(共33张PPT)
三角形的内切圆
3.6.4
北师版 九年级下
第三章 圆
C
B
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
C
C
C
11
答 案 呈 现
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9
35°
(2，3)
12
下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
1
【点拨】
【答案】C
一个圆可以有无数个外切三角形，但一个三角形只有一个内切圆．
(母题：教材P92例2)如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2
【点拨】
【答案】B
根据三角形的内切圆为⊙O得出点O到三角形三边的距离相等，即可得出结论．
如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(－3，3)，(7，－2)，则△ABC的内心的坐标为________．
3
(2，3)
【点拨】
作出△ABC的两条角平分线，其交点就是△ABC的内心，利用网格确定△ABC内心的坐标即可．
《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有一个问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步 B．5步
C．6步 D．8步
4
【点拨】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴易得AD＝AF，CE＝CF，BD＝BE.
∴AB＋BC－AC＝AD＋BD＋BE＋CE－AF－CF＝BD＋BE＝2BD，即8＋15－17＝2BD.
∴BD＝3步．
易得四边形BDOE为正方形，∴OD＝BD＝3步．
∴⊙O的直径为6步．
【点方法】
【答案】C
5
【点拨】
【答案】C
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．25°
6
【点拨】
【答案】C
如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝________．
7
35°
【点拨】
8
【点拨】
如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，连接AO并延长，交BC于点D，易知D为切点．
【答案】C
如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE.求证：BD＝DE.
9
【证明】∵E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.
∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD.
∵∠BED＝∠BAD＋∠ABE，∠EBD＝∠CBD＋∠CBE，
∴∠BED＝∠EBD.∴BD＝DE.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得DF＝BD，连接CF.求证：直线CF为⊙O的切线．
10
如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB．求证：
11
(1)PB是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OB.
∵AO＝BO，AB⊥PO，
∴∠AOP＝∠POB.又∵PO＝PO，AO＝BO，
∴△AOP≌△BOP(SAS)．∴∠OBP＝∠OAP.
∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∴∠OBP＝90°，即OB⊥PB.
又∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)E为△PAB的内心．
【证明】如图，连接AE.
∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，∴∠EAD＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED.
∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.
由(1)得△AOP≌△BOP，∴∠APO＝∠BPO.
∴PD平分∠APB.
∵PO与AE的交点为E，∴E为△PAB的内心．
(母题：教材P95例)如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC＝9，AC＝12.
12
(1)求⊙I的半径；
【解】设⊙I的半径为r，⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，如图所示．
易得四边形IECF是正方形，∴CE＝CF＝IE＝r.
(2)求线段OI的长．(共24张PPT)
*7 切线长定理
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
切线长定理
圆外切四边形
知识点
知1－讲
感悟新知
1
切线长定理
1. 切线长定义 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外一点之间线段的长，可以度量.
知1－讲
感悟新知
2. 切线长定理
过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
特别提醒
经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段的长度相等.
知1－讲
感悟新知
3. 示例
如图3-7-1 是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论：
(1)PO ⊥ AB；
(2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP；(3)AP=BP；
(4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4；
(5)AD=BD；(6)AC = BC等.
︵
︵
感悟新知
知1－练
如图3-7-2，PA，PB，DE 分别与⊙ O 相切于点A，B，C，点D 在PA 上，点E 在PB 上.
例 1
解题秘方：根据切线长的定义，判断出PA，PB，DA，DC，EC，EB 的长都是切线长，再利用切线长定理，找到相等关系.
感悟新知
知1－练
(1)若PA=10，求△ PDE 的周长；
解：∵ PA，PB，DE 分别切⊙ O 于点A，B，C，
∴ PA=PB，DA=DC，EC=EB.
∴ PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.
∴△ PDE 的周长为20.
感悟新知
知1－练
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数.
解：如图3-7-2，连接OA，OC，OB.
∵ PA，PB，DE 是⊙O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥PB.
∴∠DAO= ∠EBO=90°.∴∠P+ ∠AOB=180°.
∴∠AOB=180°－50°=130°.
易知∠AOD= ∠DOC，∠COE= ∠BOE，
∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°.
