2．万有引力定律
1．知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式。
2．通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件。
3．认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题。
行星与太阳间的引力 月—地检验
1．行星与太阳间的引力
(1)模型简化：行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，受到一个指向圆心(太阳)的引力，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)太阳对行星的引力：F＝＝m·＝，结合开普勒第三定律得F＝4π2k∝。
(3)行星对太阳的引力：根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝。
(4)太阳与行星间的引力：由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝G，式中G为比例系数，与太阳、行星都没有关系。
(5)太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
2．月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，表达式应该满足F＝G。月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G。(式中m地为地球质量，r为地球中心与月球中心的距离。)
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G(式中m地为地球质量，R是地球中心与苹果间的距离)。
(3)分析：由以上两式可得＝。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝。
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
如图所示，是行星绕太阳所做的匀速圆周运动与我们平常生活中见到的匀速圆周运动
【问题】
(1)行星的圆周运动和一般物体的圆周运动是否符合同样的动力学规律？
(2)行星做匀速圆周运动向心力由谁提供？
(3)行星的质量远小于太阳的质量，行星对太阳的作用力远小于太阳对行星的作用力吗？
提示：(1)行星所做的匀速圆周运动与平常我们见到的一般物体的匀速圆周运动符合同样的动力学规律。
(2)行星受到太阳的吸引力，此力提供行星绕太阳运转的向心力。
(3)不是，二者是作用力与反作用力，大小相等。
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力。
(2)太阳与行星间的引力。
【典例1】 1665年，牛顿研究“是什么力量使得行星围绕太阳运转”的问题。若把质量为m的行星围绕太阳的运动近似看作匀速圆周运动，运用开普勒第三定律T2＝，则可推得( )
A．行星受太阳的引力为F＝k
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力F＝
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
C [行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得F＝mr，结合开普勒第三定律T2＝，可得F＝，故A错误，C正确；由F＝可知引力F与距离r、行星的质量m都有关，行星受太阳的引力不都相同，则质量越大的行星受太阳的引力不一定越大，故B、D错误。]
太阳与行星间的引力的两点注意
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
[跟进训练]
1．(多选)在书中我们了解了牛顿发现万有引力定律的伟大过程。过程1：牛顿首先证明了行星受到的引力F∝、太阳受到的引力F∝，然后得到了F＝G，其中M为太阳质量，m为行星质量，r为行星与太阳的距离；过程2：牛顿通过苹果和月球的加速度比例关系，证明了地球对苹果、地球对月球的引力具有相同性质，从而得到了F＝G的普适性。那么( )
A．过程1中证明F∝，需要用到圆周运动规律F＝m或F＝mr
B．过程1中证明F∝，需要用到开普勒第三定律＝k
C．过程2中牛顿的推证过程需要用到“月球自转周期”这个物理量
D．过程2中牛顿的推证过程需要用到“地球半径”这个物理量
ABD [行星绕太阳做圆周运动，可知太阳对行星的引力提供了向心力，即F＝m，又有v＝，可得F＝；由开普勒第三定律＝k，变形可得T2＝，代入可得F＝4π2k，从而证明F∝，故A、B正确；假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G(式中m地是地球的质量，r是地球中心与月球中心的距离)。假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G(式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间距离)，由以上两式可得＝，由于月球中心与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝，从而得到F＝G的普适性，在推理中无需用到“月球自转周期”这个物理量，故C错误，D正确。]
万有引力定律 引力常量
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式：F＝G。
2．引力常量
(1)测量者：卡文迪什。
(2)数值：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动，万有引力F＝G提供向心力。
【问题】
(1)公式F＝G中r的含义是什么？
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝G计算出来吗？为什么？
(3)万有引力定律指出，任何物体间都存在引力，为什么我们身边的人或物没有吸引在一起呢？
提示：(1)r指的是两个质点间的距离。
(2)不能。万有引力定律的表达式F＝G只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间或者质点和质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，对于形状不规则、质量分布不均匀的物体，r不易确定。
(3)任何物体间都存在引力，只是我们身边的人或物的质量比起天体的质量小得多，所以我们身边的人或物之间的万有引力相较于自身受到的摩擦力小的多，故不可能吸在一起。
1．对万有引力定律表达式F＝G的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用力，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
对万有引力定律的理解
【典例2】 (多选)下列说法正确的是( )
A．万有引力定律F＝G适用于两质点间的作用力计算
B．根据F＝G，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
AD [万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算他们间的万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m引力的合力为零，故C错误。]
万有引力的计算
【典例3】 如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A． B．G
C． D．
B [对于质量分布均匀的两小球来说，计算二者间的万有引力时，r取两球心间的距离，两球间的万有引力大小F＝G，故B正确。]
[跟进训练]
2．(多选)下列关于万有引力定律的说法中正确的有( )
A．万有引力定律是开普勒发现的
B．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用
C．F＝G中的G是由卡文迪什测定的一个比例常数，没有单位
D．F＝G中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离
BD [万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故A错误；万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，故B正确；F＝G中的G是一个比例常数，单位为N·m2/kg2，故C错误；F＝G中的r可以是两个质量分布均匀的球体球心间的距离，故D正确。]
3．2022年8月4日，我国成功发射首颗陆地生态系统碳监测卫星“句芒号”。在卫星从发射到进入预定轨道的过程中，卫星所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是( )
A B C D
B [设地球的质量为M、半径为R，卫星的质量为m，则卫星所受万有引力大小F＝G，h增大，F减小，但不是线性减小，故B正确。]
万有引力与重力的关系
假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。
【问题】
(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？
(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？
(3)重力就是地球对物体的万有引力吗？
(4)在什么情况下，可以认为重力的大小等于万有引力？
提示：(1)在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应点的地球半径指向地心。
(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
(3)不是，重力是地球对物体万有引力的一个分力。
(4)在地球表面附近，不考虑物体随地球自转，可以认为重力的大小等于万有引力。
