(共27张PPT)
1 圆
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
圆
圆的有关概念
点和圆的位置关系
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆
1. 圆的定义
(1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周, 另一个端点A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.
(2)集合观点定义：圆可以看成是所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. 确定一个圆需要“两个要素”，一是圆心，圆心定其位置；二是半径，半径定其大小.
2. 圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是“圆面”.
3. “圆上的点”指圆周上的点.
知1－讲
感悟新知
2. 圆的表示法 以点O 为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆O”.
3. 圆的特性 (1)同圆的半径相等.
(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上.
感悟新知
知1－练
下列说法中, 错误的有( )
(1)经过点P 的圆有无数个；
(2)以点P 为圆心的圆有无数个；
(3)半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个；
(4)以点P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣圆的定义的“两要素”进行判断.
解：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，圆心和半径都确定，这样的圆有且只有一个(唯一).
答案：A
感悟新知
知1－练
1-1. 下列条件中，能确定唯一一个圆的是( )
A. 以点O 为圆心
B. 以2 cm 长为半径
C. 以点O 为圆心，5 cm长为半径
D. 半径为2 cm 且经过点A
C
感悟新知
知1－练
1-2. 到点O 的距离等于8 cm 的点的集合是以点________为圆心，以________ cm长为半径的圆.
O
8
感悟新知
知1－练
如图3-1-1，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，那么点E，F，G，H 是否在同一个圆上？请说明理由.
例 2
解题秘方：只需说明E，F，G，H 四点到点O 的距离相等即可.
感悟新知
知1－练
解：点E，F，G，H 在同一个圆上，理由如下：
如图3-1-1，连接OE，OF，OG，OH.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA，
AC ⊥ BD.
感悟新知
知1－练
又∵ E为AB边的中点，∴ OE=AB.
同理可得，OF=BC，OG=CD，OH=DA.
∴ OE=OF=OG=OH.
∴点E，F，G，H在以点O为圆心，OE为半径的圆上.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图，BD，CE是△ ABC 的高，M 是BC 的中点，试说明点B，C，D，E 在以点M 为圆心的同一个圆上.
感悟新知
知1－练
知识点
圆的有关概念
知2－讲
感悟新知
2
定义 注意
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦
直径 经过圆心的弦叫做直径
知2－讲
感悟新知
弧、半圆、劣弧、优弧、 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；(3)小于半圆的弧叫做劣弧；(4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧
续表
知2－讲
感悟新知
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等
前提
续表
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 弦与直径的关系：直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2. 弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.
3. 弦与弧的关系：
(1)弦和弧都有无数条.
(2)每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条.
感悟新知
知2－练
下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等
的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有 ____________.
①③⑤
例 3
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣圆的相关概念进行解答.
解：直径是最长的弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故④错误；弧分为劣弧、优弧、半圆，故⑤正确.
知2－练
感悟新知
3-1. 如图，在⊙ O 中，点A，O，D 在一条直线上， 点B，O，C 在一条直线上，那么图中有________条弦.
3
知识点
点和圆的位置关系
知3－讲
感悟新知
3
点和圆的位置关系
设⊙ O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP=d，则有：
点和圆的位置关系 特点 等级关系
点在圆外 点到圆心的距离大于半径 点P在圆外d＞r
点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点P在圆上d=r
点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点P在圆内d＜r
知3－讲
感悟新知
特别提醒
符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”左右两端互为因果关系.
感悟新知
知3－练
如图3-1-2，已知⊙ O 的半径r=5 cm，圆心O 到直线l 的距离d=OD=3 cm，在直线l 上有P，Q，R 三点，且有PD=4 cm，QD=5 cm，RD=3 cm，那么P，Q，R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？
例 4
解题秘方：比较点到圆心的距离与半径的大小确定点的位置情况.
知3－练
感悟新知
解：如图3-1-2，连接OR，OP，OQ.
∵ PD=4cm，OD=3 cm，且OD ⊥ l，
∴ OP=5 cm=r. ∴点P在⊙ O上.
∵ QD=5 cm，∴ OQ=cm>5 cm，∴点Q在⊙O 外.
∵ RD=3 cm，∴ OR=3cm<5 cm. ∴点R在⊙ O内.
知3－练
感悟新知
4-1. 在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A，B，C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是 ________.