感悟新知
知1－练
1-1.[中考· 嘉兴] 如图， 点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在BDC上． 已知∠A=50°，则∠D的度数是________.
65°
︵
感悟新知
知1－练
1-2. 如图，PA，PB切⊙ O 于A，B两点，CD切⊙ O于点E，分别交PA，PB 于点C，D. 若⊙ O的半径为2，△PCD的周长等于4，则线段AB的长是_______.
感悟新知
知1－练
如图3-7-3，PA，PB 是⊙ O 的切线，切点分别为A，B，BC 为⊙ O 的直径，连接AB，AC，OP. 求证：
解题秘方：活用切线长定理，结合相关性质求证.
例 2
感悟新知
知1－练
(1)∠ APB = 2∠ABC；
证明：∵PA，PB分别与⊙ O相切于点A，B，
∴易知∠BPO= ∠APO=∠APB，PA=PB.
∴ PO⊥AB. ∴∠ABP+ ∠BPO=90°.
∵PB是⊙O的切线，∴ OB⊥PB. ∴∠ABP+ ∠ABC=90°.
∴∠ ABC= ∠BPO= ∠APB，即∠APB=2∠ABC.
感悟新知
知1－练
(2)AC∥OP.
解：∵ BC 是⊙ O 的直径，
∴∠ BAC=90°，即AC ⊥ AB.
由(1)知OP ⊥ AB，∴ AC ∥ OP.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图，AB，BC，CD 分别与⊙ O 相切于点E，F，G，若∠ BOC=90°，求证：AB ∥ CD.
感悟新知
知1－练
证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.
∵BE，BF为⊙O的切线，
∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBC.
同理可得∠OCB＝∠OCG.
∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°.
∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，
即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.
知识点
知2－讲
感悟新知
2
圆外切四边形
1. 圆外切四边形的定义
四边形的四条边都与圆相切，这个
四边形叫做圆外切四边形，这个圆叫做
四边形的内切圆，如图3-7-4 所示，四边
形ABCD 是⊙O的外切四边形，⊙O是四
边形ABCD的内切圆.
知2－讲
感悟新知
注意
不是所有的四边形都有内切圆.
知2－讲
感悟新知
2. 圆外切四边形的性质
圆外切四边形两组对边之和相等.
如图3-7-4 所示，四边形ABCD的四条
边AB，BC，CD，DA分别与⊙O相切
于点E，F，G，H，
知2－讲
感悟新知
则AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即(AE+BE)+(CG+DG)=(AH+DH)+(BF+CF)，
∴ AB+CD=AD+BC.
因此⊙O的外切四边形ABCD的两组对边之和相等.
感悟新知
知2－练
如图3-7-5 所示，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为( ).
A. 9
B. 7
C. 11
D. 8
例 3
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣圆外切四边形的“对边之和相等”解决问题.
解：由圆外切四边形的两组对边之和相等可知DE=AE+BD－AB，∵ AC=10，AB=8，BC=9，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+CE+AE+BD－AB=AC+
BC－AB=10+9－8=11.
=(AE+CE)+(BD+CD)－AB.
答案：C
感悟新知
知2－练
3-1. 如图所示， 已知⊙O的外切等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，梯形中位线为EF，求证：EF=AB.
感悟新知
知2－练
证明：∵等腰梯形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，
∴AD＋BC＝AB＋CD＝2AB.
∵梯形中位线为EF，∴AD＋BC＝2EF，
∴EF＝AB.
课堂小结
切线长定理
切线长定理
解决问题的关键
圆外切四边形
切线长(共37张PPT)
切线长定理
3.7
北师版 九年级下
第三章 圆
B
C
1
2
3
4
5
2
6
7
8
10
B
6.9
11
答 案 呈 现
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9
(母题：教材P121总复习T13)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝26°，则∠P的度数为( )
A．32°
B．52°
C．64°
D．72°
1
【点拨】
【答案】B
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，CA⊥PA. ∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝90°.∵∠BAC＝26°，∴∠PAB＝90°－26°＝64°.∴∠P＝180°－2∠PAB＝52°.
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为( )
A．110°
B．120°
C．125°
D．130°
2
【点拨】
【答案】C
连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，由切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB＝125°.
