(共41张PPT)
圆周角和圆心角、弧的关系
3.4.1
北师版 九年级下
第三章 圆
C
1
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B
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C
A
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答 案 呈 现
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B
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A
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1
1
无数
1
无数
下列图中，∠α为圆周角的是( )
2
C
【点拨】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交．
如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为( )
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
3
D
4
【点拨】
【答案】B
[2023·泰安]如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
5
【点拨】
【答案】A
[2023·吉林]如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则
∠BPC的度数可能是( )
A．70° B．105°
C．125° D．155°
6
【点拨】
【答案】D
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝( )
A．20° B．40°
C．50° D．80°
7
【点拨】
【答案】B
8
【点拨】
【答案】C
如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值为____．
9
【点拨】
10
60°或120°
【点拨】
【点易错】
对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．如本题应分两种情况：点P在弦AB所对的优弧上和点P在弦AB所对的劣弧上．
[2023·长沙]如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为________．
11
1
【点拨】
12
【点拨】
【答案】A
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
13
(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；
如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：
________________.
14
等边三角形
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【解】PA＋PB＝PC.证明如下：
如图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD.
∵∠APC＝60°，
∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝DA，∠PAD＝60°.
∵∠CPB＝60°，∴∠BAC＝60°.
∴∠PAD＝∠BAC.∴∠PAB＝∠DAC.
由△ABC为等边三角形知AB＝AC，
∴△PAB≌△DAC(SAS)．∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
【解】如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为
点E，过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
由(1)知△ABC是等边三角形，
∴F为AB的中点，且CF过圆心O.
在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
15
(1)如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径；
(2)如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．(共33张PPT)
圆周角和直径的关系
3.4.2
北师版 九年级下
第三章 圆
B
D
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D
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D
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答 案 呈 现
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13°
D
12
(母题：教材P83随堂练习T1)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，
则∠C的度数是( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
1
B
[2023·营口]如图，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，
则∠ACB的度数是( )
A．50° B．40°
C．70° D．60°
2
【点拨】
【答案】D
如图，连接BD.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°－30°＝60°.
∴∠ACB＝∠ADB＝60°.
故选D.
如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，
则∠ADC＝( )
A．70° B．60°
C．50° D．40°
3
【点拨】
【答案】D
4
【点拨】
【答案】D
5
【点拨】
【答案】B
一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的半径为________．
6
【点拨】
7
13°
【点拨】
8
【点拨】
∵AB＝2，AD＝1，∴AD＝OD＝OA，即△OAD为等边三角形．∴∠OAD＝60°.∴∠CAD＝∠CAB＋∠OAD＝30°＋60°＝90°.②当AD(D′)与AC在直径AB的同侧时，易知△OAD′为等边三角形，则∠OAD′＝60°，∴∠CAD′＝∠OAD′－∠CAB＝60°－30°＝30°.综上，∠CAD＝30°或90°.故选D.
【点易错】
【答案】D
在圆中根据已知弦长和弦的一个端点作这条弦时，往往有两条，分别位于已知的两侧，本题易对弦的位置未分类讨论而致错．
[2022·广东]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
9
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
10
(1)求线段AB的长及∠ABO的大小．
(2)在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，求∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．
【解】存在．
如图，作OB的垂直平分线MN，交⊙C
于点M，N，交OB于点D，连接OM，
BM，ON，BN.
易得MN必过点C，即MN是⊙C的直径．
∵MN垂直平分OB，∴△OBM，△OBN都是等腰三角形.
∴点M，N均符合点P的要求．
∵MN是⊙C的直径，∴∠MON＝90°.
∵∠BMO＝∠BAO＝90°－30°＝60°，
∴△OBM是等边三角形．∴∠BOM＝60°.
∴∠BON＝∠MON－∠BOM＝90°－60°＝30°.
故存在符合条件的点P，∠BOP的度数为60°或30°.
如图，已知ED为⊙O的直径且ED＝4，A(不与E，D重合)为⊙O上一个动点，线段AB经过点E，且EA＝EB，F为⊙O上一点，∠FEB＝90°，BF的延长线与AD的延长线交于点C．
11
(1)求证：△EFB≌△ADE；
【证明】如图，连接FA.∵∠FEB＝90°，
∴EF⊥AB.∴∠FEA＝90°.
∵BE＝AE，∴BF＝AF.
∵∠FEA＝90°，∴AF是⊙O的直径．
∴AF＝DE.∴BF＝ED.
∵DE是⊙O的直径，∴∠EAD＝90°.
