6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念及性质
学习任务 1．了解向量的数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．(数学抽象) 2．掌握向量的数量积的定义及投影向量．(数学抽象) 3．会计算平面向量的数量积．(数学运算)
大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．
问题：该大力士所做的功是多少？
知识点1 向量的数量积
1．两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
当θ＝0时，向量a，b同向；
当θ＝π时，向量a，b反向；
当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b．
1．如何作出向量a与b的夹角？
[提示]
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？
[提示] 不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
3．如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
[提示] ＝|a|cos θe．
知识点2 向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
(4)|a·b|≤|a||b|．
4．若a·b＝0，则a⊥b一定成立吗？
[提示] 不一定，也可能a＝0或b＝0．
5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？
[提示] a·b<0，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是钝角或180°．而a·b>0时，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是锐角或0°．
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝( )
A．－3 B．－6 C．6 D．2
B [a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6．]
2．若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为________．
[答案] 120°
3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为________．
a [向量b在a方向上的投影向量为
(|b|cos θ)＝2×cos 60°×a＝a．]
类型1 定义法求向量的夹角
【例1】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[解] 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°．
以为邻边作 OACB，
则＝a＋b，＝a－b．
因为|a|＝|b|＝2，
所以 OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°．
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°．
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
[跟进训练]
1．如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
[解] (1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．
如右上图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，所以∠DBC为向量与的夹角．
因为∠ABC＝60°，
所以∠DBC＝120°，
所以向量与的夹角为120°．
(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
所以向量与的夹角为90°．
类型2 平面向量的数量积运算
【例2】 如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·．
[解] (1)因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9．
(2)因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6．
定义法求平面向量的数量积
(1)求模：即分别求|a|和|b|．
(2)求夹角：尤其注意向量a与b的方向．
(3)求数量积：即a·b＝|a||b|cos θ．
[跟进训练]
2．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°．
[解] (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30；
若a与b反向，则θ＝180°，
a·b＝|a||b|cos 180°＝－6×5＝－30．
(2)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，
a·b＝|a||b|cos 90°＝0．
(3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5×＝15．
类型3 投影向量
【例3】 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；
(2)向量b在向量a上的投影向量．
[解] (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量．
∴向量a在向量b上的投影向量为
|a|cos 120°·b＝3×b＝－b．
(2)∵|a|＝3，∴＝a，
∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°＝1··a＝－a．
投影向量的求法
方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θ·．
[跟进训练]
3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．
[解] 设a，b的夹角为θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴向量a在向量b上的投影向量为
|a|cos θ·＝12××b＝b．
1．在 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
D [如图，与的夹角为∠ABC＝150°．故选D．
]
2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝( )
A．18 B．－18
C．±18 D．0
C [当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18．故选C．]
3．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．
[设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．]
4．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为________．
a [b在a方向上的投影向量为|b|cos ·＝2×a＝a．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量夹角的范围是多少？
[提示] [0，π]．
2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
[提示] a·b＝|a||b|cos θ，从而cos θ＝．
3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？
[提示] b在a方向上的投影向量为|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cos θ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)．
4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示] a⊥b a·b＝0．反之成立．
5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？
[提示] |a·b|≤|a||b|．
课时分层作业(五) 向量数量积的概念及性质
一、选择题
1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3
C．－3 D．3
B [由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3．]
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．3
C [因为a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，又|a|＝4，则4××|b|＝－12，解得|b|＝6．]
3．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为( )
A．4e B．－4e
C．2e D．－2e
D [向量b在向量a方向上的投影向量为|b|·cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e．故选D．]
4．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
C [如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°．]
5．(多选)下列命题正确的是( )
A．0·a＝0
B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
AD [A正确，因为0的长度为0，结合数量积的定义可知0·a＝0．B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0．D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝＝1，故a2＝b2．]
二、填空题
6．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·＝________．
－ [因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝．所以·＝1××cos 150°＝－．]
7．已知|a|＝2，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________．
e [因为a与b的夹角为60°，a在b上的投影向量为|a|cos 60°e＝2×e＝e．]
8．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________．
[设a与b的夹角为θ，
由题意知|a|＝|b|＝1，则cos θ＝＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝．]
三、解答题
9．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e．
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
[解] (1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10．
(2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝5×cos 120°e＝－e．
10．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 J D．200 J
B [由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)，故选B．]
11．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则···的值为( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
D [由条件知∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25．]
12．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
A [cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝．∴|a×b|＝2×5×＝8．故选A．]
13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________．
等边三角形 －8 [·＝||||·cos ∠BAC，
即8＝4×4cos ∠BAC，
于是cos ∠BAC＝，因为0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝60°．
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
此时·＝||||cos 120°＝－8．]
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求：
(1)在上的投影向量；
(2)在上的投影向量．
[解] 如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．又D是BC边的中点，
所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2．
延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°．
(1)设与向量方向相同的单位向量为e1，则在上的投影向量是
||cos 135°e1＝4×e1＝－2e1．
(2)设与向量方向相同的单位向量为e2，
则在上的投影向量是
||cos 135°e2＝2×e2＝－2e2．
