(共33张PPT)
1.用三角函数解圆中的计算问题
练素养
北师版 九年级下
第三章 圆
C
B
1
2
3
4
5
D
6
7
8
10
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
A
一、选择题
1
C
2
B
3
A
[2022·杭州]如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ(θ是锐角)，则△ABC的面积的最大值为( )
A．cos θ(1＋cos θ)
B．cos θ(1＋sin θ)
C．sin θ(1＋sin θ)
D．sin θ(1＋cos θ)
4
【点拨】
作OD⊥BC于点D，延长DO交⊙O于点A′.当△ABC的边BC上的高经过圆心，即点A与点A′重合时，△ABC的面积最大，连接OB，如图所示．
【答案】D
二、填空题
如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cos C的值为________．
5
6
【点拨】
如图，连接OD.
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD.∴∠OHD＝∠BHD＝90°.
如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan ∠FDE＝________.
7
【点拨】
连接PB，PE，易知B，P，E在一条直线上，进而得出BE是⊙P的直径．因为∠ABE＝∠FDE，所以求出tan∠ABE即可．
三、解答题
[2023·衡阳]如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G，连接AD．
8
(1)求证：AF＝DF；
[2022·南充]如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠A，连接OD交BC于 点E.
9
(1)求证：CD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠B＝90°.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.
∵∠BCD＝∠A，∴∠OCB＋∠DCB＝90°.∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
[2023·广元]如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F.
10
(1)求证：∠BCD＝∠BOE；
【证明】如图，连接OC.
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°.
∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，
∴∠BOE＋∠OBE＝90°.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD＝∠BOE.
如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E.
11
(1)判定AC与⊙O的位置关系，为什么？
【解】AC与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.
∵BD是Rt△ABC的角平分线，
∴∠OBD＝∠DBC.∴∠ODB＝∠DBC.
∴OD∥BC.
∴∠ODA＝∠C＝90°，即AC⊥OD.
∵OD是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切．
①求sin∠DBC，sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin 2α与sinα，cosα的关系，并用α＝30°给予验证．(共39张PPT)
北师版 九年级下
2.圆中常见的计算题型
练素养
第三章 圆
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．
1
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
【解】∵BE是⊙O的切线，∴AB⊥BE.
∴∠ABE＝90°.
∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°，
即∠ADC的度数为37°.
[2023·本溪]如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC．
2
(1)求证：EF与⊙O相切；
【证明】如图，连接OE.
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE.
∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE.
又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠ACB＝∠OEF.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OEF＝90°，
即OE⊥EF.又∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E.
3
(1)求证：∠ACB＝2∠ADE；
【证明】如图，连接OD，CD.
∵DE是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°.
∴∠ODC＋∠EDC＝90°.
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.
∴∠ADC＝90°.∴∠ADE＋∠EDC＝90°.
∴∠ADE＝∠ODC.
∵AC＝BC，∴∠ACB＝2∠DCE＝2∠OCD.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠ACB＝2∠ADE.
[2023·十堰]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且点E是弧DF的 中点．
4
(1)求证：BC是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OE，OD.
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°.
∴∠AOD＝90°.∴∠DOF＝90°.
【点方法】
求不规则图形的面积的方法：求不规则图形的面积时，一般不能直接利用公式求解，常用的方法有：割补法、拼凑法、等积变形法、迁移变换法、构造方程法等．其中前四种方法的基本思想都是将不规则图形转化为规则图形(可直接求面积的图形，如三角形、特殊四边形、圆、扇形)或将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和、差进行求解．
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
5
(1)求证：FG是⊙O的切线；
∵AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形．∴∠ABO＝60°.
∵∠EOF＝60°，∴∠ABO＝∠EOF.∴AB∥OF.
∴∠OFG＝180°－∠BGF＝90°，即OF⊥GF.
又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．
【解】∵OA＝OF，∠AOF＝60°，
∴△AOF是等边三角形．
∴AF＝AO，∠AFO＝60°.