∴Rt△EFB≌Rt△ADE(HL)．
(2)当点A在⊙O上移动时，直接写出四边形FCDE的最大面积为多少．
【解】四边形FCDE的最大面积为8.
如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE.
12
(1)求证：AC＝BC；
【证明】∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，
∴∠B＝∠ACE.∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE.∴∠B＝∠BAC.∴AC＝BC.
(2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长．(共30张PPT)
圆内接四边形
3.4.3
北师版 九年级下
第三章 圆
B
C
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5
A
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答 案 呈 现
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9
C
C
下列说法中正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
1
B
[2022·株洲]如图，等边三角形ABC的顶点A在⊙O上，边AB，AC与⊙O分别交于点D，E，点F是劣弧DE上一点，且与D，E不重合，连接DF，EF，
则∠DFE的度数为( )
A．115° B．118°
C．120° D．125°
2
【点拨】
【答案】C
易知四边形EFDA是⊙O的内接四边形，∴∠DFE＋∠A＝180°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°.∴∠DFE＝120°.
[2022·长春]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为( )
A．138°
B．121°
C．118°
D．112°
3
【点拨】
【答案】C
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°.∴∠A＝180°－121°＝59°.∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°.
如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
4
【点拨】
【答案】A
利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得∠BOD的度数，再结合已知条件求得∠COD的度数，然后利用圆周角定理求得∠CBD的度数．
5
【点拨】
【答案】C
如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140°，那么∠CDE＝________°.
6
70
(母题：教材P84习题T3)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝
25°，则∠E的度数为( )
A．55° B．50°
C．45° D．40°
7
【点拨】
【答案】C
由三角形的外角性质得∠B＝∠DCE－∠F＝55°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠B＝55°.∴∠E＝180°－∠DCE－∠EDC＝45°.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP，若∠B＝120°，则∠APC可能为( )
A．30°
B．45°
C．50°
D．65°
8
【点拨】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠D＝180°.∵∠B＝120°，∴∠D＝180°－∠B＝60°.∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选D.
【点方法】
【答案】D
圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，OA∥CD．
9
(1)若∠ABC＝70°，求∠BAD的度数；
【解】∵OA＝OB，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝∠BAO＝70°.∴∠BOA＝40°.
∵OA∥CD，∴∠C＝∠BOA＝40°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C＋∠BAD＝180°.∴∠BAD＝140°.
[2023·北京]如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
10
(1)试说明：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
【解】∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB.∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝
180°.∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°.
∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°.
∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∴∠BAD＝180°－90°＝90°.
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
【解】∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°.
又∵∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE＋∠DAE＝ 90°.
∴∠AED＝90°.∴BD⊥AC.
∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径．
∴AE＝CE.∴AD＝CD.∵AC＝AD，∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形．∴∠ADC＝60°.
11
(1)求证：∠ADC－∠BAC＝90°(请用两种证法解答)；
【证明】证法一：如图，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，
∠BDC＝∠BAC，
∴∠ADC－∠BAC＝90°.
证法二：如图，连接BC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝ 90°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∵∠PBC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠PBC.∴∠ADC－∠BAC＝90°.
(2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长.(共27张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
圆周角
圆周角定理的推论
圆内接四边形
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆周角
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角.
特征 圆周角必须满足两个条件：
①顶点在圆上；②两边都和圆相交.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
圆心角与圆周角的区别与联系：
名称 圆心角 圆周角
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个
联系 两边都与圆相交
知1－讲
感悟新知
2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
如图3-4-1，∠ ACB=∠ AOB.
特别警示：定理中的圆周角与圆心
角是通过它们所对的同一条弧联系在一
起的，故不能把同一条弧这个前提省略.
感悟新知
知1－练
如图3-4-2，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若
∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
例 1
解题秘方：连接OC，将求BC所对的圆周角的度数转化为求BC所对的圆心角的度数来解.
︵
︵
感悟新知
知1－练
解：连接OC，如图3-4-2.
∵ BC=BD，
∴∠ BOC= ∠ BOD=50°.
∴∠ A=∠BOC= ×50°=25°.
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·河南]如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ C=55°，则∠AOB的度数为( )
A. 95°
B. 100°
C. 105°
D. 110°
D
知识点
圆周角定理的推论
知2－讲
感悟新知
2
1. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.
特别提醒
“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”，结论就不成立了.因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
知2－讲
感悟新知
2. 推论2 (1)直径所对的圆周角是直角；
(2)90°的圆周角所对的弦是直径.