1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G。
2．万有引力产生两个分力：除南北极外，万有引力产生两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体挤压地面的效果。
3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。
4．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于物体所受到的万有引力，即mg＝G，所以地球表面的重力加速度g＝。
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg′＝G，所以h高度处的重力加速度g′＝。
【典例4】 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为( )
A．2π B．2π
C．2π D．2π
B [质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G，联立解得T＝2π，B正确。]
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，即mg＝G。
(2)若题目中需要考虑地球自转的影响，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别，两极处：mg0＝G；赤道处：mg＋Fn＝G。
[跟进训练]
4．航天员王亚平已经在太空进行了多次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．
C． D．
B [“天宫一号”飞船绕地球飞行时与地球之间的万有引力F引＝G，由于“天宫一号”飞船绕地球飞行时重力与万有引力相等，即mg＝G，故飞船所在处的重力加速度g＝G，故B正确，A、C、D错误。]
5．某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A． B．
C． D．
B [由万有引力定律得，物体在“赤道”处有G－mg＝mω2R，在“两极”处有G＝1.1mg，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝，B正确，A、C、D错误。]
1．(多选)物理学中的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是( )
A．卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
ACD [已知地球半径R，地球表面重力加速度g，利用＝mg得M＝，从而能称出地球的质量，卡文迪什测出了关键的引力常量G，故被称为“首个测量地球质量的人”，故A正确；万有引力定律是1687年牛顿发现的，故B错误；地面上普通物体间的引力太微小，引力常量不易测量，该实验装置通过光的反射，利用放大原理，提高了测量精度，故C、D正确。]
2．下列关于万有引力定律的说法正确的是( )
A．只有天体间才有万有引力
B．任意两个物体之间都存在万有引力
C．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，它们之间的万有引力变为2F
D．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，它们之间的万有引力变为F
B [任意两个物体之间都存在万有引力，A错误，B正确；两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加到2倍时，根据万有引力定律F＝G，可知它们之间的万有引力变为F，故C、D错误。]
3．在离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度的大小是地球表面处的( )
A．4倍 B．2倍
C． D．
D [由mg＝G知，g＝G，g0＝G，当h＝R时，g0＝g，D正确。]
4．用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A．在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B．在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C．在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D．在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
C [在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，即F引＝G，A、B错误；在赤道处，F引－G′＝Fn，再结合题意知＝3‰，在赤道处＝＝＝3‰，C正确；赤道处＝＝1－＝997‰，D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．万有引力定律的内容是什么？
提示：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间的距离r的二次方成反比。
2．万有引力的公式是什么？其适用条件是什么？
提示：F＝。适用于质点间或均质球体间的计算。
3．引力常量是牛顿测出来的吗？
提示：不是，是卡文迪什测出的。
课时分层作业(九) 万有引力定律
◎题组一 太阳与行星间引力
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝，这个关系式实际上是牛顿第二定律；是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
AB [开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室中无法验证的定律，故A、B正确。]
2．(多选)下面有关万有引力的说法中，正确的是( )
A．F＝G中的G是引力常量，其值是牛顿通过扭秤实验测得的
B．地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力
C．苹果落到地面上，说明地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力
D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
BCD [G是引力常量，其值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，故A错误；由万有引力定律可知，地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，故B正确；地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力是相互作用力，因此地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力，故C正确；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故D正确。]
3．(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，其向心力来源于太阳对行星的引力
BD [由F＝，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确。]
◎题组二 万有引力定律
4．根据万有引力定律，两个质量分别是m1和m2的物体，他们之间的距离为r时，它们之间的吸引力大小为F＝，式中G是引力常量，若用国际单位制的基本单位表示G的单位应为( )
A．kg·m·s-2 B．N·kg2·m-2
C．m3·s-2·kg-1 D．m2·s-2·kg-2
C [国际单位制中质量m、距离r、力F的基本单位分别是：kg、m、kg·m·s-2，根据万有引力定律F＝，得到用国际单位制的基本单位表示G的单位为m3·s-2·kg-1，C正确。]
5．(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
CD [任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。]
6．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不正确的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
D [根据万有引力定律F＝G可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A正确；使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则万有引力变为原来的，B正确；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，C正确；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则万有引力大小不变，D错误。]
◎题组三 万有引力和重力的关系
7．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
A [由F＝G可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力，在赤道上，向心力最大，重力最小，A正确；地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错误；地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错误。]
8．(2022·重庆永川北山中学高二开学考试)2021年5月15日，我国科研团队根据祝融号火星车发回的遥感信号确认，“天问一号”着陆巡视器成功着陆预定区域，我国首次火星探测任务取得圆满成功。已知火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( )
