7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
学习任务 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(逻辑推理) 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(数学抽象) 3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件．(数学运算)
小学的时候我们先学了自然数；为了衡量一个苹果分给几个小朋友的问题，引入了分数；慢慢又引入了负数；紧接着为了衡量边长为1的正方形的对角线的长度，引入了无理数；一步步地将数系扩充到实数系……
知识点1 复数的概念及其表示
1．复数与复数集
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1．
1．如何理解虚数单位i
[提示] ①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
知识点2 复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
知识点3 复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．
2．复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？
[提示] 不对．由复数实部和虚部的概念可知，复数m＋ni，只有m，n∈R时，m才是m＋ni的实部，此时复数m＋ni的虚部是实数n，而不是ni．
a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ( )
(2)复数z＝bi是纯虚数． ( )
(3)实数集与复数集的交集是实数集． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＝________；y＝________．
[答案] 0 5
类型1 复数的概念
【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]
判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系．
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同．
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
[跟进训练]
1．下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
C [选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]
类型2 复数的分类
【例2】 当实数x取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)当x满足
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
[跟进训练]
2．(1)若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D．1或－1
(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
(1)D (2)B [若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a2－1＝0，所以a＝±1．故选D．
(2)根据复数的分类知，需满足
解得所以a＝2．]
类型3 复数相等的充要条件
【例3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
[解] (1)由复数相等的充要条件，得
解得
(2)设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且－＋3m＝0，所以m＝．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
[跟进训练]
3．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，
即m＝－＋i．
1．在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [i，(1－)i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数．故纯虚数的个数为2．]
2．复数z＝－i的实部和虚部分别是( )
A．－，－ B．，－
C．， D．－，
B [复数z＝－i的实部为，虚部为－．
故选B．]
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝________．
2 [∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴
∴∴x＋y＝2．]
4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________．
0，1＋i，πi，＋2i，i，i．
1＋i，πi，＋2i，i，i πi，i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？
[提示] 当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．
2．两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
3．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0．
课时分层作业(十六) 数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，
所以a＋b＝4．]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为 ( )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B [由题意知解得m＝3，故选B．]
3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”；“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
4．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
A [－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i．]
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．纯虚数的平方不小于0
B．i是一个无理数
C．1－ai(a∈R)是一个复数
D．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等
CD [纯虚数的平方，如i2＝－1＜0，故A错；∈R，故i是纯虚数，故B错；C正确；D中两个复数的虚部不相等，故两个复数不可能相等，D正确，故选CD．]
二、填空题
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．
－2 [由题意知，
∴m＝－2．]
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________．
2 ±2 [由复数相等的充要条件有
]
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
三、解答题
9．当实数m取何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
10．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B [由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]
11．集合M＝{4，5，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9，3}，且M∩N≠ ，则实数m的值为( )
A．－3 B．3 C．3或－3 D．－1
B [因为M∩N≠ ，所以M中的－3m＋(m－3)i必须为实数，
所以m＝3，此时实部恰为－9，满足题意．
故选B．]
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0．
所以
解得
所以z＝3－i．]
13．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________．
2 [因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．
则 m＝2．
所以m＝2时，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0．]
14．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，求tan的值．
[解] ∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，又cos2θ＋sin2θ＝1，
∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－，
∴tan ＝＝＝－7．
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
[解] (1)∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2．
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2．
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6]．7.1.2 复数的几何意义
学习 任务 1．掌握用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(数学抽象) 2．掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念．(数学抽象) 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(逻辑推理)
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示，复数作为数系的扩充，能不能进行几何表示呢？让我们来一起探究吧！
知识点1 复数的几何意义
1．复平面
