江苏省无锡市2024年中考数学易错模拟卷（二）（含解析）

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江苏省无锡市2024年中考数学易错模拟卷（二）
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．3的平方根是（ ）
A．± B．±3 C．3 D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a4＝a7 B．a3 a4＝a12
C．（a3）4＝a7 D．（﹣2a3）4＝16a12
3．下列事件中，属于确定事件的是（ ）
①抛出的篮球会下落； ②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；
③14人中至少有2人是同月出生； ④买一张彩票，中1000万大奖．
A．①② B．①③ C．②④ D．①②③
4．如果圆锥的母线长为5，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点，连接AP交y轴于点B．若．则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点P，若，，则线段的长等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形ABCD中，点A在双曲线上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使，连接BE交y轴于点F，连接CF，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
10．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．福建舰（舷号：18）是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，满载排水量约为87000吨．数据87000用科学记数法表示是 ．
13．把一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新图像对应的函数表达式是 ．
14．有些真命题的逆命题也是真命题，在你学过的命题中，请写出一个这样的命题： ．
15．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35 ，则∠B的度数是 .
16．如图，在平行四边形中，，交于点F，则的比值是 ．
17．如图，这是著名的“赵爽弦图”，我国古代数学家赵爽利用它证明了勾股定理．它是由四个全等的直角三角形拼成得到正方形与正方形．连接，若恰好被平分，已知，则正方形的面积是 ，正方形的面积是 ．
18．已知点，都在二次函数的图象上．设函数图象的顶点横坐标为m，当时，m的值是 ；当时，m的取值范围是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．（1）解方程：
（2）解不等式组：．
21．如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF，
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形．
22．3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)小文一共随机抽取______名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度；
(2)补全条形统计图；
(3)随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______；
(4)在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名．
23．第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京成功举办，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的“双奥之城”．北京冬奥会的项目有滑雪（如高山滑雪、单板滑雪等），滑冰（如速度滑冰、花样滑冰等），冰球，冰壶等．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同的图案，背面完全相同，其中速度滑冰、花样滑冰为冰上项目，高山滑雪、单板滑雪为雪上项目．现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上．
(1)从中随机抽取1张，求抽出的卡片上恰好是冰上项目图案的概率；
(2)若印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同图案的卡片分别用A，B，C，D表示，从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，试用画树状图或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上项目图案的概率．
24．如图，已知AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，AD是⊙O的切线．
（1）求证：∠C＝∠BAD；
（2）若BD⊥AB于点B，AD＝9，BD＝6，求⊙O半径．
25．（1）如图1，在锐角的外部找一点D，使得点D在的平分线上，且，请用尺规作图的方法确定点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，若，，则线段的长为 ．（如需画草图，请使用图2）
26．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．
（1）该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？
（2）当每顶头盔的售价为多少元，商店每周获得最大利润，最大利润是多少？
27．点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”例如：下图中的是“垂距点”．
(1)在点，，中，是“垂距点”的点为 ；
(2)求函数的图象上的“垂距点”的坐标；
(3)的圆心的坐标为，半径为若上存在“垂距点”，则的取值范围是 ．
28．抛物线过点，点，顶点为．
(1)直接写出抛物线的表达式及点的坐标；
(2)如图，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
(3)如图，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】根据平方根的定义计算即可得到答案；
【详解】解：根据平方根的定义可知：
∵
∴
∴3的平方根是，
故选A；
【点睛】本题考查了平方根，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题时需注意的事项是本题的解题关键．
2．D
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可．
【详解】解：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、a3 a4=a7，故错误，不符合题意；
C、（a3）4=a12，故错误，不符合题意；
D、（-2a3）4=16a12，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键．
3．D
【分析】根据确定事件的定义，必然事件和不可能事件统称为确定事件，对事件进行判断即可．
【详解】①抛出的篮球会下落，此事件是必然事件，故此项正确；
②装有黑球、白球的袋中没有红球，所以不可能摸出红球，此事件是不可能事件，故此项正确；
③一年有12个月，14人中肯定至少有2人是同月出生，此事件是是必然事件，故此项正确；
④买一张彩票，中1000万大奖，有可能发生也有可能不发生，此事件是不确定事件，故此项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了确定事件的定义，理解确定事件和不确定事件是解题的关键．
4．B
【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，据此求解即可．
【详解】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，
圆锥的侧面积=×4π×5=10π．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
5．C
【分析】根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可．
【详解】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正确，符合题意；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；
（4）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定理．
6．A
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象的大致情况．
【详解】∵正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有A选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
7．C
【分析】过点作轴于点，则，可得，由得出,，根据勾股定理求得，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∴
∴
∴，
∵点
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．B
【分析】过点P作，，垂足为点G、H，由折叠的性质可得，四边形是正方形，利用勾股定理求得，再证明可得，设，则，，根据矩形的性质可得，又因为，即可求出，从而求得，最后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：过点P作，，垂足为点G、H，
由折叠的性质可知，四边形是正方形，，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
设，则，，
，，
，，
∴四边形是矩形，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正方形的性质及勾股定理，作辅助线构造是解题的关键．
9．B
【分析】设交轴于点，交于点，设，，利用平行线分线段成比例推出和长度，从而求出长度，即可求出的面积.