15．已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点．
(1)求·的值；
(2)求·的最大值．
[解] (1)如图所示，由向量数量积的定义可得·＝·＝||||·cos θ．
由图可知，||cos θ＝||，
因此·＝||2＝1．
(2)·＝||||cos α＝||cos α，而||cos α就是向量在上的投影向量的模，当在上的投影向量的模最大，即为||时，·最大，此时点B与点E重合，所以·的最大值为1．第2课时 向量数量积的运算律
学习任务 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．(逻辑推理) 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．(数学运算)
我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律．例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．
根据向量数量积的定义，探讨向量数量积的运算满足哪些运算律，并说明理由．
知识点1 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
知识点2 数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a·b＝b·c推不出a＝c． ( )
(2)对于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． ( )
[答案] (1)× (2)×
2．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________．
[答案] －7
类型1 求数量积
【例1】 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
[解] (a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．
根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[跟进训练]
1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
－6 [由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，
所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝＝3－2×－8＝－6．]
类型2 与向量模有关的问题
【例2】 (源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|；
(2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b．
[解] (1)由题意可知
a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1，
所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2
＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×1＋4×1＝12，
因此|a＋2b|＝2．
(2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2，
即(a＋b)2＝(a－b)2，
因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
因此a·b＝0．
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
[跟进训练]
2．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|．
[解] 因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10．
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．
类型3 与向量垂直、夹角有关的问题
【例3】 (1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4
C． D．－
(2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围．
(1)B [由题意知，＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，
因为n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，
即tn2＋n2＝0，所以t＝－4．]
(2)[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0．
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．
[母题探究]
将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0．
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．
求两向量夹角的方法
(1)一般是利用夹角公式：cos θ＝．
(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
[跟进训练]
3．已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解] 由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
B [∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．]
2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝( )
A．16 B．256
C．8 D．64
A [∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16．]
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于( )
A． B．－
C．± D．1
A [∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝．]
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．
[|a－b|＝＝＝，
设向量a与a－b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量的数量积满足哪些运算律？
[提示] (1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．向量的夹角与其数量积之间存在什么关系？
[提示] 向量a，b的夹角为锐角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能说明a·b的夹角为锐角，因为a，b夹角为0°时也有a·b>0．同理，向量a，b的夹角为钝角，得到a·b<0；反之，a·b<0不能说明a，b的夹角为钝角，因为a，b夹角为180°时也有a·b<0．
课时分层作业(六) 向量数量积的运算律
一、选择题
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A． B．
C．3 D．5
C [由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3．]
2．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
C [设向量a与b的夹角为θ．
因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝3，
所以cos θ＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．]
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b, c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
B [因为c与d垂直，所以c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，所以2k＝12，所以k＝6．]
4．(2022·全国乙卷) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
C [∵|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，
又∵|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，
∴9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，
∴a·b＝1．
故选C．]
5．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是( )
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
ACD [根据向量数量积的分配律知A正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；
因为a，b不共线，
所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；
D正确．故选ACD．]
二、填空题
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝________．
[∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0．
∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝，
∴|a＋b|＝＝＝．]
7．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
11 [设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．]
8．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝3，且b⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________，设a在b方向上的投影向量为λb，则λ＝________．
1 [∵b⊥(a－b)，∴b·(a－b)＝0 b·a－b2＝0 b·a＝b2，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝＝，
由a在b方向上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝3，知a在b方向上的投影向量为3·，
即3·＝λb，解得λ＝1．]
三、解答题
9．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝ta＋b，且a⊥c，求t的值及|c|．
[解] (1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，
所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7，所以cos θ＝－．
又θ∈[0，π]，所以θ＝．
(2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，
所以ta2＋a·b＝0，
所以t＋1×2×＝0，所以t＝1，
所以c＝a＋b，c2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×＋4＝3．所以|c|＝．
10．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
D [由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝．]
11．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝( )
A． B．－
C． D．－
D [∵E，F是菱形ABCD中边BC，CD的中点，
∴＝＋＝＝)，
又||＝||＝2，且〈〉＝60°，
∴·＝·)
＝·＋||2－||2
＝||·||·cos 60°＋×22－×22
＝－．]
12．(多选)已知正△ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是( )
A．|a＋b|＝1 B．a⊥b
C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1
CD [分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误；
∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，
∴|a＋b|＝，故A结论错误；
∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确；
a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D结论正确．]
13．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________．
5或－8 [因为3a＋mb＋7c＝0，
所以3a＋mb＝－7c，
所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，
即9＋m2＋6ma·b＝49，
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，
所以m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8．]
14．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝te1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