∴∠GFA＝90°－60°＝30°.∴AF＝2AG.
【点技巧】
本题运用等积法，通过作辅助线，将阴影部分的面积转化为扇形的面积
如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？
6
如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于E点，BD＝DE.
7
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若E是AC的中点，⊙O的半径为2，连接BE，求阴影部分的面积(结果保留π)．
【解】连接AD，如图所示．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
由(1)知△ABC是等腰三角形，
易知D为BC的中点．
如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm(结果保留π)．
8
4π
【点拨】
重物上升的距离等于半径为6 cm，圆心角为120°的弧所对应的弧长．
筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行，设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ
交于P，Q两点，与直线DE交
于B，C两点，恰有AD2＝
BD·CD，连接AB，AC．
9
(1)求证：AD为⊙O的切线；
又∵∠ADB＝ ∠CDA，∴△DAB∽△DCA.
∴∠DAB＝∠ACB.∴∠DAB＝∠AGB.
∴∠DAB＋∠BAG＝90°.∴AO⊥AD.
∵OA是⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．
【解】如图，当水面上升到GH，
即点Q与点G重合时，A，O，
Q三点恰好共线，作OM⊥
GH于点M.(共31张PPT)
构造圆的基本性质的基本图形的八大技法
练素养
北师版 九年级下
第三章 圆
1
2
3
4
5
6
7
8
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于点B，E，且AB＝OC，若∠DOE＝72°，求∠A的度数．
1
【解】如图，连接OB.
∵点B，E在⊙O上，CD为⊙O的直径，
∴OB＝OE＝OC.∴∠E＝∠EBO.
又∵AB＝OC，∴OB＝AB.∴∠A＝∠AOB.
又∵∠EBO＝∠A＋∠AOB，∴∠EBO＝∠E＝2∠A.
又∵∠DOE＝∠A＋∠E，
∴∠DOE＝∠A＋2∠A＝72°.∴∠A＝24°.
如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8 cm，CD＝2 cm.
2
(1)求⊙O的面积；
【解】如图，连接OA.
∵AB的中点C在直径DE上，AB＝8 cm，
∴OD⊥AB，AC＝4 cm.
设⊙O的半径为r cm，
则OC＝(r－2) cm.
在Rt△OCA中，由勾股定理得(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.
∴⊙O的面积为π×52＝25π(cm2)．
(2)连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.
3
(1)求证：∠A＝∠C；
(2)若OD＝DC，求∠A的度数．
【解】设∠A＝∠C＝x°，∴∠POB＝2∠A＝2x°.
∵OD＝DC，∴∠DOC＝∠C＝x°.
∵OP＝OC，∴∠OPC＝∠C＝x°.
在△POC中，x＋x＋2x＋x＝180，
∴x＝36.∴∠A＝36°.
[2023·成都七中模拟]如图，A，B，C是⊙O的三等分点.
(1)求∠AOB的度数；
4
(2)若BO＝4，求AB的长及△ABC的面积．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝________．
5
62°
【点拨】
连接BC，构造直径AB所对的圆周角，进而求出∠B的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等解决问题．
如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO.
(1)求证：∠BAD＝∠CAO；
6
【证明】如图，延长AO交⊙O于点E，
连接CE，
∴∠ACE＝90°＝∠ADB.
又∵∠B＝∠E，
∴∠BAD＝∠CAO.
(2)若∠B＝60°，AC＝6，求OA的长．
7
(1)四边形EBFD是矩形；
【证明】如图，连接BD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°.
∴BD为⊙O的直径．∴∠BED＝∠BFD＝90°.
∵DF∥BE，∴∠EBF＝180°－∠DFB＝90°.
∴∠BED＝∠EBF＝∠BFD＝90°.
∴四边形EBFD是矩形．
(2)DG＝BE.
【点方法】
常见的作辅助线的方法：
1 . 有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直，简记为“见直径作直角”．
2 . 有90°的圆周角，通常作直径，简记为“有直角作直径”．
8
(1)求⊙O半径的长；
(2)求证：AB＋BC＝BM.