[2023·河南]如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________．
3
【点拨】
如图，连接OC.∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°.
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC，
∴∠OAP＝∠OBC＝90°.
∴∠PBC＝90°.
(母题：教材P96习题T2)如图，△ABC的内切圆⊙O分别与BC，CA，AB相切于点D，E，F，且AB＝5， BC＝7，CA＝6，则AF＝________.
4
2
【点拨】
设AF＝x，则根据切线长定理，得AE＝x，BD＝ BF＝5－x，CD＝CE＝6－x，则5－x＋6－x＝7，解得 x＝2，即AF＝2.
5
【点拨】
【答案】B
6
6.9
【点拨】
如图，设光盘的圆心为O，由题意可知AB，AC分别切⊙O于点B，C，连接OC，OB，OA.
∵AC，AB分别为⊙O的切线，
∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB.
如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
7
(1)求∠BAC的度数；
【解】∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°.
∵∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形．
∴∠BAP＝60°.
∴∠BAC＝∠PAC－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
【点方法】
切线长定理揭示了两个方面的内容，一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；二是圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角．这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了条件．
[2023·滨州]如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为___________．
8
62°或118°
【点拨】
[2022·衡阳]如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD 交CD于点E，连接BE.
9
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由．
【解】直线BE与⊙O相切．
理由：如图，连接OD.
∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°.
∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB.
∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOE＝∠EOB.
∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．
∴∠OBE＝∠ODE＝90°.
∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切．
(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【解】设⊙O的半径为r.
在Rt△DOC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝(r＋2)2，
解得r＝3.∴AB＝2r＝6. ∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8.
∵DE，BE与⊙O相切，∴DE＝BE.
在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，
∴82＋BE2＝(4＋DE)2，
即64＋DE2＝(4＋DE)2，解得DE＝6.
如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
10
(1)求证：PD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD.∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°.∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP.
∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO.
∴∠DOP＝∠AOP. 又∵OA＝OD，OP＝OP，
∴△AOP≌△DOP(SAS)．∴∠PDO＝∠PAO＝90°，
即OD⊥PD.∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
【解】由(1)可知PA＝PD.
∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB.
∵OB＝OA，PA＝PD，∴PA＝OA.∴∠APO＝∠AOP.
∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.
下面是小颖对一道题目的解答．
11
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与
AC，BC相切于点E，F，CE的
长为x，如图所示．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.
可以一般化吗？
(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.
【解】设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.
根据切线长定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，CF＝CE＝x.
倒过来思考呢？
(2)若AC·BC＝2mn，求证：∠C＝90°.
证明：由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.
整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.
∴AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[x2＋(m＋n)x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2＝AB2.
根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°.
改变一下条件……
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．(共24张PPT)
8 圆内接正多边形
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
圆内接正多边形
正多边形的有关计算
正多边形的画法
知识点
知1－讲
感悟新知
1
圆内接正多边形
1. 正多边形 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
2. 圆内接正多边形 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.
知1－讲
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
(1)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
(2)正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
(4)正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
知1－讲
感悟新知
拓宽视野
1. 任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆.
2. 任意多边形(边数大于3)不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
感悟新知
知1－练
如图3-8-1，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O 于点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
例 1
解题秘方：紧扣同圆中弧、圆心角的关系证明.
感悟新知
知1－练
证明：∵三角形AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°，OB=OA.
∴点B 在⊙ O 上.
∵ FC ∥ AB，
∴ ∠ FOA= ∠ OAB=60 °，∠ COB= ∠ OBA=60°.
∴ ∠AOB= ∠BOC= ∠COD= ∠DOE= ∠EOF=∠FOA=60°.
∴AB = BC = CD = DE = EF = FA .
∴六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
︵
︵
︵
︵
︵
︵
感悟新知
知1－练
1-1. 若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则这个四边形一定是( )
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 不能确定
C
知识点
正多边形的有关计算
知2－讲
感悟新知
2
特别提醒
常见的正多边形的边长与半径的关系：
1.正六边形的边长等于其外接圆半径；
2.正三角形的边长等于其外接圆半径的倍；
3.正方形的边长等于其外接圆半径的倍.