A．5g B．2.5g
C．0.4g D．0.2g
C [在地球表面重力等于万有引力mg＝，在火星表面重力等于万有引力m′g火＝，结合题意联立可得g火＝0.4g，故C正确，A、B、D错误。]
9．“月—地检验”为万有引力定律的发现提供了事实依据。已知地球半径为R，地球中心与月球中心的距离r＝60R，下列说法正确的是( )
A．卡文迪什为了检验万有引力定律的正确性首次进行了“月—地检验”
B．“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是不同性质的力
C．月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等
D．由万有引力定律可知，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度是地面重力加速度的
C [牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了“月—地检验”，故A错误；“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力的正确性，故C正确；物体在地球表面所受的重力等于其引力，则有mg＝，月球绕地球在引力提供向心力作用下做匀速圆周运动，则有＝man，联立以上两式可得an∶g＝1∶3 600，故D错误。]
10．如图所示，质量分布均匀的实心球体，其质量为M，半径为R。现在将它的左侧挖去一个半径为r＝的球体，则挖去后它对离球体表面距离R处的质量为m的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为( )
A． B．
C． D．
B [根据M＝ρV＝ρ·πR3知，挖去部分的半径是球体半径的一半，则质量是球体质量的，所以挖去部分的质量M′＝M，没挖之前，球体对质点m的万有引力F1＝G，挖去的部分对m的万有引力F2＝G＝，则剩余部分对质点的引力大小F＝F1－F2＝，则＝，故B正确。]
11．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位航天员连同航天服在地球上的质量为75 kg。(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星上航天员所受的重力为多少？
(2)航天员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？
[解析] (1)由mg＝G，得g＝
在地球上有g＝，在火星上有g′＝
所以g′＝g＝ m/s2
那么航天员在火星上所受的重力
mg′＝75× N≈333 N。
(2)在地球上，航天员跳起的高度为h＝
在火星上，航天员跳起的高度为h′＝
联立以上两式得h′＝3.375 m。
[答案] (1)333 N (2)3.375 m
12．用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，测量结果随称量位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气阻力的影响。设在地球北极称量时，弹簧测力计的读数是F0。
(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h＝0.5%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)。
(2)若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
[解析] (1)在地球北极所称量物体的重力等于万有引力，有F0＝G，在北极上空高出地面h处称量，有F1＝G，联立解得＝，当h＝0.5%R时，≈0.99。
(2)在赤道表面称量，有F2＝G－mR，联立解得＝1－。
[答案] (1) 0.99 (2)1－
13．如图所示，三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心，圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得，环的粗细忽略不计，若甲图中环对球的万有引力大小为F，则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为( )
A．F，2F B．F，0
C．F，2F D．F，F
B [将甲图圆环看成是三个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，由题知圆环对球的万有引力大小为F，所以圆环对球的万有引力大小为F；将乙图半圆环看成是两个圆环的组合，根据平行四边形定则，乙图半圆环对球的万有引力大小为F，方向向上；将丙图完整圆环看成是4个圆环的组合，关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零，因此丙图整个圆环对球的万有引力为0，故B正确。]3．万有引力理论的成就
1．了解万有引力定律在天文学上的应用，掌握解决天体运动问题的基本思路。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
“称量”地球的质量 计算天体质量
1．“称量”地球的质量
(1)合理假设：不考虑地球自转。
(2)“称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G，由此可解得m地＝。
(3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。
2．计算天体质量
(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝mr，由此可解得m太＝。
(2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量。
(3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可计算出行星的质量m行＝。
1969年7月21日，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。
【问题】
(1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？
(3)若月球半径R已知，航天员身边有些质量已知的钩码、弹簧测力计和停表等一些简单工具，试想一下航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？
提示：(1)能求出地球的质量，利用G＝mr，求出的质量M＝为中心天体即地球的质量。
(2)不能，由G＝mr可知，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的公转周期T、公转半径r无法计算月球的质量。
(3)方法1：航天员在月球上用弹簧测力计测出质量为m的物体重力为F，则F＝G，故M＝。
方法2：用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知G＝mR，故M＝。
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法。
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法。
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期
G＝mrω2 M＝
G＝mr M＝
2．天体密度的计算
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。
(2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。
【典例1】 如图所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A．M＝，ρ＝
B．M＝，ρ＝
C．M＝，ρ＝
D．M＝，ρ＝
D [对卫星有G＝mω2(R＋h)，ω＝＝，解得M＝，土星的体积V＝，土星的密度ρ＝＝，D正确。]
求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是围绕中心天体运动的行星(或卫星)的质量。
(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
[跟进训练]
1．(2022·山东济南实验中学期中)若已知引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1023 kg B．1021 kg
C．1022 kg D．1024 kg
D [在地球表面有＝mg，代入数据得M≈6.02×1024kg，D正确，A、B、C错误。]
2．我国“嫦娥二号”可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量为G，要测定月球的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定月球的体积
D．测定飞船的运行速度
A [当测定飞船在月球表面附近的运行周期为T时，设月球半径为R，飞船受到月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律G＝mR，可得月球的质量M＝，则月球的密度ρ＝＝＝，可见月球的密度可以测定，故A正确；测定飞船的环绕半径，即已知月球的半径，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故B错误；测定月球的体积，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故C错误；测定飞船的速度，由飞船受到月球的万有引力提供向心力，有G＝m可得月球的质量M＝，月球的密度为ρ＝＝＝，由于月球的半径未知，故无法求出月球的密度，故D错误。]