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴：坐标系中的x轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴：坐标系中的y轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
1．实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示] 不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2．复数的几何意义
(1)复数集C中的数与复平面内的点一一对应：
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应：
复数z＝a＋bi平面向量．
知识点2 复数的模
1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|．
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝．
知识点3 共轭复数
1．定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi．
2．共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？
[提示] 它们所对应的点关于实轴对称．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)原点是实轴和虚轴的交点． ( )
(2)若＝(0，－3)，则对应的复数为－3i． ( )
(3)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第四象限． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
[∵z＝1＋2i，
∴|z|＝＝．]
3．复数z＝－3－2i的共轭复数＝________．
[答案] －3＋2i
类型1 复数与复平面内的点的关系
【例1】 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则
解得a＜－3．
(2)点Z在x轴上方，
则
解得a＞5或a＜－3．
即当a＞5或a＜－3时，点Z在复平面内的x轴上方．
[母题探究]
1．本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
[解] 点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
[解] 因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±．
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
[跟进训练]
1．(1)已知a∈R，则复数(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i对应的点在复平面内的第________象限．
(2)已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为________．
(1)四 (2)(1，2) [(1)因为a2＋a＋1＝＋>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0，
故复数对应的点在第四象限．
(2)因为复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，
所以所以所以1
所以所求实数x的取值范围是(1，2)．]
类型2 复数与复平面内向量的对应
【例2】 在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点．
(1)求向量和对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数．
[解] (1)由已知得所对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，则＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
因此＝(1，1)，＝＝(1，－4)，
故对应的复数为1＋i，
对应的复数为1－4i．
(2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(0，－3)，(2，0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，
若设D(x0，y0)，
则有解得
故D(3，7)．
即顶点D对应的复数为3＋7i．
法二：由已知得＝(1，4)，＝(0，－3)，＝(2，0)，
所以＝(1，7)，＝(2，3)，
由平行四边形的性质得＝＝(3，10)，
所以＝＝(3，7)，于是D(3，7)．
即顶点D对应的复数为3＋7i．
解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[跟进训练]
2．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
[解] 如图(1)，点A，B，C，D，E分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
如图(2)，向量分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．
类型3 复数的模及其应用
【例3】 已知复数z1＝－i，z2＝－＋i．
(1)求||，||的模并比较大小；
(2)设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示．
[解] (1)||＝|＋i|＝＝2，
||＝＝＝1．
所以||＞||．
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．
不等式1≤|z|≤2等价于不等式组
因为满足|z|≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部(包括边界)，
而满足|z|≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部(包括边界)，
所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环(包括边界)，如图中阴影部分所示．
1．复数的模的计算
计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
2．复数模的几何意义
(1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；
(2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决．
[跟进训练]
3．(1)(2022·广西桂林期末)满足1≤≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为( )
A．π B．2π
C．8π D．9π
(2)若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则z的共轭复数＝________．
(1)C (2)－15－8i [(1)满足1≤≤3的复数z在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为π×32－π×12＝8π．
故选C．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得
∴z＝－15＋8i, z的共轭复数＝－15－8i．]
1．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是( )
A．(3，－5) B．(3，5)
C．(3，－5i) D．(3，5i)
A [复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是(3，－5)．]
2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，2) B．(－2，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
B [∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，
解得－2则实数m的取值范围是(－2，1)．]
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．2＋i
C．1－2i D．－1＋2i
C [由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量对应的复数为1－2i．]
4．向量a＝(3，4)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数＝________，||＝________．
[答案] 3－4i 5
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数与复平面内的点、复平面内的向量有什么关系？
[提示] 复数与复平面上点、与复平面上以原点为始点的向量是一一对应关系．
即：
2．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|等于多少？其几何意义是什么？
[提示] |z|＝，其表示复平面内的点(x，y)到原点(0，0)的距离．
3． 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数如何表示？
[提示] ＝a－bi(a，b∈R)．
课时分层作业(十七) 复数的几何意义
一、选择题
1．若＝(0，－3)，则对应的复数( )
A．等于0
B．等于－3
C．在虚轴上
D．既不在实轴上，也不在虚轴上
C [向量对应的复数为－3i，在虚轴上．]
2．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [复数z的共轭复数＝－2－i，在复平面内对应的点为(－2，－1)，位于第三象限．]
3．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B．
C． D．2
B [因为x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，
所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B．]
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合表示的图形是( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
A [∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，
∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆．]