知2－讲
感悟新知
1. 正n边形的每个内角都等于.
2. 正n边形的每个中心角都等于 .
3. 正n边形的每个外角都等于.
知2－讲
感悟新知
4. 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则：
(1)半径、边长、边心距的关系为R2=r2+ ()2；
(2)周长l=na；
(3)面积S=ar·n=lr.
感悟新知
知2－练
已知正六边形ABCDEF 的半径为6，求这个正六边
形的边长a、周长l 和面积S.
例 2
解题秘方：巧用正六边形的边长、半径等之间的关系进行计算.
知2－练
感悟新知
解：如图3-8-2，设正六边形ABCDEF 的中心为点O，
过点O作OG ⊥ AB于点G，连接OA，OB.
∵∠ AOB==60°，OA=OB，
∴∠ AOG=30°.
∴AG=AO=3.
知2－练
感悟新知
∴ a=AB=2AG=6.
∴ l=6a=6×6=36.
在Rt△AOG中，OG= = =3，
∴ S=×AB×OG×6=×6×3×6=54 .
知2－练
感悟新知
2-1. [中考·成都] 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙ O，若⊙O 的周长等于6π. 则正六边形的边长为( )
A.
B.
C. 3
D. 2
C
知识点
正多边形的画法
知3－讲
感悟新知
3
1. 正n 边形的画法：将圆n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形.
2. 对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正六边形、正八边形，可以用圆规和直尺作图.
知3－讲
感悟新知
如图3-8-3 ①，在圆周上任定一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，然后以弧与圆周的交点为圆心依次作弧，在圆周上得到6 个交点，依次连接，得到一个内接正六边形.
知3－讲
感悟新知
如图3-8-3 ②，在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形. 若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等.
知3－讲
感悟新知
特别提醒
1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的n等分点.
2. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形.
感悟新知
知3－练
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm .
例 3
解题秘方：用量角器画应先求出中心角，用尺规画则先考虑等分圆周.
知3－练
感悟新知
解：作法一 (1)作半径为0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，
其中A，B，C均为圆上的点；
(3)连接 AB，BC，CA，则
△ ABC 为所求作的正三角形，如图3-8-4
知3－练
感悟新知
作法二 (1)作半径为0.9 cm 的⊙ O；
(2)作⊙ O 的任一直径AB；
(3)以B 为圆心，以0.9 cm 为半径作弧，
交⊙ O 于D，E；
(4)连接AD，DE，EA，则△ ADE 为所
求作的正三角形，如图3-8-5.
知3－练
感悟新知
3-1. 图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．
如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH( 不写作法，保留作图痕迹).
略
课堂小结
圆内接正多边形
正多边
形和圆
相关概念
中心
有关计算
画法
半径
中心角
边心距(共36张PPT)
圆内接正多边形
3.8
北师版 九年级下
第三章 圆
B
A
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
2
A
11
答 案 呈 现
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9
D
B
12
[2023·临沂]将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是( )
A．60° B．90°
C．180° D．360°
1
【点拨】
【答案】B
[2023·河北]如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A．a＜b
B．a＝b
C．a＞b
D．a，b大小无法比较
2
【点拨】
【答案】A
连接P4P5，P5P6.∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6.∴b－a＝P3P4＋P7P6－P1P3.∵P5P4＋P5P6＞P4P6，∴P3P4＋P7P6＞P1P3.∴b－a＞0.∴a＜b.
3
【点拨】
【答案】B
先计算正六边形的中心角，再利用同圆中等弧所对的圆心角相等、圆周角定理计算即可．
4
【点拨】
连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD＝60°，进而可求出∠COG＝30°.根据圆的周长求出圆的半径，进而求出CG，然后在Rt△OCG中利用勾股定理求出OG.
