1．曲线运动
1．了解曲线运动的概念，知道曲线运动是变速运动，初步形成运动观。
2．知道曲线运动的条件，能运用极限思想理解曲线运动速度方向。
3．理解曲线运动条件，掌握速度与合外力方向与曲线弯曲情况之间的关系。
曲线运动的速度方向
1．曲线运动
运动轨迹是曲线的运动称为曲线运动。
2．速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
3．运动性质
由于曲线运动中速度方向是变化(选填“不变化”或“变化”)的，所以曲线运动是变速运动。
下面两幅图片中分别为抛出的篮球和过山车的运动情况。请思考：
【问题】
(1)如何确定它们运动过程中某一位置的速度方向？
(2)它们运动过程中的速度恒定吗？
(3)曲线运动一定是变速运动，一定有加速度吗？加速度一定变化吗？
提示：(1)某一位置的速度方向为这一位置轨迹的切线方向。
(2)它们做曲线运动时速度大小或许不变，速度方向时刻发生改变，故其速度不恒定。
(3)曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，加速度不一定变化。
1．曲线运动的速度
(1)质点在某一时刻(某一位置)速度的方向与这一时刻质点所在位置处的切线方向一致。如图所示，故其速度的方向时刻改变。
(2)物体做曲线运动时，运动方向不断变化，即速度方向一定变化，但速度的大小不一定变化。
2．曲线运动的性质及分类
(1)性质：速度是矢量，由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动一定是变速运动。
(2)分类。
①匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动。
②变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动。
【典例1】 (多选)自由式滑雪在高山滑雪的基础上发展而来，可谓充分展现了“自由”二字，运动员们在不同类型的场地上展现华丽的技巧和娴熟的技术，凌空飞跃、闪展腾挪、惊险刺激，欣赏性极强，因此自由式滑雪又称为“空中舞蹈”。2022年2月8日上午，在北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中，中国运动员凭借第三跳上的出色发挥，拿到全场最高分，最终以188.25的总分获得冠军，结合运动员(可视为质点)在空中运动情况，下列说法中正确的是( )
A．运动员在空中做曲线运动，速度方向不断改变，因此曲线运动一定是变速运动
B．忽略空气阻力的影响，运动员在空中只受重力，做匀变速曲线运动
C．速度变化的运动一定是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
AB [曲线运动速度方向一定改变，一定是变速运动，A正确；运动员在空中只受重力，合力恒定，做匀变速曲线运动，B正确；速度变化的运动有可能是变速直线运动，C错误；加速度变化说明有加速度，但是也可能加速度只有大小变化，方向不变，可能做变加速直线运动，D错误。]
确定某点速度方向的两个关键
(1)明确物体沿轨迹的运动方向，确定轨迹在该点的切线方向。
(2)曲线运动的性质由加速度是否恒定决定。
[跟进训练]
1．下列说法正确的是( )
A．做曲线运动的物体速度方向一定发生变化
B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动
C．速度变化的运动一定是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
A [做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，故A正确；速度方向发生变化不是判断物体做曲线运动的条件，而是曲线运动的特点，如物体在弹簧作用下的往返运动，物体速度方向改变，但做直线运动，故B错误；速度是矢量，速度的变化包括大小和方向的变化，如匀变速直线运动，物体速度大小发生变化，但物体不做曲线运动，故C错误；做直线运动的物体的加速度也可以变化，如变加速直线运动，故D错误。]
物体做曲线运动的条件
1．从动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
2．从运动学角度：当物体加速度的方向与速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为了便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一条直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
【问题】
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
(3)比较上述两种情况，体会轨迹、速度方向与合力方向三者有什么关系？
提示：(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同。
(2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。
(3)速度方向与所受合力方向共线时，物体做直线运动；不在同一条直线上时，物体做曲线运动。
1．物体做曲线运动的条件
(1)初速度不为零。
(2)合力不为零(或加速度不为零)。
(3)合力方向(或加速度方向)与速度方向不共线。
2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，夹在速度方向与合力方向之间。并向合力方向弯曲，也就是合力指向运动轨迹的凹侧，如图所示。
3．合外力与速率变化的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则：
曲线运动的条件
【典例2】 在足球场上罚任意球时，运动员踢出的“香蕉球”，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，其轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法正确的是( )
A．合力的方向与速度方向在一条直线上
B．合力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
C [足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向；根据物体做曲线运动的条件可知，合力的方向一定指向轨迹的内侧，且合力方向与速度不在同一直线上。由此可知，只有C选项符合，故C正确。]
合外力与速率变化关系
【典例3】 “嫦娥五号”探月卫星在由地球飞向月球时，假设沿曲线由M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的( )
A B C D
C [由合力方向指向轨迹凹侧知A、D一定错误。由于探月卫星是从M点向N点飞行，且速度逐渐减小，B中合力与速度的夹角为锐角，速度增加，C中合力与速度的夹角为钝角，速度减小，故B错误，C正确。]
力和运动轨迹关系的三点提醒
(1)物体的运动轨迹由初速度、合力两个因素决定，轨迹在合力与速度之间且与速度相切。
(2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
(3)合力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动。
[跟进训练]
2．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风突然停止，则其运动的轨迹可能是( )
A B C D
C [物体自由下落到某处突然受一恒定水平向右的风力，此时合力向右下方，则轨迹应向右弯曲，且拐弯点的切线方向应与速度方向相同，即竖直向下；风停止后，物体只受重力，即合力竖直向下，轨迹应向下弯曲，只有C符合，故选C。]
3．(多选)物体受到几个力作用而做匀速直线运动，若突然撤去其中的一个力，它可能做( )
A．匀速直线运动 B．匀加速直线运动
C．匀减速直线运动 D．匀变速曲线运动
BCD [剩余几个力的合力恒定不为零，所以物体不可能做匀速直线运动，选项A错误；剩余的几个力的合力与撤去的力等值、反向、共线，所以这个合力恒定不变，物体一定做匀变速运动。若物体的速度方向与此合力方向相同，则物体做匀加速直线运动；若剩余的几个力的合力与物体的速度方向相反，则物体做匀减速直线运动；若剩余几个力的合力与速度不共线，物体做匀变速曲线运动，选项B、C、D正确。]
1．曲线运动是自然界中普遍存在的运动形式，下面关于曲线运动的说法中，正确的是( )
A．物体只要受到变力的作用，就会做曲线运动
B．物体在恒定的合力作用下一定会做直线运动
C．物体做曲线运动时，合力方向可能发生变化，也可能不变
D．物体在大小不变的合力作用下必做匀变速曲线运动
C [当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，A、B错误；物体做曲线运动时，其所受合力的方向与速度方向不在同一直线上，合力的方向可能发生变化，也可能不变，C正确；做匀变速曲线运动的物体所受的合力恒定不变，而且合力方向与速度方向不共线，D错误。]
2．翻滚过山车是大型游乐园里的一种比较刺激的娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法正确的是( )
A．过A点时的速度方向沿AB方向
B．过B点时的速度方向沿水平方向
C．过A、C两点时的速度方向相同
D．在圆形轨道上与过M点时速度方向相同的点在AB段上
B [翻滚过山车经过A、B、C三点的速度方向如图所示，由图可判断出B正确，A、C错误；翻滚过山车在圆形轨道AB段上的速度方向偏向左上方，不可能与过M点时速度方向相同，D错误。]
3．如图所示是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
A．物体在B点的加速度最大
B．物体在C点的速率大于在B点的速率
C．物体在A点的加速度比在C点的加速度大
D．物体从A点到C点，加速度与速度的夹角先增大后减小，速率先减小后增大
B [物体做匀变速曲线运动，加速度恒定，则物体在各点的加速度相同，故A、C错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，结合运动轨迹可知，物体从A点运动到B点的过程中，加速度方向和速度方向的夹角大于90°，且夹角在不断减小，物体做减速曲线运动，物体从B点运动到C点的过程中，加速度方向和速度方向的夹角小于90°，且夹角在不断减小，物体做加速曲线运动，因此物体从A点运动到C点的过程中，加速度方向和速度方向的夹角一直在减小，物体在B点的速率最小，故B正确，D错误。]
4．在长约1.0 m的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个适当的圆柱形的红蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，并迅速竖直倒置，红蜡块就沿玻璃管由管口匀速上升到管底。将此玻璃管倒置安装在小车上，并将小车置于水平导轨上。若小车一端连接细线绕过定滑轮悬挂小物体，小车从位置A由静止开始运动，同时红蜡块沿玻璃管匀速上升。经过一段时间后，小车运动到位置B，如图所示。按照如图所示建立坐标系，在这一过程中红蜡块实际运动的轨迹可能是选项中的( )
A B C D
C [在y轴上有：y＝v0t，在x轴上有：x＝at2，联立可得：y2＝x，所以选项C正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．曲线运动的条件是什么？
提示：力的方向(或加速度的方向)与物体速度方向不共线。
2．曲线运动的速度方向有什么特点？
提示：速度方向沿曲线轨迹上某点的切线。
3．曲线运动是变速运动，变速运动一定是曲线运动吗？
提示：不一定。
课时分层作业(一) 曲线运动
◎题组一 曲线运动的性质及特点
1．关于曲线运动的速度，下列说法正确的是( )
A．质点在某一点的速度方向是在曲线上该点的切线方向
B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化
C．速度的大小与方向都在时刻变化
D．加速度的大小与方向都在时刻变化
A [质点在某一点的速度方向是在曲线上该点的切线方向，A正确；曲线运动的速度的大小不一定发生变化，速度的方向一定发生变化，B、C错误；合力的方向与速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动，如果合力恒定不变，则加速度恒定不变，D错误。]
2．如图所示是一位跳水队员在空中完成动作时头部的运动轨迹示意图，运动员最后以速度v沿竖直方向入水。则在轨迹的a、b、c、d四个位置中，头部的速度沿竖直方向的是( )
A．a位置 B．b位置
C．c位置 D．d位置
C [头部的运动轨迹是曲线，曲线上任一点的切线方向为头部在该点的速度方向，由题图可知，c点的速度方向竖直向下，故C正确。]
3．假如在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是( )
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
C [赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车上任何一点的速度方向都是赛车运动的曲线轨迹上对应点的切线方向。被甩出后的车轮的速度方向就是甩出点所在轨迹的切线方向。所以C选项正确。]
◎题组二 物体做曲线运动的条件
4．(多选)下列说法正确的是( )
A．判断物体是做曲线运动还是直线运动，应看合外力方向与速度方向是否在同一条直线上
B．物体在恒定外力作用下一定做直线运动
C．判断物体是做匀变速运动还是非匀变速运动应看所受合力是否恒定
D．匀变速运动的物体一定沿直线运动
AC [当合力方向与速度方向在同一条直线上时，物体做直线运动，有一夹角时，物体做曲线运动，故A正确，B错误。物体受到的合力恒定时，就做匀变速运动，合力不恒定时就做非匀变速运动，可见匀变速运动可能是直线运动也可能是曲线运动，故C正确，D错误。]
5．如图所示，物体以恒定的速率沿圆弧AB做曲线运动，下列对它的运动分析正确的是( )
A．因为它的速率恒定不变，所以为匀速运动
B．该物体受到的合力一定不等于零
C．该物体受到的合力一定等于零
D．它的加速度方向与速度方向有可能在同一直线上
B [物体做曲线运动，速度方向一定不断变化，是变速运动，故选项A错误；运动状态的变化是外力作用的结果，所以物体所受合力一定不为零，故选项B正确，C错误；依据物体做曲线运动的条件，合力方向(或加速度方向)与速度方向一定不共线，故选项D错误。]
6．利用风洞实验室可以模拟运动员比赛时所受风阻情况，帮助运动员提高成绩。为了更加直观的研究风洞里的流场环境，可以借助烟尘辅助观察，如图甲所示，在某次实验中获得烟尘颗粒做曲线运动的轨迹，如图乙所示，下列说法中正确的是( )
A．烟尘颗粒速度始终不变
B．烟尘颗粒一定做匀变速曲线运动
C．P点处的加速度方向可能水平向左
D．Q点处的合力方向可能竖直向下