发现未知天体 预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球公转半径的1.5倍，根据以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)地球、火星绕太阳运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？为什么？
(3)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
提示： (1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)无关。因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉。
(3)由G＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．常用关系：
(1)G＝man＝m＝mω2r＝mr。
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”。
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由G＝m得v＝，r越大，v越小。
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。
(3)由G＝m()2r得T＝2π，r越大，T越大。
(4)由G＝man得an＝，r越大，an越小。
【典例2】 (多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
ABD [因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，而b所受的万有引力最小，故A正确；由＝man得，an＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由＝得，T＝2π，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等，且大于a的周期，B正确；由G＝m得，v＝，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，D正确。]
解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化解题方式。
[跟进训练]
3．天文学家发现了一颗“超级地球”，命名为“55 Cancri e”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
B [由公式G＝mr，可得r＝，C、D错误。]
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归
ACD [海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星，故A、C正确，B错误；哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归，故D正确。]
2．近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
D [根据万有引力定律得G＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝＝，D正确。]
3．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)( )
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
D [土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：G＝mr，解得M＝，其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得M≈6.4×1026 kg，D正确。]
4．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
A [金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝ M＝；
方法2：环绕法，即＝m M＝。
2．为什么说海王星是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
课时分层作业(十) 万有引力理论的成就
◎题组一 天体质量和密度的计算
1．(2022·杭州高一期末)天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由此可推算出( )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
C [设行星轨道半径为r，周期为T，恒星的质量为M，行星的质量为m，则由G＝mr得，M＝，故C正确。]
2．某星球的自转周期为T，一个物体在该星球赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为( )
A． B．
C． D．
B [设星球质量为M，半径为R，物体的质量为m，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，所以F2＝，在赤道上，万有引力可分解为重力和随地球自转的向心力，则有＝F1＋mR，联立解得M＝，星球的平均密度ρ＝＝＝；故B正确，A、C、D错误。]
3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
D [根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得＝m，解得M＝，D正确；由于核心舱质量在运算中可以被约掉，仅知绕地半径r或绕地周期T都无法计算出地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由＝mω2r得M＝，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。]
4．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A． B．
C． D．
B [地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得G＝mR，解得太阳的质量M＝；月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得G＝m′r，解得地球的质量m＝，所以太阳质量与地球质量之比＝，故B正确。]
◎题组二 天体运动的分析与计算
5．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是( )
A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分
C．若v∝，则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝，则外层的环是土星的卫星群
BD [若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知，v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，土星对环的万有引力提供其向心力，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确。]
6．(多选)把太阳系各行星的运动近似地看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )
A．周期越小 B．线速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
BCD [行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供，则有G＝m＝mr＝mω2r＝man，v＝，ω＝，T＝2π，an＝，r越大，线速度越小，B正确；r越大，角速度越小，C正确；ω越小，则周期T越大，A错误；r越大，则an越小，D正确。]
7．(多选)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
ACD [行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr得r＝，C正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知，＝mr，得M＝＝＝，A正确；由an＝＝，D正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B错误。]
8．2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的“天和”核心舱交会对接，航天员进驻“天和”核心舱。交会对接后神舟十四号飞船与“天和”核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是( )
A．组合体的环绕速度大于神舟十四号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十四号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十四号飞船的向心加速度
D．组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力
D [由G＝m＝mr可得，v＝，T＝2π，可见v、T与质量m无关，周期与环绕速度不变，故A、B错误；由＝man可得an＝，可知向心加速度与质量m无关，故C错误；向心力为F＝，组合体的质量大于神舟十四号飞船的质量，轨道半径不变，则组合体所受的向心力大于神舟十四号飞船所受的向心力，故D正确。]
9．(多选)在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)( )