5．(多选)(2022·山东威海一中月考)已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为，则( )
A．m＝－4
B．＝2
C．＝－4－3i
D．复数的虚部为－3i
AC [由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝＋i，
对于A：因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；
对于B：＝1，故B错误；
对于C：＝－4－3i，故C正确；
对于D：复数的虚部为－3，故D错误．
故选AC．]
二、填空题
6．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i(a，b∈R)互为共轭复数，则a＝__________，b＝________．
2 4 [因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4．]
7．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
(3，＋∞) [∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x>3．]
8．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________．
±i [因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝．
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i．]
三、解答题
9．(源自北师大版教材)在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数：
(1)z1＝3－2i；(2)z2＝－1＋i．
[解] 在复平面作图如图．
(1)|z1|＝|3－2i|＝＝＝3＋2i；
(2)|z2|＝|－1＋i|＝＝2，＝－1－i．
10．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [因为0，m－1<0，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限．]
11．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( )
A．2 B．－2i
C．－3i D．3＋i
B [复数3－i对应的向量的坐标为(3，－)，按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i．]
12．(多选)(2022·湖北宜昌市一中月考)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足，下列结论正确的是( )
A．P0点的坐标为()
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．满足＝的复数z对应的点z有2个
ACD [A．因为复数z0＝1＋2i，由复数的几何意义知，P0点的坐标为()，故正确；
B．复数z0的共轭复数是＝1－2i，其对应的点与点P0关于实轴对称，故错误；
C．设z＝x＋yi，x，y∈R，因为，所以＝，化简得y＝x，故正确；
D．因为点P0到直线y＝x距离的最小值为d＝＝，所以满足＝的z有2个，故正确．故选ACD．]
13．已知0(1，) [因为0所以|z|＝∈(1，)．]
14．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时：
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|＜．
[解] (1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，
则 (k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(2)由|z2|＜，得＜，
即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ＜，
所以kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．
15．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i．
(1)当x为何值时，复数z的模最小；
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．
[解] (1)|z|＝＝≥2，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2．
(2)当复数z的模最小时，Z(－2，2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2．
又mn＞0，所以＋＝＝＋＋≥，当且仅当n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2，所以m＝2－，n＝2－2．
所以＋的最小值为，此时m＝2－，n＝2－2.7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
学习任务 1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(数学抽象、数学运算) 2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(直观想象)
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即a，b，c∈R时，必定有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？
知识点1 复数的加、减运算
1．复数加法、减法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有：
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
2．复数加法的运算律
设z1，z2，z3∈C，则有：
交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．两个实数之和仍是一个实数，两个复数之和仍是一个复数，那么两个虚数之和仍是一个虚数吗？
[提示] 不一定，如i＋(－i)＝0．
2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2
[提示] 不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
知识点2 复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
3．类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示] |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
1－i [＝＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．]
类型1 复数代数形式的加、减运算
【例1】 (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．
(1)－2－i (2) [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝．]
复数加减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算，若有括号，先计算括号里面的；若没有括号，可以从左到右依次进行．
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时，可以利用运算律简化运算，注意正负号法则与实数相同，不能弄错．
[跟进训练]
1．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．]
类型2 复数代数形式加、减运算的几何意义
【例2】 (1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝．则|z1－z2|＝________．
(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求：
①所表示的复数，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③对角线所表示的复数及的长度．
(1) [由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝．]
(2)[解] ①＝－，∴所表示的复数为－3－2i．
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i．
②∵＝，
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
③对角线＝，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, ||＝＝．
利用复数加、减运算的几何意义解题的技巧
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
[跟进训练]
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
[解] 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)．
＝＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－3)．
∵＝，∴
解得故点D对应的复数为2－i．
类型3 复数模的最值问题
【例3】 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B．
C．2 D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．]
(2)[解] 如图所示，设＝－－i，
则||＝＝2．
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1．
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
[跟进训练]
3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解] 因为|z|＝1且z∈C，作图如图，
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1．
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．]