3. “五量关系”定理(拓展归纳)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
感悟新知
知2－练
[中考·兰州]如图3-4-3，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O 的直径，∠ACD=40°，则∠B=（ ）
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
例 2
知2－练
感悟新知
答案：C
解题秘方：紧扣圆周角定理的两个推论，找出要求的角与已知角之间的转化关系是解题关键.
解：∵ CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°.
∴∠ACD+ ∠D=90°.
∵∠ACD=40°，∴∠D=50°．∴∠B= ∠D=50°．
感悟新知
知2－练
2-1. [中考· 宜宾] 如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为AB 的中点．若∠BAC=35°，则∠AOB 等于( )
A. 140°
B. 120°
C. 110°
D. 70°
︵
A
感悟新知
知2－练
如图3-4-4，AB 是⊙ O 的直径，BD 是⊙ O 的弦，延
长BD 到点C，使AC=AB. 求证：BD=CD.
解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，结合等腰三角形“三线合一”的性质求解.
例 3
知2－练
感悟新知
证明：如图3-4-4，连接AD.
∵ AB 是⊙ O 的直径，
∴∠ ADB=90°，即AD ⊥ BC.
又∵ AC=AB，∴ BD=CD.
感悟新知
知2－练
3-1. [中考· 珠海] 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=( )
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 80°
B
感悟新知
知2－练
如图3-4-5，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且DE = BE，试判断△ABC的形状，并说明理由.
例 4
解题秘方：紧扣“等弧所对的圆周角相等”进行判断.
︵
︵
知2－练
感悟新知
解：△ABC为等腰三角形. 理由如下：
如图3-4-5，连接AE.
∵DE = BE ，∴∠CAE= ∠BAE.
∵ AB为半圆O的直径，
∴∠AEB= ∠AEC=90° .
又∵ AE=AE，∴△ABE ≌△ACE(ASA). ∴ AB=AC.
∴△ABC为等腰三角形.
︵
︵
感悟新知
知2－练
4-1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB.试判断△ABC的形状，并给出证明.
感悟新知
知2－练
解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
∵∠ADB＝∠CDB，∠ADB＝∠ACB，∠CDB＝∠CAB，∴∠ACB＝∠CAB.∴AB＝BC.
∴△ABC是等腰直角三角形.
知识点
圆内接四边形
知3－讲
感悟新知
3
1. 圆内接四边形
四边形ABCD 的四个顶点都在⊙ O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
特别解读
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
知3－讲
感悟新知
2. 圆周角定理的推论3
圆内接四边形的对角互补.
感悟新知
知3－练
[ 中考·常德]如图3-4-6，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( )
A. 50°
B. 80°
C. 100°
D. 130°
例 5
知3－练
感悟新知
解题秘方：紧扣“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”及“圆内接四边形的对角互补”求解.
知3－练
感悟新知
解：∵∠BAD 与∠BOD 是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠ BAD=∠BOD=×100°=50°.
又∵四边形ABCD为⊙O 的内接四边形，
∴∠ BCD+ ∠ BAD=180°.
∴∠ BCD=180°－∠ BAD=180°－50°=130°.
答案：D
知3－练
感悟新知
5-1. [中考·绍兴] 如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D= 100°，则∠B的度数是_______.
80°
课堂小结
圆周角和圆心角的关系
圆周角
直径所对的圆周角
圆内接四边形性质
定义
定理(共17张PPT)
5 确定圆的条件
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
圆的确定
三角形的外接圆
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆的确定
1. 过已知点作圆
条件 作法 作圆的个数 图示
过一点A作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个
知1－讲
感悟新知
条件 作法 作圆的个数 图示
过两点A， B 作圆 连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个
续表
知1－讲
感悟新知
条件 作法 作圆的个数 图示
过不在同一条直线上的三点 A，B，C作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA (或OB，OC)的长为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 一个
续表
知1－讲
感悟新知
方法点拨
过不在同一条直线上的任意四点作圆的方法：
要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则，第四个点不在圆上.
知1－讲
感悟新知
2. 确定一个圆的条件
(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆.
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
“确定”是“有且只有”的意思
感悟新知
知1－练
如图3-5-1，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点能画圆的个数是( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣两点，一是四个点中取三个点的取法有几种，二是去掉三个点共线的情况.
解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，在A，B，C，D四个点中取三个点的取法有四种：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D. 由于A，B，C三个点在同一条直线上，因此过这四个点中的任意三个点能画圆的个数是3.
答案：C
感悟新知
知1－练
1-1. [中考·江西] 如图，点A，B，C，D均在直线l上， 点P 在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( ).