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
ACD [由ρ＝，V＝π，得ρ＝，D正确；由G＝mg0，ρ＝，V＝π，联立解得ρ＝，A正确；根据万有引力定律得G＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝，C正确。]
10．(2022·安徽合肥宏图中学高一检测)人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示；火星作为航空航天探索的热门研究对象，火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星，它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动，它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知，则地球和火星的质量之比为( )
A． B．
C． D．
C [卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有＝mr，解得M＝，所以地球和火星质量之比为＝＝，C正确。]
11．有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
[解析] (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝mr
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π
则两天体绕太阳的公转周期之比＝。
[答案]
12．若航天员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度。
[解析] (1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝g月t2，所以月球表面的自由落体加速度大小g月＝。
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月
月球的质量M＝。
(3)月球的密度ρ＝＝＝。
[答案] (1) (2) (3)
13．(多选)某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的最近距离s，则下列表达式中正确的是( )
地球半径 R＝6.4×106 m
月球半径 r＝1.74×106 m
地球表面重力加速度 g0＝9.80 m/s2
月球表面重力加速度 g＝1.56 m/s2
月球绕地球转动的线速度 v＝1 km/s
月球绕地球转动的周期 T＝27.3天
光速 c＝3.0×108 m/s
用激光器从地球表面上正对月球表面处向月球表面发射激光束，经过t＝2.565 s接收到反射回来的激光信号
A．s＝ct B．s＝－R－r
C．s＝－R－r D．s＝－R－r
BD [由题知，激光器发出激光束从发出到接收的时间为t＝2.565 s，光速为c，则有s＝c·，故A错误；由题知，月球绕地球转动的线速度为：v＝1 km/s，周期为：T＝27.3天，则月球公转的半径为：R′＝，s＝R′－R－r＝－R－r，故B正确；月球表面的重力加速度g与月球绕地球转动的线速度v没有关系，不能得到g＝，则不能求出s＝－R－r，故C错误；以月球为研究对象，月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力，设地球质量为M，月球的质量为m，则得G＝m，在地球表面，有g0＝，联立上两式得R′＝－R－r，故D正确。]4．宇宙航行
1．知道宇宙速度的概念，区分三种宇宙速度，初步具有宇宙航行的运动观。
2．通过第一宇宙速度的推导过程，体会数学方法对物理学科的推动作用。
3．了解宇宙航行的历程和进展，感受人类对未知世界的探索精神。
宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)物体绕地球速度推导：物体在地球附近绕地球的运动可视作匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，有G＝m，由此解出v＝(m地为地球质量，r为物体做圆周运动的轨道半径)。
(2)数值：已知地球的质量，近似用地球半径R代替物体到地心的距离r，算出v＝＝7.9 km/s，这就是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度。
2．第二宇宙速度
当飞行器的速度等于或大于11.2 km/s时，它就会脱离地球引力束缚而环绕太阳运动。我们把11.2 km/s 叫作第二宇宙速度。
3．第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，如果要使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外，必须使它的速度等于或大于16.7 km/s，这个速度叫作第三宇宙速度。
如图所示，当物体被抛出的速度足够大时，它将围绕地球旋转而不再落回地面，成为一颗人造地球卫星。
【问题】
(1)使物体变为卫星的最小发射速度是多少？
(2)不同星球的最小发射速度是否相同？
(3)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
提示：(1)使物体变为卫星的最小发射速度是7.9 km/s。
(2)根据G＝m，v＝，可见第一宇宙速度由星球质量和半径决定；不同星球的最小发射速度不同。
(3)轨道越高，需要的发射速度越大。
1．宇宙速度
(1)三个宇宙速度v1、v2、v3。
(2)宇宙速度均指发射速度，卫星的运行速度一定不大于其发射速度。
(3)第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地绕行速度。
2．第一宇宙速度的推广
(1)任何一颗星球都有自己的第一宇宙速度，v＝或v＝，式中G为引力常量，M星为中心星球的质量，g为中心星球表面的重力加速度，R为中心星球的半径。
(2)第一宇宙速度的值由中心星球决定。
3．对发射速度和环绕速度的理解
(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由G＝m可得v＝，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度，即第一宇宙速度是最大环绕速度。
对宇宙速度的理解
【典例1】 关于地球的三个宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．第一宇宙速度大小为7.9 km/h，是发射卫星所需的最小速度
B．绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度
C．第二宇宙速度为11.2 km/s，是绕地飞行器最大的环绕速度
D．在地面附近发射的飞行器速度等于或大于第三宇宙速度时，飞行器就能逃出太阳系了
D [第一宇宙速度是飞行器绕地球做圆周运动的最大运行速度，也是绕地球飞行的飞行器的最小地面发射速度，其值为7.9 km/s，故A、B、C错误；当飞行器的地面发射速度大于或等于第三宇宙速度16.7 km/s时，飞行器将脱离太阳的束缚，故D正确。]
宇宙速度的计算
【典例2】 我国发射了绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”。该卫星在月面着陆前的轨道近似圆形，且贴近月球表面运行。已知月球质量约为地球质量的，月球半径约为地球半径的，地球的第一宇宙速度约为7.9 km/s，该问月卫星绕月运行的速率约为多少？(计算结果保留两位有效数字)
[思路点拨] 星球的第一宇宙速度即为卫星围绕星球做圆周运动的，轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度。
[解析] 卫星所需的向心力由万有引力提供，
G＝m
得v＝
又有＝，＝，
故月球和地球上第一宇宙速度之比＝，
故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s
[答案] 1.8 km/s
理解宇宙速度应注意三点
(1)发射速度是指被发射物体在地面附近离开发射装置时的速度，要发射一颗人造卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度。
(2)卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。贴近地球表面的卫星(近地卫星)的发射速度最小，其运行速度等于第一宇宙速度。
(3)宇宙速度是指在地球上满足不同要求的发射速度，不能理解成运行速度。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，则下列说法正确的是( )
A．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体可能落在A点
B．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体将沿B轨道运动
C．以7.9 km/s
D．以11.2 km/sAC [物体抛出速度v<7.9 km/s时必落回地面，物体抛出速度v＝7.9 km/s时，物体刚好能不落回地面，绕地球做圆周运动，故A正确，B错误；当物体抛出速度7.9 km/s11.2 km/s时，物体会脱离地球引力束缚，不可能沿C轨道运动，故D错误。]
2．(2022·河南郑州高一检测)中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人。若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( )
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
D [中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的飞行器的环绕速度。飞行器的轨道半径近似认为是该中子星的半径，且中子星对飞行器的万有引力提供向心力，由G＝m，得v＝，又M＝ρV＝ρ，得v＝r＝1×104× m/s≈5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s，故D正确。]