3．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( )
A． B．2
C． D．4
B [由复数减法运算的几何意义知，对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，所以||＝2．]
4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
1 [由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离．
∴|z－1|min＝1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何理解复数的加减法？
[提示] 由于复数具有数与形的多重性，因此复数加减法也应从数与形等方面领会，即从代数形式上领会，复数加减法类似于多项式合并同类项；从几何形式上，复数加减法等同于向量加减法运算．
2．|z－z0|的几何意义是什么？|z－z1|＝3表示的轨迹是什么？
[提示] |z－z0|表示z和z0所对应的点的距离．当|z－z1|＝3时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为3的圆．
课时分层作业(十八) 复数的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故选A．]
2．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
A B C D
A [由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A．]
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
A [由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故解得a＝－3，b＝－4．]
4．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A． B．5
C．2 D．10
B [依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5．]
5．(多选)表示( )
A．点()与点()之间的距离
B．点()与点之间的距离
C．点()到原点的距离
D．坐标为()的向量的模
ACD [由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点()与点()，所以表示点()与点()之间的距离，故A说法正确，B说法错误；＝，可表示点到原点的距离，故C说法正确；＝＝|－2－i|，|－2－i|可表示点(－2，－1)到原点的距离，即坐标为()的向量的模，故D说法正确．故选ACD．]
二、填空题
6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝________．
4－3i [z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i．]
7．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量＝________，则对应的复数为________，A，B两点间的距离为________．
2 －8－2i 2 [向量对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．
∵＝，
∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2．]
8．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．
±2－2i [因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，
所以z＝±2－2i．]
三、解答题
9．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
[解] 由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i．
(1)若复数z1－z2＋z3是实数，
则a＋4＝0，即a＝－4．
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则解得a＝1．
10．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
C [由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得得a＝－2．]
11．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
B [根据复数加(减)法的几何意义，可知以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．]
12．(多选)设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．z＋∈R
B．z－是纯虚数
C．若z＝cos ＋isin ，则|z|＝1
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
AD [因为复数z与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A正确；
当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B错误；若z＝cos ＋isin ，
则|z|＝≠1，C错误；
若|z－i|＝1，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x2＋(y－1)2＝1，则|z|表示满足方程x2＋(y－1)2＝1的圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确．]
13．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f (z1＋z2)＝________．
3＋3 [z1＋z2＝3＋3i，故f (z1＋z2)＝f (3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3．]
14．在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝3，求|z1＋z2|．
[解] 设对应的复数为z1，对应的复数为z2，
则对应的复数为z1＋z2，对应的复数为z1－z2，因为|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝3，
所以△AOB为等腰直角三角形，且||＝3．
作正方形AOBC，如图所示，
则＝对应的复数为z1＋z2，
故|z1＋z2|＝||＝||＝3．
15．在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
[解] (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i．
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝×2＝2．7.2.2 复数的乘、除运算
学习任务 1．掌握复数的乘法和除法运算．(数学运算) 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(逻辑推理) 3．掌握在复数范围内解方程的方法．(数学运算)
怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定内容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
知识点1 复数的乘法
1．复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点2 复数的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
(2)|z|2＝z2，正确吗？
[提示] (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
(1)＝________；
(2)＝________；
(3)＝________．
[答案] (1)－i (2)i (3)－i
类型1 复数代数形式的乘法运算
【例1】 (源自湘教版教材)计算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；
(2)(1＋i)2；
(3)(1－i)2；
(4)(1＋i)1 000．
[解] (1)(1＋2i)(4－3i)
＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)
＝4－3i＋8i－6i2
＝4－3i＋8i－6×(－1)
＝10＋5i．
(2)(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．
(3)(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．
(4)由(2)得，(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500
＝(2i)500
＝2500·i500
＝2500·1
＝2500．
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝________；
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
(1)B (2)①13 ②5－25i [(1)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
所以解得a<－1，故选B．
(2)①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．
②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)
＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．]
类型2 复数代数形式的除法运算
【例2】 (源自北师大版教材)计算：
(1)；(2)；(3)．
[解] (1)＝＝；
(2)＝＝＝－＋i；
(3)＝＝＝i6＝－1．
1．根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
2．设z1，z2都是复数，则|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(z2≠0)．
[跟进训练]
2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝( )
A．－1＋i B．－1－i
C．－＋i D．－－i