D [烟尘颗粒做曲线运动，速度方向不断变化，故烟尘颗粒速度不断变化，A错误；做曲线运动的物体，所受合力总是指向轨迹凹侧，由题图乙可知，烟尘颗粒受力发生变化，不可能做匀变速曲线运动，B错误；P点处的合力(加速度)指向右上方，不可能水平向左，Q点处的合力方向可能竖直向下，C错误，D正确。]
7．设想如果自行车轮子没有了挡泥板，当轮子上所粘的泥巴因车轮快速转动而被甩落时，如果不考虑空气阻力的作用，下列说法正确的是( )
A．泥巴在最初一段时间内，将做匀速直线运动
B．任何情况下被甩落，泥巴都是做曲线运动
C．泥巴离开轮子时的速度方向没有任何规律可循
D．泥巴做曲线运动的条件是所受重力与它的速度方向不在同一直线上
D [泥巴在离开轮子的瞬间，若速度的方向竖直向上或竖直向下，则速度的方向与重力的方向相反或相同，泥巴将做直线运动，在其余的情况下泥巴速度的方向与重力的方向不在同一条直线上，所以将做曲线运动，故A、B错误，D正确；泥巴离开轮子时的速度方向与轮子的切线的方向是相同的，故C错误。]
8．(2022·黑龙江大庆中学高一月考)在光滑水平面上运动的物体，受到水平恒力F作用后，沿曲线MN运动，速度方向改变了90°，如图所示，则此过程中，物体受到的恒力可能是( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
B [由题图可知，物体从M运动到N的过程中，沿初速度方向做减速运动，故物体受到与初速度方向相反的一个分力；同时物体向右做加速运动，故物体还受到向右的一个分力。由平行四边形定则知，物体受到的恒力可能是F2，B正确。]
9．(多选)某电视台举行了一项趣味游戏活动：从光滑水平桌面的角A向角B发射一只乒乓球，要求参赛者在角B用细管吹气，将乒乓球吹进C处的圆圈中。赵、钱、孙、李四位参赛者的吹气方向如图中箭头所示，那么根据他们吹气的方向，不可能成功的参赛者是( )
A．赵 B．钱
C．孙 D．李
ABD [根据物体做曲线运动的条件和特点，可知乒乓球受到的合力指向曲线凹侧，故A、B、D不可能成功。]
10．一个质点受到两个互成锐角的恒力F1和F2的作用，由静止开始运动。若运动中保持二力方向不变，但让F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后( )
A．一定做匀变速曲线运动
B．可能做匀变速直线运动
C．一定做匀变速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
A [质点是受两恒力F1和F2的作用，从静止开始沿两个力的合力方向做匀加速直线运动，当F1发生变化后，F1＋ΔF和F2的合力与原合力F合相比大小和方向均发生了变化，如图所示，此时合外力仍为恒力，但方向与原来的合力方向不同，即与速度方向不在同一直线上，所以此后物体将做匀变速曲线运动，故A正确。]
11．(多选)质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°(大小不变)。物体可能做( )
A．加速度大小为的匀变速直线运动
B．加速度大小为的匀变速直线运动
C．加速度大小为的匀变速曲线运动
D．匀速直线运动
BC [物体在F1、F2、F3三个共点力作用下做匀速直线运动，三力平衡，必有F3与F1、F2的合力等大反向。当F3大小不变，方向改变90°时，F1、F2合力大小仍等于F3大小，方向与改变方向后的F3夹角为90°，故F合＝F3，加速度a＝＝，但因不知原速度方向，故有B、C两种可能。]
12．(多选)一质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度( )
A．若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速
B．若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速
C．若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速
D．若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速
BD [若x方向始终匀速，经过相同的时间水平间距相同，则y方向的高度增加的越来越慢，说明竖直速度在减小，后来y方向的高度增加的越来越快，说明竖直速度增大，所以物体速度先减小后增大，故A错误，B正确。若y方向始终匀速，经过相同的时间竖直间距相同，则x方向的水平距离先增加的越来越快，说明水平速度在增大，后来x方向的水平间距增加的越来越慢，说明水平速度减小，所以物体速度先增大后减小，故C错误，D正确。故选BD。]
13．(多选)在光滑平面上的一运动质点以速度v通过原点O，v与x轴成α角(如图所示)，与此同时，质点上加有沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy>Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C．如果Fy＝Fx tan α，质点做直线运动
D．如果FyCD [质点所受合外力方向与速度方向不在同一直线上时，质点做曲线运动；若所受合力始终与速度同方向，则做直线运动。若Fy＝Fx tan α，则Fx和Fy的合力F与v在同一直线上(如图所示)，此时质点做直线运动；若Fy，则Fx、Fy的合力F与x轴的夹角β<α，则质点偏向x轴一侧做曲线运动。如果Fy>Fx，由于不知道α角为多少，所以无法判断物体受到的合力与速度v的方向关系，因此无法判断质点的运动性质，故A、B错误，C、D正确。]2．运动的合成与分解
1．知道合运动、分运动、运动的合成与分解的概念，初步形成运动观。
2．通过对蜡块运动的分析，掌握运动合成与分解的方法，体会建立运动模型的意义。
3．经历探究蜡块运动的过程，体会物理方法的形成过程。
4．能够运用平行四边形法则解决有关位移、速度合成与分解的问题。
一个平面运动的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt。
2．蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝。
3．蜡块运动的轨迹：y＝x，是一条过原点的直线。
在如图所示的装置中，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q；两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度，使AC＝BD，从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相同。将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两个小铁球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的下端射出，实验现象是两个小铁球同时到达E处，发生碰撞。
【问题】
(1)实验现象说明了什么？
(2)改变小铁球P的高度，两个小球仍然会发生碰撞，说明了什么？
(3)通过以上分析，你能得出什么结论？
提示：(1)水平方向上两小球的运动情况一样。
(2)这说明小球在竖直方向上的运动并不影响它在水平方向上的运动。
(3)竖直方向上的运动与水平方向的运动互不影响，是独立的运动。
1．合运动与分运动的关系
等时性 各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等
独立性 一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同体性 各分运动与合运动都是同一物体参与的运动
2．两点注意
(1)物体实际运动的方向是合速度的方向。
(2)合运动与分运动时间相同，效果相同，为等效替代关系。
【典例1】 竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮。在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图所示。若玻璃管的长度为1.0 m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，下列关于玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离计算结果正确的是( )
A．0.1 m/s，1.73 m B．0.173 m/s，1.0 m
C．0.173 m/s，1.73 m D．0.1 m/s，1.0 m
C [由题图知竖直位移与水平位移之间的关系为tan 30°＝，由分运动具有独立性和等时性得：y＝vyt、x＝vxt，联立解得x≈1.73 m，vx≈0.173 m/s。故C项正确。]
[母题变式]
上例中，若将玻璃管水平向右匀速运动改为从静止开始匀加速运动；将蜡块实际运动方向与水平方向成30°角改为蜡块最终位移方向与水平方向成45°角，其他条件不变，则玻璃管水平方向的加速度多大？
[解析] 由tan 45°＝，则x′＝1.0 m，由x′＝，y＝v′yt得t′＝10 s，a＝0.02 m/s2。
[答案] 0.02 m/s2
[跟进训练]
1．(多选)雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落时间越长
B．风速越大，雨滴着地时速度越大
C．雨滴下落时间与风速无关
D．雨滴着地速度与风速无关
BC [将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，A错误，C正确；风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，B正确，D错误。]
运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。
2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解。
3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量运算法则。
如图所示，在军事演习中，直升机常常一边匀加速收拢绳索提升士兵，一边沿着水平方向匀速飞行。
【问题】
(1)士兵在水平方向和竖直方向分别做什么运动？
(2)如何判断士兵做的是直线运动还是曲线运动？
(3)如何根据图中的v1和v2计算合速度的v的大小？
提示：(1)士兵在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动。
(2)士兵受的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。
(3)根据平行四边形法则计算。
1．合运动与分运动
物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
2．运动的合成与分解
(1)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形法则。
(2)运动的合成与分解的方法：
①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
②两个分运动不在同一条直线上时，按平行四边形法则进行合成与分解。
【典例2】 在救灾过程中，有时不得不出动军用直升机为被困灾民空投物资。直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开直升机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s。若直升机停留在离地面100 m高处空投物资，由于在水平方向上受风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平方向的恒定速度。求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中沿水平方向移动的位移大小。
[解析] 如图所示，物资的实际运动可以看作是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动的合运动。
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等
所以t＝＝ s＝20 s。
(2)物资落地时vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四边形法则得v＝＝ m/s＝ m/s。
(3)物资在下落过程中沿水平方向移动的位移大小为x＝vxt＝1×20 m＝20 m。
[答案] (1)20 s (2) m/s (3)20 m
三步巧解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形法则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角函数、三角形相似等数学知识。
[跟进训练]
2．雨点正在以4 m/s的速度竖直下落，小明同学以3 m/s的速度水平匀速骑行，为使雨点尽量不落在身上，手中伞杆应与竖直方向所成夹角为( )
A．30° B．37° C．45° D．0°
B [由题意可知，雨点以4 m/s的速度竖直下落，小明同学以3 m/s的速度水平匀速骑行，根据平行四边形法则，设小明同学的速度与雨滴竖直下落速度的合速度与竖直方向成θ角，有tan θ＝，则θ＝37°，故选项B正确。]
合运动性质和轨迹的判断
1．曲、直判断
加速度(或合力)与速度方向
2．是否为匀变速运动的判断
加速度(或合力)
3．常见互成角度的两个直线运动的合成
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
【典例3】 (2022·山东济南外国语学校月考)关于一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．一定是曲线运动
B．可能是直线运动
C．运动的方向一定不变
D．速度一直在变，是变加速运动
[思路点拨] 解此题的关键是看加速度方向和合速度方向的关系。
B [由题意可知，两个分运动的合速度方向和加速度的方向可能在一条直线上，也可能不在一条直线上，所以这两个分运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动，故B正确，A、C、D错误。]
曲线运动性质的两种判断方法
(1)看物体所受合力：若合力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若合力为变力，则它做非匀变速曲线运动。
(2)看物体的加速度：若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若它的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动。
[跟进训练]
3．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹( )
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果＝，那么轨迹一定是直线