[解] 因为a，b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a，b不共线，
当a·b>0时，
(3e1＋2e2)·(te1＋2e2)＝＝3t＋(6＋2t)＋4>0，得t>－，
当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以
解得所以当t≠3时，a，b不共线，
综上，t的取值范围为t>－且t≠3，
即t的取值范围为∪．
15．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c．
(2)因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，
解得k<0或k>2．
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
学习任务 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．(数学抽象) 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．(逻辑推理、数学运算)
在物理课《力的合成与分解》中，我们知道，一个力可以分解成无数对大小、方向不同的分力．
知识点 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
2．基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基底中的向量可以是零向量． ( )
(2)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． ( )
(3)若＝a，＝b，AD是△ABC的中线，则＝(a＋b)． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
类型1 平面向量基本定理的理解
【例1】 (多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
BC [由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．
[跟进训练]
1．(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
ACD [选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．]
类型2 用基底表示向量
【例2】 (源自湘教版教材)如图，△ABC中，AB边的中点为P，重心为G．在△ABC外任取一点O，作向量．
(1)试用表示；
(2)试用表示．
[解] (1)＝＝＋
＝＋)
＝＋－
＝＋．
(2)＝＝＋
＝＋)
＝＋－
＝＋
＝＋
＝＋＋．
基底表示其他向量的方法
方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止．
方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
[跟进训练]
2．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC．设＝a，＝b．
(1)用a，b表示；
(2)若与＋k共线，求k的值．
[解] (1)由题意知A为BC的中点，
∴＝)，
∴＝2＝2a－b，
＝＝－＝2a－b．
(2)由(1)得＋k＝(2k＋1)a－kb，
∵与＋k共线，设＝λ(＋k)，
则2a－b＝λ(2k＋1)a－λkb，
∴解得k＝．
类型3 平面向量基本定理的应用
【例3】 (2022·江苏马坝高中月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．
(1)设＝a，＝b，用a，b表示；
(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝AD．
[解] (1)因为AE＝2BE，所以＝＝，
所以＝＝b－a，
＝＝＋＝a＋b．
(2)证明：因为ED⊥EF，所以·＝0，
即·＝b2－a2＝0，
即|a|＝|b|，所以AB＝AD．
利用向量解决几何问题的一般思路
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
[跟进训练]
3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
[证明] 设＝a，＝b．
因为四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|，
又＝＝a＋b，＝＝b－a，
则·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，
故⊥．所以AC⊥BD．
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A．{} B．{}
C．{} D．{}
D [由于不共线，所以是一组基底．故选D．]
2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
A [由平面向量基本定理，得
则①－②得x－y＝3．]
3．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝( )
A．－ B．－1
C． D．－
D [由题意可得＝×)＝＋＝＋)＝＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－－2×＝－．]
4．如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用基底{a，b}表示，则＝________，＝________．
a－b a＋b [法一：设AC，BD交于点O(图略)，则有＝＝＝a，＝＝＝b．所以＝＝＝a－b，
＝＝a＋b．
法二：设＝x，＝y，
则＝＝y，
又
所以
解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？
[提示] 平面内任意不共线的两个向量都可以构成一组基底．
2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
[提示] 由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．
课时分层作业(七) 平面向量基本定理
一、选择题
1．(多选)(2022·广东雷州市白沙中学月考)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A．－＋ B．
C．－ D．＋
AD [＝＝－＋＝＋＝＋)＝＋．故选AD．]
2．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
A [＝＝)
＝)＝(5e1＋3e2)．故选A．]
3．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
B [因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即＝2()，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．故选B．]
4．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形的格点上．若a＝λe1＋μe2，则λ＋μ＝( )
A．－1 B．3
C．1 D．－3
A [根据题中图象可知，a＝－2e1＋e2，所以λ＝－2，μ＝1，即λ＋μ＝－2＋1＝－1，故选A．]
5．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则等于( )
A． B．
C．3 D．
A [由题意可得，＝＝＝＝＋＝＋＝＋，据此可知λ＝，μ＝，则＝．]
二、填空题
6．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基底的线性组合，即e1＋e2＝________．
a－b [由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，
所以e1＋e2＝a－b．]
7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．
2 [∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa，
即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2．
∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
∴∴k＝2．]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
[如图，由题意知，D为AB的中点，＝，
所以＝＝＋
＝＋)＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，
所以λ1＋λ2＝－＋＝．]
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2．
[解] (1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以
解得
所以c＝2a＋b．
10．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于( )
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D．a＋b
D [∵＝λ，
∴＝λ()，
∴(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋＝a＋b．]
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，＝a，＝b，则等于( )
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
D [连接CD，OD(图略)，
∵点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，
∴AC＝BD，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO，
∴四边形ACDO为平行四边形，＝．
∵＝＝a，＝b，
∴＝a＋b．]
12．(多选)(2022·河北保定一中月考)在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，CM与BN交于P点，若＝＋，则( )
A．＝ B．＝2
C．＝3 D．＝
AD [设＝m＝n，由＝＋，可得＝＋＝＋．
因为C，P，M共线，所以＋＝1，解得m＝．
因为N，P，B共线，所以＋＝1，解得n＝．
故＝＝，
即＝＝．故选AD．]
13．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
(－∞，0) [由题意得＝a＋b(a，b∈(0，＋∞)且0
0)．由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．
又由＝x＋y，知0当x＝－时，有0<－＋y<1，解得14．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
[解] (1)由＝＋可知M，B，C三点共线，
如图，令＝λ ＝＝＋λ＝＋λ()＝(1－λ)＋λ λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4．
(2)由＝x＋y ＝x＋＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线
15．(2022·山东枣庄三中月考)如图，在平行四边形ABCD中，E点是AB的中点，F，G点分别是AD，BC的四等分点．设＝a，＝b．
(1)用a，b表示；
(2)如果|b|＝2|a|，EF，EG有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．
[解] (1)由已知，得＝＝a，＝＝b，
所以＝＝b－a，
＝＝b＋a．
(2)·＝·＝b2－a2，
如果|b|＝2|a|，那么·＝0，
即EF⊥EG．
所以EF与EG互相垂直．6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习任务 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(数学运算) 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．(逻辑推理、数学运算)
在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
知识点 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．
(1)数量积的坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2．
(2)向量模的公式：|a|＝．
(3)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
(4)向量的夹角公式：
cos θ＝＝．
(5)向量垂直的充要条件：
若a与b都是非零向量，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
已知向量a＝(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么？
[提示] 设与a共线的单位向量为±a＝±＝±．
1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________．
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝．]
2．已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则|a|＝________，|b|＝________，a，b的夹角θ＝________．
[答案] 2 2 120°
类型1 平面向量数量积的坐标运算
【例1】 (1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________．
(1)B (2) [(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．故选B．