A. 3 个 B. 4 个
C. 5 个 D. 6 个
D
知识点
三角形的外接圆
知2－讲
感悟新知
2
1. 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上.
知2－讲
感悟新知
2. 三角形的外心
(1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
(2)性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
三角形外心的位置：
1. 锐角三角形的外心在三角形的内部；
2. 直角三角形的外心是斜边的中点；
3. 钝角三角形的外心在三角形的外部.
感悟新知
知2－练
如图3-5-2，△ ABC 内接于⊙ O，∠ C=45°，AB=4，
求⊙ O 的半径.
例 2
解题秘方：连接半径，利用圆周角与圆心角的关系结合勾股定理求解.
知2－练
感悟新知
解：如图3-5-2，连接OA，OB，
设⊙ O 的半径为r.
∵∠ C=45°，∴∠AOB=2 ∠C=90°.
∴ OA2+OB2=AB2，即r2+r2=42，
解得r1=2，r2=－2(不符合题意，舍去).
∴⊙ O的半径为2.
知2－练
感悟新知
2-1. 若直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则直角三角形的外接圆的面积为_____.(结果保留π)
课堂小结
确定圆的条件
确定圆
的条件
三角形的外接圆
关键
不在同一条
直线上的三点(共34张PPT)
确定圆的条件
3.5
北师版 九年级下
第三章 圆
D
D
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
B
D
C
11
答 案 呈 现
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9
B
C
B
12
13
答 案 呈 现
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确定一个圆的条件是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．过两个已知点
D．过一个三角形的三个顶点
1
D
[2023·江西]如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
2
【点拨】
【答案】D
根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆，可知从A，B，C，D四个点中任取两个点，可以与点P确定一个圆，所以最多可画出圆的个数为6个．故选D.
(母题：教材P88习题T2)若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3
【点拨】
【答案】B
这样的圆能画2个．作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．
下列关于确定一个圆的说法中，正确的是( )
A．三个点一定能确定一个圆
B．以已知线段为半径能确定一个圆
C．以已知线段为直径能确定一个圆
D．菱形的四个顶点能确定一个圆
4
【点拨】
【答案】C
不在同一直线上的三个点能确定一个圆，故A错误；以已知线段为半径能确定两个圆，故B错误；以已知线段为直径能确定一个圆，故C正确；菱形的四个顶点不一定能确定一个圆，故D错误．
如图，在4×4的网格图中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长都为1，△ABC的外心可能是( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
5
【点拨】
【答案】D
6
【点拨】
【答案】C
7
【点拨】
【答案】B
[2023·包头]如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为点D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE＋DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为( )
A．8 B．4
C．3.5 D．3
8
【点拨】
【答案】B
9
【点拨】
【点易错】
【答案】C
利用等腰三角形的性质，结合勾股定理计算时，要就外心是否在三角形内部进行分类讨论，否则就会漏解．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.
(1)以点A为圆心，4为半径画⊙A，并说出点B，C，D与⊙A的位置关系；
10
【解】点B在⊙A内，点C在⊙A外，
点D在⊙A上．画图略．
(2)若以点A为圆心作⊙A，且使点B，C，D中至少有一个点在⊙A内，同时至少有一个点在⊙A外，则⊙A的半径r应满足什么条件？
【解】连接AC，易知AC＝5.当点B，C，D中至少有一个点在⊙A内，同时至少有一个点在⊙A外时，⊙A的半径r应满足的条件为3如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F.
11
(1)求证：BD＝BC；
【证明】如图，连接DC，
则∠BDC＝∠BAC＝45°.
∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，
∴∠BCD＝90°－∠BDC＝ 45°，
∴∠BCD＝∠BDC.
∴BD＝BC.
(2)若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长．
如图，AD既是△ABC的中线，又是△ABC的角平分线.
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
12
【解】△ABC是等腰三角形．证明如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF.
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴∠B＝∠C.
∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
(2)判断直线AD是否经过△ABC的外接圆的圆心，并证明你的结论．
【解】直线AD经过△ABC的外接圆的圆心．证明如下：
∵△ABC是等腰三角形，AD是中线，
∴AD⊥BC.∴AD垂直平分BC.