D [本题考查两直线运动合运动性质的确定，解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上。如果＝，那么，合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，那么物体做直线运动，所以D正确。]
1．关于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是( )
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
C [合速度的大小可以大于分速度的大小，也可以小于分速度的大小，还可以等于分速度的大小，故A、B均错误；仅知道两个分速度的大小，无法画出平行四边形，也就不能求出合速度的大小，故D错误，只有C正确。]
2．如图所示，路灯维修车上带有竖直自动升降梯。若车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，则关于梯子上的工人的描述正确的是( )
A．工人相对地面的运动轨迹为曲线
B．仅增大车速，工人相对地面的速度可能不变
C．仅增大车速，工人到达顶部的时间将变短
D．仅增大车速，工人相对地面的速度方向与竖直方向的夹角将变大
D [车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，根据运动的合成可知，工人相对地面做匀速直线运动，故A错误；仅增大车速，不影响工人竖直方向的运动，则工人到达顶部的时间不变，故C错误；仅增大车速，工人水平方向速度增大，竖直方向速度不变，依据矢量运算法则，工人相对地面的速度将变大，速度方向与竖直方向的夹角将变大，故B错误，D正确。]
3．一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动位置坐标与时间t的规律为x＝－3t2－6t，y＝4t2＋8t(式中的物理量单位均为国际单位)。关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上的加速度为2 m/s2
C．t＝0时刻，物体的速度为5 m/s
D．物体运动的轨迹是一条直线
D [把x＝－3t2－6t和x＝v0t＋at2对比得v0x＝－6 m/s，ax＝－6 m/s2，加速度与初速度同向，所以物体在x轴方向上做匀加速直线运动，A错误；把y＝4t2＋8t和y＝v0t＋at2对比得v0y＝8 m/s，ay＝8 m/s2，B错误；t＝0时刻，物体的速度为v0＝＝10 m/s，C错误；初速度与x正方向的夹角为tan α＝＝－，加速度与x正方向的夹角为tan β＝＝－，解得α＝β，则加速度与初速度方向相同，轨迹是一条直线，D正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是合运动？什么是分运动？
提示：物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动。
2．分运动与合运动有哪些关系？
提示：等时性、独立性、等效性、同体性。
3．如何判断一个运动是匀变速运动还是非匀变速运动？
提示：看加速度是否恒定。
4．运动的合成与分解满足什么规律？合速度一定大于分速度吗？
提示：满足平行四边形法则；不一定。
体育运动中运动合成与分解的应用——跑马射箭
弓箭是古代狩猎的工具和重要的征战与御敌武器。早在700多年前，蒙古民族就以能骑善射而闻名于世。后来射箭逐渐演变为体育活动，一直流传至今。
如图所示，民族运动会上运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射向固定目标(即图中的箭靶，箭靶平面与马运动方向平行)。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短。不考虑空气阻力和重力的影响，则：
(1)箭被射出到射中靶的最短时间为多少？
(2)运动员放箭处与目标的距离为多少？
提示：(1)当箭被射出的方向与运动员运动方向垂直时，箭射中靶的时间最短，tmin＝。
(2)运动员放箭处与目标的距离s＝＝。
课时分层作业(二) 运动的合成与分解
◎题组一 蜡块运动分析
1．如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R可视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点开始运动的轨迹如图所示，则红蜡块R在x轴、y轴方向的运动情况可能是( )
A．x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀速直线运动
B．x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动
C．x轴方向做匀减速直线运动，y轴方向做匀速直线运动
D．x轴方向做匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动
D [若x轴方向做匀速直线运动，根据运动轨迹的形状，则y轴方向的加速度方向沿y轴负方向，即y轴方向做减速直线运动，故A、B两项错误；若y轴方向做匀速直线运动，根据运动轨迹的形状，则x轴方向的加速度方向沿x轴正方向，即x轴方向做加速直线运动，故C项错误，D项正确。]
2．(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，R的合速度的方向与y轴正方向的夹角为α。则( )
A．红蜡块R的分位移y的平方与x成正比
B．红蜡块R的分位移y的平方与x成反比
C．tan α与时间t成正比
D．红蜡块R的合速度v的大小与时间t成正比
AC [红蜡块R在竖直方向做匀速运动，则y＝v0t，在水平方向有x＝at2，解得x＝y2，故A正确，B错误；R的合速度的方向与y轴正方向的夹角α满足tan α＝＝，即tan α与时间t成正比，故C正确；蜡块的合速度的大小v＝，故D错误。]
◎题组二 运动的合成与分解
3．关于运动的独立性，下列说法正确的是( )
A．运动是独立的，是不可分解的
B．合运动同时参与的几个分运动是互不干扰、互不影响的
C．合运动和分运动是各自独立的，是没有关系的
D．各分运动是各自独立的，是不能合成的
B [运动的独立性是指一个物体同时参与的几个分运动是各自独立、互不影响的，故只有选项B正确。]
4．(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是( )
A．合运动的时间就是分运动的时间之和
B．已知两分运动的速度大小，就可以确定合速度的大小
C．已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形法则确定合速度的大小和方向
D．若两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2
CD [合运动与分运动具有等时性，故A错误；已知两分运动的速度大小和方向，可以用平行四边形法则确定合速度的大小和方向，故B错误，C正确；两匀速直线运动的速度大小分别为v1、v2，则合速度v大小的范围为|v1－v2|≤v≤v1＋v2，故D正确。]
5．如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物( )
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
D [以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为v，方向朝北偏东45°，故选项D正确。]
◎题组三 合运动性质和轨迹的判断
6．(多选)如果两个不在同一直线上的分运动都是匀变速直线运动，关于它们的合运动的描述正确的是( )
A．合运动一定是匀变速运动
B．合运动可能是曲线运动
C．只有当两个分运动的速度垂直时，合运动才为直线运动
D．以上说法都不对
AB [两个分运动都是匀变速直线运动，则物体所受合力恒定不变，故一定是匀变速运动，但因合力的方向与速度的方向不一定在同一直线上，物体可能做曲线运动，故A、B正确。]
7．(多选)(2022·山东济南检测)有两个不共线的直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度恒定，分别为a1和a2，关于合运动，下列说法正确的是( )
A．若v1＝0，v2≠0，a1≠0，a2≠0，则合运动一定是匀变速曲线运动
B．若v1＝0，v2＝0，a1≠0，a2≠0，则合运动一定是匀变速直线运动
C．若v1≠0，v2≠0，a1＝0，a2＝0，则合运动一定是匀速直线运动
D．若v1≠0，v2≠0，a1≠0，a2≠0，则合运动一定是匀变速曲线运动
ABC [若v1＝0，v2≠0，a1≠0，a2≠0，即合初速度与合加速度不在同一直线上，则合运动一定是匀变速曲线运动，故A正确；若v1＝0，v2＝0，a1≠0，a2≠0，即合初速度为零，则合运动一定是沿合加速度方向且与其共线的匀变速直线运动，故B正确；若v1≠0，v2≠0，a1＝0，a2＝0，即合加速度为零，则合运动一定是匀速直线运动，故C正确；若v1≠0，v2≠0，a1≠0，a2≠0，当合初速度与合加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，故D错误。故选ABC。]
8．(多选)一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动速度随时间变化的规律如图所示。关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动
B．物体做直线运动
C．物体运动的初速度大小为50 m/s
D．物体运动的初速度大小为10 m/s
AC [由v-t图像可以看出，物体在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀变速直线运动，故物体做曲线运动，选项A正确，B错误；物体的初速度大小为v0＝ m/s＝50 m/s，选项C正确，D错误。]
9．(2022·浙江湖州高一期末)两端封闭的玻璃管中注满清水，迅速将管转至图示竖直位置，管内一个红蜡块立即以v1＝4 cm/s的速度匀速上浮，此时使玻璃管沿x轴正方向移动，当玻璃管沿x轴( )
A．匀速运动时，红蜡块的轨迹是一条曲线
B．以v2＝3 cm/s的速度匀速运动时，红蜡块的速度大小是7 cm/s
C．以v2＝3 cm/s的速度匀速运动，2 s内红蜡块的位移大小是10 cm
D．由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的轨迹是一条直线
C [当玻璃管沿x轴匀速运动时，红蜡块的合运动为匀速直线运动，其轨迹是一条直线，故A错误；当玻璃管沿x轴以v2＝3 cm/s速度匀速运动时，红蜡块的速度大小是v＝＝5 cm/s，2 s内红蜡块的位移大小是x＝vt＝10 cm，故B错误，C正确；当玻璃管沿x轴由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的合运动为曲线运动，其轨迹是一条曲线，故D错误。]
10．(多选)如图甲所示，旋臂式起重机的天车吊着质量为100 kg的货物正在沿水平方向以4 m/s的速度向右匀速运动，同时又使货物沿竖直方向做向上的匀加速运动，其竖直方向的速度—时间关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A．2 s末货物的速度大小为5 m/s
B．货物的运动轨迹可能是一条如图丙所示的抛物线
C．货物所受的合力大小为150 N
D．0到2 s末这段时间内，货物的位移大小为10 m
AC [货物水平方向的速度大小为4 m/s，2 s末货物竖直方向的速度大小为3 m/s，故2 s末货物的速度大小为v＝＝5 m/s，A正确；由于货物加速度向上，所受合力竖直向上，故运动轨迹向上弯曲，题丙图不符合题意，B错误；货物的加速度大小为a＝＝＝1.5 m/s2，则所受合力大小为F＝ma＝150 N，C正确；0到2 s末这段时间内，货物在水平方向的位移大小为x＝vxt＝8 m，在竖直方向的位移大小为y＝at2＝3 m，因此位移大小为s＝＝ m，D错误。]
11．一物体的运动规律是x＝8t2(m)，y＝10t(m)，则下列说法中正确的是( )
A．物体在x和y方向上都是匀速运动
B．物体在x和y方向上都是做初速度为零的匀加速运动
C．物体的合运动是初速度为10 m/s、加速度为16m/s2的曲线运动
D．物体的合运动是初速度为10 m/s、加速度为16m/s2的匀加速直线运动
C [根据匀变速直线运动的位移—时间公式x＝可知，物体在x方向做初速度为零、加速度为16 m/s2的匀加速直线运动，y方向做速度为10 m/s的匀速直线运动，故A、B错误；由运动的合成原则可知，物体的合运动为初速度为10 m/s、加速度为16 m/s2的匀变速曲线运动，故D错误，C正确。]
12．质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示。求：
(1)物体受到的合力和初速度；
(2)t＝8 s时物体的速度；
(3)t＝4 s时物体的位移。
[解析] (1)物体在x轴方向有ax＝0
y轴方向有ay＝ m/s2
由牛顿第二定律得F合＝may＝1 N，方向沿y轴正方向；
由题图知v0x＝3 m/s，v0y＝0，所以物体的初速度v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向。
(2)当t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝ayt＝4 m/s
所以v＝＝5 m/s
设速度与x轴的夹角为θ，则 tan θ＝＝。
(3)当t＝4 s时，x＝v0xt＝12 m，y＝ayt2＝4 m，
物体的位移s＝＝4 m
设位移与x轴的夹角为α，则tan α＝＝。
[答案] 见解析
13．在第十一届珠海国际航展上，歼-20战斗机是该次航展最大的“明星”。歼-20战斗机在降落过程中水平方向的初速度为60 m/s，竖直方向的初速度为6 m/s，已知歼-20战斗机在水平方向做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小为0.2 m/s2的匀减速直线运动，则歼-20战斗机在降落过程中，下列说法正确的是( )
A．歼-20战斗机的运动轨迹为曲线
B．经20 s，歼-20战斗机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在前20 s内，歼-20战斗机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．歼-20战斗机在前20 s内，水平方向的平均速度为40 m/s
D [歼-20战斗机的合初速度方向与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝，歼-20战斗机的合加速度方向与水平方向夹角的正切值tan β＝＝，可以知道歼-20战斗机的合初速度的方向与合加速度的方向在同一直线上，歼-20战斗机在降落过程中做匀变速直线运动，故A错误；经20 s，歼-20战斗机水平方向的分速度v1＝60 m/s－2×20 m/s＝20 m/s，竖直方向的分速度v2＝6 m/s－0.2×20 m/s＝2 m/s，故B错误；在前20 s内，歼-20战斗机在水平方向的平均速度t＝40×20 m＝800 m，在竖直方向的分位移h＝×20 m＝80 m，故C错误，D正确。]3．实验：探究平抛运动的特点