(2)建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为＝2，
所以F．
所以＝(2，1)，
＝－(2，0)＝，
所以·＝(2，1)·
＝2×＋1×2＝．]
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
[跟进训练]
1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．无法确定
(2)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影向量长度为________．
(1)C (2) [(1)以B为原点，以的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．
则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．
所以＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4．
(2)由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影向量长度为＝＝．]
类型2 向量模的坐标表示
【例2】 若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
(2)与a平行的单位向量的坐标；
(3)与a垂直的单位向量的坐标．
[解] (1)∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5．
(2)与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或．
(3)设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，
解得或
∴e＝或e＝．
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝．
[跟进训练]
2．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．
[解] (1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，
|a－2b|＝＝．
(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，
∴|c|＝＝．
类型3 向量的夹角与垂直问题
【例3】 (源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝，求k为何值时：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为钝角．
[解] (1)因为a∥b，
所以3k－1×＝0，解得k＝－．
(2)因为a⊥b，
所以3×＋1×k＝0，解得k＝．
(3)因为＜〈a，b〉＜π，所以cos 〈a，b〉＜0，
则由向量夹角余弦公式可得
3×＋1×k＝－＋k＜0，
解得k＜．
由(1)知，k＝－时，a∥b，即a，b共线，此时〈a，b〉＝π．
所以k＜且k≠－时，a，b的夹角为钝角．
利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
[跟进训练]
3．已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
[解] (1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD．
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝，设点C的坐标为(x，y)，
则由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得
所以点C的坐标为(0，5)，从而＝(－2，4)，＝(－4，2)，
且||＝2，||＝2·＝8＋8＝16．
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为．
1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D [因为a－b＝－＝，
所以＝＝5．
故选D．]
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝．
又0≤θ≤π，∴θ＝．]
3．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________．
4 [a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．]
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n＝________．
± [由题意2a－b＝(3，n)，
∵2a－b与b垂直，
∴3×(－1)＋n2＝0，
∴n2＝3，∴n＝±．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？
[提示] cos θ＝＝．
2．向量a与b的夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？
[提示] (1)当θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角 x1x2＋y1y2<0．
向量的数量积与三角形的面积
在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？
一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为
S＝|x1y2－x2y1|．
事实上，如图所示，记t＝|OA|，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量．
过B作OA的垂线BC．因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知
|BC|＝|a·|，
因此，△OAB的面积为
S＝|AO|×|BC|＝|AO|×|a·|
＝t×
＝|(－y1，x1)·(x2，y2)|
＝|x1y2－x2y1|．
由此也可以看出，如图所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为
S＝|x1y2－x2y1|．
由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？
课时分层作业(十) 平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3
C． D．－
A [a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．]
2．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )
A．4 B．5
C．3 D．4
D [由a∥b得y＋4＝0，
∴y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4，8)，
∴|2a－b|＝4．故选D．]
3．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
B [cos ＝＝＝－，|n|＝1，故选B．]
4．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为( )
A． B．
C． D．
D [向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝－b，其坐标为－(1，)＝．故选D．]
5．(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )
A．|a＋b|＝2
B．a与b垂直
C．a与a－b的夹角为
D．|a－b|＝1
BC [由a＋b＝(1，－1)两边平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，则|a＋b|＝，所以A选项错误；因为a，b是单位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B选项正确；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，所以D选项错误；设a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，θ∈[0，π]，所以a与a－b的夹角为，所以C选项正确．故选BC．]
二、填空题
6．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________．
－ [由题意知，a·b＝m＋3(m＋1)＝0，解得m＝－．]
7．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0，0)，B(1，1)，则·＝________．
1 [如图所示，在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1，0)，＝(1，－1)，从而·＝(1，0)×(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1．]
8．设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝，则m＝________．
－2 [法一：a＋b＝(m＋1，3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．
法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]
三、解答题
9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．
(1)若a∥b，求|a－b|；
(2)若a与b的夹角为锐角，求x的取值范围．
[解] (1)因为a∥b，所以－x－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2．
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
所以a－b＝(－2，0)，则|a－b|＝2．
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
所以a－b＝(2，－4)，则|a－b|＝2．
综上，|a－b|＝2或2．
(2)因为a与b的夹角为锐角，
所以a·b＞0，即2x＋3－x2＞0，解得－1＜x＜3．
又当x＝0时a∥b，故x的取值范围是(－1，0)∪(0，3)．
10．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
A [由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥．所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．]
11．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
C [由已知有c＝(3＋t，4)，cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，故＝，解得t＝5．故选C．]
12．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
C [设点P的坐标为(x，0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
所以·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，·有最小值1．
此时点P的坐标为(3，0)．]
13．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，直线CD⊥AB且CB∥AD，则点D的坐标是________．
(0，1) [根据题意，设D(x，y)，则
＝(x－3，y)，＝(1，3)，
＝(－1，2)，＝(x－1，y＋1)．
因为CD⊥AB，
所以·＝(x－3)×1＋3y＝0．①
因为CB∥AD，所以∥，
则2(x－1)＝(－1)(y＋1)．②
由①②得x＝0，y＝1，
所以点D的坐标为(0，1)．]
14．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈．
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
[解] (1)因为m＝，
n＝(sin x，cos x)，m⊥n．
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1．
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos ＝，
即sin x－cos x＝，所以sin ＝，
因为0所以x－＝，即x＝．
15．(源自北师大版教材)(1)已知定点A和向量，点P是直线AB外的一点，请写出点P到直线AB的距离的向量表示．
(2)已知点A(1，1)，向量m＝(2，1)，过点A作以向量m为方向向量的直线l，求点P(3，5)到直线l的距离．
[解] (1)设n⊥，作向量(如图)．
则·表示向量在向量n上的投影数量，
是点P到直线AB的距离．
(2)设n⊥l，即n⊥m，作向量(如图)．
设n＝(x，y)，由于直线l的方向向量m＝(2，1)，又n⊥m，
则n·m＝(x，y)·(2，1)＝0，
即2x＋y＝0，令x＝1，得y＝－2，n＝(1，－2)．
由于A(1，1)，P(3，5)，于是＝(3，5)－(1，1)＝(2，4)．
由(1)知，点P到直线l的距离d＝＝＝．6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
学习任务 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法．(数学抽象、逻辑推理) 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(数学运算)
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？
知识点1 余弦定理的表示及其推论
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C