∴直线AD经过△ABC的外接圆的圆心．
如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．
(1)写出图中一个度数为30°的角：
_______________，图中与△ACD
全等的三角形是________；
13
∠1(答案不唯一)
△BCD
(2)求证：△AED∽△CEB；
(3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由.(共50张PPT)
6 直线和圆的位置关系
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
直线和圆的位置关系
切线的性质
切线的判定
三角形的内切圆
知识点
知1－讲
感悟新知
1
直线和圆的位置关系
1. 直线和圆有三种位置关系
直线和圆的位置关系 相离 相切 相交
图示
知1－讲
感悟新知
公共点个数 0 1 2
公共点名称 切点 交点
直线名称 切线 割线
圆心O 到直线l 的距离d 与半径r 的关系 d＞r d=r d＜r
等价关系 d>r 直线l与⊙ O 相离 d=r 直线l与⊙ O 相切 d续表
知1－讲
感悟新知
要点提醒
如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，那么第三个条件也成立：
(1) 过圆心；
(2) 过切点；
(3) 垂直于切线.
感悟新知
知1－练
如图3-6-1，在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则直线AB 和以点C 为圆心，r 为半径的圆有何位置关系？为什么？
(1)r = 4 cm；
(2)r = 4.8 cm；
(3)r = 7 cm.
例 1
感悟新知
知1－练
解题秘方：求出点C 到AB 的距离，再将其与圆的半径的大小进行比较.
感悟新知
知1－练
解：过点C 作CD ⊥ AB 于点D，如图3-6-1.
在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，
BC=8 cm，则AB=10 cm.
又∵ AB·CD=AC·BC，∴ CD=4.8 cm.
(1)当r =4 cm 时，CD ＞ r，直线AB 和⊙ C 相离；
(2)当r =4.8 cm 时，CD=r，直线AB 和⊙ C 相切；
(3)当r =7 cm 时，CD ＜ r，直线AB 和⊙ C 相交.
感悟新知
知1－练
1-1.[中考· 嘉兴] 已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙ O 半径为2 cm，线段OA=3 cm，OB=2 cm，则直线AB 与⊙ O 的位置关系为( )
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 相交或相切
D
感悟新知
知1－练
如图3-6-2，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，O是AB上的一点，OB=2m(m ＞ 0)，⊙ O的半径r为，当m分别在什么范围内取值时，直线BC 与⊙ O相离、相切、相交？
例 2
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用直线与圆的位置关系建立方程(或不等式)求m 的取值范围.
解：如图3-6-2，作OD ⊥ BC于点D.
∵∠ A=30°，∠ C=90°，
∴∠ B=60°. ∴∠ DOB=30°.
在Rt△ODB中，
∵ OB=2m，∴ DB=m，OD=m.
感悟新知
知1－练
设OD=d.
(1)当直线BC与⊙ O相离时，d＞r，即m＞，解得m＞ 1. (2)当直线BC与⊙ O相切时，d=r，即m =，解得m=1. (3)当直线BC与⊙ O相交时，d ＜r，即m<，解得m＜ 1.
又∵ m＞ 0，∴ 0 ＜ m＜ 1.
感悟新知
知1－练
2-1. 已知直线l 与半径为2 的⊙ O 的位置关系是相离，则点O 到直线l 的距离的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A
感悟新知
知1－练
2-2.(易错题)在平面直角坐标系中，⊙ M 的圆心坐标为(m，4)，半径是2，如果⊙ M 与y 轴相切, 那么m=________ ；如果⊙ M 与y 轴相交,那么m 的取值范围是_________ .
±2
－2知识点
切线的性质
知2－讲
感悟新知
2
1. 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
特别提醒
性质定理的题设有两个条件：
1. 圆的切线；2. 半径过切点.
应用时缺一不可.
知2－讲
感悟新知
2. 切线的性质
(1)切线和圆只有一个公共点.
(2)圆心到切线的距离等于半径.
(3)圆的切线垂直于过切点的半径.
(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用).
(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).
(3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立.
感悟新知
知2－练
如图3-6-3，AB 为⊙ O 的直径，PD 切⊙ O 于点C，
交AB 的延长线于点D，且∠ D=2 ∠ CAD.
例 3
感悟新知
知2－练
(1)求∠ D 的度数；
解题秘方：利用“等半径”得等腰三角形；
解：如图3-6-3，连接OC. ∵ AO=CO，
∴∠ OAC= ∠ ACO. ∴∠ COD=2 ∠ CAD.
又∵∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠ COD.
∵ PD 与⊙ O 相切于点C，
∴∠ OCD=90° . ∴∠ D=45°
连接过切点的半径.
感悟新知
知2－练
(2)若CD=2，求BD 的长.
解题秘方：利用“切线垂直于过切点的半径”构成直角三角形，再结合相关性质求解.
解：由(1)可知△ OCD是等腰直角三角形，
∴ OC=CD=2.