1．探究平抛运动竖直分运动的特点。
2．探究平抛运动水平分运动的特点。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 用如图甲所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。
(1)下列实验条件必须满足的有________。
A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末段水平
C．挡板高度等间距变化
D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。
a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的________(选填“最上端”“最下端”或“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时________(选填“需要”或“不需要”)y轴与重垂线平行。
b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图乙所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则________(选填“大于”“等于”或“小于”)。可求得钢球平抛的初速度v0大小为________(已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示)。
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是________。
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相法在同一底片上记录平抛钢球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
[解析] 根据平抛运动的规律：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动解答。
(1)本实验中要保证钢球飞出斜槽末端时的速度水平，即钢球做平抛运动，且每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将钢球从斜槽上同一位置由静止释放即可，故B、D正确。
(2)a.平抛运动的起始点应为钢球静置于Q点时，钢球的球心对应纸上的位置，由于平抛运动在竖直方向做自由落体运动，所以在确定y轴时需要y轴与重垂线平行。
b.由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之比为1∶3∶5∶7∶…可知，由于A点不是抛出点，所以＞；设经过AB、BC所用的时间均为T，竖直方向有y2－y1＝gT2，水平方向有x＝v0T，联立解得v0＝x。
(3)平抛运动的特性：初速度为v0，加速度为g，细管水平喷出水柱满足要求，A正确；用频闪照相法在同一底片上记录钢球不同时刻的位置即平抛运动的轨迹上的点，平滑连接在一起即为平抛运动轨迹，所以此方案可行，B正确；将铅笔垂直于竖直的白板放置，以一定初速度水平抛出，笔尖与白纸间有摩擦阻力，所以铅笔做的不是平抛运动，故此方案不可行，C错误。
[答案] (1)BD (2)a．球心 需要 b．大于 x (3)AB
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 (2021·全国乙卷)某同学利用图甲所示装置研究平抛运动的规律。实验时该同学使用频闪仪和照相机对做平抛运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光，某次拍摄后得到的照片如图乙所示(图中未包括小球刚离开轨道的影像)。图中的背景是放在竖直平面内的带有方格的纸板，纸板与小球轨迹所在平面平行，其上每个方格的边长为5 cm，该同学在实验中测得的小球影像的高度差已经在图乙中标出。
完成下列填空：(结果均保留2位有效数字)
(1)小球运动到图乙中位置A时，其速度的水平分量大小为____________m/s，竖直分量大小为____________m/s。
(2)根据图乙中数据可得，当地重力加速度的大小为________m/s2。
[解析] (1)小球在水平方向上做匀速直线运动，小球运动到A点时，由题图乙可知，其速度的水平分量vx＝ m/s＝1.0 m/s，小球在竖直方向上做匀加速直线运动，根据中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可知，小球运动到A点时，其速度的竖直分量vy＝ m/s≈2.0 m/s。
(2)在竖直方向上，根据Δy＝gT2，解得当地的重力加速度g＝ m/s2＝9.7 m/s2。
[答案] (1)1.0 2.0 (2)9.7
类型三 创新实验设计
【典例3】 如图所示，探究平抛运动的特点的实验装置放置在水平桌面上，利用光电门传感器和碰撞传感器可测得小球的水平初速度和飞行时间，底板上的标尺可以测得水平位移。保持水平槽口距底板高度h＝0.420 m不变。改变小球在斜槽导轨上下滑的起始位置，测出小球做平抛运动的初速度v0、飞行时间t和水平位移d，记录在表中。
v0/(m·s－1) 0.741 1.034 1.318 1.584
t/ms 292.7 293.0 292.8 292.9
d/cm 21.7 30.3 38.6 46.4
(1)由表中数据可知，在h一定时，小球水平位移d与其初速度v0成________关系。
(2)一位同学计算出小球飞行时间的理论值t理＝＝ s＝289.8 ms，发现理论值与测量值之差约为3 ms。经检查，实验及测量无误，其原因是____________________________________________________________________。
(3)另一位同学分析并纠正了上述偏差后，另做了这个实验，竟发现测量值t′依然大于自己得到的理论值t理′，但二者之差在3～7 ms 之间，且初速度越大差值越小。对实验装置的安装进行检查，确认斜槽槽口与底座均水平，则导致偏差的原因是_________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
[解析] (1)由题表中数据可知，h一定时，小球的水平位移d与其初速度v0成正比关系。
(2)该同学计算时重力加速度取的是10 m/s2，而实际重力加速度约为9.8 m/s2，故导致约3 ms的偏差。
(3)光电门传感器置于槽口的内侧，使时间的测量值大于理论值，且初速度越大，二者差值越小。
[答案] (1)正比 (2)计算时重力加速度取值(10 m/s2)大于实际值 (3)见解析
1．在“研究平抛物体的运动”的实验中：
(1)为使小球水平抛出，必须调整斜槽，使其末端的切线成水平方向，检查方法是____________________________________________________________________。
(2)小球抛出点的位置必须及时记录在白纸上，然后从这一点画水平线和竖直线作为x轴和y轴，竖直线是用________来确定的。
(3)某同学建立的直角坐标系如图所示，他在安装实验装置和进行实验操作时的失误是_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
[解析] (1)将小球放在斜槽末端水平部分，看小球能否保持静止。
(2)用重垂线来确定竖直线最准确。
(3)坐标原点应在平抛起点的重心位置，即坐标原点应该是小球在槽口时重心在白纸上的水平投影点。
[答案] (1)见解析 (2)重垂线 (3)坐标原点应该是小球在槽口时重心在白纸上的水平投影点
2．在“探究平抛运动的特点”实验中：
(1)关于该实验的注意事项，下列说法正确的是________。
A．小球每次可以从斜槽上不同的位置由静止释放
B．斜槽轨道必须光滑
C．建立坐标系时，应该用重垂线来确定y轴
D．要使描绘的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
(2)现让小球多次由同一位置由静止从斜槽上滚下，在白纸上依次记下小球的位置，某同学得到的记录纸如图所示，从图中可看出该实验装置存在的问题：_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
[解析] (1)为了保证小球每次平抛运动的初速度相等，让小球每次从斜槽的同一位置由静止释放，斜槽轨道不一定需要光滑，故A、B错误。建立坐标系时，应用重垂线来确定y轴，故C正确。要使描绘的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些，故D正确。
(2)由图可知，小球做斜抛运动，可知实验装置中斜槽末端未保持水平。
[答案] (1)CD (2)斜槽末端未保持水平
3．(1)在用描点法做“研究平抛运动”的实验时，让小球多次沿同一轨道运动，通过描点画出小球做平抛运动的轨迹，为准确的描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求，你认为正确的有________。
A．通过调节使斜槽的末端保持水平
B．每次必须由静止释放小球
C．记录小球经过不同高度的位置时，每次必须严格地等距离下降
D．将球经过不同高度的位置记录在纸上后取下纸，用直尺将点连成折线
(2)某次实验画出小球运动的轨迹如图中曲线所示，A、B、C是曲线上的三个点，取A点为坐标原点，坐标如图所示，重力加速度g取10 m/s2，则小球由A到B的时间t＝________s，小球做平抛运动的初速度v0＝________m/s，小球经过B点时速度为________m/s。
[解析] (1)斜槽的末端保持水平，使得小球有水平初速度，故A正确；每次必须由静止从同一高度下落，使得小球离开时具有相同的速度，故B正确；记录小球经过不同高度的位置时，不需等距离下降，故C错误；小球的运行轨迹是平滑曲线，不能画成折线，故D错误。
(2)A到B和B到C两阶段水平位移相等，所以经历时间相等，在竖直方向有Δy＝gt2，
则有t＝＝ s＝0.1 s，
平抛运动的初速度为v0＝＝ m/s＝2 m/s，经过B点时，在竖直方向上，由匀变速直线运动推论知vBy＝＝ m/s＝2 m/s，则小球经过B点时速度为vB＝＝2 m/s。
[答案] (1)AB (2)0.1 2 2
4．频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段。在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置。某物理小组利用如图甲所示装置探究平抛运动规律。他们分别在该装置正上方A处和右侧正前方B处安装了频闪仪器并进行了拍摄，得到的频闪照片如图乙所示，O为抛出点，P为运动轨迹上某点。根据平抛运动规律分析下列问题(g取10 m/s2)。
(1)图乙中，频闪仪器A所拍摄的频闪照片为________[选填“(a)”或“(b)”]。
(2)测得图乙(a)中OP距离为45 cm，(b)中OP距离为30 cm，则小球做平抛运动的初速度大小应为____________m/s，小球在P点速度大小应为____________m/s。
[解析] (1)小球做平抛运动时，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，故频闪仪器A所拍摄的频闪照片为(b)。
(2)竖直方向上，由y＝gt 2得t＝＝ s＝0.30 s，水平方向上v0＝＝ m/s＝1 m/s，P点小球在竖直方向的速度vy＝gt＝10×0.30 m/s＝3 m/s，则vP＝＝ m/s。
[答案] (1)(b) (2)1
5．同学在研究平抛运动时，发现原来的实验方法不容易确定平抛小球在运动中的准确位置。于是，在实验中用了一块平木板附上复写纸和白纸，竖直立于正对槽口前某处，如图所示，使小球从斜槽上滑下，小球撞在木板上留下痕迹A，将木板向后移动距离x，再使小球从斜槽上同样高度滑下，小球撞在木板上留下痕迹B，将木板再向后移动距离x，小球再从斜槽上同样高度滑下，再得到痕迹C。A、B间的距离为y1，A、C间的距离为y2。若测得木板后移距离x＝10 cm，测得y1＝6.0 cm，y2＝16.0 cm。
(1)根据以上物理量导出测量小球初速度的公式为v0＝____________(用题中所给字母表示，重力加速度为g)。
(2)小球初速度值为________。(保留两位有效数字，g取9.8 m/s2)
[解析] (1)由平抛物体水平方向做匀速运动可以知道，A到B和B到C的时间相同，设为T，因此根据匀变速直线运动规律有Δh＝(y2－y1)－y1＝gT2
水平方向小球做匀速运动，故有v0＝
解得v0＝x。
(2)根据题意代入数据可得
v0＝x≈1.6 m/s。
[答案] (1)x (2)1.6 m/s4．抛体运动的规律
1．知道平抛运动的受力特点，会用运动的合成与分解分析平抛运动。
2．理解平抛运动的规律，会确定平抛运动的速度和位移，知道平抛运动的轨迹是一条抛物线。
3．熟练运用平抛运动规律解决相关问题。
4．了解一般抛体运动，掌握处理抛体运动的一般方法。
平抛运动的速度
将物体以初速度v0水平抛出，由于物体只受重力作用。
1．水平方向的速度：vx＝v0。
2．竖直方向的速度：vy＝gt。
3．合速度
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力，请回答下列问题。
【问题】
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
(3)飞镖投出后，水平方向速度和竖直方向的速度有什么特点？
提示：(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动。
(3)飞镖投出后，水平方向速度不变，竖直方向的速度均匀增大。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点。
①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
【典例1】 (2022·四川南充市阆中中学高一期中)关于平抛运动，下面的几种说法中正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变
C．平抛运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
B [平抛运动是一种在重力作用下的匀变速曲线运动，故A错误；平抛运动是曲线运动，它的速度大小和方向在不断改变，故B正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故C错误；平抛运动的加速度与质量无关，则知其运动情况与质量无关，落点远近与其质量无关，故D错误。]
[跟进训练]
1．(多选)关于平抛物体的运动，以下说法正确的是( )