推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝
知识点2 解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
1．勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
[提示] 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
2．余弦定理推论的作用是什么？
[提示] 余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)若b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝________；
(2)若a＝1，b＝，c＝，则B＝________．
(1) (2)150° [(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝．
(2)由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝－．又0°类型1 已知两边与一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________．
(1)60 (2)4或5 [(1)由余弦定理，得
a＝＝60(cm)．
(2)由余弦定理，得()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
[跟进训练]
1．在△ABC中，a＝2，c＝，B＝45°，解这个三角形．
[解] 根据余弦定理得
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(2)2＋()2－2×2×()×cos 45°＝8，∴b＝2，
又∵cos A＝
＝＝，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．
类型2 已知三边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．
[解] 根据余弦定理的推论，得cos A＝＝＝．
∵A∈(0，π)，
∴A＝．
cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝，
∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝．
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[跟进训练]
2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cos A＝
＝＝，
∵0°∴A＝45°，
cos B＝
＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
类型3 利用余弦定理判断三角形形状
【例3】 (源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断这个三角形的形状．
[思路导引] a cos A＝b cos B得出a，b，c间的数量关系．
[解] ∵a cos A＝bcos B，
∴由余弦定理可得
a·＝b·，
整理得(c2＋b2－a2)a2＝(a2＋c2－b2)b2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
[跟进训练]
3．在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
[解] 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0．
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A． B．
C． D．5
A [由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝．]
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A． B．
C． D．
B [∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝．
又∵C为锐角，∴C＝．]
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( )
A．60° B．45°
C．120° D．30°
C [∵cos A＝＝－，∴A＝120°．]
4．在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．
等腰三角形 [∵a＝2b cos C＝2b·＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．余弦定理及其推论的内容是什么？
[提示] (1)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．
(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝(已知三边求三角)．
2．解三角形是如何定义的？余弦定理可解哪些三角形？
[提示] 由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形，余弦定理主要解决知道三边求三角，或知道两边及一角求第三边．
3．在△ABC中，若a2[提示] 当a2课时分层作业(十二) 余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
B [cos B＝＝＝．
所以B＝60°，所以A＋C＝120°．]
2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．
A [由余弦定理知()2＝a2＋b2－2abcos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，解得b＝1，故选A．]
3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
D [在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，
a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．]
4．在△ABC中，bcos C＋ccos B＝2b，则＝( )
A． B．
C．－ D．2
B [由余弦定理的推论及bcos C＋ccos B＝2b，
得b·＋c·＝2b．
∴＝2b，
得a＝2b．因此＝．]
5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，且bA．b＝2 B．b＝2
C．B＝60° D．B＝30°
AD [由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 (b－2)(b－4)＝0，由b二、填空题
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________．
[由B＝C，2b＝a，
可得b＝c＝a，
所以cos A＝
＝＝．]
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．
[由题意得，a＋b＝5，ab＝2．
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
所以c＝．]
8．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．
[由余弦定理的推论，可得
cos A＝＝＝，
又0则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝．]
三、解答题
9．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc．
(1)求A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
[解] (1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，
∴cos A＝．∵A∈(0，π)，∴A＝．
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc．①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
∴△ABC为等边三角形．
10．若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
D [设三角形的三边BC，AC，AB分别为a，b，c，依题意得，a＝5，b＝6，c＝7．
∴·＝||·||·cos(π－B)＝－ac·cos B．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B＝(b2－a2－c2)＝(62－52－72)
＝－19，∴·＝－19．]
11．在△ABC中，若内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2 ＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
B [在△ABC中，由已知cos2 ＝，
得＝，所以cos A＝．
根据余弦定理的推论，得＝．
所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2，
因此△ABC是直角三角形．]
12．(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )
A．sin (B＋C)＝sin A
B．cos (B＋C)＝cos A
C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D．若a2＋b2AC [依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；
cos (B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B错误；
因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0因为a2＋b213．已知△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．
(1，)∪(5，7) [①若x>4，则x所对的角为钝角，
∴<0且x<3＋4＝7，∴5②若x<4，则4对的角为钝角，
∴<0且3＋x>4，∴1∴x的取值范围是(1，)∪(5，7)．]
14．(源自苏教版教材)如图，AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM＝．
[证明] 设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α．
在△ABM中，由余弦定理，得
AB2＝AM2＋BM 2－2AM·BM cos α．
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2＝AM2＋MC2－2AM·MC cos (180°－α)．
因为cos (180°－α)＝－cos α，BM＝MC＝BC，
所以AB2＋AC2＝2AM2＋BC 2，
从而AM＝．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[解] (1)由已知得－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin Acos B＝0，
即有sin A sin B－sin A cos B＝0．
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0．
又cos B≠0，所以tan B＝．又0＜B＜π，
所以B＝．
(2)由余弦定理，可知b2＝a2＋c2－2ac cos B．
因为a＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝3＋．
又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即有≤b＜1．第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
学习任务 1．能将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模) 2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(数学运算)
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．
问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？
知识点 基线
(1)定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同． ( )
(2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解． ( )
[答案] (1)√ (2)√
类型1 测量距离问题
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D四点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长．
[解] 因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，
因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，
所以在Rt△BCD中，BC＝100cos 30°＝50(m)．
在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知
＝，因此AC＝m．
在△ABC中，由余弦定理可知
AB2＝＋(50)2－2××50cos 45°＝，从而有AB＝ m．
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
[跟进训练]
1．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m．