由勾股定理，得OD= = =2，
∴ BD=OD－OB=2－2.
知2－练
感悟新知
3-1.[中考· 眉山] 如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D， 连接CD， 若∠OCD= 25°，则∠A的度数为( )
A. 25°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
C
知2－练
感悟新知
3-2.[中考·重庆A卷]如图，AC是⊙O的切线，B为切点， 连接OA，OC. 若∠A=30 °，AB=2，BC=3， 则OC的长度是( )
A. 3 B. 2
C. D. 6
C
知识点
切线的判定
知3－讲
感悟新知
3
1. 判定定理 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
特别提醒
切线必须同时具备两个条件：
1.直线过半径的外端；2.直线垂直于这条半径.
知3－讲
感悟新知
2. 判定方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
感悟新知
知3－练
如图3-6-4，已知AB 是⊙ O的直径，AB=4，点C在线段AB 的延长线上，点D在⊙ O上，连接CD，且CD=OA，OC=2，求证：CD 是⊙ O 的切线.
例 4
解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”判定圆的切线.
知3－练
感悟新知
证明：如图3-6-4，连接OD.
由题意可知CD=OD=OA=AB=2.
∵ OC=2，∴ OD2+CD2=OC2.
∴∠ODC=90°，即OD⊥CD.
又∵点D在⊙ O上，∴ CD是⊙O 的切线.
知3－练
感悟新知
4-1. 如图，点C是⊙O上的一点，AB 是⊙O的直径，∠CAB=∠DCB，那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切
C
感悟新知
知3－练
如图3-6-5，在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D，以点D 为圆心，DB 的长为半径作⊙ D. 求证：AC 与⊙ D 相切.
解题秘方：利用“无切点，作垂直，证半径”判定圆的切线.
例 5
知3－练
感悟新知
证明：如图3-6-5，过点D 作DF ⊥ AC 于点F.
∵∠ B=90°，
∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠ BAC，
∴ DF=DB.
∴ AC 与⊙ D 相切.
知3－练
感悟新知
5-1. 如图， 点D 是∠ AOB 的平分线OC上任意一点，过点D 作DE ⊥ OB 于点E，以点D为圆心，DE为半径作⊙D， 求证：OA是⊙D的切线．
知3－练
感悟新知
证明：过点D作DF⊥OA于点F.
∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF＝DE，即点D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴OA是⊙D的切线．
感悟新知
知3－练
[中考·湖州]如图3-6-6，已知BC 是⊙ O 的直径，AC 与⊙ O 相切于点C，AB 交⊙ O 于点D，E 为AC 的中点，连接DE.
例 6
感悟新知
知3－练
(1)若AD=DB，OC=5，求AC 的长；
解题秘方：构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角求解；
解：连接CD，如图3-6-6.
∵ BC 是⊙ O 的直径，
∴∠ BDC=90°，即CD ⊥ AB.
∵ AD=DB，∴ AC=BC=2OC=10.
感悟新知
知3－练
(2)求证：DE 是⊙ O 的切线.
解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”求证.
知3－练
感悟新知
证明：连接OD，如图3-6-6.
∵∠ ADC=90°，E 为AC的中点，
∴ DE=EC=AC. ∴∠1 ＝∠2.
∵ OD=OC，∴∠3＝∠4.
∵ AC切⊙ O于点C，∴ AC ⊥ OC.
∴∠ 1+ ∠ 3= ∠ 2+ ∠ 4 ＝ 90°，即DE ⊥ OD.
∴ DE是⊙ O 的切线.
知3－练
感悟新知
6-1.[中考·雅安] 如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于点E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．
知3－练
感悟新知
(1)求证：DC是⊙O的切线；
证明：连接OC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OE∥AC，∴∠OEB＝∠ ACB＝90°.
∴OD⊥BC. ∴OD垂直平分BC.∴ DB＝DC.
∴∠DBE＝∠DCE.
又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE.∴∠OBD＝∠OCD.
知3－练
感悟新知
∵DB为⊙O的切线，OB是半径，
∴DB⊥OB.∴∠OCD＝∠OBD＝90°.∴OC⊥DC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线.
知3－练
感悟新知
(2)若∠ABC=30°，AB=8，求线段CF的长.
知识点
三角形的内切圆
知4－讲
感悟新知
4
1. 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
2. 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
3. 三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.
知4－讲
感悟新知
要点解读
1. 一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形.
2. 三角形的内心在三角形的内部.