6课堂小结
圆
圆
弦、弧、等圆、等弧
两要素
位置
大小
圆心
半径
相关概念
点与圆的位置关系
点在圆上、圆内、圆外(共34张PPT)
圆
3.1
北师版 九年级下
第三章 圆
C
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
B
D
C
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
C
12
13
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
把线段OP绕着端点O在平面内旋转________，端点P运动所形成的图形叫做圆．其中，点O叫做________，线段OP叫做________．平面内到定点的________等于定长的点_______________叫做圆．
1
1周
圆心
半径
距离
所组成的图形
下列条件中，能确定一个圆的是( )
A．以点O为圆心
B．以3 cm为半径
C．以点O为圆心，3 cm为半径
D．经过已知点A
2
【点拨】
【答案】C
确定一个圆需要“两个要素”，一是圆心：圆心定其位置，二是半径：半径定其大小．
(母题：教材P65图3－2)如图，在⊙O中，弦有_________，直径是________，劣弧有________，优弧有___________．
3
AC，CD
CD
如图，在⊙O中，若点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
4
B
[2023·厦门双十中学月考]已知AB是⊙O的弦，⊙O的半径为r，下列关系式一定成立的是( )
A．AB>r B．ABC．AB<2r D．AB≤2r
5
D
(母题：教材P68习题T2)若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
6
C
[2022·吉林]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
7
【点拨】
【答案】C
若⊙O所在平面内的一点P到⊙O上的点的最大距离为9，最小距离为4，则此圆的半径是( )
A．5 B．2.5或6.5
C．6.5 D．5或13
8
【点拨】
【答案】B
点与圆的位置关系有三种，根据题意，可知点P只能在⊙O内或⊙O外．当点P在⊙O内时，如图①，由题意，知PB＝4，PA＝9，所以AB＝PB＋PA＝13，所以⊙O的半径为6.5；当点P在⊙O外时，如图②，
由题意，知PB＝4，PA＝9，所以
AB＝PA－PB＝5，所以⊙O的半径
为2.5.综上，⊙O的半径为2.5或6.5.
如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.
9
【点拨】
【点方法】
当d>r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于点D，O为AB的中点．
10
(1)以点C为圆心，6为半径作⊙C，试判断点A，D，B与⊙C的位置关系．
(2)当⊙C的半径为多少时，点O在⊙C上？
(3)当⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？
[2023·北京人大附中月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F.
11
(1)求AF，AE的长．
(2)若以点A为圆心作圆，B，C，D，E，F这5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【点方法】
利用B，C，D，E，F到点A的距离即可判断出⊙A的半径r的取值范围．
某公园计划建一个喷水池，其形状如图①所示，2个圆的半径相同．
12
(1)有人建议将形状改为如图②的形状，且大圆的直径不变，请你比较两种方案，说一说哪种需要的材料多．
【解】设大圆的半径为R，则题图①中2个大圆的周长之和为2×2πR＝4πR.
设题图②中3个小圆的半径分别为r1，r2，r3，则3个小圆的周长之和为2πr1＋2πr2＋2πr3＝2π(r1＋r2＋r3)．
∵r1＋r2＋r3＝R，∴3个小圆的周长之和为2πR.
∴题图②中所有圆的周长之和为2πR＋2πR＝4πR.
故这两种方案需要的材料一样多．
(2)若将图②中的3个小圆改成n个小圆，(1)中的结论是否成立？为什么？
【解】将题图②中的3个小圆改成n个小圆，(1)中的结论仍然成立．理由如下：
设n个小圆的半径分别为r1，r2，…，rn，则n个小圆的周长之和为2πr1＋2πr2＋…＋2πrn＝2π(r1＋r2＋…＋rn)．
∵r1＋r2＋…＋rn＝R，∴n个小圆的周长之和为2πR.
∴所有圆的周长之和为2πR＋2πR＝4πR.
故这两种方案需要的材料一样多．
已知A是⊙O外一点，直线AO交⊙O于C，D两点，E是⊙O上的一点(不与C，D重合)，连接AE，直线AE与⊙O交于点B，AB＝OC．
13
(1)当点B在线段AE上时，如图①，求∠DOE与∠A之间的关系；
【解】连接OB，则OB＝OC.
∵AB＝OC，∴OB＝AB.
∴∠AOB＝∠A.
∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠E.
∵∠OBE＝∠AOB＋∠A＝2∠A，
∴∠E＝2∠A.∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.
(2)当点E在线段AB上时，如图②，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由．
【解】成立．理由如下：连接OB，则OB＝OC.
∵AB＝OC，∴OB＝AB.∴∠AOB＝∠A.
∴∠B＝180°－2∠A.
∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB.
∴∠BOE＝180°－2∠B＝180°－2(180°－2∠A)＝ 4∠A－180°.
∴∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝180°－∠AOB＋∠BOE＝180°－∠A＋4∠A－180°＝3∠A.(共19张PPT)
2 圆的对称性
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
圆的对称性
圆心角、弧、弦之间的关系
圆心角、弧、弦之间关系的推论
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆的对称性
1. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
2. 圆的中心对称性 圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
3. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质就是圆的旋转不变性.