A．做平抛运动的物体，速度和加速度都随时间的增加而增大
B．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变
C．平抛物体的运动是匀变速运动
D．平抛物体的运动是变加速运动
BC [做平抛运动的物体，速度随时间不断增大，但由于只受恒定不变的重力作用，所以加速度是恒定不变的，选项A、D错误，B、C正确。]
平抛运动的位移与轨迹
将物体以初速度v0水平抛出，经时间t，物体的位移为：
1．水平方向的位移：x＝v0t。
2．竖直方向的位移：y＝gt2。
3．合位移
4．轨迹：由水平方向x＝v0t解出t＝，代入y＝gt2得y＝x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
空中以一定速度飞行的战斗机，为击中前方坦克，而从后方水平投出一枚炸弹，炸弹飞行轨迹如图所示。根据运动轨迹，以抛出点为原点，水平方向和竖直方向建立坐标系如图所示，请思考以下问题：
【问题】
(1)分析曲线运动的基本思路和方法是什么？
(2)如何对平抛运动进行研究？
(3)平抛运动的时间、水平位移和落地速度由哪些因素决定？
提示：(1)分析曲线运动的基本思路和方法是将运动分解。
(2)研究平抛运动时，可以将其分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
(3)平抛运动的时间由下落高度y决定，水平位移和落地速度则由初速度v0和下落高度y共同决定。
1．研究方法
研究平抛运动通常采用“化曲为直”的思想，即将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2．运动规律
项目 速度 位移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2
合运动 大小：v＝ 方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝ 方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
【典例2】 当灾害发生时，有时会利用无人机运送救灾物资。一架无人机正准备向受灾人员空投急救用品，急救用品的底面离水平地面高度h＝19.6 m，无人机以v＝10 m/s的速度水平匀速飞行。若空气阻力忽略不计，重力加速度g＝9.8 m/s2。
(1)为了使投下的急救用品落在指定地点，无人机应该在离指定地点水平距离多远的地方进行投放？
(2)投放的急救用品落到水平地面上时，速度的大小是多少？
[思路点拨] (1)急救用品离开无人机时具有与无人机相同的水平速度，且只受重力作用。因此急救用品做平抛运动。
(2)在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，并且两个分运动经历时间相同。末速度为两个分速度的矢量和。
[解析] (1)急救用品做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，得t＝。急救用品在水平方向上做匀速直线运动，在时间t内的水平位移x＝vxt＝v＝10× m＝20 m，即无人机应在离指定地点水平距离20 m处投放急救用品。
(2)设急救用品落到水平地面上时竖直方向速度的大小为vy，
根据匀变速直线运动速度与位移的关系，有＝2gh，
急救用品落到水面上时，速度的大小v＝＝＝ m/s≈22 m/s。
[答案] 见解析
[跟进训练]
2．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
D [如图所示，小球竖直方向的速度为vy＝gt，则初速度为v0＝，选项A错误；平抛运动的时间t＝，由高度决定，与初速度无关，选项C错误；位移方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝＝，tan θ＝＝，则tan θ＝2tan α，但α≠，选项B错误；由于tan θ＝，若小球的初速度增大，则θ减小，选项D正确。]
一般的抛体运动
物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示。
1．水平方向的分运动：物体做匀速直线运动，初速度vOx＝v0cos θ。
2．竖直方向的分运动：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vOy＝v0sin θ。
体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
【问题】
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、加速度有何特点？
(2)铅球离开手时速度有什么特点？
(3)铅球在最高点的速度是零吗？
(4)处理上述运动的思路是什么？
提示：(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g。
(2)其初速度不为零，初速度方向斜向上方。
(3)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
(4)利用运动合成与分解的思路。
1．斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
2．斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明)
(1)分析思路：斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
(2)速度规律(如图所示)。
水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ。
竖直速度：vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
t时刻的速度大小为v＝。
(3)位移规律。
水平位移：x＝v0xt＝v0t cos θ。
竖直位移：y＝v0t sin θ－gt2。
t时间内的位移大小为s＝，与水平方向成α角，且tan α＝。
(4)如果物体的落点与抛出点在同一水平面上，则飞行时间：t＝＝；
射高：Y＝＝；
射程：X＝v0cos θ·t＝＝。
【典例3】 如图所示，做斜上抛运动的物体到达最高点时，速度v＝24 m/s，落地时速度vt＝30 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时速度的大小和方向；
(2)物体在空中的飞行时间t。
[解析] (1)根据斜抛运动的对称性，物体抛出时的速度与落地时的速度大小相等，故v0＝vt＝30 m/s
设与水平方向夹角为θ，则cos θ＝＝
故θ＝37°。
(2)竖直方向的初速度为
v0y＝＝ m/s＝18 m/s
故飞行时间t＝＝2× s＝3.6 s。
[答案] (1)30 m/s 与水平方向夹角为37° (2)3.6 s
[跟进训练]
3．如图所示，一名运动员在参加跳远比赛，他腾空过程中离地面的最大高度为L，成绩为4L。假设跳远运动员落入沙坑瞬间的速度方向与水平面的夹角为α，运动员可视为质点，不计空气阻力。则有( )
A．tan α＝2 B．tan α＝
C．tan α＝ D．tan α＝1
D [运动员从最高点到落地的过程做平抛运动，根据对称性知平抛运动的水平位移为2L，则有L＝，解得t＝，运动员通过最高点时的速度为v＝＝，则有tan α＝＝1，选项D正确。]
1．(多选)物体在做平抛运动时，在相等时间内，相等的量是( )
A．速度的增量 B．加速度
C．位移的增量 D．位移
AB [平抛运动在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt，故A项正确；平抛运动是匀变速曲线运动，加速度是恒定的，故B项正确；在相等时间间隔Δt内，水平位移增量Δx＝v0Δt相等，而竖直位移增量Δy＝＝gt·Δt＋g(Δt)2，是随时间增大的，所以位移不是均匀变化的，故C、D项错误。]
2．做斜上抛运动的物体，到达最高点时( )
A．具有水平方向的速度和水平方向的加速度
B．速度为零，加速度向下
C．速度不为零，加速度为零
D．具有水平方向的速度和向下的加速度
D [斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。当物体到达最高点时，竖直方向上的速度减为零，水平方向上的速度不变。由于只受重力作用，所以物体始终具有竖直向下的加速度g，故D正确。]
3．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B。]
4．(2022·福建莆田市第一中学高一期中)某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A． B． C． D．
B [由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和下落高度均变为原来的，则有h＝gt2，得t＝，所以时间变为实际的，则水流出的速度v＝，由于水平位移变为实际的，时间变为实际的，则水流出的速度变为实际的，故选B。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．平抛运动的条件是什么？
提示：有水平初速度，仅受重力作用。
2．平抛运动有哪些动力学特点？
提示：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。
3．平抛运动的常用处理方法是什么？
提示：分解，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的均加速直线运动。
实际弹道曲线
弹头飞行时其重心所经过的路线称为“弹道曲线”。由于重力作用和空气阻力的影响，弹道形成不均匀的弧形。升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。膛外弹道学专门研究弹头在空中运动的规律，例如弹头的重心运动、稳定性等也都会影响到弹道曲线。斜抛射出的炮弹，其实际射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，当然路线也不会是理想曲线。物体在空气中运动受到的阻力，与物体运动速率的大小有密切关系：物体的速率低于200 m/s 时，可认为阻力与物体速率大小的平方成正比；速率达到400～600 m/s时，空气阻力和速率大小的三次方成正比；在速率很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。总之，物体运动的速率越小，空气阻力的影响就越小，抛体的运动越接近理想情况。例如，不计空气阻力，某低速迫击炮的理想射程是360 m，实际上能达到350 m，空气阻力的作用处于次要地位；加农炮弹的速度很大，在不计阻力时计算的理想射程能达46 km，而实际只能达到13 km，空气的阻力是不能忽视的。
(1)实际的弹道曲线由哪些因素决定？
(2)怎样增大枪炮的射程？
提示：(1)空气阻力和速度的大小。
(2)增大初速度或制为流线型减小阻力，也可增添附加装置以便在弹头飞行过程增大推力或减小空气阻力等。
课时分层作业(三) 抛体运动的规律
◎题组一 平抛运动及其规律应用
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是匀速运动
B．平抛运动是加速度不断变化的运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．做平抛运动的物体落地时速度方向可能是竖直向下的
C [做平抛运动的物体只受重力，加速度始终为重力加速度，其运动性质是匀变速曲线运动，又因平抛运动水平方向速度不变，故落地时速度方向和加速度方向不可能在同一直线上，C正确，A、B、D错误。]
2．(2022·山东潍坊市高一期中)在平抛运动中，小球的运动可分解为水平方向和竖直方向的两个分运动，下列说法正确的是( )
A．水平方向的分运动是匀加速运动
B．竖直方向的分运动是匀加速运动
C．水平方向的分速度均匀增加
D．竖直方向的分速度不变
B [平抛运动在水平方向上不受力，做匀速直线运动，故A、C错误；平抛运动在竖直方向上只受重力，初速度为零，做自由落体运动，即初速度为0的匀加速直线运动。故B正确，D错误。故选B。]
3．(2022·甘肃兰州市第一中学高一期中)如图所示，小杰在同一位置先后水平抛出三个相同的小球，分别落到水平地面的A、B、C三点，不计空气阻力，则( )
A．落到A点的球初速度最大
B．落到B点的球初速度最大
C．落到C点的球初速度最大
D．三个球的初速度大小相等
C [小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。三个小球抛出点的高度相同，所以落地时间相同，由题图可知落到C点的球水平位移最大，所以其初速度最大，故C正确。故选C。]
4．如图所示，一质点做平抛运动先后经过A、B两点，到达A点时速度方向与水平方向的夹角为30°，到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。从抛出开始计时，质点到A点与质点运动到B点的时间之比是( )
A． B．
C． D．条件不够，无法求出
B [设初速度为v0，将A、B两点的速度分解，在A点tan 30°＝＝，解得tA＝；在B点tan 45°＝＝，解得tB＝，则＝，故B正确。]
5．某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后单位时间内的排水量之比( )
A． B．
C． D．
A [设管的横截面积为S，则排水量为V排＝SL，L＝vt，减排前，水流速为v1，则t时间内排水量V排1＝Sv1t＝Sx0，减排后，水流速为v2，则t时间内排水量V排2＝Sv2t＝Sx1，减排前、后单位时间内的排水量之比＝，故选项A正确。]
◎题组二 一般抛体运动
6．如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)( )
A．物体在C点的速度为零
B．物体在A点的速度与在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D．物体在A、B两点的竖直分速度相同
C [斜抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，故A错误，C正确；物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错误。]
7．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
CD [A、B两球都做斜上抛运动，只受重力作用，加速度即为重力加速度，A项错误；在竖直方向上做竖直上抛运动，由于能上升的竖直高度相同，竖直分速度相等，所以两小球在空中飞行的时间相等，B项错误；由于B球的水平射程比较大，故B球的水平速度及落地时的速度均比A球的大，C、D项正确。]
8．(多选)如图所示，一物体以初速度v0做斜抛运动，v0与水平方向成θ角。AB连线水平，则从A到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．上升时间t＝