【点方法】
【答案】C
[2023·山西]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．
5
【点拨】
【答案】A
(母题：教材P98做一做)如图，按要求画出⊙O的内接正多边形．
6
【解】如图所示．
[2023·安徽]如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD等于( )
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
7
D
8
2
【点拨】
连接OA，OC，OE，易得S△ABC＝S△AEF＝S△CDE＝S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．
如图，正六边形ABCDEF外接圆的半径为4，则其内切圆的半径是________．
9
【点拨】
将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图①，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图②.其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．
10
则图②中：
(1)∠α＝________°；
30
【点拨】如图，延长HC交AD于B，
∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝
60°.∵BC∥直线l，∴易得∠ABC＝
90°.∴∠α＝30°.
(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为________(结果保留根号)．
【点拨】
如图，取中间正六边形的中心为O，过点O作ON垂直直线l于点N，交CH于点M，延长AD交直线l于E，延长CH交GK于点F，连接AG，易得AG∥BF，AB∥GF，∠GFH＝90°，∴四边形ABFG为矩形．∴AB＝GF.
[2022·金华]如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法(如图②)：1.作直径AF; 2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N; 3.连接AM，MN，NA．
11
(1)求∠ABC的度数．
(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．
【解】△AMN是正三角形．
理由：连接ON，NF，如图．
由题意可得FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形．
∴∠NFA＝60°.∴∠NMA＝60°.
同理可得∠ANM＝60°.
∴∠MAN＝60°.∴△AMN是正三角形．
(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
[阅读材料]与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆．设正n(n≥3)边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．
12
[解答问题]
(1)如图②，当n＝4时，仿照材料中的方法和过程，可求得S正四边形＝__________________；
4r2·tan 45°(或4r2)
(2)如图③，当n＝5时，仿照材料中的方法和过程求S正五边形；
(3)根据以上探索过程，请直接写出S正n边形＝__________.(共17张PPT)
9 弧长及扇形的面积
第三章 圆
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
弧长
扇形的面积
知识点
知1－讲
感悟新知
1
弧长
1. 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
1. 公式中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180 不带单位.
2. 题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长.
3. 在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出第三个量.
知1－讲
感悟新知
2. 弧、弧长、弧的度数间的关系
(1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
(2)度数相等的弧，弧长不一定相等；
(3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等，只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧.
感悟新知
知1－练
[中考·沈阳] 如图3-9-1，正方形ABCD 内接于⊙O，AB=2，则AB的长是( )
A. π
B. π
C. 2π
D. π
例 1
︵
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣“弧长公式”进行解答.
解：如图3-9-1，连接OA，OB.
∵正方形ABCD内接于⊙ O，
∴∠ AOB=×360°=90°.
在Rt△AOB中，由勾股定理得2AO2=(2)2，解得AO=2.
∴AB的长为=π.
︵
答案：A
感悟新知
知1－练
1-1.[中考·金华] 如图，在△ABC中，AB=AC=6 cm， ∠BAC=50 °，以AB为直径作半圆，交BC于点D， 交AC于点E， 则弧DE的长为________cm.
知识点
扇形的面积
知2－讲
感悟新知
2
1. 定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
2. 面积公式 (1)已知半径R和n°的圆心角，则S扇形=.
(2)已知弧长l和半径R，则S扇形=lR.
知2－讲
感悟新知
3. 弓形的面积
(1)当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形=S扇形－S三角形；
(2)当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形=S扇形+S三角形.
感悟新知
知2－练
[中考·甘孜州] 如图3-9-2，已知扇形AOB 的半径为2，
圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是( )
A.π－2 B.π－4
C. 4π－2 D .4π－4
例 2
知2－练
感悟新知
解题秘方：用弓形面积公式计算.
解：S阴影=S扇形AOB－S△AOB=－×2×2=π－2.
答案：A
知2－练
感悟新知
2-1.[中考· 天门] 如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点三角形ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为( )
A. π－ B. π－
C. π－ D. π－
D
感悟新知
知2－练
如图3-9-3，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果
AO = 45 cm，CO =5 cm，当AC 绕点O 顺时针旋转90°时，求雨刷器AC 扫过的面积.
例 3
解题秘方：利用旋转，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，利用扇形面积公式列式计算.
知2－练
感悟新知
解：∵△A′C′O是由△ACO绕O旋转90°得到的，∴△AOC≌△A′OC′.
雨刷器AC扫过的面积= 扇形AOA′的面积－扇形COC′的面积= －= ×π=500π(cm2).