60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，
∴河宽BD＝120·sin 30°＝60(m)．]
类型2 测量高度问题
【例2】 如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
[解] 在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，
∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝600(m)．
在△ACD中，因为tan ∠DAC＝＝，
所以CD＝600×＝600(m)．
即电视塔CD的高度为600 m．
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[跟进训练]
2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m．
150 [由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100(m)，所以MN＝AM sin 60°＝100×＝150(m)．]
类型3 角度问题
【例3】 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
[解] 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，
即128t2－60t－27＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，
∴AC＝21海里，BC＝15海里．根据正弦定理，
得sin ∠BAC＝＝，
则cos ∠BAC＝＝．
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，
∴θ＝45°－∠BAC，sin θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝．
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
[跟进训练]
3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，所以渔船甲的速度为＝7 (n mile/h)．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝．
1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
D [如图所示．
]
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
A [∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m)．]
3．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )
A．50 m B．100 m C．50 m D．100 m
A [因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，由正弦定理得＝，所以AC＝DC＝100 m，
在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝50 m．]
4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：
(1)A处与D处之间的距离为________海里；
(2)灯塔C与D处之间的距离为________海里．
(1)24 (2)8 [由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．
由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24海里．
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8海里．
即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为8海里．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
测量距离问题有哪些类型？如何求解？
[提示] 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A，B间不可达也不可视 测得AC＝b，BC＝a，C的大小，则由余弦定理得AB＝
B，C与点A可视但不可达 测得BC＝a，B，C的大小，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝
C，D与点A，B均可视不可达 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
秦九韶的“三斜求积术”
你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即
S＝．
你能证明这个公式吗？
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．
S2＝c2a2sin2B＝(c2a2－c2a2cos2B)，
又因为ca cosB＝，所以
S2＝，
从而可知
S＝．
课时分层作业(十五) 余弦定理、正弦定理应用举例
一、选择题
1．已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10海里 B．海里
C．5海里 D．5海里
D [如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10海里．
由正弦定理，得
＝，
所以BC＝5(海里)．]
2．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．5海里/时 B．5海里/时
C．10海里/时 D．10海里/时
D [如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D．]
3．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)( )
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
B [如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000，
由正弦定理得＝，
则BC＝×sin 15°＝10 500()，因为CD⊥AB，
所以CD＝BC sin 45°＝10 500()×＝10 500(－1)＝7 350，
所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)．
故选B．]
4．(多选)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
ACD [解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长．
对于A, 在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值；
对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；
对于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值；
对于D，如图，过点B作BE⊥CD，连接AE．
由于cos ∠ACB＝，cos ∠BCD＝，cos ∠ACE＝，
所以cos ∠ACE＝cos ∠ACB·cos ∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，
在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值．故选ACD．]
二、填空题
5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．
[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°．
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米)．]
6．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40 n mile/h，1 h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________n mile．
20 [由题意∠BCA＝30°，∠ABC＝180°－45°＝135°，AC＝40×1＝40，
由正弦定理得＝，即
＝，解得AB＝20 n mile．]
三、解答题
7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上．
(1)求此山的高度(单位：km)；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ．
[解] (1)设此山高h(km)，则AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4．
根据正弦定理得＝，即＝，解得h＝2()(km)．
(2)由题意可知，当点C到公路距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，
所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE．
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝＝．
8．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝( )
A．a m B． m C．a m D．a m
A [由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋a sin 15°＝a m，故选A．]
9．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4 dm，AD＝17 dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球．
7 [设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm．
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos 45°，解得x1＝5，x2＝．
∴AC＝17－2x＝7(dm)或－(dm)(舍去)．
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球．]
10．某省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
[解] 方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算AM．由正弦定理得AM＝；
第二步：计算AN．
由正弦定理得AN＝；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝．
方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d．
②第一步：计算BM．
由正弦定理得BM＝；
第二步：计算BN．由正弦定理得BN＝；
第三步：计算MN．由余弦定理得
MN＝． 用向量法研究三角形的性质
三角形“四心”的向量表示
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心．
(2)三角形的垂心：·＝·＝· O是△ABC的垂心．
(3)三角形的内心：a＋b＋c＝0 O是△ABC的内心．
(4)三角形的外心：||＝||＝|| O是△ABC的外心．
【典例】 (1)若三个不共线的向量满足·＝·＝·＝0，则点O为△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
(2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2 ＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1
C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且＝p＋q，则p＝________，q＝________．
(1)A (2)B (3) [(1)由题意知与＋＝(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．
(2)延长PB至D，使得＝2 (图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1．
(3)如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC．
由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝．
·＝||||cos ∠BAC＝．
∵＝p＋q，
∴
∵·＝||·||·cos ∠BAO＝||·||＝2，·＝||·||·cos ∠CAO＝||·||＝，
∴解得p＝，q＝．
]
1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于( )
A． B．6
C．12 D．18
D [如图，过点O作OD⊥AB于点D，
可知AD＝AB＝3，
则·＝()·＝··＝3×6＋0＝18．]
2．用向量方法证明：
(1)三角形的三条高线交于一点．
如图①所示，△ABC中，设BC，CA边上的高AD，BE交于点H，求证：边AB上的高过点H；
(2)三角形的三边的垂直平分线交于一点．
如图②所示，△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为D，E，F，BC和CA边上的垂直平分线交于点O，求证：AB边上的垂直平分线过点O．
[解] (1)在△ABC中，
∵AH⊥BC，BH⊥AC，∴·＝0，·＝0，
∴·()＝0，·()＝0．
∴··＝0，
∴·＝0，∴CH⊥AB，故三角形三条高交于一点．
(2)设＝c，＝a，＝b，
则a＋b＋c＝0，
因为BC和CA边上的垂直平分线交于点O，
所以⊥⊥，所以·＝0，·＝0，
因为＝＝，
所以()·＝0，()·＝0，
所以b2＋c·b＋·b＝0，－a2－c·a＋·a＝0，