B．最大高度h＝
C．在最高点速度为0
D．AB间位移xAB＝
ABD [将物体的初速度沿着水平和竖直方向分解，有：v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ，上升时间t＝＝，故A正确；根据位移公式，最大高度为：h＝＝，故B正确；在最高点速度的竖直分量为零，但水平分量不为零，故最高点速度不为零，故C错误；结合竖直上抛运动的对称性可知，运动总时间为：t′＝2t＝，所以AB间的位移：xAB＝v0xt′＝，故D正确。]
9．(多选)如图所示，节水灌溉中的喷嘴距地高0.8 m，假定水从喷嘴水平喷出，喷灌半径为4 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．水下落的加速度为8 m/s2
B．水从喷嘴到地面的时间为0.4 s
C．水从喷嘴喷出后速度不变
D．水从喷嘴喷出的速率为10 m/s
BD [水喷出后做平抛运动，下落的加速度为10 m/s2，故A错误；根据h＝gt2得t＝＝ s＝0.4 s，故B正确；水从喷嘴喷出后竖直分速度增大，水平分速度不变，故合速度增大，故C错误；水从喷嘴喷出的速率v0＝＝ m/s＝10 m/s，故D正确。]
10．(多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
BD [设网球飞出时的速度为v0，竖直方向＝2g(H－h)，代入数据得：v0竖直＝m/s＝12 m/s，则v0水平＝ m/s＝5 m/s，网球水平方向到P点的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·＝6 m，根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量：v0水平⊥＝v0水平·＝4 m/s，平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·＝3 m/s，反弹后，垂直墙面的速度分量：v′水平⊥＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s，则反弹后的网球速度大小为v＝＝3 m/s，网球落到地面的时间t′＝＝ s＝1.3 s，着地点到墙壁的距离d＝v′水平⊥t′＝3.9 m，故B、D正确，A、C错误。]
11．(2022·河南开封高一检测)用30 m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角(g取10 m/s2)。
(1)求此时物体相对于抛出点的水平位移和竖直位移；
(2)再经多长时间，物体的速度与水平方向的夹角为60°？
[解析] 根据题意，可知物体的运动在水平方向是匀速直线运动，在竖直方向为自由落体运动，运动示意图如图所示：
(1)由图示可知tan 30°＝＝
tA＝＝ s
所以，在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝30 m
竖直方向的位移y＝＝15 m。
(2)设物体在B点时的速度方向与水平方向成60°角，总飞行时间为tB，则
tB＝＝3 s
所以，物体从A点运动到B点经历的时间Δt＝tB－tA＝2 s。
[答案] (1)30 m 15 m (2)2 s
12．单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的位移的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
[解析] (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vM sin 72.8° ①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mg cos 17.2°＝ma1 ②
由运动学公式得d＝ ③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。 ④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得v2＝vM cos 72.8° ⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mg sin 17.2°＝ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝ ⑦
L＝v2t＋a2t2 ⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。
[答案] (1)4.8 m (2)12 m素养提升课(一) 小船渡河与关联速度问题
1．进一步理解合运动与分运动，掌握运动合成与分解的方法。
2．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题。
小船渡河问题
1．运动分析：小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动。
2．两类常见问题
(1)渡河时间问题：
①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝。
②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时t＝。
(2)最短位移问题：
①若v水②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝，最短位移x短＝。
【典例1】 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？
[思路点拨] 求解小船渡河问题应理清以下问题：
(1)船头指向是小船在静水中的速度的方向；
(2)小船实际运动的方向是合速度的方向；
(3)v水＞v船时，小船不能垂直河岸渡河。
[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示。
时间t＝＝ s＝36 s
v合＝＝ m/s
位移为x＝v合t＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°。
最小位移为xmin＝d＝180 m
所用时间t′＝＝＝ s＝24 s。
(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝＝36 s；当水流速度变为6 m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cos α＝，最小位移为x′min＝＝d＝×180 m＝216 m。
[答案] (1)船头朝垂直于河岸方向 36 s 90 m (2)船头偏向上游，与河岸夹角为60° 24 s 180 m (3)36 s 216 m
研究小船渡河问题的思路
(1)→应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关。
(2)→可画出小船的速度分解图进行分析。
(3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。
[跟进训练]
1．(2022·重庆南开中学高一期末)如图所示，两岸平行的小河，水流速度恒为v＝4 m/s，小船自A处出发，沿航线AB渡河，到达对岸B处。AB与下游河岸的夹角θ＝37°。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则小船在静水中的速度不可能为( )
A．2.2 m/s B．2.4 m/s
C．4 m/s D．6 m/s
A [船的最小速度为v船＝v sin 37°＝4×0.6 m/s＝2.4 m/s，故A不可能，BCD可能。]
2．(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示，则( )
A．快艇的运动轨迹一定为直线
B．快艇的运动轨迹一定为曲线
C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s
D．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m
BC [两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合初速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确；当快艇相对于静水的速度方向垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d＝at2，得t＝20 s，位移应大于100 m，选项C正确，D错误。]
关联速度问题
1．关联速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为关联速度。
2．关联速度的思路
(1)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。
(2)确定合运动的两个效果。
用轻绳或可自由转动的轻杆连接的―→
物体的问题相互接触的物体的问题―→
3．常见的速度分解模型
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
【典例2】 如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，且v1＝v保持不变。
(1)求两绳夹角为θ时，物体上升速度v2的大小；
(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？
(3)在汽车做匀速直线运动的过程中，绳子对物体的拉力F与物体所受重力mg的大小关系如何？
[思路点拨] 解此题要注意两点：
(1)汽车运动的速度v1是合速度，可沿绳和垂直于绳分解。
(2)物体的速度v2等于绳子的速度。
[解析] (1)根据实际效果可将汽车的运动分解为沿绳方向上的运动和垂直于绳方向上的运动，如图所示，则有v2＝v1sin θ＝v sin θ。
(2)当汽车水平向左做匀速直线运动时，角度θ变大，由v2＝v sin θ知，绳的运动速度变大，即物体将加速上升。
(3)物体加速上升，即物体所受合外力的方向竖直向上，而物体只受重力和拉力的作用，故拉力F大于物体的重力mg，即F＞mg。
[答案] (1)v sin θ (2)加速上升 (3)F＞mg
[跟进训练]
3．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2
B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ
D．v1＝v2sin θ
C [可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。]
4．如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为( )
A．小船做变速运动，vx＝
B．小船做变速运动，vx＝v0cos α
C．小船做匀速直线运动，vx＝
D．小船做匀速直线运动，vx＝v0cos α
A [小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度vx应分解为沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且vx＝。]
素养提升练(一) 小船渡河与关联速度问题
一、选择题
1．一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸。假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的( )
A B
C D
C [水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误。]
2．(2021·辽宁卷)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为( )
A．75 s B．95 s
C．100 s D．300 s
D [河宽d＝300 m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度v＝1 m/s，渡河时间最短为tmin＝＝ s＝300 s，故选项D正确。]
3．(2022·上海市延安中学高一期末)某船在静水中的划行速度v1＝4 m/s，要渡过宽为d＝30 m的河，河水的流速v2＝5 m/s，下列说法正确的是( )
A．该船渡河所用时间至少是6 s
B．该船的最短航程为30 m
C．河水的流速增大，而渡河的最短时间不变
D．该船以最短时间渡河时的位移大小为30 m
C [当船的静水速度与河岸垂直时，渡河时间最小，即为t＝＝7.5 s，A错误；根据平行四边形定则，由于静水速小于水流速，则合速度不可能垂直于河岸，即船不可能垂直到达对岸，那么最短航程大于30 m，B错误；根据运动的等时性原理知河水的流速不影响渡河的时间，即静水速度与河岸垂直时，当河水的流速增大，渡河时间不变，C正确；当静水速度与河岸垂直时，根据平行四边形定则，合速度不可能垂直于河岸，即船不可能垂直到达对岸，那么渡河时的位移大于30 m，D错误。]
4．(多选)如图所示，小船速度大小为v1，方向与上游河岸成θ角，从A处过河，正好到达正对岸的B处。现水流速度变大少许，要使小船过河也正好到达正对岸的B处，下列方法中可行的有( )
A．保持v1不变，同时增大θ角
B．保持v1不变，同时减小θ角
C．保持θ角不变，增大v1大小
D．保持θ角不变，减小v1大小
BC [由题意可知，水流速度增大时，保持航线不变能垂直到达对岸B处，则需满足v1cos θ＝v水，v水增大时可以保持v1不变减小θ角，也可以保持θ角不变增大v1，故B、C选项正确。]
5．(2022·合肥一六八中学高一期中)某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定。已知此人过河最短时间为T1；若此人用最短的位移过河，则需时间为T2；已知船在静水中的划行速度大于河水流速。则船的划行速率与水流速率之比为( )
A． B．
C． D．
A [设河宽为d，船在静水中的速率为v1，河水流速为v2，最短时间过河时，有T1＝，最小位移过河时v合＝，则T2＝，联立计算得＝，故B、C、D错误，A正确。故选A。]
6．(2022·浙江宁波高一期末)如图为某校学生跑操的示意图，跑操队伍宽d＝3 m，某时刻队伍整齐的排头刚到达AB，在A点的体育老师此时准备从队伍前沿经直线匀速到达BC边处某点，且不影响跑操队伍，已知学生跑操的速度v＝2 m/s，B、C之间的距离为L＝4 m，则以下说法正确的是( )
A．体育老师的速度可能为2 m/s
B．体育老师速度方向与AB平行
C．体育老师可能在0.5 s到达BC边
D．若体育老师要跑到BC边中点D处，其速度大小为3.5 m/s