知1－讲
感悟新知
特别提醒：
因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.
感悟新知
知1－练
如图3-2-1，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，在AB上找一点P，使PC+PD最短，画出P点位置，不需要证明.
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣圆的轴对称性，作出点C关于直径AB的对称点是解题关键.
解：如图3-2-1，过点C作AB的垂线并延长，交⊙O于点C′，则点C与C′关于AB对称. 连接C′D，与AB的交点为P点，此时PC+PD最短.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列说法中，不正确的是( )
A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合
C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
D
知识点
圆心角、弧、弦之间的关系
知2－讲
感悟新知
2
1. 圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
警示误区
不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.
知2－讲
感悟新知
2. 示例 弧、弦、圆心角的关系
如图3-2-2，∠ AOB=∠ A′OB′ AB = A′B′，AB=A′B′.
︵
︵
感悟新知
知2－练
如图3-2-3，AB，CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE ∥
AB，求证：BC = AE.
例 2
︵
︵
解题秘方：构造圆心角，利用“相等的圆心角所对的弧相等”证明
知2－练
感悟新知
证明：如图3-2-3，连接OE.
∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E.
∵ CE ∥ AB，
∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.
∴∠ BOC= ∠ AOE. ∴BC = AE.
︵
︵
知2－练
感悟新知
2-1. 如图，点C 是⊙ O上的点，CD ⊥半径OA于D，CE ⊥ 半径OB于E，且CD=CE，求证：AC = BC .
︵
︵
知2－练
感悟新知
︵
︵
知识点
圆心角、弧、弦之间关系的推论
知3－讲
感悟新知
3
1. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系(拓展)
在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.
知3－讲
感悟新知
拓宽视野
在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距关系：
感悟新知
知3－练
如图3-2-4，在⊙ O 中，AB = CD，有以下结论：
① AB=CD；② AC=BD；③∠ AOC= ∠ BOD；④AC = BD . 其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
例 3
︵
︵
︵
︵
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系的推论判断.
解：∵AB = CD，∴ AB=CD，故①正确.
∵AB = CD，∴AC = BD .
∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD，故②③④正确.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
答案：D
知3－练
感悟新知
3-1. 如图， 已知AB，CD 是⊙ O 的两条弦，OE，OF 分别为AB，CD 的弦心距， 如果AB=CD，则可得出结论：____________________.
OE＝OF(答案不唯一)
课堂小结
圆的对称性
圆的对称性
轴对称性
中心对称性
圆心角、
弧、弦之
间的关系
推出(共33张PPT)
圆的对称性
3.2
北师版 九年级下
第三章 圆
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
10
D
D
A
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
C
C
12
A
13
14
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
[2023·本溪]下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
1
A
如图，下列各角是圆心角的是( )
A．∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCB
2
B
3
C
如图所示的三个圆是同心圆，那么图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
4
【点拨】
5
D
6
【点拨】
【答案】A
在同圆或等圆中，如果两个________、两条______、两条________中有一组量________，那么它们所对应的其余各组量都分别________．其依据是圆的____________性．
7
圆心角
弧
弦
相等
相等
旋转不变
8
【点拨】
【答案】D
在同一个圆中，弧、弦和圆心角中只要有一组量相等，就能推出另两组量相等．线段有和差，弧也有和差．
如图，在⊙O中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N分别为垂足，那么OM，ON的大小关系是( )
A．OM>ON
B．OM＝ON
C．OMD．无法确定
9
【点拨】
【答案】C
本题易受思维定势影响，误认为“同圆中，如果两条弦不等，那么长度大的弦对应的弦心距也大”．事实上正好相反，即长度大的弦对应的弦心距反而小．
(母题：教材P73习题T3)如图，分别过⊙O的直径AB上的点M，N作弦CD，EF，若CD∥EF，AC＝BF.求证：
10
(2)AM＝BN.
11
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由．
(2)求证：OC∥BD．
【证明】∵∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.
又∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．
∴∠ODB＝60°＝∠COD.
∴OC∥BD.
12
【点拨】
【答案】A
如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作⊙A，分别交BC，AD于点E，F，交BA的延长线于点G.
13
14
(2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(共27张PPT)
*3 垂径定理
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
垂径定理
垂径定理的推论
知识点
知1－讲
感悟新知
1
垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段或直线.
2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
知1－讲
感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为
表述为 CD是直径
CD⊥AB
︵
︵
︵
︵
感悟新知
知1－练
如图3-3-2，弦CD垂直于⊙ O的直径AB，垂足为点H，且CD=2，BD=，则AB的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.