两式相加得，(b2－a2)＋c·(b－a)＋·(b＋a)＝0，
因为c＝－(b＋a)，
所以(b2－a2)－(b＋a)·(b－a)＋·(b＋a)＝0，
所以(b2－a2)－(b2－a2)－·c＝0，
所以·c＝0，所以⊥c，所以FO⊥AB，即AB边上的垂直平分线过点O．微专题1 平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有了“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等．
类型1 目标函数法求最值(或范围)
【例1】 (1)已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为( )
A． C．
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．
(1)C (2)4 [(1)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，
cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝，
又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[()2＋2]＝4，
所以0所以a，b的夹角的最小值为．
(2)法一(构造函数法)：由题意得|a|＝1，|b|＝2,
a·b＝sin θ－cos θ＝2sin ，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sin ＝8－8sin ．
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值为4．
法二(几何意义)：由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4．
类型2 坐标法、几何意义法求最值(或范围)
【例2】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
A [法一(坐标法)：
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，
F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．
法二(几何意义法)：
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义，可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，所以·的取值范围是(－2，6)，故选A．]
类型3 基本不等式法求最值(或范围)
【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．
[由题意得＝＝－，所以＝m＋n＝m＋n＝＋n，由P，B，C三点共线，得
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＝
(当且仅当3n2＝4m2，即时取等号)，则＋的最小值为．]
类型4 极化恒等式法求最值(或范围)
【例4】 (1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．
(2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则·的最小值为________．
(1)2 (2)－27 [(1)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则·＝－．因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以·的最大值为2．
(2)由题设，AC＝6，取AC的中点O，连接OA，OC，OP，
则＝＝＝，所以·＝()·()＝－＝－27≥－27．]
微专题强化练(一) 平面向量中的最值与范围问题
一、选择题
1．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是( )
A． B．
C． D．[0，1]
C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1．
则M，C(1，1)．
所以＝＝(1－x，1)，
所以·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋．
因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，
即·的取值范围是．]
2．边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足：＝＋λ(λ∈R)，则·的取值范围是( )
A． B．
C． D．[－2，2]
B [因为点M在△ABC内部(包括边界)，
所以0≤λ≤，
由·＝·()
＝·
＝－2＋＋2λ＝－＋2λ∈．]
3．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)，则＋的最小值为( )
A．10 B．9
C．8 D．4
C [因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m>0，n>0)，所以m＋2n＝1，
所以＋＝(m＋2n)
＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．]
4．已知等边△ABC的边长为2，M为BC的中点，若|－t|≥2，则实数t的取值范围为( )
A．[1，2]
B．[0，2]
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C [以BC中点M为原点，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)．
∵等边△ABC的边长为2，
∴M(0，0)，A(0，)，B(－1，0)．
∴＝(－1，－)，＝(0，－)，
∴－t＝(－1，－t)，
∴|－t|＝≥2，化简得t2－2t≥0，∴t≥2或t≤0．故选C．]
5．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·()的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
B [法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＝2，
则·()＝2·＝2()·()＝2(－)．而＝＝，
当点P与点E重合时，有最小值0，故此时·()取得最小值，最小值为－2＝－2×＝－．
法二：(坐标法)如图②，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·()＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·()取得最小值，最小值为－．故选B．]
二、填空题
6．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
3 [因为共线，设＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2＝2k－k，
又＝λ＋μ，
∴
∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3．]
7．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则||的取值范围是________．
[0，2] [法一：(坐标法)将矩形放在坐标系中，设P(x，y)，
则A(0，0)，B(2，0)，＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，||＝＝2，
转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍．
由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等同时取最大值：＝．
故||的取值范围是[0，2]．
法二：(基向量法)取AB的中点H，易知＝2，∴||＝2||，结合题意可知0≤|PH|≤|CH|＝．故||的取值范围为[0，2]．]
8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB的中点，E，F分别是边BC，AC上的动点，且EF＝1，则·的最小值等于________．
[如图，取EF的中点H，
则·＝－＝－，
因为|CH|＋|DH|≥|CD|，所以
|DH|≥|CD|－|CH|＝－＝2，
所以·＝－≥4－＝．]
三、解答题
9．在平面直角坐标系内，已知A(0，5)，B(－1，3)，C(3，t)．
(1)若t＝1，求证：△ABC为直角三角形；
(2)求实数t的值，使||最小．
[解] (1)证明：当t＝1时，C(3，1)，则＝(－1，－2)，＝(4，－2)，所以·＝(－1)×4＋(－2)×(－2)＝0．
所以⊥，即△ABC为直角三角形．
(2)＝(－1，－2)，＝(3，t－5)，
所以＝(－1，－2)＋(3，t－5)＝(2，t－7)，
所以||＝．
当t＝7时，||有最小值，最小值为2．
10．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角．
[解] (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．
又a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，故|a|＝|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝．
(2)由(1)得a·b＝＝≥×2＝，当且仅当k＝，即k＝1时等号成立．
∴a·b的最小值为．
设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝．第6章 平面向量及其应用 章末综合提升
类型1 平面向量的线性运算
1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题．
2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养．
【例1】 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
(1)A (2) [(1)法一：如图所示，＝＝＋＝×＋)＝－，故选A．
法二：＝＝－＝－×＝－，故选A．
(2)2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．]
类型2 平面向量数量积的运算
1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等．
2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例2】 (1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则( )
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b与a－2b的夹角为
D．向量a在向量b上的投影向量的模为
(2)(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝________．
(1)AC (2)－ [(1)将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝＝，故A正确；
因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；
设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确；
向量a在向量b上的投影向量的模为＝＝，故D错误．
(2)c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－．]
类型3 利用余弦、正弦定理解三角形
1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性．
2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养．
【例3】 (2022·湖南长郡中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足4sin B cos C＝2a－c．
(1)求角B；
(2)若AC边上的中线长为，求△ABC的面积．
[解] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，
则a＝2sin A，c＝2sin C，
又4sin B cos C＝2a－c，
则2sin B cos C＝2sin A－sin C，
则2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C，
又sin C＞0，即cos B＝，
又0＜B＜π，则B＝．
(2)由题意可得b＝2sin B＝2×＝3，
又AC边上的中线长为，
则||＝5，
即c2＋a2＋2×ac×＝25，
即a2＋c2＋ac＝25，①
又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×＝9，
即a2＋c2－ac＝9，②
由①②可得ac＝8，
即△ABC的面积为ac sin B＝×8×＝2．
类型4 余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验．
2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养．
【例4】 甲船在静水中的速度为40海里/时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60°方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东30°方向．
(1)假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离；
(2)若水流的速度为10海里/时，方向向正东方向，甲船保持40海里/时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
[解] (1)两船的位置图如下：
由图可得，∠PAB＝120°，∠APB＝30°，所以AB＝AP＝40×0.5＝20，所以由余弦定理可得PB＝
＝＝20，
所以点B与点P之间的距离为20海里．