人造地球卫星 载人航天与太空探索
1．人造卫星发射
1957年10月，世界上第一颗人造卫星发射成功。
1970年4月，我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功。
2．同步卫星：地球同步卫星位于赤道上方高度约 36 000 km 处，因其相对地面静止，也称静止卫星。地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，周期与地球自转周期相同。
3．载人航天与太空探索
1961年4月12日，苏联航天员加加林坐飞船饶地球飞行一圈。
1969年7月16日，美国“阿波罗11号”飞船登上月球。
2003年10月15日，我国航天员杨利伟踏入太空。
2013年6月13日，“神舟十号”与天宫一号目标飞行器成功实现自动交会对接。
2016年10月19日，“神舟十一号”完成了与天宫二号空间实验室的自动交会对接。
2017年4月20日，我国又发射了货运飞船天舟一号。
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。
【问题】
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)人造卫星能够绕地球转动而不落回地面，是否是由于卫星不再受到地球引力的作用？
(3)这些卫星的线速度、角速度、周期跟什么因素有关呢？
提示：(1)这些卫星的轨道平面都通过地心。
(2)不是，卫星仍然受到地球引力的作用，但地球引力全部用来提供向心力。
(3)卫星的线速度、角速度、周期都跟卫星的轨道半径有关。
1．人造卫星的三种轨道
(1)赤道轨道：卫星轨道在赤道所在平面上，卫星始终处于赤道上方。
(2)极地轨道：卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星经过两极上空。
(3)一般轨道：卫星轨道平面和赤道平面成一定角度(不等于0或90°)，如图所示。
2．人造卫星的运行规律
(1)人造卫星的运行规律类似行星运行规律。
(2)万有引力提供向心力：
3．地球同步卫星的特点
(1)确定的转动方向：和地球自转方向一致。
(2)确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h。
(3)确定的角速度：等于地球自转的角速度。
(4)确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合。
(5)确定的高度：离地面高度固定不变(约为3.6×104 km)。
【典例3】 “神舟十四号”载人飞船于2022年6月5日成功发射并按照预定程序与空间站进行自主快速交会对接。若空间站位于距地面高度为h＝400 km的近地圆轨道运行，另一卫星A位于距地面高度为H＝7 200 km圆轨道运行，地球半径为R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g，则( )
A．空间站组合体的加速度大小为g
B．空间站的周期与卫星A的周期之比为1∶
C．空间站的加速度与卫星A的加速度之比为2∶1
D．空间站的线速度与卫星A的线速度之比为2∶1
B [空间站组合体受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg′，解得g′＝，地球表面重力加速度g＝，解得g′＝g＝g，A错误；由万有引力提供向心力可知G＝man＝m＝mr，解得T＝2π，an＝，v＝，进行比较后得＝＝，＝＝，＝＝，B正确，C、D错误。]
解决人造卫星问题几点技巧
(1)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以所有卫星的轨道圆心一定与地心重合。
(2)同步卫星周期与星球自转周期相同，轨道高度一定，轨道平面一定，加速度一定，线速度一定，角速度一定。
(3)针对环绕同一中心天体的星球，星球的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与星球的质量无关。
[跟进训练]
3．(多选)如图中的四种虚线轨迹，可能是人造地球卫星轨道的是( )
A B C D
ACD [人造地球卫星靠地球对它的万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，地球对卫星的万有引力指向地心，所以人造地球卫星做圆周运动的圆心是地心，故A、C、D正确，B错误。]
4．(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
D [由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr可得T＝2π，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据G＝m，可得v＝，结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据G＝man，可得an＝，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。]
1．关于地球同步卫星的说法正确的是( )
A．所有地球同步卫星一定在赤道上空
B．不同的地球同步卫星，离地面高度不同
C．不同的地球同步卫星的向心加速度大小不相等
D．所有地球同步卫星受到的向心力大小一定相等
A [地球同步卫星一定位于赤道上方，周期一定，离地面高度一定，向心加速度大小一定，A正确，B、C错误；由于F＝G，所以不同的卫星质量不同，其向心力也不同，D错误。]
2．伽利略用他自制的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，假定四颗卫星均绕木星做匀速圆周运动，它们的转动周期如表所示，关于这四颗卫星，下列说法中正确的是( )
名称 周期/天
木卫一 1.77
木卫二 3.65
木卫三 7.16
木卫四 16.7
A．木卫一角速度最小
B．木卫四线速度最大
C．木卫四轨道半径最大
D．木卫一受到的木星的万有引力最大
C [利用高轨低速长周期即可判断，木卫四半径最大，线速度最小，C正确，B错误；木卫一半径最小，角速度最大，A错误；万有引力的大小与卫星质量和轨道半径都有关，根据题中信息无法判断木卫一受到的木星的万有引力最大，D错误。]
3．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s
C．4 km/s D．2 km/s
A [第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径，所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m，解得v＝，因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，故＝＝＝2，即v′＝2v＝2×8 km/s＝16 km/s，A正确。]
4．(2022·湖北卷)2022年5月，我国成功完成了“天舟四号”货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约为90分钟。下列说法正确的是( )
A．组合体中的货物处于超重状态
B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
C [组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知地球同步卫星的周期为24 h，则根据角速度和周期的关系有ω＝，由于T同>T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有G＝mr，整理有T＝2π，由于T同>T组合体，则r同>r组合体，且同步卫星和组合体在天上有G＝man，则有an同回归本节知识，自我完成以下问题：
1．三种宇宙速度分别是多大？
提示：v1＝7.9 km/s，v2＝11.2 km/s，v3＝16.7 km/s。
2．同步卫星有什么特点？
提示：轨道在赤道正上方，周期为24小时，高度、速度确定。
3．推导第一宇宙速度的依据是什么？
提示：依据＝m。
课时分层作业(十一) 宇宙航行
◎题组一 宇宙速度的理解与计算
1．(多选)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．我国发射的天问一号火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星环绕地球做圆周运动的最大运行速度
CD [根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，A错误；天问一号火星探测卫星仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力的束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，C正确。]
2．(2022·福建南平高三检测)一航天员在某星球上立定跳高的最好成绩是地球上的4倍，该星球半径为地球的一半。阻力不计，则该星球的第一宇宙速度约为( )
A．2.0 km/s B．2.8 km/s
C．4.0 km/s D．5.9 km/s
B [根据h＝可知4g星＝g地，又R星＝R地，根据第一宇宙速度的表达式v＝可得v星＝·v地＝·v地＝ km/s≈2.8 km/s，故B正确。]
3．星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为该星球的第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度v2与其第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A． B．
C． D．gr
C [由第一宇宙速度公式可知，该星球的第一宇宙速度为v1＝，结合v2＝v1可得v2＝，C正确。]
