轴的交点个数．
【详解】解：当时，，则抛物线与轴交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
17．
【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得，由此可得．
【详解】解：根据题意由勾股定理得：
∴AB2=AC2+BC2，
∴AC⊥BC，∠C=90°，
结合网格可知D分别为AB的中点，
∴CD=AD=DB，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠B+∠DCB=∠ADC，
∴,
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出．
18． 5 或
【分析】设为，，在中，勾股定理构造的方程，求解即可求出的长．分情况讨论，当在左侧、在右侧两种情况，构造三角形相似的“K型图”利用对应线段成比例即可求解．
【详解】解：设，则，
在中，
有，
解得，
；
过点作于点，
，
设，则，
，
当点在左侧时，过点F作交、的延长线于点、（“K形图”），
四边形为矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去）或，
，
当点在右侧时，
过点F构造“K形图”，
同理可得，
，
，
(舍去)或，
．
故答案为：5；或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数及相似三角形的判定和性质，构造“K字”模型是解题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，二次根式的性质，以及零指数幂运算法则即可求出值；
（2）运用同分母分式的加减法则进行计算即可．
【详解】解：原式
原式
【点睛】此题考查了实数的混合运算及分式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
（2）先作差，将结果利用配方法分解，再比较大小．
【详解】解：（1）由得：
由得：
∴不等式组的解集为；
（2）
∴
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及配方法的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)利用平行四边形的性质，证明即可．
(2)根据全等三角形的性质，证明即可．
【详解】（1）中，，，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22．(1)第二组
(2)175人
(3)见解析
【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；
（2）用1200乘“不喜欢”所占百分比即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【详解】（1）解：由统计图可知，抽取的这1200名学生每周参加家庭劳动时间的中位数为第600个和第601个数据的平均数，
308+295=603，故中位数落在第二组；
（2）解：（人，
答：在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为175人；
（3）解：由统计图可知，该地区中小学生每周参加家庭劳动时间大多数都小于h，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯．（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】（1）先求出这组数中质数的个数，再利用概率公式解答即可；
（2）首先根据题意可直接列出所有可能出现的结果，再算出这个两位数能被3整除的概率.
【详解】（1）解：数字1，2，4，5中，2，5是质数，
则随机抽取1张，抽到卡片数字是奇数的概率为；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
1 2 4 5
1 12 14 15
2 21 24 25
4 41 42 45
5 51 52 54
出现的等可能性结果有12种，两位数能被3整除的有，12，15，21，24，42，45，51，54共有8种，
∴P（两位数能被3整除）．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，熟记概率公式是解决本题的关键．
24．(1)直线与相切，理由见解析
(2)的半径为，的长为
【分析】（1）连接，由角平分线的定义可知，即得出，从而得出．根据垂径定理可知，结合平行线的性质即得，即证明是的切线；
（2）在中，由勾股定理得，再根据，，，即可得出；由直径所对圆周角为直角得出，从而得出，结合等边对等角可证，即易证，得出，整理得．在中，由勾股定理得，即可求出，从而可求．最后根据平行线分线段成比例即得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】（1）解：直线是的切线．理由如下：
如图，连接，

∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的半径为；
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，角平分线的定义，垂径定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，较难．熟练掌握上述知识，并正确的连接辅助线是解题关键．
25．(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
(2)甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．
【分析】（1）设乙种图书进价每本元，则甲种图书进价为每本元，由题意：用1680元购进甲种图书数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设书店甲种图书进货本，总利润元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出，再由新华书店决定用不多于28000元购进两种图书共1200本进行销售，列出的一元一次不等式，解得，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
甲种图书进价为每本元．
答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
（2）设甲种图书进货a本，总利润元，
由题意得：，
解得：，
∵，
随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当本时，w最大（元），
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
26．（1）见解析；（2），
【分析】（1）过点A作的垂线，垂足为P．在上截取．过点Q作的垂线，与过点P且垂直于的直线的交点为圆心O，以O为圆心，为半径，作，即可；
（2）设交于点C，由（1）得：垂直平分，可得是等腰直角三角形，可求出的长；根据题意得：当的边上的高最大时，的面积最大，
设线段的延长线交于点T，此时最大，则，可得到的长，再由三角形的面积公式解答，即可求解．
【详解】解：（1）过点A作的垂线，垂足为P．在上截取．过点Q作的垂线，与过点P且垂直于的直线的交点为圆心O，以O为圆心，为半径，作．
理由：根据作法得：，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴垂直平分，，
∴，
∵，
∴过A点，与直线相切于Q；
（2）设交于点C，
由（1）得：垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
即的半径长为；
根据题意得：当的边上的高最大时，的面积最大，
设线段的延长线交于点T，此时最大，则，
∴，
∴．
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作圆，切线的判定，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据点P在AD上运动可判断出，点M落在CD上时，AP的长度达到最大．利用翻折的性质和勾股定理求出和长度，再利用，即可推断出最大长度，从而求出取值范围．
（2）利用已知条件和翻折性质推出，从而证明，得出，再根据翻折性质、矩形性质和等腰三角形性质推出，．在中，，即可求出长度．
【详解】（1）解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，如图所示，
四边形ABCD是矩形，
，，，
沿直线翻折，
，，
，．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
AP的取值范围是．
故答案为：．
（2）解：如图，
由折叠性质得：，
，
，
，
，
，
．
设，过M作于H，连接，
由折叠性质得：，，
．
，
．
．
，
．
，
MN为的中位线，则，
在中，，
，
．
．
．
（舍去）．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的综合题，涉及到的知识点有翻折性质、三角形相似、中位线定理和勾股定理．解题的关键在于是否能判断出M落在CD上时，AP的长度达到最大．解题的难点在于是否能正确画出图形，解题的易错点在于是否能排除的其中一个值．
28．(1)
(2)；
(3)存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为；
（2）由，得，用待定系数法可得直线的函数表达式为：，设与轴交于，过点作于点，求得，，根据，得，及可得；
（3）由待定系数法可得直线解析式为，设，，根据是直角三角形，且，得到与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，再分三种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得，
二次函数的函数表达式为；
（2）解：，
抛物线顶点；
设直线的函数表达式为，
，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
设与轴交于，过点作于点，如图，
，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：存在与相似，理由如下：
由得直线解析式为，
设，，
是直角三角形，且，
与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，
①点在线段上（不与重合），点在线段上（不与重合），不可能是直角；
②若是直角，则或，过作轴于，如图，
，
，
，
∴，即，
若，则，
解得：，
∴；
若，则＝2，
解得：（此时不在线段上，舍去）；
③若为直角，则或，过作轴于，过作于，如图，
，
同理可得，
∴，
当时，，
解得：，
∴，
当时，
，
解得：，
∴；
综上所述，点N的坐标为：或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论的思想的应用．
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