C [体育老师匀速运动从A到BC边某处，且不影响跑操队伍，则其一方面沿着队伍行进方向的速度vx不能小于2 m/s，另一方面还要有一个垂直于跑操队伍前进方向的速度vy，其实际速度(v师＝)一定大于2 m/s，与AB有一定夹角，故A、B都错误；若体育老师在0.5 s到达BC边，则其垂直于跑操队伍前进方向的速度vy＝，代入数据可得vy＝6 m/s，体育老师平行于跑操队伍运动方向的速度vx≥2 m/s，其合速度v师≥2 m/s即可，作为体育老师，是可以实现的，故C正确；若体育老师要跑到BC边中点D处，则运动时间t＝≤1 s，则其垂直于跑操队伍前进方向的速度vy＝≥3 m/s，体育老师平行于跑操队伍运动方向的速度vx≥2 m/s，则合速度v师≥ m/s，故D错误。]
7．如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为( )
A．v B．
C．v cos θ D．v sin θ
D [将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝v sin θ，故D正确。
]
8．(2022·四川达州高一期末)如图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接活塞A，另一端与曲柄上B点相连，活塞A沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时( )
A．vA cos θ＝vB B．vB cos θ＝vA
C．vA＝vB D．vA sin θ＝vB
C [由速度合成和分解图可得v1＝vB cos θ，则当OB刚好水平，曲柄上B点的速率为vB刚好方向竖直，则有v1＝v′1＝vA cos θ＝vB cos θ，可得vA＝vB，故A、B、D错误，C正确。故选C。]
9．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )
A．v sin α B．
C．v cos α D．
C [将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为v1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为v2)，如图所示。船的速率等于沿绳方向的分速度v1＝v cos α，选项C正确。
]
10．(2022·山东师大附中期中)如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，细线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动细线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中的B位置时，细线与竖直方向的夹角为θ，则此时铁球( )
A．竖直方向速度大小为v cos θ
B．竖直方向速度大小为v sin θ
C．竖直方向速度大小为v tan θ
D．相对于地面速度大小为v
B [细线与光盘的交点参与两个运动，一是逆着细线的方向运动，二是垂直细线的方向运动，则合运动的速度大小为v，由三角函数关系，则有v线＝v sin θ，而沿细线的速度就是铁球上升的速度大小，故B正确，A、C错误；球相对于地面的速度大小为v′＝，故D错误。]
11．如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为( )
A．5 m/s B． m/s
C．20 m/s D．m/s
D [物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vB cos α，由于绳不可伸长，所以绳OA段伸长的速度等于绳BO段缩短的速度，所以有vB∥＝vA，故vA＝vB cos α，所以vB＝＝ m/s，选项D正确。]
12．(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度为(－1)d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
ABD [小环释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，而v1＝v cos θ，故v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(－1)d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，v1＝v cos 45°＝v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于，C项错误，D项正确。]
二、非选择题
13．如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求：
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD。
[解析] (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s。
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α
此时渡河时间为t＝
所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。
[答案] (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m素养提升课(二) 平抛运动规律的应用
1．掌握平抛运动的推论并用来解决相关平抛运动的实际问题。
2．能熟练运用平抛运动规律解决斜面上的平抛运动问题。
3．掌握平抛中的临界值极值问题的处理方法。
平抛运动的两个推论
推论1：从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，如图所示。
证明：
推论2：从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点，如图所示。
证明：
【典例1】 如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足( )
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
D [法一 由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有关系tan φ＝2tan θ，选项D正确。
法二 设小球飞行时间为t，则tan φ＝＝，tan θ＝＝＝，故tan φ＝2tan θ，选项D正确。]
[跟进训练]
1．如图为一物体做平抛运动的轨迹，物体从O点抛出，x、y分别表示其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P(x0，y0)，其速度vP的反向延长线交x轴于A点(A点未画出)。则OA的长度为( )
A．x0 B．0.5x0
C．0.3x0 D．不能确定
B [法一 由题意作图，设v与水平方向的夹角为θ，由几何关系得tan θ＝①
由平抛运动规律得
水平方向有x0＝v0t②
竖直方向有y0＝vyt③
由①②③得tan θ＝
在△AEP中，由几何关系得AE＝＝
所以OA＝x0－＝0.5x0。
法二 由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度矢量的反向延长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。]
2．如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球以2v0的速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
B [因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝＝，所以＝。]
与斜面(曲面)相关的平抛运动
1．两类与斜面相关的平抛运动
(1)常见的有两类问题。
①物体从斜面上某一点抛出以后又重新落到斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
②做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度方向与斜面垂直。
(2)基本求解思路。
题干信息 实例 处理方法或思路
速度方向 垂直打在斜面上的平抛运动 (1)画速度分解图，确定速度与竖直方向的夹角θ (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy (3)根据tan θ＝列方程求解
位移方向 从斜面上水平抛出后又落在斜面上的平抛运动 (1)确定位移与水平方向的夹角α，画位移分解图 (2)根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y (3)根据tan α＝列方程求解
2．常见的两种与曲面相关的平抛运动
(1)抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在圆形轨道上的C点。
(2)抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
与斜面相关的平抛运动
【典例2】 如图所示，一个小球从高h＝10 m处以水平速度v0＝10 m/s抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P点，已知AC＝5 m，重力加速度大小取g＝10m/s2。求：
(1)P、C之间的距离；
(2)小球撞击P点时速度。
[解析] (1)设P、C之间的距离为L，根据平抛运动规律
xAC＋L cos 45°＝v0t
h－L sin 45°＝gt2
联立解得L＝5 m，t＝1 s。
(2)小球撞击P点时的水平速度vx＝v0＝10 m/s，竖直速度vy＝gt＝10 m/s
小球撞击P点时速度的大小为v＝＝10 m/s
设小球的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，α＝45°，则方向垂直于斜面向下，所以小球垂直于斜面向下撞击P点。
[答案] (1)5 m (2)10 m/s，方向垂直于斜面向下
与曲面相关的平抛运动
【典例3】 (多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O点为半圆柱体的圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度为g＝10m/s2，则( )
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
[思路点拨] 将小球在C点的速度和经过的位移沿水平方向和竖直方向分解，然后利用圆的几何特点结合平抛运动规律进行求解，注意速度方向与水平方向夹角的正切值等于位移方向与水平方向夹角正切值的2倍。
AC [小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，根据几何关系可知小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝，又水平位移x＝1.6R，tan θ＝＝，R＝0.75 m，解得y＝ m，根据y＝gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0＝4 m/s。选项A、C正确。]
[跟进训练]
3．(多选)如图所示，从半径为R＝1 m的半圆PQ上的P点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g＝10 m/s2，据此判断小球的初速度可能为( )
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
AD [小球下降的高度h＝gt2＝×10×0.42 m＝0.8 m，若小球落在左边四分之一圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(R－x)2，解得水平位移x＝0.4 m，则初速度v0＝＝ m/s＝1 m/s，若小球落在右边四分之一圆弧上，根据几何关系有R2＝h2＋(x′－R)2，解得水平位移x′＝1.6 m，初速度v0′＝＝ m/s＝4 m/s。故A、D正确，B、C错误。]
4．(多选)如图所示，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶点O水平抛出，分别落到斜面上的A、B两点，A点为OB的中点，不计空气阻力。以下说法正确的是( )
A．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度的方向相同
B．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度大小之比为1∶
C．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为1∶
D．甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为1∶2
ABC [设小球落在斜面上时，速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝，tan θ＝＝，可知tan α＝2tan θ，因为小球落在斜面上时，位移与水平方向的夹角为定值，可以知道，两球接触斜面的瞬间，速度方向相同，A项正确；因为两球下落的高度之比为1∶2，根据h＝gt2得t＝，可以知道甲、乙两球运动的时间之比为1∶，则竖直分速度之比为1∶，因为两球落在斜面上时速度方向相同，根据平行四边形定则可知，两球接触斜面的瞬间，速度大小之比为1∶，B、C两项正确；因为两球平抛运动的水平位移为1∶2，时间之比为1∶，则初速度之比为1∶，D项错误。]
平抛中的临界、极值问题
1．将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，是求解平抛运动的基本方法。
2．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出产生临界的条件。
3．确定临界状态，并画出轨迹示意图。
4．注意适当运用数学知识分析求解有关临界与极值问题。
【典例4】 如图所示，排球场的长为18 m，球网的高度为2 m。运动员站在离网3 m远的线上，正对球网竖直跳起，把球垂直于网水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)设击球点的高度为2.5 m，球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度为多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。
[思路点拨] 排球被击出后做平抛运动，若速度过大就会出界，若速度过小就会触网。
[解析] (1)如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平抛运动的规律，由x＝v0t和h＝gt2可得，当排球恰不触网时有
x1＝3 m，x1＝v1t1 ①