4．(2022·四川成都七中期中)已知地球与某未知星球的第一宇宙速度之比约为24∶7，近地卫星与绕未知星球表面飞行的卫星(运行轨道均可近似看作圆)的环绕周期之比约为3∶4，则地球与某未知星球的质量比值约为( )
A．24 B．27
C．30 D．35
C [由G＝m解得，v＝，由题意知＝≈；由G＝mR可得，T＝，由题意知＝≈，解得≈30，C正确。]
◎题组二 人造地球卫星
5．(多选)如图所示的圆a、b、c，其圆心均在地球自转轴线上，b、c的圆心与地心重合，b所在平面与地球自转轴线垂直，对环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言( )
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道一定为与b共面的某一同心圆
BCD [物体做匀速圆周运动时，物体所受的合外力方向一定要指向圆心，对于环绕地球做匀速圆周运动的卫星而言，就要求所受的万有引力指向地心，故A错误，B、C正确；对于同步卫星来说，由于相对地球表面静止，所以同步卫星应在赤道的正上方，D正确。]
6．(2022·济南一中高一检测)如图所示，我国“北斗卫星导航系统”由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成，卫星轨道半径大小不同，其运行速度、周期等参量也不相同，下列说法正确的是( )
A．卫星轨道半径越大，环绕速度越大
B．卫星的线速度小于7.9 km/s
C．卫星轨道半径越小，向心加速度越小
D．卫星轨道半径越小，运动的角速度越小
B [人造地球卫星在绕地球做圆周运动时，由地球对卫星的引力提供圆周运动的向心力，故有G＝m＝man＝mω2r，得v＝，an＝，ω＝，A、C、D错误；近地卫星线速度为7.9 km/s，由于静止轨道卫星运行的半径大于近地轨道卫星的半径，所以其线速度小于7.9 km/s，故B正确。]
7．土星是太阳系中第二大行星，也是一个气态巨行星，图示为绕土星飞行的飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋。假设飞行器绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h。土星可视为均匀球体，已知土星质量为M，半径为R，引力常量为G。求：
(1)土星表面的重力加速度g；
(2)飞行器的运行速度v；
(3)若土星的自转周期为T，求土星同步卫星距土星表面的高度H。
[解析] (1)在土星表面，物体的重力等于其所受的万有引力，有mg＝
可得g＝。
(2)由万有引力提供飞行器绕土星做匀速圆周运动的向心力，有＝
可得v＝。
(3)土星同步卫星绕土星做匀速圆周运动的周期等于土星的自转周期，根据万有引力提供向心力，有＝m(R＋H)解得，H＝－R。
[答案] (1) (2) (3)－R
8．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
B [同步卫星的环绕周期与地球自转周期相等，对同步卫星有G＝m(6.6R)，地球自转周期减小，则同步卫星需要降低高度，三颗卫星全覆盖赤道的最小高度如图所示，图中MP、MQ与地球相切，根据几何关系得同步卫星的最小轨道半径为2R，由开普勒第三定律，有＝，得T≈4 h，故B正确。]
9．截至2022年3月24日，我国首次火星探测任务“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球2.77亿千米。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
A [当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球转动，当发射速度大于地球的第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；行星的第一宇宙速度为该行星表面轨道处卫星的运行速度，则有＝m，解得v＝，可得火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为＝＝，即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；根据在行星表面的物体万有引力近似等于重力可得＝mg，解得g＝，得火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为＝＝，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误。]
10．(多选)已知地球质量为m地，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距地面的高度为
B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为G
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
BD [由G＝m(R＋h)得卫星距地面的高度为－R，A错误；第一宇宙速度是最小的发射卫星的速度，是卫星最大的环绕速度，B正确；同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为G，C错误；由G＝mg得，地球表面的重力加速度为g＝，D正确。]
11．人们认为某些白矮星(密度较大的恒星)大约每秒钟自转一周(引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，地球半径R约为6.4×103 km)。
(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不至于由于快速转动而被“甩”掉，它的密度至少为多少？(结果保留三位有效数字)
(2)假设某白矮星的密度约为此值，且其半径等于地球半径，则它的第一宇宙速度约为多少？
[解析] (1)假设赤道上的物体刚好不被“甩”掉，则此时白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向心力，设白矮星质量为M，半径为r，赤道上物体的质量为m，则有G＝mr
白矮星的质量为M＝
白矮星的密度为ρ＝＝＝＝ kg/m3＝1.41×1011 kg/m3。
(2)白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿白矮星表面做匀速圆周运动时的速度
即G＝m
白矮星的第一宇宙速度为
v＝＝＝
＝ m/s
＝4.02×107 m/s。
[答案] (1)1.41×1011 kg/m3 (2)4.02×107 m/s
12．(多选)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则( )
A．P1的平均密度比P2的大
B．P1的第一宇宙速度比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大
D．s1的公转周期比s2的大
AC [由图像左端点横坐标相同可知，P1、P2两行星的半径R相等，对于两行星的近地卫星：G＝ma，得行星的质量M＝，由a-r2图像可知P1的近地卫星的向心加速度大，所以P1的质量大，平均密度大，A正确；根据G＝得，行星的第一宇宙速度v＝，由于P1的质量大，所以P1的第一宇宙速度大，B错误；s1、s2的轨道半径相等，由a-r2图像可知s1的向心加速度大，C正确；根据G＝mr得，卫星的公转周期T＝2π，由于P1的质量大，故s1的公转周期小，D错误。]5．相对论时空观与牛顿力学的局限性
1．知道爱因斯坦两个假设的基本内容，初步了解相对论时空观。
2．知道光速不变原理，会用长度收缩效应和时间延缓效应分析问题。
3．认识牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。
相对论时空观
1．爱因斯坦的两个假设
(1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
(2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
2．时间和空间的相对性
(1)时间延缓效应。
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝。
由于物体的速度不可能达到光速，所以1－＜1，总有Δt>Δτ，此种情况称为时间延缓效应。
(2)长度收缩效应。
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以速度v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0。
由于1－<1，所以总有l3．相对论时空观
Δt＝和l＝l0表明：运动物体的长度(空间距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的运动状态有关。它所反映的时空观称作相对论时空观。
运动物体的长度(空间距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的运动状态有关，如图所示，静止在地球上的人测得地月之间的距离为l0。
【问题】
(1)坐在从地球高速飞往月球的飞船里的航天员测得地月之间的距离仍为l0吗？
(2)实际上物体长度和时间的长度真的变化了吗？
(3)我们平时为何观察不到长度收缩效应呢？
提示：(1)不是，航天员测得的地月之间的距离小于l0。
(2)没有，这只是一种观测效果。
(3)根据长度收缩效应表达式l＝l0，因为我们生活在低速世界中，v c，l近似等于l0，故此现象不明显。
1．狭义相对论的两个假设
(1)相对性原理
物理规律在一切惯性参考系中都具有相同的形式。
(2)光速不变原理
在一切惯性参考系中，测得的真空中的光速c都相同。
2．相对论时空观得到的两个效应
(1)时间延缓效应：如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，那么地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，有Δt＝，c为真空中的光速，总有Δt >Δτ。