感悟新知
知4－练
王奶奶有一块三角形的布料ABC，∠ ACB=90°，她要裁剪一个圆片，已知AC=60 cm，BC=80 cm，为了充分地利用这块布料，使裁剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆片的半
径是多少？(提示：圆外一点到圆的两个
切点的线段长相等)
例 7
感悟新知
知4－练
解题秘方：在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形的内切圆.
知4－练
感悟新知
解：如图3-6-7，设△ ABC 的内切圆⊙ O 的半径为r cm，
⊙ O 分别切AB，BC，AC 于点D，E，F，连接OE，OF，则四边形OECF 为正方形. ∴ CE=CF=r cm.
知4－练
感悟新知
∵∠ ACB=90°，AC=60 cm，BC=80 cm，
∴ AB=100 cm，AD=AF= (60－r)cm，BD=BE=(80－r)cm.
∵ AD+BD=AB，即60－r+80－r=100，
∴r==20.
∴她应该裁剪下来这块三角形布料的内切圆，这个圆片的半径是20 cm.
直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和减去斜边之差的一半.
知4－练
感悟新知
7-1. 如图，⊙ O 是△ ABC的内切圆，切点分别为D，E，F. 若BA=BC=13，AC=24，求△ ABC的内切圆的半径.
知4－练
感悟新知
感悟新知
知4－练
如图3-6-8，在△ ABC 中，∠ A=70°，点O 是△ ABC 的内心，求∠ BOC 的度数.
例 8
解题秘方：三角形的内心是三角形三个内角的平分线的交点.
解：∵∠ A=70°，
∴∠ABC+ ∠ACB=180°－70°=110°.
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB.
∴∠OBC+ ∠OCB=(∠ABC+ ∠ACB)=55°.
∴∠BOC=180°－55°=125°.
知4－练
感悟新知
知4－练
感悟新知
8-1.[中考· 天门] 如图， 在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F， 则∠AFD=_____ .
35°
课堂小结
直线和圆的位置关系
直线和圆的
位置关系
相交
相离
相切
切线的性质
内切圆
切线的判定(共32张PPT)
直线和圆的位置关系
3.6.1
北师版 九年级下
第三章 圆
B
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
C
D
11
答 案 呈 现
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习题链接
9
C
12
(1)直线a和⊙O________公共点，则直线a和⊙O相切；
(2)直线b和⊙O________公共点，则直线b和⊙O相交；
(3)直线c和⊙O________公共点，则直线c和⊙O相离．
1
有唯一
有两个
没有
如图是“光盘行动”的宣传海报，图中筷子与餐盘可看成直线和圆的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．平行
2
【点拨】
【答案】B
筷子与餐盘有2个交点，即相交关系．
(母题：教材P89想一想)设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
(1)d______r 直线l和⊙O相离；
(2)d______r 直线l和⊙O相切；
(3)d______r 直线l和⊙O相交．
3
>
＝
<
已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB和⊙O的位置关系为( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
4
【点拨】
【答案】D
⊙O的半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上．∴直线AB和⊙O的位置关系为相交或相切．
已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为 5 cm，则直线l和⊙O的公共点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
5
【点拨】
【答案】C
根据题意，得该圆的半径是6 cm，即大于圆心到直线的距离5 cm，则直线和圆相交，故直线l与⊙O的公共点个数为2个．
如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
6
【点拨】
【答案】D
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8， BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为________．
7
【点拨】
8
【点拨】
如图，当⊙O与BC，BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD的长为点A到⊙O上的点的距离的最大值.
设⊙O与BC，BA的切点分别为E，F，连接OE，OF，OB，则OE⊥BC，OF⊥AB.
若直线m和⊙O的公共点个数不小于1，则直线m和⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相交或相切 D．相离
9
【点拨】
【答案】C
直线和圆的公共点的个数不小于1，则直线和圆有一个或两个交点．本题易因不能正确理解题意而漏解．
10
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(母题：教材P91习题T1)在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，AC＝3 cm.
(1)若以点C为圆心，2 cm长为半径画⊙C，求直线AB和⊙C的位置关系；
11
(2)若直线AB和半径为r cm的⊙C相切，求r的值；
【解】由(1)知CD⊥AB，CD＝2.4 cm，
∴当r＝2.4时，直线AB和半径为r cm的⊙C相切．
(3)若线段AB和半径为r cm的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围．
【解】若线段AB和半径为r cm的⊙C有唯一公共点，分两种情况：
①⊙C和AB相切时，即r＝2.4；
②点A在⊙C内部，点B在⊙C上或⊙C外部时，3∴r的取值范围是3已知∠MAN＝30°，点O在AN上，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于点D，E，设AD＝x.