知2－练
感悟新知
3-1. [中考·连云港] 如图， 矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆．若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是( )
A. π－20 B. π－20
C. 20π D. 20
D
课堂小结
弧长及扇形的面积
与圆有关的计算
扇形的面积
弧长(共38张PPT)
弧长及扇形的面积
3.9
北师版 九年级下
第三章 圆
C
B
1
2
3
4
5
A
6
7
8
10
184
B
C
11
答 案 呈 现
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9
C
D
B
12
13
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1
C
2
B
中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于
点C，列车在从A到B行驶的过程
中转角α为60°.
3
【点拨】
【答案】B
4
【点拨】
如图，作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为点C，连接OE，此时AC＋CD＝AE，阴影部分周长最小．
【答案】A
一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为( )
A．30π cm2 B．60π cm2
C．120π cm2 D．180π cm2
5
【点拨】
【答案】B
先根据弧长公式算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．
6
【点拨】
【答案】C
7
【点拨】
【答案】C
8
184
【点拨】
如图，过O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD＝BD，OD＝5米，∠AOD＝∠BOD.
9
【点拨】
【答案】D
[2022·福建]如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF.
10
(1)求证：AC＝AF；
【证明】∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形．∴∠B＝∠D.
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF.
∴AC＝AF.
[2023·郴州]如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
11
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD.
∴∠BCD＋∠OCB＝∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．
【点方法】
对于此类求不规则图形面积的问题，一般采用作差法，即将不规则图形的面积转化为已学过的规则图形面积的差计算．
12
(1)求直径BD的长；
如图，在边长为a的正方形ABCD中，以点A为圆心、AB长为半径画弧得到扇形BAD，以AB，AD为直径的两个半圆交于点E.求图中阴影部分的面积．
13
【解】如图，连接AE并延长交弧BD于点F，连接BE.图形1，2，3，4，5的面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5.由题意可知S扇形BAF＝S扇形DAF，S1＝S2＝S5，S3＝S4.(共39张PPT)
北师版 九年级下
与圆有关的计算
测素质
第三章 圆
B
A
1
2
3
4
5
B
6
7
8
10
B
D
B
11
答 案 呈 现
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9
B
π
C
76π
10
12
3.11
13
14
15
16
答 案 呈 现
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17
一、选择题(每题4分，共32分)
(母题：教材P100例1) 已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则扇形的弧长为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
1
B
2
【点拨】
【答案】A
连接OA，OF，证明△AOF是等边三角形即可得AF的长，即正六边形的边长．
如图，正八边形 ABCDEFGH中，∠EAG的大小为( )
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
3
C
4
【点拨】
【答案】B
连接AC，易得∠BAC＝45°，∴∠BPC＝45°.
5
【点拨】
如图，作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，MN与PQ相交于点O，连接OA，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心．
【答案】D
(母题：教材P102习题T1)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3 cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为( )
A．45 cm B．40 cm
C．35 cm D．30 cm
6
B
7
【点拨】
【答案】B
8
【点拨】
【答案】B
二、填空题(每题4分，共20分)
扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积(结果保留π)为________．
9
π
[2023·衡阳]如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________．
10
10
【点拨】
2023年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑“S”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，如图为堤坝的简单示意图，其中两段圆弧半径都为57 m，圆心角都为120°，则这“S”型圆弧堤坝的长为________m.
11
76π
【点拨】
[2022·黔东南州]如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3 cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则图中阴影部分的面积是________cm2(结果用含π的式子表示)．
12
【点拨】
根据∠A的度数和内切圆的性质，得出∠DOE的度数即可求出阴影部分的面积．
13
3.11
【点拨】
正十二边形可分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝30°.
过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°.
三、解答题(共48分)
(12分)有一段圆弧形公路，这段圆弧所在圆的半径为45 m，弧所对的圆心角是60°.这段圆弧形公路长多少米(π取3.14)
14
(12分)如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.
15
(1)求证：△ABG≌△BCH；
(2)求∠APH的度数．
【解】由(1)知△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠HBC.
∴∠APH＝∠ABP＋∠BAG＝∠ABP＋∠HBC＝
∠ABC＝120°.