(2)(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为－1
B．|z|＝
C．z2为纯虚数
D．z的共轭复数为－1－i
(1)C (2)ABC [(1)∵z＝－1＋i，
∴z·＝|z|2＝()2＝4，
则＝＝－＋i．故选C．
(2)z＝＝＝＝1－i，
对于A，z的虚部为－1，正确；
对于B，模长|z|＝，正确；
对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；
对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．]
类型3 在复数范围内解方程
【例3】 在复数范围内解下列方程．
(1)x2＋5＝0；
(2)x2＋4x＋6＝0．
[解] (1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为(i)2＝(－i)2＝－5，
所以x＝±i，
所以方程x2＋5＝0的根为±i．
(2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，
所以(x＋2)2＝－2，
因为(i)2＝(－i)2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝±．
所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i．
在复数范围内解方程的方法
(1)当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在复数范围内总是有解的，而且
①当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根．
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
[跟进训练]
3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
[解] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立．
∴1－i是方程的根．
1．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5 B．
C．3 D．
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5．]
2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是( )
A． B．－
C．i D．－i
A [因为＝＝＋i，
所以的实部与虚部之积是．]
3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i，故复数对应的点在第二象限．]
4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，则该方程在复数范围内解为________．
1±2i [Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，
所以方程的根为x＝＝1±2i．
即方程的两根分别为1＋2i和1－2i．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？
[提示] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以|z|＝，||＝＝，
z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，
所以|z|2＝||2＝z·．
2．复数除法的实质是怎样的？
[提示] 复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
3． 实系数一元二次方程的虚根有何特点？
[提示] 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．
利用复数产生分形图
以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f (z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时
f (i)＝i2＝－1，f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i．
给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f (zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，…．
如果存在一个正数M，使得|zn|＜M对任意n∈N都成立，则称z0为f(z)的收敛点；否则，称z0为f (z)的发散点．f (z)的所有收敛点组成的集合称为f(z)的充满茹利亚集．
例如，当f(z)＝z2时，如果z0＝i，则得到的一列值是
i，－1，1，1，…，1，…；
如果z0＝1＋i，则算出的一列值是
1＋i，2i，－4，…，，…．
显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合)．
让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．
课时分层作业(十九) 复数的乘、除运算
一、选择题
1．(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
B [a＋3i＝bi－1，∴a＝－1，b＝3，故选B．]
2．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
D [(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故选D．]
3．复数z满足z2＋1＝0，则z3＝( )
A．1 B．±1
C．i D．±i
D [因为z2＋1＝0，所以z2＝－1，则z＝±i．
当z＝i时，z3＝i3＝－i．
当z＝－i时，z3＝(－i)3＝i．所以z3＝±i．]
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A． B．1
C． D．2
B [∵＋＝＋＝＋i，
又∵∈R，∴＝0，解得a＝1．]
5．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2
C． D．
BC [计算得AD为实数，BC为纯虚数．]
二、填空题
6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________．
[因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为
x＝＝．]
7．若复数z满足方程i＝1－i，则z＝________．
－1＋i [由题意可得＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i．]
8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b＝________．
[因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b＝．]
三、解答题
9．已知复数z＝．
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
[解] (1)z＝＝＝＝1＋i．
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
10．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
D [因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i．由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0．]
11．(多选)已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是( )
A．若<0，则z1是纯虚数
B．若|z1|＝|z2|，则＝
C．若z1＝，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若>0，则
AC [对于A，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a2－b2＋2abi<0，则ab＝0且a2－b2<0，所以a＝0，b≠0，所以z1是纯虚数，故A正确；
对于B，若z1＝1，z2＝i，此时|z1|＝|z2|＝1，但＝＝－1，故B错误；
对于C，若z2＝a＋bi(a，b∈R)，在复平面对应的点为(a，b)，则z1＝＝a－bi(a，b∈R)，在复平面对应的点为(a，－b)，所以z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
对于D，若z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则＝＝－3＋4i，此时>0，但的大小无法比较，故D错误．故选AC．]
12．复数z同时满足①|z－2i|＝|z－2|；②|z|2＝2，则z＝________．
±(1＋i) [设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到＝，两边平方化简可得a＝b，故|z|2＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±(1＋i)．]
13．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________．
2＋3i 13 [设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．]
14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|．
[解] (1)＝＝＝＝－1＋5i．
(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i．
因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，所以b＝1，
所以z＝1＋i，所以|z|＝．
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2．
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明：u为纯虚数．
[解] (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0．
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i．
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，即|z|＝1．
此时ω＝2x．