解：连接OD，如图3-3-2.
∵ CD ⊥ AB，CD=2，
∴ CH=DH=.
感悟新知
知1－练
在Rt △ BHD中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt△OHD中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+()2=r2，
解得r=.∴ AB=3.
利用勾股定理列方程
答案：B
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·东营]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就
是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥
CD，垂足为E，CE=1 寸，AB= 10 寸，
则直径CD的长度为 ______寸．
26
感悟新知
知1－练
如图3-3-3，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直
线AB 上的两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形.
例 2
感悟新知
知1－练
解题秘方：构建垂径定理的基本图形，结合线段垂直平分线的性质证明. 作垂直于弦的半径(或直径)或连半径是常用的作辅助线的方法.
感悟新知
知1－练
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3.
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，
∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D． 若大圆的半径R=10， 小圆的半径r=8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长.
感悟新知
知1－练
知识点
垂径定理的推论
知2－讲
感悟新知
2
1. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
知2－讲
感悟新知
2. 示例 如图3-3-4，CD是⊙ O的直径，AB是弦(非直径)，AB 与CD相交于点E，且AE=BE，那么CD垂直于AB，并且AC= CB，AD = DB.可用几何语言表述为
CD是直径CD⊥AB，
AE=BE AD= BD，
AB不是直径AC= BC.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
知2－讲
感悟新知
拓宽视野
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
感悟新知
知2－练
如图3-3-5，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为
AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
例 3
解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.
知2－练
感悟新知
证明：如图3-3-5，连接OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM.∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，∴ Rt△OAM ≌ Rt△OCN(HL).
∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图， ⊙ O的弦AB=12，M是AB的中点， 且OM= 2， 则⊙ O 的半径等于________.
感悟新知
知2－练
如图3-3-6 所示是一个残破的圆片. 已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹).
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心.
例 4
︵
知2－练
感悟新知
解：如图3-3-6，连接AB，BC，分别作AB，BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆的圆心.
感悟新知
知2－练
4-1. [中考·广西] 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. 20 m B. 28 m
C. 35 m D. 40 m
B
感悟新知
知2－练
如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径.
例 5
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.
︵
︵
知2－练
感悟新知
解：连接OB，如图3-3-7.
∵点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=60 m.
设OB=OC=r m，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2,
∴ r2=(r－20)2+602，
∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m.
︵
知2－练
感悟新知
解：连接OB，如图3-3-7.
∵点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=60 m.
设OB=OC=r m，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2,
∴ r2=(r－20)2+602，
∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m.
︵
感悟新知
知2－练
5-1. 半圆形纸片的半径为2 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则折痕CD 的长为____cm.
课堂小结
垂径定理
平分弦
垂径定理
垂径定理的推论
平分弦所
对的弧
垂直于弦(共34张PPT)
垂径定理
3.3
北师版 九年级下
第三章 圆
B
D
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
C
0.1
B
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
26
C
12
[2023·宜昌]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
1
【点拨】
【答案】B
2
【点拨】
【答案】D
[2022·南充]如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为( )
A．70°
B．65°
C．50°
D．45°
3
【点拨】
【答案】C
4
【点拨】
【答案】B
由垂径定理的推论可以得到这样一个结论：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧，故①②③都正确，④错误．
5
0.1
【点拨】
[2023·广西]赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A．20 m B．28 m
C．35 m D．40 m
6
【点拨】
【答案】B
“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，
AB＝10寸，则直径CD的长度为
______寸．
7
26
【点拨】
8
【点拨】
【答案】C
当题中未给出条件而图形画得比较特殊时，不能想当然地认为结论成立．如本题图中看似CD平分OB，但并不能默认OE＝BE.
如图，M为⊙O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM.求证：
9
(1)AB是过M点的所有弦中最短的弦；
【证明】设CD为过M点的任意一条不与AB重合的弦，作ON⊥CD，垂足为点N，连接OB，OC，如图所示．
由垂径定理得AB＝2BM，CD＝2CN.
(2)经过线段OM的弦是过M点的所有弦中最长的弦．
如图，已知圆O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
10
(1)求证：点E是OB的中点；
【证明】连接AC.
∵直径AB垂直弦CD于点E，
∴CE＝DE，即AB是CD的垂直平分线．∴AC＝AD.
∵过圆心O的线段CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线．∴AC＝CD.
(2)若AB＝8，求CD的长．
【点方法】
利用垂径定理求线段长的方法：
垂径定理是解决圆中的计算、证明常用的知识，求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解．
(母题：教材P77习题T3)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D．
11
(1)求证：AC＝BD；
【证明】过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
12
(1)求⊙O的半径；
(2)求∠BAC的正切值．