(12分)如图，在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，以点O为圆心，OB为半径的圆交BO的延长线于点C，过点C作OA的平行线，交⊙O于点D，连接AD．
16
(1)求证：AD为⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD.
∵∠OAB＝30°，∠ABO＝90°，∴∠AOB＝60°.
∵CD∥AO，∴∠C＝∠AOB＝60°.
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形．∴∠COD＝60°.
∴∠AOD＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠AOB＝∠AOD.
∵OB＝OD，AO＝AO，
∴△AOB≌△AOD(SAS)．
∴∠ADO＝∠ABO＝90°.
又∵OD为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．
(2)若OB＝2，求弧CD的长．
(12分)如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
17
(1)求证：∠ACO＝∠BCP；
【证明】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°.
∴∠ACB＝∠OCP.
∴∠ACO＝∠BCP.
(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
【解】由(1)知∠ACO＝∠BCP.
∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.∴∠ABC＝2∠A.
∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∴∠ACO＝∠BCP＝30°.
∴∠P＝∠ABC－∠BCP＝60°－30°＝30°.
(3)在(2)的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．(共42张PPT)
圆及圆的基本性质
测素质
北师版 九年级下
第三章 圆
B
C
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
D
A
A
11
答 案 呈 现
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9
C
60°
D
20°
3
12
5
13
14
15
16
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一、选择题(每题4分，共32分)
下列图形中，是中心对称图形的是( )
1
B
2
【点拨】
【答案】C
过点C作CB⊥OA于点B，构造等腰直角三角形，利用勾股定理求解．
[2023·长沙南雅中学月考]如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为( )
A．8
B．10
C．16
D．20
3
【点拨】
【答案】D
[2023·牡丹江]如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是( )
A．20°
B．18°
C．15°
D．12°
4
【点拨】
【答案】C
∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.
∵∠AOB＝4∠BOC，∴∠BOC＝30°.
∴∠BAC＝∠BOC＝15°.故选C.
下列说法正确的是( )
A．半圆或直径所对的圆周角是直角
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的弦所对的弧相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
5
【点拨】
【答案】A
如果“平分弦的直径垂直于弦”中的“弦”是直径，那么结论不一定成立．解题时容易忽略垂径定理的推论中“不是直径”这个条件而致错．
6
【点拨】
【答案】A
7
【点拨】
【答案】C
延长AD，BC交于点E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．
8
【点拨】
【答案】D
二、填空题(每题5分，共20分)
已知⊙O中最长的弦是12 cm，弦AB＝6 cm，则∠AOB＝________．
9
60°
【点拨】根据题意画出图形，易得△AOB是等边三角形，从而求出∠AOB.
如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装________台这样的监视器．
10
3
【点拨】
监视器的监控角度是65°，即圆周角∠A＝65°，根据圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，可知对应的圆心角的度数为130°，因为360÷130＝2……100，所以要监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装3台这样的监视器．
如图，点A，B，C在⊙O上，AE是直径，AD⊥BC于D，若∠DAC＝20°，则∠BAE＝________．
11
20°
【点拨】
连接BE.∵AD⊥BC，∠CAD＝20°，∴∠C＝70°.∴∠AEB＝∠C＝70°.∵AE是直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＝20°.
12
5
【点拨】
如图，作点N关于AB的对称点N′，连接
MN′，NN′，ON′，ON，OM.∵点N与点N′
关于AB对称，∴MN′与AB的交点P′即
△PMN周长最小时的点P，此时△PMN的
周长＝MN′＋MN.易知∠NOB＝∠MON＝∠N′OB＝∠MAB＝20°，∴∠MON′＝60°.∴△MON′为等边三角形．∴MN′＝OM＝4.∴△PMN周长的最小值为4＋1＝5.
三、解答题(共48分)
(12分)[2022·湘潭]如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．
13
(1)求证：△AEC∽△DEB；
【证明】∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB.
(2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．
【解】∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴AB＝2AD＝6.
∴⊙O的半径为3.
(12分)如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG.
14
(1)求证：FB2＝FE·FG.
(2)若AB＝6，求FB和EG的长．
15
(1)求∠DAB的度数；
【解】如图，连接BD.