因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，从而有－＜x＜1，即z的实部的取值范围是．
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
所以u＝＝
＝
＝＝－i．
因为x∈，y≠0，所以≠0，
所以u为纯虚数．7.3* 复数的三角表示
学习任务 1．了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．(数学抽象、逻辑推理) 2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．(数学抽象、直观想象)
设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z，记r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系．
知识点1 复数的三角表示式
1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
1．任何一个不为零的复数的辐角有多少个值？辐角的主值有多少个值？
[提示] 辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内．
2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π．
知识点2 复数三角形式乘法法则与几何意义
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
2．复数乘法的几何意义是什么？
[提示] 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量表示的复数就是积z1z2．
知识点3 复数三角形式除法法则与几何意义
已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则＝＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
3．复数除法的几何意义是什么？
[提示] 两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是商．
将下列复数表示为三角形式：
(1)－5i＝________；
(2) 2－2i＝________．
[答案] (1)5
(2)2
类型1 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 把下列复数表示成三角形式：
(1)1；(2)－i；(3)－2．
[解] (1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，
所以arg 1＝0，所以1＝cos 0＋isin 0．
(2)r＝2，对应的点在第四象限，且cos θ＝，所以取θ＝－，
所以－i＝2．
(3)－2＝－i，r＝2，
对应的点在第二象限，且cos θ＝－，
所以取θ＝．
所以－2＝2．
将复数代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限．
(3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
提醒：复数三角形式的四个要求：模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可．任何一个不满足，就不是三角形式．
[跟进训练]
1．下列复数是复数三角形式表示的是( )
A．
B．－
C．
D．cos π＋isin π
D [选项A，cos 与isin 之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－<0不符合r≥0要求；选项C，是cos π与isin π用“＋”连接，而不是sin ＋icos π的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D．]
类型2 复数三角形式的乘、除运算
【例2】 (源自苏教版教材)计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)2×3；
(2)÷
[解] (1)原式＝6
＝6＝6＝3＋3i．
(2)原式＝
＝＝＝＋i．
1．乘法法则：模相乘，辐角相加．
2．除法法则：模相除，辐角相减．
3．复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
[跟进训练]
2．计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1)；
(2)(cos 75°＋isin 75°)×；
(3)÷．
[解] (1)
＝()2＝2
＝－1＋i．
(2)因为－i＝
＝，
所以(cos 75°＋isin 75°)×
＝×
＝×
＝cos π＋isin π＝cos ＋isin
＝＋i．
(3)因为－＋i＝cos π＋isin π，
所以÷
＝÷
＝
＝＝＋i．
类型3 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例3】 在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
[解] 因为3－i＝2
＝2，
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i．
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i．
利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要注意点Z所对应的复数就是向量对应的复数，常常转化为＝．而求解向量所对应的复数时，要注意它与已知(或可求)向量对应的复数之间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确利用复数乘除法的几何意义求解．
[跟进训练]
3．(1)设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
(2)(多选)在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是( )
A．＋i B．＋i
C．＋i D．＋i
(1)C (2)CD [(1)由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝．故选C．
(2)因为对应的复数为(3＋2i)－(2＋i)＝1＋i，则对应的复数为(1＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝＋i或(1＋i)[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝＋i，所以＝对应的复数为2＋i＋＋i或者2＋i＋＋i，
即＋i或＋i．故选CD．]
1．复数－3i的辐角主值为( )
A．－ B．
C．－＋2kπ(k∈Z) D．＋2kπ(k∈Z)
B [与－3i对应的点在负虚轴上，所以arg(－3i)＝π．故选B．]
2．复数z＝1＋i(i为虚数单位)的三角形式为( )
A．z＝(sin 45°＋icos 45°)
B．z＝(cos 45°＋isin 45°)
C．z＝[cos (－45°)－isin(－45°)]
D．z＝[cos (－45°)＋isin(－45°)]
B [依题意得r＝＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确．故选B．]
3．在复平面中，把复数z＝＋2i对应的向量按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为( )
A．＋i B．＋i
C．1＋＋(1＋)i D．1－＋(1＋)i
D [依题意，旋转后的向量对应的复数为(＋2i)·(cos 45°＋isin 45°)＝1－＋(1＋)i．故选D．]
4．计算÷2＝________．
i [原式＝＝＝i．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．复数三角形式中的辐角和辐角主值有什么区别与联系？
[提示]
区别 辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个
联系 θ＝2kπ＋arg z，k∈Z
2．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)时，要注意什么？
[提示] 将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)时，要注意：
(1)r＝．
(2)cos θ＝，sin θ＝，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．若tan θ＝(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b>0时，arg z＝．
3．用复数的三角形式乘除法的几何意义解题时关键把握哪些量的变化？
[提示] 运用复数乘除法的几何意义解题，关键要明确模与辐角的变化，抓住向量与复数间的对应关系．
课时分层作业(二十) 复数的三角表示
一、选择题
1．(多选)复数z＝i的三角形式可以是( )
A．2
B．2
C．2
D．2
CD [∵r＝＝2，
cos θ＝，sin θ＝－，
∴θ可取或－．]
2．复数z＝的代数形式为( )
A．1－i B．1＋i
C．1 D．i
B [z＝
＝[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)]
＝(cos 45°＋isin 45°)＝1＋i．故选B．]
3．复数z＝，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为( )
A． B．i
C．1 D．i
A [z＝＝1－i，
又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转，
∴旋转后的向量对应复数(1－i)
＝(1－i)＝．]
4．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
D [sin 50°－isin 140°
＝cos (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)
＝cos 320°＋isin 320°．]
5．(多选)已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是( )
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
AD [因为(－1－i)z＝2z
＝2z，z
＝z
＝z．故选AD．]
二、填空题
6．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________．
1＋i [由题意知，z＝2＝1＋i．]
7．arg＝________．