12
(1)如图①，当x取何值时，直线AM和⊙O相切？
【解】如图①，过点O作OF⊥AM，垂足为F，当OF＝2时，直线AM和⊙O相切，此时易知OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，直线AM和⊙O相切．
(2)如图②，当x取何值时，直线AM交⊙O于点B，C，且∠BOC＝90°？(共34张PPT)
切线的性质
3.6.2
北师版 九年级下
第三章 圆
B
B
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34°
6
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65°
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答 案 呈 现
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9
ABD
66°
[2023·重庆]如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
1
【点拨】
【答案】B
连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°.
2
【点拨】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝10.如图，连接AE，OE.设半圆O的半径为r，则OA＝OE＝r.
∴OB＝AB－OA＝10－r.
∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC.
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，
∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，
【答案】B
3
66°
【点拨】
如图，连接OC，OD.
∵BF是⊙O的切线，
AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF.
∴∠ABF＝90°.
[2023·龙东地区]如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝________．
4
34°
【点拨】
根据切线的性质可得，∠OAP＝90°，然后利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠B＝56°，最后利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠P的度数．
5
65°
【点拨】
连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，则∠COB＝360°－∠A－∠ACO－∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论．
[2023·无锡]如图，AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E.过点D的⊙O的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD .
6
(1)求∠F的度数；
(2)若DE·DC＝8，求⊙O的半径．
7
【点拨】
【答案】ABD
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E.
8
(1)若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；
【解】∵AE⊥CD于点E，
∴∠AEC＝90°.
∴∠ACD＝∠E＋∠EAC＝90°＋25°＝115°.
(2)若OB＝2，BD＝1，求CE的长．
如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A(0，8)，B(0，2)，连接AC，BC．
9
(1)求点P的坐标；
【解】∵点A(0，8)，B(0，2)，
∴AB＝6，OB＝2.
如图，过点P作PH⊥AB于点H，
∴AH＝BH＝3，∴OH＝5.
连接PC，PB.
∵⊙P与x轴相切于点C，∴PC⊥x轴．
(2)求cos∠ACB的值．
[2023·宁夏]如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC.
10
(1)求证：AC平分∠BAE；
【证明】如图，连接OC.
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，∴OC⊥DC.
又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠ACO.
∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAE.
在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
11
(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．
【解】如图，连接OE，则OE＝OA＝3.
由(1)知，∠CEB＝30°.∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠B＝75°.
∴∠DFC＝∠EFB＝75°.
∵OC⊥AB，∴∠C＝90°－∠DFC＝15°.
∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC＝15°.
∴∠EOG＝∠C＋∠OEC＝30°.
∵GE是⊙O的切线，∴∠OEG＝90°.(共26张PPT)
切线的判定
3.6.3
北师版 九年级下
第三章 圆
A
①②④
1
2
3
4
5
6
7
答 案 呈 现
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如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
1
A
2
①②④
【点拨】
∵点C与点D关于AB对称，∴AB是CD的垂直平分线. ∴AD＝AC，BD＝BC.∴∠BCD＝∠BDC.∵BD∥CE，∴∠BDC＝∠DCE.∴∠DCE＝∠BCD，即CD平分∠BCE，故①正确．∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠ACB＋∠AEB＝180°.∵∠AEB＋∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠ACB.∵AD＝AC，BD＝BC，AB＝AB，∴△ADB≌ △ACB(SSS)．∴∠ADB＝∠ACB.∴∠DEB＝∠ADB. ∴BD＝BE，故②正确．
3
(2)若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，点F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
4
(1)求证：CF是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OC.
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC＋∠CAD＝90°.
又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD.
又∵∠DCF＝∠CAD，
∴∠DCF＋∠OCD＝90°＝∠OCF，即OC⊥FC.
又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线．
5
(1)求证：CD是⊙O的切线；
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.
∴∠EAC＝∠OCA.∴AE∥OC.∴∠ADC＝∠OCF.
∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°.
∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF.
6
(1)求证：BC是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD.
∴∠ODA＝∠BAD.∴OD∥AB.
∴∠ODC＝∠B＝90°.
∴OD⊥BC.∴BC是⊙O的切线．
如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB的延长线于点F，垂足为点E.
7
(1)求证：DF为⊙O的切线；
【证明】如图，连接BD，OD.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
又∵AB＝BC，∴AD＝CD.
又∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB.
∵FD⊥AB，∴FD⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．