【详解】解：设交轴于点，交于点，设，则.
在双曲线上，
.
.
四边形为矩形，
.
.
，
.
，
，
，
，
.
.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键在于学会利用参数解决问题，综合性比较强.
10．A
【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，
连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
，
∵，
在中，，，
根据勾股定理得，
故选A．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键．
11．
【分析】提取公因式，即可完成因式分解．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了提公因式法因式分解，正确提取公因式是解题关键．
12．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：87000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
13．
【分析】根据函数图象上下平移的规律可求得答案．
【详解】解：将一次函数的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数图象的平移，掌握函数图象平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
14．两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【分析】根据学过的真命题解答即可．
【详解】两直线平行，同位角相等是真命题，它的逆命题为：同位角相等，两直线平行也是真命题．
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了逆命题与真命题的知识，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做另一个命题的逆命题．
15．55°．
【详解】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=35°，
∴∠B=90°﹣∠A=55°．
故答案是：55°．
16．
【分析】证明，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．
17． 9 /
【分析】根据正方形的面积公式可求得正方形的面积；结合题意，证明，，由全等三角形的性质可得，，设，则，证明，可得，代入并求值，然后在中由勾股定理可得，即可获得答案．
【详解】解：设交于点，如下图，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴；
∵根据题意，、、与为四个全等的直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
经检验，是该分式方程的解，
∴，
∴在中，，
∴．
故答案为：9，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
18．
【分析】根据到对称轴距离相等的点的纵坐标相等，进行计算即可；分别表示出、，根据进行计算即可．
【详解】解：当时，
，
解得：；
当时，
点，在图象上，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，理解其基本性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次根式的化简、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算和整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：两边同乘，得：
解得：
检验：当时，，
∴原方程的解是；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）只要证明AB∥CD，AB＝CD即可解决问题．
【详解】证明：（1）∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵AE＝FD，BE＝CF，
∴△AEB≌△DFC（SAS）．
（2）连接AC、BD．
∵△AEB≌△DFC，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABDC是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．(1)100，72
(2)见解析
(3)3
(4)175
【分析】（1）根据“1棵”的人数及所占的百分比求出随机抽取的学生数，用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵数求出“4棵”的人数，根据“4棵”的人数及调查的学生数求出4棵”所在的扇形的圆心角的度数；
（2）由（1）可知植树棵数为“4棵”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）利用中位数的定义求得中位数即可；
（4）根据全校学生数及不少于4棵的学生所占的百分比求出该学校获得“植树小能手”称号的学生人数．
【详解】（1）10÷10%=100（名），
植树量为4棵的人数为：100-10-15-40-10-5=20（人），
360°×=72°，
故答案为：100，72；
（2）补全条形统计图如下：
（3）因为共有100个数，把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是第50个数和第51个数的平均数，所以中位数是3，
故答案为：3；
（4）500×=175（名），
故答案为：175．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．(1)
(2)
【分析】（1）求得总的结果数以及目标事件的结果数，然后根据概率公式求解即可；