(2)如图，的方向为水流的方向，的方向为船头的方向，的方向为实际行进的方向，其中BD＝4BC，∠CBP＝∠BPD＝60°．
在△BPD中，由正弦定理可得＝，
所以sin ∠PBD＝sin ∠BPD＝×＝．
即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为．
章末综合测评(一) 平面向量及其应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·广东执信中学月考)下列说法正确的是( )
A．单位向量都相等
B．任意向量的模都是正数
C．若四边形ABCD为平行四边形，则＝
D．＝0
C [对于C， ABCD中，AB＝DC，且向量与同向，则＝，C正确．故选C．]
2．(2022·哈尔滨工业大学附中期中)向量b＝在向量a＝上的投影向量为( )
A． B．
C． D．
D [根据题意可得：a·b＝－1＋2＝1，＝，
向量b＝在向量a＝上的投影向量为×＝＝．故选D．]
3．已知△ABC的其中两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为，则△ABC的外接圆的半径为( )
A． B． C． D．8
C [由题意知，边长分别为2，3的两边的夹角的正弦值为＝．又由余弦定理可得第三边的长为＝3，所以由正弦定理知，△ABC的外接圆的直径为＝，所以其半径为．故选C．]
4．(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－
C． D．
D [由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝，故选D．]
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin (B＋C)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
B [由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则sin (B＋C)＝sin A＝．]
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为( )
A．18 B．16
C．20 D．15
A [在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，所以bc×＝3，即bc＝24．由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×＝b2＋c2＋bc，联立得则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A．]
7．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
C [由·＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设的夹角为θ，
而·＝cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝，∠BAC＝π－＝π，故△ABC为等腰三角形．]
8．如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为( )
A．4 B．4
C．8 D．4
D [因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，
所以cos ∠ADC＝＝，
因此cos ∠ADB＝－，
所以sin ∠ADB＝，
又B＝45°，DA＝7，
由正弦定理，可得＝，
所以AB＝＝＝4．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是( )
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
ACD [|a·b|＝|a|·|b|·|cos 〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|＞||a|－|b||，故B错误．故选ACD．]
10．(2022·辽宁沈阳二中期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A．若A>B，则sin A>sin B
B．若sin2A＋sin2BC．若a cosA＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
D．若a＝8，c＝10，A＝60°，则符合条件的△ABC有两个
AB [对A选项，根据结论大角对大边，则有a>b，又因为正弦定理＝，
所以sin A>sin B，故A正确；
对B选项，由sin2A＋sin2B∴cosC<0，△ABC为钝角三角形，故B正确；
对C选项，由a cos A＝b cos B可得sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或2A＋2B＝π，∴△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对D选项，由正弦定理得sin C＝＝>1，故不存在满足条件的△ABC，故D错误．故选AB．]
11．(2022·山西晋城一中月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝a cos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有( )
A．A＝
B．A＝
C．·＝6
D．△ABC的面积为3
ACD [根据正弦定理，由
cos A＝a cos C 2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C 2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，因此2cos A＝1 cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，因此选项A正确，选项B错误；
因为AD是中线，所以由＝＝＋＋2· 36＝c2＋12＋2×2×c c＝2，或c＝－4舍去，因此·＝2×2×＝6，所以选项C正确；
△ABC的面积为bc sin A＝×2×2×＝3，所以选项D正确．故选ACD．]
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是( )
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2，则点M在线段BC的延长线上
C．若＝－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
ACD [A项，＝＋ －＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B项，＝2 ＝，即＝，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误；
C项，如图，设BC的中点为D，
则＝－＝＝2，由重心性质可知C成立；
D项，＝x＋y，
且x＋y＝ 2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设＝2，
所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，
可知B，C，D三点共线，
所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．
[由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝．]
14．(2022·浙江高考) 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________．
[法一：S＝＝＝．
法二：cos A＝＝＝，sin A＝，
S＝×2×＝．]
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝________，角C的最大值为________．
2 [∵2sinAsin Bcos C＝sin2C，
∴2ab cosC＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，
∴cos C＝＝≥，
∵0即角C的最大值为．]
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()·的最小值是________．
－ [因为点O是AB的中点，
所以＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以()·＝2·＝－2x(1－x)
＝2－．
所以当x＝时，()·取到最小值－．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
[解] (1)因为＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＝(3，3＋m＋n)，
因为∥，设＝λ，
即解得n＝－3．
(2)因为＝＝(2，3＋m)，
＝＝(4，m－3)，
又⊥，所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，
解得m＝±1．
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)·(a－c)＝b(b＋c)．
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且________，求线段AD的长．
①AD是△ABC的中线；②AD是△ABC的角平分线；③BD＝2CD．
注：若选择多个条件解答，则按第一个计分．
[解] (1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，得b2＋c2－a2＝－bc，
即cos A＝＝－，
因为0(2)选①，由b＝3，c＝4，A＝，
则||2＝＝||2＋||2＋·＝c2＋b2＋bc·cos A＝4＋＋6×＝，所以AD＝．
选②，因为S△ABC＝S△ADC＋S△ABD，b＝3，c＝4，A＝，
所以bc sin A＝b·AD sin ＋c·AD sin ，
即×3×4·sin＝×3AD·sin＋×4AD·sin，解得AD＝．
选③，依题意，得＝＋)＝＋，由b＝3，c＝4，A＝，
则||2＝＝||2＋||2＋·＝c2＋b2＋bc·cos A＝＋4＋×＝．
故AD＝．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，
cos C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此，S△ABC＝ab sinC＝×4×5×＝．
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝<0，
解得－1由三角形的三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，
∵a∈Z，故a＝2．
20．(本小题满分12分)(2022·南京师大附中月考)如图，在△OAB中，P为边AB上的一点，＝2，||＝6，||＝2，且与的夹角为60°．
(1)求的模长；
(2)求·的值．
[解] (1)因为＝2，
所以＝＝＋＝＋)＝＋，
因为||＝6，||＝2，与的夹角为60°，
所以＝＝＝×36＋×6×2×＋×4＝，所以||＝．
(2)·＝·()＝＋·＋＝－×36＋×6×2×＋×4＝－．
21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
(1)求sin B sin C；
(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解] (1)由题设得ac sin B＝，
即c sin B＝．
由正弦定理得sin C sin B＝．
故sin B sin C＝．
(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－，
即cos (B＋C)＝－，
所以B＋C＝，故A＝．
法一：由题设得bc sin A＝，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝．
故△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋．
法二：因为a＝3，所以2R＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，
所以sin B sin C＝·＝＝＝，则bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－2bc·cos ＝9，
即b2＋c2－bc＝9，
所以(b＋c)2－3bc＝9，
所以(b＋c)2＝9＋3bc＝9＋3×8＝33，故b＋c＝．
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋．
22．(本小题满分12分)目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图①，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50 m，该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
(1)求出山高BE(结果保留一位小数)；
(2)如图②，当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD＝x m，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？
参考数据：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°≈0.8．
[解] (1)由题知∠ACB＝8°，∠BAC＝45°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以BC≈＝250，
在Rt△BDC中，sin ∠BCD＝，
即sin 37°＝，所以BD≈250×0.6＝150，
所以山高BE＝BD＋DE≈150＋1.5＝151.5 m．
(2)由题知∠AMD＝β，∠BMD＝α，
则在Rt△BMD中，tan α＝＝，
在Rt△AMD中，tan β＝＝，
由题知∠AMB＝β－α，
则tan ∠AMB＝tan (β－α)＝
＝＝＝≤＝＝，
当且仅当x＝，即x＝100m时，tan ∠AMB取得最大值，即视角最大．