广西南宁市第三十六中学2023-2024学年高三上学期普通高中学业水平考试（12月）数学试卷（含解析）

2023—2024学年度上学期普通高中学业水平考试（12月）
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试用时120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设复数满足，则的虚部为（ ）
A. B.2 C. D.-1
3.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.命题“，”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，已知四棱锥中，平面平面，，G为上一点，且平面，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.2
7.中国古代把宇宙万物划分为木、火、土、金、水五大类，称它们为“五行”，五行的意义包涵借着阴阳演变过程的五种基本动态：水（代表润下）、火（代表炎上）、金（代表收敛）、木（代表伸展）、土（代表中和）.中国古代哲学家用五行理论来说明世界万物的形成及其相互关系。五行之间有相生相克之性，表示五行金木水火土之间有相互促进或相互制约的关系。五行相生：金生水，水生木，木生火，火生土，土生金.五行相克：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.已知甲、乙两人各有5张分别写有木、火、土、金、水的卡片，若甲、乙随机从自己的卡片中各抽取1张，则这2张卡片的字既不相同，也不相克的概率为（ ）
A. B. C. D.
18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上任意一点，过作邻补角的角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与焦点的最短距离为（ ）
A.2 B.1 C.3 D.4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）
（附：若，则，）
A.该校学生体育成绩的方差为10 B.该校学生体育成绩的期望为70
C.该校学生体育成绩的及格率不到85% D.该校学生体育成绩的优秀率超过4%
10.将函数图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，若，，则下列选项错误的是（ ）
A. B.在上的最小值为-1
C. D.是的一条对称轴
11.已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数实数的取值可以为的取值可以为（ ）
A.1 B.2 C.80 D.110
12.已知等差数列的公差不等于0，是其前项和，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A.给定（，且），对于一切，都有成立
B.存在，使得与同号
C.若，且，则与都是数列中的最小项
D.点在同一条直线上
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，若，则___________.
14.已知函数为奇函数，当时，，则曲线的图象在处的切线方程为___________.
15.已知双曲线：的右焦点到一条渐近线的距离为2.则双曲线C的焦距为____________.
16.圆锥内有一个球，该球与圆锥的侧面和底面均相切，已知圆锥的底面半径为，球的半径为，记圆锥的体积为，球的体积为，当取最小值时，___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
口罩作为日常防护必需品需求量增加.某公司迅速扩大生产产能，为保证产品质量，工厂质检部门对甲、乙两台生产设备随机选取了100个口罩进行质量检验评分，检验后将评分制作成如图所示的频率分布直方图，
（1）求抽检的100个口罩质量评分的平均数；
（2）将评分低于80分的记为“良”，80分及以上的记为“优”.根据已知条件完成下面2×2列联表，并说明依据的独立性检验，能否认为口罩质量评分为“优”、“良”与甲、乙两台生产设备有关.
良 优 合计
甲 40
乙 40
合计
附：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
18.（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求.
19.（本小题满分12分）
如图，已知为圆锥底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求钝二面角的正切值.
20.（本小题满分12分）
在数列中，，.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个不同零点，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的方程为，若抛物线与圆O相交于点.
（1）求抛物线及圆O的方程；
（2）设直线与圆O相切于点，若，直线与抛物线交于A，B两点，的面积为S，求S的最大值.
参考答案
1.C ，则，故选C.
2.D由复数满足，则，所以，所以的虚部为-1，故选D.
3.B ，，，所以，故选B.
4.D由题意可知，，，故选D.
5.A由题意，分离参数，可得，，只需求出函数的最大值即可，而，可得，所以是一个充分不必要条件，故选A.
6.A∵四棱锥中，平面平面，平面平面，，
∴平面，
∵平面，∴.
∵为上一点，且平面，平面，∴.
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∴，
令，，则，
∴，
当且仅当时，取“=”，即三棱锥体积最大值为.故选A.
7.B甲、乙随机从自己的卡片中各抽取1张，结果有25种，这2张卡片的字既不相同，也不相克的结果有，所以所求概率，故选B.
8.B 如图所示，是的邻补角平分线，，则，所以Q是线段的中点，且，由椭圆定义可知，连接，因为为中点，所以，所以Q的轨迹是以O为圆心，半径为4的圆，所以Q与焦点的最短距离为4-3=1，故选B.
9.BC
10.ABC ，故A错误；
在上先增后减，没有最小值，故B错误；
，，则，，
（负值舍去），故C错误；
当时，，故D正确.
11.BCD 恰有三个不同的实数解等价转化为与有三个交点.作出的图象如图.由图可知，与有三个交点，即，解得，所以实数的取值范围为，故选BCD.
12.ACD 对于A：由等差中项的性质，可得命题正确；
对于B：，，又，故二者不可能同号；
对于C：因为，所以，即，又，即数列为递增数列，因此，所以与都是数列中的最小项；
对于D：由于等差数列的前项和，故，因此点在同一条直线上，综上可得ACD是正确的.
13.0由题意知，又，所以，解得.
14. 当时，，，又为奇函数，所以，则，所以，又，所以曲线的图象在处的切线方程为，即.
15. 由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，不妨设一条渐近线的方程为，右焦点到该渐近线的距离为，所以，焦距为.
16. 如图所示，
设圆锥的高为，则由相似关系可得，解得，
于是
，
当，即时，取得最小值.
17.解：（1）平均数.
（2）列联表如下：
良 优 合计
甲 20 20 40
乙 20 40 60
合计 40 60 100
，
所以依据的独立性检验认为口罩质量评分为“优”、“良”与甲、乙两台生产设备有关.
18.解.（1）因为，A为三角形的内角，所以，.
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）因为的面积为，所以，
所以，
所以由余弦定理得，
又由已知得，代入得，所以.
19.（1）证明：∵是等边三角形，平分，∴.
又平面平面，
平面平面，∴平面.
又平面，∴.
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
由（1）知平面，所以为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
而，，
所以即
令，得.
设两个法向量所成角为，所以，
所以，，
故所求二面角的正切值为.
20.（1）证明：因为，所以，
又，所以，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列.
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）得，
所以，①
，②
由①-②得，
即，
所以.
21.解：（1）的定义域为，，
当，即时，在上单调递增；
当，即时，令，得；令，得，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）若有两个不同零点，即有两个根，等价转化为，即与有两个交点.
作出的草图，如图.
当时，；当时，，
所以，即，
所以的取值范围为.
22.解（1）因为抛物线C与圆O相交于点，
所以，所以，即抛物线C的方程为.
设圆O的方程为，所以，
所以，即圆O的方程为.
（2）设直线与抛物线C交于，两点，
由与联立消去得，
则，
所以，，
所以
.
因为，所以.
因为，所以，
所以
，
当且仅当时取等号，所以的最大值为.