[复数z＝－－i对应的点位于第三象限，且cos θ＝－，所以arg＝．]
8．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．
[∵(1＋i)z＝i，
∴z＝＝＝(1＋i)
＝．]
三、解答题
9．设复数z＝(1－i)5，求z的模和辐角的主值．
[解] ∵z＝(1－i)5＝25
＝32＝32
＝32，
∴复数z的模为32，辐角的主值为．
10．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，
所以所以a＝－1，故选B．]
11．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．]
12．(多选)下列各角可以作为复数3－3i的辐角的是( )
A．－ B．
C．－ D．
AB [依题意得，r＝＝6，
cos θ＝＝，复数3－3i对应的点在第四象限，所以arg(3－3i)＝，
所以2kπ＋(k∈Z)都可以作为复数3－3i的辐角．故选AB．]
13．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan (α＋β)＝________．
1 [因为复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan (α＋β)＝＝1．]
14．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3．
[解] 根据题意画出草图，如图所示．
由复数运算的几何意义知z1＝·z2·[cos ＋isin]
＝(1＋i)
＝＋i，
z3＝·z2·
＝(1＋i)
＝＋i．
15．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝|α|2．
[解] △AOB为等腰直角三角形．
证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴＝1＋i＝，
∴∠AOB＝．
∵分别表示复数α，β－α，
由β－α＝αi，得＝i＝cos ＋isin ，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．
∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2． 代数基本定理
1．代数基本定理
任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f (x)＝0至少有一个复数根．
它说的是：任何一元n次复系数多项式f (x)在复数集中有n个复数根(重根按重数计)．
2．一元多项式方程的根与系数之间的关系
(1)设实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0(a2≠0)在复数集C内的根为x1，x2，则
3．设实数系一元三次方程
a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0(a3≠0) ①
在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为
a3(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝0，
展开得
a3x3－a3(x1＋x2＋x3)x2＋a3(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－a3x1x2x3＝0． ②
比较①②可以得到
【典例】 (1)(多选)(2022·浙江金华一中期中)在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，在复数集范围内，若ω是x3＝1的一个根，则ω2＋ω＋1＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)(2022·江苏盐城期末)设多项式函数f (x)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0(an≠0)，根据代数基本定理可知方程f (x)＝0有n个根x1，x2，…，xn．则x1＋x2＋…＋xn＝________；x1x2…xn＝________．
(1)AD (2)－ (－1)n [(1)因为x3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝．即ω＝1或ω＝．
当ω＝1时，ω2＋ω＋1＝3；
当ω＝时，ω2＋ω＋1＝0．故选AD．
(2)由题意知：
f(x)＝an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)，
∴an(x－x1)(x－x2)…(x－xn)＝anxn＋an－1xn-1＋…＋a1x＋a0，
∴，
∴]
1．设实系数一元三次方程x3＋2x2＋3x＋4＝0在复数集C内的根为x1，x2，x3，则的值为( )
A．－2 B．0
C．2 D．4
A [∵x3＋2x2＋3x＋4＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝x3－(x1＋x2＋x3)x2＋(x1x2＋x1x3＋x2x3)x－x1x2x3，
由对应系数相等得：
x1＋x2＋x3＝－2，x1x2＋x1x3＋x2x3＝3，
＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x1x3＋x2x3)＝4－6＝－2．
故选A．]
2．(多选)设实系数一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0(a≠0)，在复数集C内的根为x1，x2，x3，x4，则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＋x3＋x4＝－
B．x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－
C．x1x2x3x4＝
D．x1x2＋x1x3＋x1x4＋x2x3＋x2x4＋x3x4＝
AC [由题设知：
ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)＝a[x4－(x1＋x2＋x3＋x4)x3＋(x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4)x2－(x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4)x＋x1x2x3x4]，
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－，
x1x2＋x1x3＋x2x3＋x1x4＋x2x4＋x3x4＝，
x1x2x3＋x1x2x4＋x1x3x4＋x2x3x4＝－，x1x2x3x4＝．
故选AC．]第7章 复数 章末综合提升
类型1 复数的概念
1．复数的概念包括虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．理解复数的相关概念是解答相应问题的关键．
2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养．
【例1】 (1)设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)(2022·北京高考)若复数z满足i·z＝3－4i，则＝( )
A．1 B．5
C．7 D．25
(3)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋的虚部为( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
(1)C (2)B (3)A [(1)∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，
∴a－2＝0，即a＝2．故选C．
(2)由条件可知z＝＝－4－3i，∴|z|＝5．
(3)∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故选A．]
类型2 复数的四则运算
1．复数运算包括复数的加法、减法、乘法和除法，它是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点．
2．借助复数运算的学习，提升数学运算素养．
【例2】 已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－．
(1)化简复数z；
(2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值．
[解] (1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－
＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i．
(2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0，
∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0，∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0，
∴解得
类型3 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及向量之间是一一对应关系，另外复数加减法的几何意义与向量加减法的几何意义一致．
2．通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养．
【例3】 (1)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)(多选)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i B．－1＋i
C．－1－i D．1－i
(3)复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是________，|z|的最小值是________．
(1)C (2)BC (3)3 [(1)由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．
(2)设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b)．根据题意可画图形如图所示．
∵|z|＝2，且与x轴正方向的夹角为120°，
∴a＝－1，b＝±，
即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)．
∴z＝－1＋i或－1－i．
(3)|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝．]
章末综合测评(二) 复数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