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠CEB＝60°.
∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°＝∠ABC.
又∵∠CMB＝∠CAB，
∴△ABC≌△MEC(AAS)．∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.
9
(1)求证：AE＝BE.
(2)判断BE与EF是否相等，并说明理由．
【解】BE＝EF.理由如下：
由(1)知∠BAC＝90°，
∴∠BAE＋∠FAD＝∠ABF＋∠AFB＝90°.
又∵∠BAE＝∠ABF，
∴∠FAD＝∠AFB.∴EF＝AE.
又∵AE＝BE，∴BE＝EF.
(3)小李通过操作发现CF＝2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB之间正确的关系式．(共27张PPT)
证明圆的切线的七种常用方法
练素养
北师版 九年级下
第三章 圆
1
2
3
4
5
6
7
8
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
如图，⊙O的直径AB＝12，P是AB延长线上一点，且PB＝4，C是⊙O上一点，PC＝8.
求证：PC是⊙O的切线．
1
【证明】如图，连接OC.
∵⊙O的直径AB＝12，
∴OB＝OC＝6.
∵PB＝4，∴PO＝10.
在△POC中，PC2＋OC2＝82＋62＝100，PO2＝102＝100，
∴PC2＋OC2＝PO2.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C，且∠ACP＝60°，D是AB延长线上一点，PA＝PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．
2
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．
3
(1)求证：AC是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OA，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠OAB＝∠C.
∵∠CAD＝∠C，∴∠OAB＝∠CAD.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.
∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，
即OA⊥AC.
又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)若AC＝4，求⊙O的半径．
【点方法】
作辅助线判定圆的切线的常用方法：1 . 有切点，连半径，证垂直．如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：有切点，连半径，证垂直．2 . 无切点，作垂直，证半径．如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可，简记为：无切点，作垂直，证半径．
[2023·广东实验中学模拟]如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证：
4
(1)BE＝CE；
【证明】∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EBC＋∠EAC＝180°.
又∵∠EAM＋∠EAC＝180°，∴∠EAM＝∠EBC.
∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM.
∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM.
∴∠BCE＝∠EBC.∴BE＝CE.
(2)EF为⊙O的切线．
【解】如图，连接EO并延长交BC于点H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC.
∴EH⊥BC.
∵EF∥BC，∴EH⊥EF.
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
5
(1)求证：DC是⊙O的切线．
①求⊙O的半径；
②求线段DE的长．
【解】∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝90°.
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四边形OGDC是矩形．
∴DG＝OC＝3.
∵GE＝1，∴DE＝DG－GE＝3－1＝2.
如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE.
6
(1)求证：CD是⊙O的切线；
【证明】连接OD，OE，∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°.
∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，
∴△ADO≌△EDO(SSS)．
∴∠OED＝∠OAD＝90°，即OE⊥CD.
又∵OE是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AB＝12，BC＝4，求AD的长．
【解】过点C作CH⊥AD于点H.
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°.
∴四边形ABCH是矩形．∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4.
∴DH＝AD－AH＝AD－4.
∵CB，CD是⊙O的切线，∴CE＝BC＝4.
又∵AD＝DE，
∴CD＝AD＋4.
∵CH2＋DH2＝CD2，
∴122＋(AD－4)2＝(AD＋4)2.∴AD＝9.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B．求证：CD与⊙O相切．
7
【证明】如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠AEB＝90°，
即OA⊥DA.
∵DO平分∠ADC，OH⊥DC，OA⊥DA，∴OH＝OA.
∴OH是⊙O的半径．
∴DC是⊙O的切线，即CD与⊙O相切．
如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．
8(共53张PPT)
全章热门考点整合应用
北师版 九年级下
第三章 圆
D
16
1
2
3
4
5
A
6
7
8
10
D
C
11
答 案 呈 现
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
9
B
3
12
C
13
14
15
16
温馨提示：点击 进入讲评
习题链接
17
18
19
下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．无论过圆内哪一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
1
D
如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm ，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为________cm.