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB＝90°－∠B＝60°.
(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F，若AB＝4，求DF的长．
(12分)[2023·安徽]已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
16
(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD；
【解】如图，延长AE交BC于M，延长CE交AB于N，
∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝ 90°.(共43张PPT)
直线和圆的位置关系
测素质
北师版 九年级下
第三章 圆
B
B
1
2
3
4
5
C
6
7
8
10
C
A
B
11
答 案 呈 现
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9
A
(2，1)
A
2
12
13
14
15
16
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17
一、选择题(每题4分，共32分)
[2023·北京四中期中]如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的大小为( )
A．30°
B．50°
C．80°
D．100°
1
【点拨】
【答案】B
根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得∠BOC＝2∠A，进而可得答案．
2
【点拨】
【答案】B
3
A
4
【点拨】
【答案】C
(母题：教材P96习题T1) 如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，
则△ADE的周长是( )
A．7 B．8
C．9 D．16
5
【点拨】
如图，将三角形三边及DE与圆的切点，分别标为G，I，H，F，
【答案】A
∵⊙O是△ABC的内切圆，且DE为⊙O的切线，∴DF＝DG，EF＝EH，BG＝BI，CH＝CI.∴△ADE的周长＝ AD＋AE＋FD＋FE＝AD＋AE＋DG＋EH＝AG＋AH＝ AB＋AC－BG－CH＝AB＋AC－BC.∵△ABC的周长为25，BC的长是9，∴△ADE的周长＝△ABC的周长－2BC＝ 25－2×9＝7.
如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是( )
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
6
B
7
【点拨】
【答案】A
根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，进而可计算出圆中的黑色部分的面积与三角形ABC的面积之比．
[2022·十堰]如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点(不与A，C重合)．下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA＋DC＝DB．
其中一定正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8
【点拨】
【答案】C
当DB最长时，DB为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°. ∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝30°.∴DB＝2DC，
故③正确.
在BD上取一点E，使DE＝AD，连接AE，
如图所示．∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形．
∴AD＝AE，∠DAE＝60°.∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD.∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴BE＝CD.∴BD＝BE＋DE＝CD＋AD，故④正确．
二、填空题(每题4分，共20分)
(母题：教材P87习题T1)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是__________．
9
(2，1)
【点拨】
弦的垂直平分线必过圆心，可作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是d，d是一元二次方程x2－2x－3＝0的一个根，则直线l和⊙O公共点的个数是________．
10
2
[2023·北京]如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为________．
11
【点拨】
[2022·凉山州]如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是________．
12
【点拨】
延长AO，与⊙O相交于点D，连接BD.因为AD是直径，所以∠ABD＝90°.由于∠ACB＝∠ADB，因此在Rt△ABD中求出cos∠ADB即可．
如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上．以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点．当△ACD为直角三角形时，AD的长为________.
13
【点拨】
如图，连接OA，过点A作AD′⊥BC于点D′.
∵圆与AC相切于点A，∴OA⊥AC.
三、解答题(共48分)
(10分)如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D．求证：DI＝DB．
14
【证明】如图，连接BI.
∵I是△ABC的内心，∴AI，BI分别平分∠BAC和∠ABC.
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI.
又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠BAD.
∴∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠DBC，
即∠BID＝∠DBI.
∴DI＝DB.
(10分)如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
15
【解】边CD所在直线与⊙O相切．理由如下：
如图，连接AP，过点O作OH⊥AB于点H，反向延长OH交CD于点E.
(14分)[2023·福建]如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．
16
(1)求证：AO∥BE；
【证明】∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°.
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°.∴∠OAF＝∠CBE.
∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE.
(2)求证：AO平分∠BAC．
(14分)[2022·赤峰]如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E.连接AD，CD，且∠DCA＝∠OCA．
17
(1)求证：AD是⊙O的切线；
【证明】∵AC＝BC，点O为AB的中点，∴CO⊥AB.
∵DF是AC的垂直平分线，∴DC＝DA.
∴∠DCA＝∠DAC.
∵∠DCA＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA.
∴DA∥OC.∴DA⊥OA.
∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．
(2)若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．