A [因为a，b∈R，＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝2，解得a＝1，b＝－1．
故选A．]
2．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D [由题设有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2，
故选D．]
3．已知i是虚数单位，则化简的结果为 ( )
A．i B．－i
C．－1 D．1
B [因为＝＝＝i，
所以＝i2 023＝i3＝－i．]
4．复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限．]
5．如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
D [由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i．故选D．]
6．(2022·广西桂林中学月考)设z∈C，满足2≤≤3，其在复平面对应的点为Z，求点Z构成的集合所表示的图形面积( )
A．1 B．5
C．π D．5π
D [设复数z＝x＋yi，则z＋i＝x＋i，＝．
则2≤≤3等价于2≤≤3，即有4≤x2＋≤9．
所以复平面对应的点为Z()表示复平面上以()为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)，故其面积为9π－4π＝5π．
故选D．]
7．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
A [由b是方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)的根可得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
整理可得(b＋a)i＋(b2＋4b＋4)＝0，
所以解得所以z＝2－2i．]
8．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1＋ B．2
C．1 D．
B [∵z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，
∴x2＋y2＝1．设x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈R，
∴x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin ，
∴x＋y的最大值是2，故选B．]
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)
9．给出下列复平面内的点，这些点中对应的复数为虚数的为( )
A．(3，1) B．(－2，0)
C．(0，4) D．(－1，－5)
ACD [易知选项A、B、C、D中的点对应的复数分别为3＋i，－2，4i，－1－5i，因此A、C、D中的点对应的复数为虚数．]
10．已知方程x2＋2x－a＝0，其中a<0，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是( )
A．该方程一定有一对共轭虚根
B．该方程可能有两个正实根
C．该方程两根的实部之和等于－2
D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1
ABD [方程x2＋2x－a＝0，a<0，则Δ＝4＋4a，当Δ≥0，即a≥－1时，方程有实数根，故A错误；由一元二次方程根与系数的关系可知，两个实数根的和为－2，所以不可能有两个正实根，故B错误；当Δ<0时，方程有两个虚数根，由求根公式可得x＝－1±i，所以两个根的实部之和等于－2，故C正确；若该方程有虚根，则虚根的模为>1，故D错误．]
11．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则＝
ABC [对于A，|z1－z2|＝0 z1＝z2 ＝，是真命题；
对于B，若z1＝，则z1和z2互为共轭复数，所以＝z2，是真命题；
对于C，设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·＝，z2·＝，所以z1·＝z2·，是真命题；
对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但＝＝－2＋2i，故D是假命题．]
12．(2022·山西吕梁模拟)已知复数z满足＝3，则( )
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是
C．的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
ABC [满足＝3的复数z在复平面内对应点的轨迹是以()为圆心，以3为半径的圆，如图，
由图可知，虚部最大的复数z＝1＋2i，即复数z虚部的最大值为2，A正确；
实部最小的复数z＝－2－i，实部最大的复数z＝4－i，所以实部的取值范围是，B正确；
表示复数z在复平面内对应点到()的距离，所以的最小值为3－2＝1，C正确；
由图可知，复数z在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．故选ABC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________．
3 [∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3．]
14．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________．
－1＋i [∵i＝1－i，
∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，
∴z＝－1＋i．]
15．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________．
2 ±i [设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝8得，
∴|z|＝2．∴＝＝＝±i．]
16．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①|z－|＝2y；②z2＝x2＋y2；
③|z－|≥2x；④|z|≤|x|＋|y|．
④ [对于①，|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正确．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)现有以下三个式子：①；②；③(i为虚数单位)，某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数．
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．
[解] (1)选①，＝＝＝i；
选②，＝＝＝i；
选③，＝＝＝i．
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到，＝i (a，b∈R，且a，b不同时为零)．
下面进行证明：
＝＝＝＝ i．
18．(本小题满分12分) 四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i，2＋i，z．
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
[解] (1)由题意，复平面内A，B，C的坐标分别为(1，3)，(0，2)，(2，1)，
设D的坐标为(x，y)，由于＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，∴x－1＝2，y－3＝－1，
解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i．
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，
即p＝12，q＝26．
19．(本小题满分12分)(2022·山东东营期末)已知复数z1＝，z2＝(2＋i)m－3(1＋2i)，m∈R，i为虚数单位．
(1)若z1＋z2是纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＋z2＞0，求z1·z2的值．
[解] (1)z1＝＝m2＋m2i，z2＝2m－3＋(m－6)i，
所以z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2是纯虚数，所以，得m＝1．
(2)由(1)知，z1＋z2＝m2＋2m－3＋(m2＋m－6)i，
因为z1＋z2＞0，所以，得m＝2，
所以z1＝4＋4i，z2＝1－4i，
所以z1·z2＝(4＋4i)(1－4i)＝20－12i．
20．(本小题满分12分)(2022·河北张家口月考)已知复数z1＝，z2＝m－3i(m∈R)．
(1)求复数z1的共轭复数；
(2)若复数z3＝z1＋i，复数在复平面内对应的点在第三象限，且≥5，求实数m的取值范围．
[解] (1)z1＝＝＝＝1＋i，
所以复数z1的共轭复数为1－i．
(2)由(1)得z3＝1＋2i，＝＝＝，
所以复数对应点坐标为，
它在第三象限，则，
解得－又＝≥5，解得m≤－4或m≥4，
综上所述，实数m的取值范围为．
21．(本小题满分12分)(2022·江苏泰州期末)已知复数z满足z－1为纯虚数，(1－2i)·z为实数，其中i为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若x·z＋y·＝z·，求实数x，y的值．
[解] (1)设z＝m＋ni(其中m，n∈R)，
由z－1＝(m－1)＋ni为纯虚数，得m＝1，且n≠0．
由(1－2i)·z＝(1－2i)·(1＋ni)＝1＋2n＋(n－2)i为实数，得n＝2．所以z＝1＋2i．
(2)由(1)知，z＝1＋2i．
故由x·z＋y·，得x·(1＋2i)＋y·(1－2i)＝(1＋2i)·(1－2i)，即(x＋y)＋(2x－2y)i＝5．
因为x，y∈R，由复数相等的充要条件得：
解得
22．(本小题满分12分) 已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2．
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i．
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i．
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1．
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i．
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1．
综上，△ABC的面积为1．