2
16
【点拨】
3
3
【点拨】
连接OC，根据∠AOB＝90°计算AB，再证明O，C，D三点共线，则CD2＝(OD－OC)2＝(OA－OC)2，结合等腰直角三角形的性质求出OC，最后代入计算即可．
4
【点拨】
【答案】A
[2023·杭州]如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝( )
A．23°
B．24°
C．25°
D．26°
5
【点拨】
【答案】D
[2023·厦门双十中学期中]如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，OD⊥AC于点E，连接DC，若∠COB＝20°，则∠ACD的度数为( )
A．10°
B．30°
C．40°
D．45°
6
【点拨】
【答案】C
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO等于( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．55°
7
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，若以点C为圆心，2 cm长为半径作圆，则点A在⊙C________，点B在⊙C________；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O________.
8
上
外
上
[2022·鄂尔多斯]如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC的中点，连接OE，DE，BD．
9
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(母题：教材P97图3－33)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，BD交于点F.
10
(1)求证：AB＝AF；
(2)若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积．(结果精确到0.1，参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)
[2023·广安]如图，△ABC内接于⊙O，圆的半径为7，∠BAC＝60°，则弦BC的长度为________．
11
【点拨】
12
C
[2022·绍兴]如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连接OD，AD．
13
(2)求证：DA平分∠BDO.
【证明】∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.
∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB.
∵∠B＝90°，∴OA∥BC.
∴∠OAD＝∠ADB.
∴∠ADB＝∠ODA，即DA平分∠BDO.
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E.
14
(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
【解】CD与⊙B相切．理由如下：
如图，过点B作BF⊥CD，垂足为点F.
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.∴∠ADB＝∠CDB.
又∵∠BAD＝∠BFD＝90°，BD＝BD，
∴△ABD≌△FBD(AAS)．
∴BF＝BA.∴点F在⊙B上．∴CD与⊙B相切．
【点方法】
求不规则图形的面积时，利用转化思想，将不规则图形转化为规则图形，再根据规则图形面积的和或差去求．
[2022·沈阳]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP＋∠DCE＝90°.
15
(1)求证：PA是⊙O的切线；
【证明】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∵∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE.
∵∠BAP＋∠DCE＝90°，
∴∠BAP＋∠BAD＝90°.∴∠OAP＝90°.
∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．
6
【点拨】
[2022·玉林]如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.
16
(1)求证：EF是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD.
∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°.
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD.∴∠ODA＝∠EAD.
∴OD∥AE.∴∠ODF＝∠AEF＝90°.
∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
(2)若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．
在等腰三角形ABC中，顶角∠A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为_________________．
17
30°或110°
【点拨】画出草图可以发现点P的位置有两处，分别位于AB的左、右两侧．
[2022·桂林]如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走，已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40 m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是________m.
18
【点拨】
如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以MN为直径作⊙F.
我们把方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1，－2)、半径长为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝9.如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于
点A，B，且点B的坐标为(8，0)，
与y轴相切于点D(0，4)，过点A，
B，D的抛物线的顶点为E.
19
(1)求⊙C的标准方程；
【解】如图，连接CD，CB，过点C
作CM⊥AB于点M.设⊙C的半径为r.
∵⊙C与y轴相切于点D(0，4)，
∴CD⊥OD，OD＝4.
∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，
∴四边形ODCM是矩形．
∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r.
∵B(8，0)，∴OB＝8.∴BM＝8－r.
在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2＋BM2，
∴r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5.∴C(5，4)．
∴⊙C的标准方程为(x－5)2＋(y－4)2＝25.
(2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
【解】直线AE与⊙C相切．理由如下：
连接AC，ME，如图所示．
易知C，M，E三点共线．
∵CM⊥AB，
∴AM＝BM＝3.∴A(2，0)．