h1＝2.5 m－2 m＝0.5 m，h1＝ ②
由①②可得v1＝3 m/s
当排球恰不出界时有
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v2t2 ③
h2＝2.5 m，h2＝ ④
由③④可得v2＝12 m/s
所以排球既不触网也不出界的速度范围是
3 m/s＜v0≤12 m/s。
(2)如图所示为排球恰不触网也不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，根据平抛运动的规律有
x1＝3 m，x1＝v0t′1 ⑤
h′1＝h－2 m，h′1＝ ⑥
x2＝3 m＋9 m＝12 m，x2＝v0t′2 ⑦
h′2＝h＝ ⑧
由⑤⑥⑦⑧式可得，所求高度h＝ m。
[答案] (1)3 m/s＜v0≤12 m/s (2) m
平抛运动临界、极值问题的常见特点
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
[跟进训练]
5．小亮在河岸做抛石子游戏。如图所示为河的横截面示意图，小亮自O点以垂直岸边的水平速度向对岸抛石子。已知O点离水面AB的高度为h，O、A两点间的水平距离为x1，水面AB的宽度为x2，河岸倾角为θ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)若石子直接落到水面上，求其在空中飞行的时间t；
(2)为使石子直接落到水面上，求抛出的速度v0的大小范围。
[解析] (1)根据h＝gt2得，石子在空中飞行时间t＝。
(2)要使小球落到水面上，则水平位移的范围为
x1≤v0t≤x1＋x2
解得x1≤v0≤(x1＋x2)。
[答案] (1) (2)x1≤v0≤(x1＋x2)
类平抛运动的分析与求解
1．类平抛运动
类平抛运动是一种匀变速曲线运动。在初速度方向上不受力，初速度保持不变；在与初速度垂直的方向上存在一恒力，区别于平抛运动中的重力。
2．类平抛运动的特点及处理方法
受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直
运动特点 在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝
处理 方法 常规 分解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立、互不影响，且与合运动具有等时性
特殊 分解 对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y轴方向列方程求解
【典例5】 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，取重力加速度为g，试求：
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v。
[思路点拨] (1)物块沿斜面做类平抛运动。
(2)物块沿垂直于初速度方向的加速度为g sin θ。
(3)物块沿水平方向的位移为b。
[解析] (1)物块做类平抛运动，
由mg sin θ＝ma
可知，物块的加速度a＝g sin θ
由l＝at2可得，物块由P运动到Q所用的时间
t＝。
(2)由b＝v0t可得物块的水平射入时的初速度v0＝b。
(3)由vy＝at，v＝可得v＝。
[答案] (1) (2)b (3)
类平抛运动问题的求解思路
(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，并明确两个分运动的方向。
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移。
(3)根据题目的已知条件与未知条件，充分利用运动的等时性、独立性、等效性。
[跟进训练]
6．如图所示，质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)在高度h处飞机的速度大小。
[解析] (1)飞机水平速度不变l＝v0t
竖直方向加速度恒定h＝at2
消去t即得a＝
由牛顿第二定律：F＝mg＋ma＝。
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度vy＝at＝
则速度大小：v＝＝v0。
[答案] (2)v0
素养提升练(二) 平抛运动规律的应用
一、选择题
1．如图所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( )
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
A [当水平速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点的水平直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点(如图)，即以速度2v0水平抛出时将落在斜面上的b与c之间的某一点。]
2．如图所示，斜面底端上方高h处有一小球以水平初速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，不计空气阻力，斜面的倾角为30°，则关于h和初速度v0的关系，下列图像正确的是( )
A B C D
D [将小球刚要打到斜面上的速度沿竖直和水平方向进行分解，则有tan 30°＝，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，由几何关系得tan 30°＝，解得h＝，h-v0图像应是开口向上的抛物线，选项A、B、C错误，D正确。]
3．如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则( )
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
C [小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为β，有夹角的正切值tan β＝＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，且β＝α＋θ，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确。]
4．(多选)如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，水平地跳跃并离开屋顶，然后落在下一栋建筑物的屋顶上。如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．他安全跳过去是可能的
B．他安全跳过去是不可能的
C．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应大于6.2 m/s
D．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于4.5 m/s
BC [由h＝gt2，x＝v0t，将h＝5 m、x＝6.2 m代入解得安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2 m/s，B、C正确，A、D错误。]
5．如图所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A开始做平抛运动，甲球落在轨道最低点D，乙球落在D点右侧的轨道上。设甲、乙两球的初速度分别为v甲、v乙，在空中运动的时间分别为t甲、t乙，则下列判断正确的是( )
A．t甲＝t乙 B．t甲C．v甲＞v乙 D．v甲＜v乙
D [根据平抛运动规律可知，小球在空中运动的时间仅由下落高度决定，乙球下落高度小于甲球，故t乙＜t甲，选项A、B错误；水平位移x＝vt，而x乙＞x甲，t乙＜t甲，所以v甲＜v乙，选项D正确，C错误。]
6．利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好沿纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是( )
A．在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B．在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C．在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D．在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
C [在P点的初速度减小，则下降到篓上沿这段时间内，水平位移变小，则纸团不能进入篓中，故A错误；在P点的初速度增大，则下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误；在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v0知，水平位移可以减小，也不会与篓的左边沿相撞，可直接击中篓底的正中间，故C正确；在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团可能进篓，但不能直接击中篓底正中间，故D错误。]
7．(多选)如图所示，斜面AB固定在水平地面上，斜面的倾角α＝37°、长度为1 m。在顶点水平向左抛出一个小球，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，经过一段时间后，小球落在水平地面上或者斜面上，对于这一过程，下列说法正确的是( )
A．若小球的初速度为3 m/s，则小球落在水平地面上
B．若小球落在水平地面上，则小球在空中运动的时间为0.4 s
C．若小球落在斜面上，则初速度越大，落点处的速度方向与水平方向的夹角越大
D．只要小球落在斜面上，落点处的速度方向与水平方向的夹角就都相同
AD [当小球恰好落在B点时，1·cos α＝v0t，1·sin α＝得t＝ s，v0＝ m/s≈2.3 m/s，v>v0，A正确，B错误；若初速度小于v0，小球始终落在斜面上，位移偏角保持不变，故速度夹角也保持不变，C错误，D正确。]
8．如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
C [小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，设为t，对A球x＝v1t，y＝gt2，又tan 30°＝，联立得v1＝gt；小球B恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝＝，则v2＝gt，所以v1∶v2＝3∶2，所以C正确。]
9．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g，若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A．＜v＜L1
B．
C．
D．
D [当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小。由平抛运动规律得＝v1t，2h＝gt2，联立解得v1＝。当发射机正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大。由平抛运动规律得＝v2t′，3h＝gt′2，联立解得v2＝。即速度v的最大取值范围为。选项D正确，选项A、B、C错误。]
10．如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )
A．A、B的运动时间相同
B．A、B沿x轴方向的位移相同
C．A、B运动过程中的加速度大小相同
D．A、B落地时速度大小相同
D [设O点与水平面的高度差为h，由h＝，＝可得：t1＝，t2＝，故t1＜t2，A错误；由x1＝v0t1，x2＝v0t2可知，x1＜x2，B错误；由a1＝g，a2＝g sin θ可知，C错误；A落地的速度大小为vA＝＝，B落地的速度大小vB＝＝，所以vA＝vB，故D正确。]
二、非选择题
11．如图所示，水平地面上有一高h＝4.2 m的竖直墙，现将一小球以v0＝6.0 m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离x＝3.6 m、离地面高H＝5.0 m，不计空气阻力，不计墙的厚度。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球碰墙点离地面的高度h1；
(2)若仍将小球从原位置沿原方向抛出，为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度v的大小应满足什么条件？
[解析] (1)小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，由平抛运动的规律有
水平方向上x＝v0t ①
竖直方向上H－h1＝gt2 ②
联立①②式并代入数据可得h1＝3.2 m。
(2)设小球以v1的初速度抛出时，小球恰好沿墙的上沿越过墙，小球从抛出至运动到墙的上沿历时t1，由平抛运动的规律有水平方向x＝v1t1 ③
竖直方向H－h＝ ④
联立③④式并代入数据可得v1＝9.0 m/s，所以小球越过墙要满足初速度v≥9.0 m/s。
[答案] (1)3.2 m (2)初速度v≥9.0 m/s
12．跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，测得ab间的距离L＝40 m，斜坡与水平方向的夹角为θ＝30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则(计算结果可用根式表示)：
(1)运动员在空中的飞行时间及在b处着陆时的速率是多少？
(2)运动员飞出后经多长时间离坡面最远，最远距离是多少？
(3)若斜坡足够长、与水平方向的夹角为θ，则运动员在斜坡上飞行的距离L与运动员从跳台a处水平飞出的速度v0之间有怎样的函数关系？已知重力加速度为g。
[解析] (1)依题意，运动员在空中做平抛运动，竖直方向有
h＝gt2
又因为h＝L sin 30°＝20 m，解得t＝＝2 s
水平方向x＝L cos 30°＝20 m
所以得v0＝＝10 m/s，vy＝gt＝20 m/s
vb＝＝10 m/s。
(2)法一 当速度与斜坡平行时距离斜坡最远，如图
则有vy1＝v0tan 30°＝gt1
所以t1＝＝1 s
又aC＝v0t1＝10 m＝x
所以有CE＝h＝10 m，CD＝＝5 m，DE＝CE－CD＝5 m
此时离开斜坡最远距离DF＝DE cos 30°＝ m。
法二 将v0与g往平行斜面方向与垂直斜面方向分解，当运动员垂直斜面方向的速度减为0时离斜面最远，如图所示
则有v1＝v0sin 30°，g1＝g cos 30°，在垂直斜面方向上＝2g1H，t1＝＝1 s
所以H＝＝＝ m。
(3)设运动员在空中的飞行时间为t，则h＝gt2，x＝v0t，
由tan θ＝＝＝得t＝
所以x＝v0t＝
L与v0之间的函数关系L＝＝(或L＝＝)。
[答案] (1)2 s 10 m/s (2)1 s m (3)L＝(或L＝)