（2）用列表法或树状图表示抽取的结果，求得总的结果数和目标事件的结果数，即可求解．
【详解】（1）解：因为速度滑冰、花样滑冰属于冬奥会上的冰上项目，
从四张卡片中随机选一张，共有四种等可能结果，
故恰好是冰上项目图案的概率；
（2）解：列表分析如下：
或用树状图表示，如下：
∵共有12种等可能的结果，其中抽到的卡片均是冰上项目的图案有2种情况，
∴抽到的卡片均是冰上项目的图案的概率：，
即P（抽到的卡片均是冰上项目的图案）．
【点睛】本题考查了利用概率公式求概率，树状图或列表法求概率，解题的关键是正确求得结果总数以及目标事件的结果数，掌握概率公式．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，由AE为直径，可得∠EAB+∠E＝90°．由AD是⊙O的切线，可得∠EAB+∠BAD＝90°，可推出∠E＝∠BAD即可；
（2）由BD⊥AB，可得∠ABD＝90°，可证D，B，E三点共线，由勾股定理AB，再证△ADE∽△BDA，可求AE＝即可．
【详解】（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠EAB+∠E＝90°．
∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝90°，
∴∠E＝∠BAD，
∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠BAD；
（2）解：∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
由（1）可知∠ABE＝90°，
∴∠DBE＝180°，
∴D，B，E三点共线，
∵AD＝9，BD＝6，
∴AB＝，
∵∠E＝∠C＝∠BAD，∠D＝∠D，
∴△ADE∽△BDA，
∴，
∴，
∴AE＝．
∴⊙O半径为．
【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．
25．（1）见解析；（2）
【分析】（1）作的平分线与的外接圆相交于点D，点D即为所求；
（2）过点D作于M，交的延长线于N．利用全等三角形的性质证明，可求解．
【详解】解：（1）如图，点D即为所求作．
；
（2）如图，过点D作于M，交的延长线于N．
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了作图－作三角形的外接圆的圆心，线段的垂直平分线，角的平分线，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．（1）20元；（2）当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元．
【分析】（1）设每顶头盔降价元，从而可得平均每周可售出顶，再根据“每周获利12000元”建立方程，解方程即可得；
（2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，从而可得平均每周可售出顶，再根据利润公式可得与的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：（1）设每顶头盔降价元，则平均每周可售出顶，
由题意得：，
解得或，
当时，售价为，不符题意，舍去，
当时，售价为，符合题意，
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设商店每周获得最大利润元，每顶头盔的售价为元，则平均每周可售出顶，且，
由题意得：，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取最大值12500，
答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键．
27．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点，，进行分析判断；
（2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；
（3）设“垂距点”的坐标为，则，画出函数图像，分情况讨论即可解得．
【详解】（1）解：由题意得 ，垂线段的长度的和为4．
，，
故答案为：．
（2）解：设函数的图像上的“垂距点”的坐标．
由题意得 ．
①当时，．
∴．
②当时，．
∴（不合题意，舍）．
③当时，．
∴．
∴ 综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是，．
（3）解：设“垂距点”的坐标为，则
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当与相切时，过点作直线于点，则为等腰直角三角形，
∴
当过点时，上不存在“垂距点”，
此时
∴若存在“垂距点”，则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系相关，结合题干定义以及书本所学点到轴的距离即为横纵坐标的绝对值进行分析计算．
28．(1)抛物线的表达式为；顶点
(2)
(3)m的最大值为
【分析】（1）将的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可，根据顶点在对称轴上，求得对称轴，代入解析式即可的顶点的坐标；
（2）设，根据是以为底的等腰三角形，根据，求得点的坐标，进而求得解析式，联立二次函数解析式，解方程组即可求得点的坐标；
（3）根据题意，可得，设，根据相似三角形的性质，线段成比例，可得，根据配方法可得的最大值．
【详解】（1）解：抛物线过点，点，
，
解得，
，
，代入，
解得：，
顶点．
（2）设，
,，是以为底的等腰三角形，
即
解得
设直线的解析式为
解得:
直线的解析式为
联立
解得：，
；
（3）点的横坐标为，，，
，
设，则，
是以为底的等腰三角形，
，
即
整理得
∴m的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
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