理解：①对同一物理过程经历的时间，在不同的惯性参考系中观测，测得的结果不同，时间延缓效应是一种观测效应，不是被测过程的节奏变化了。②惯性参考系速度越大，地面上的人观测到的时间越长。③由于运动是相对的，故在某一参考系中观测另一参考系中发生的物理事件，总会感到时间延缓效应。即惯性参考系中的人观测地面上发生的事件的时间也延缓。
(2)长度收缩效应：如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，有l＝l0，总有l＜l0。
理解：①长度收缩效应也是一种观测效应，不是物体本身发生了收缩。②在垂直于运动方向上，物体不会发生收缩效应。③由于运动是相对的，故在某一参考系中观测另一参考系中沿杆方向的长度，总有长度收缩效应。即在静止惯性参考系中的人观测运动的杆，沿杆运动方向的长度发生收缩。
【典例1】 一支静止时30 m的火箭以3 km/s的速度从观察者的身边飞过。
(1)观察者测得火箭的长度应为多少？
(2)火箭上的人测得火箭的长度应为多少？
(3)如果火箭的速度为光速的二分之一，观察者测得火箭的长度应为多少？
(4)火箭内完好的手表走过了1 min，地面上的人认为经过了多少时间？
[思路点拨] 解此题的关键是理解公式
l＝l0、Δt＝中各符号的意义。
[解析] 火箭上的人相对火箭永远是静止的，无论火箭速度是多少，火箭上的人测得火箭长与静止时测得的火箭的长均是l0＝30 m，而火箭外面的观察者看火箭时，有相对速度v，则它的测量值要缩短，即l＜l0，由l＝l0，当v＝3×103 m/s时，l＝30× m≈30 m，当v＝时，l′≈26 m。火箭上时间Δτ＝1 min，火箭的速度v＝3 km/s，所以地面上观测到的时间
Δt＝＝ min≈1 min。
[答案] (1)约30 m (2)30 m (3)约26 m (4)约1 min
理解相对论效应的两点注意
(1)时间延缓效应是一种观测效应，不是时钟走快了或走慢了，也不是被观测过程的节奏变化了。
(2)长度收缩效应也是一种观测效应，不是物体本身发生了收缩。另外，在垂直于运动方向上不会发生收缩效应。
[跟进训练]
1．A、B两火箭沿同一方向高速飞过地面上的某处，vA＞vB，在火箭A上的人观察到的结果正确的是( )
A．火箭A上的时钟走得最快
B．地面上的时钟走得最快
C．火箭B上的时钟走得最快
D．火箭B上的时钟走得最慢
A [在火箭A上的人看来，地面和火箭B都高速远离自己，由Δt＝知，在火箭A上的人观察到的结果是地面和火箭B上的时钟都变慢了，且vA＞vB，故火箭A上的时钟走得最快，地面上的时钟最慢，故A正确，B、C、D错误。]
2．在一个飞船上测得船的长度为100 m，高度为10 m，当飞船以0.60c的速度从你身边经过时，按你的测量，飞船的高度和长度各为多少？
[解析] 因为长度收缩只发生在运动的方向上，在垂直于运动方向上的长度不发生这种效应，故飞船的高度仍为10 m，若测得飞船的长度为l，由长度收缩效应知l＝l0＝100× m＝80 m。
[答案] 10 m 80 m
牛顿力学的成就与局限性
1．牛顿力学的成就：从地面上物体的运动到天体的运动，都服从牛顿力学的规律。
2．牛顿力学的局限性
(1)微观世界：电子、质子、中子等微观粒子，它们不仅具有粒子性，同时还具有波动性，它们的运动规律在很多情况下不能用牛顿力学来说明。
(2)牛顿力学只适用于低速运动，不适用于高速运动。
如图所示是粒子对撞机，它是人类研究物质基本微观结构的重要工具，通过持续输入能量，让亚原子粒子在管道中以极限接近光速的速度高速运动。
【问题】
(1)牛顿力学是否适用于质子的运动规律？
(2)如何研究质子的运动规律？
(3)相对论、量子力学否定了牛顿力学吗？
提示：(1)不适用，牛顿力学只适用于宏观低速运动。
(2)描述微观高速粒子的运动要用到量子力学。
(3)相对论、量子力学没有否定牛顿力学，牛顿力学是相对论、量子力学在一定条件下的特例。
1．牛顿力学与相对论、量子力学的区别
(1)牛顿力学适用于低速运动的物体；相对论是爱因斯坦阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律。
(2)牛顿力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律。
2．牛顿力学与相对论、量子力学的联系
(1)当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别。
(2)当另一个重要常数即普朗克常量h可以忽略不计时，量子力学和牛顿力学的结论没有区别。
(3)相对论和量子力学并没有否定牛顿力学，牛顿力学是二者在一定条件下的特殊情形。
【典例2】 关于牛顿力学、爱因斯坦假设和量子力学，下列说法正确的是( )
A．爱因斯坦假设和牛顿力学是相互对立、互不相容的两种理论
B．牛顿力学包含于相对论之中，牛顿力学是相对论的特例
C．牛顿力学只适用于宏观物体的运动，量子力学只适用于微观粒子的运动
D．不论是宏观物体，还是微观粒子，牛顿力学和量子力学都是适用的
B [相对论没有否定牛顿力学，牛顿力学是相对论在一定条件下的特殊情形，A错误，B正确；牛顿力学适用于宏观、低速、弱引力的领域，C、D错误。]
[跟进训练]
3．关于牛顿力学的适用范围和局限性，下列说法正确的是( )
A．牛顿力学过时了，应该被量子力学所取代
B．由于超音速飞机的速度太大，其运动不能用牛顿力学来解释
C．人造卫星的运动不适合用牛顿力学来描述
D．当物体的速度接近光速时，其运动规律不适合用牛顿力学来描述
D [牛顿力学没有过时，在低速宏观问题中仍然适用，故A错误；超音速飞机的速度远低于光速，其运动能用牛顿力学来解释，故B错误；人造卫星的运动速度远低于光速，适合用牛顿力学来描述，故C错误；当物体的速度接近光速时，其运动规律不适合用牛顿力学来描述，故D正确。]
1．对于时空观的认识，下列说法正确的是( )
A．相对论给出了物体在低速运动时所遵循的规律
B．相对论具有普遍性，经典物理学为它在低速运动时的特例
C．相对论的出现使经典物理学在自己的适用范围内不再继续发挥作用
D．经典物理学建立在实验的基础上，它的结论又受到无数次实验的检验，因此在任何情况下都适用
B [相对论给出了物体在高速运动时所遵循的规律，经典物理学为它在低速运动时的特例，在自己的适用范围内还将继续发挥作用；经典物理学适用于宏观、低速运动，不适用于微观、高速运动，故A、C、D错误，B正确。]
2．(多选)下列说法正确的是( )
A．物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式
B．在真空中，光的速度与光源的运动状态无关
C．在惯性系和非惯性系中光都是沿直线传播的
D．在所有惯性系中，光在真空中沿任何方向传播的速度都相同
ABD [根据相对性原理知，物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式，A正确；根据光速不变原理知，B、D正确；在惯性系中光是沿直线传播的，在非惯性系中光不是沿直线传播，而是一段弧线，C错误。]
3．A、B、C是三个完全相同的时钟，A放在地面上，B、C分别放在两个火箭上，以速度vb和vc朝同一方向飞行，vb>vc。在地面上的人看来，关于时钟快慢的说法正确的是( )
A．B钟最快，C钟最慢 B．A钟最快，C钟最慢
C．C钟最快，B钟最慢 D．A钟最快，B钟最慢
D [根据相对论的时间延缓效应可知，速度越大，钟走得越慢，D正确。]
4．甲、乙两人站在地面上时身高都是L0，甲、乙分别乘坐速度为0.6c和0.8c(c为光速)的飞船同向运动，如图所示。此时乙观察到甲的身高L________L0；若甲向乙挥手，动作时间为t0，乙观察到甲动作时间为t1，则t1________t0。(均选填“＞”“＝”或“＜”)
[解析] 因为人站立时是垂直于飞船速度方向的，没有长度收缩效应，身高L＝L0；乙比甲运动得快，故根据相对论的时间延缓效应可知t1>t0。
[答案] ＝ >
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．爱因斯坦两个假设的内容是什么？
提示：(1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
(2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
2．狭义相对论的两个效应是什么？
提示：(1)时间延缓效应：运动时钟会变慢，即Δt＝。
(2)长度收缩效应：运动长度l会收缩，即l＝l0。
课时分层作业(十二) 相对论时空观与牛顿力学的局限性
◎题组一 相对论时空观
1．下列属于狭义相对论基本假设的是：在不同的惯性系中( )
A．真空中光速不变
B．时间间隔具有相对性
C．物体的质量不变
D．物体的能量与质量成正比
A [狭义相对论的基本假设有：(1)狭义相对论的相对性原理——在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；(2)光速不变原理——对任意惯性参考系，真空中的光速都相等，A正确。]
2．如图所示，沿平直铁路线有间距相等的三座铁塔A、B和C。假想有一列车沿AC方向接近光速行驶，当铁塔B发出一个闪光时，列车上的观察者看到A、C两铁塔被照亮的顺序是( )
A．同时被照亮 B．A先被照亮
C．C先被照亮 D．无法判断
C [因列车沿AC方向接近光速行驶，故它靠近C远离A，所以光由B出发后，C的反射光先到达列车上的观察者，所以观察者看到C先被照亮，故C正确。]
3．(多选)接近光速飞行的飞船上和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有( )
A．飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B．飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C．地球上的人观测到地球上的钟较快
D．地球上的人观测到地球上的钟较慢
AC [飞船上的人观察钟表时，是以飞船为参考系，看到地球上的钟表在高速运动，观察到地球上的钟慢，即飞船上的钟快，A正确，B错误；同理地球上的人是以地球为参考系，观察结果是地球上的钟快，即飞船上的钟慢，C正确，D错误。]
4．如果航天员以接近于光速的速度朝某一星体飞行，下列说法正确的是( )
A．航天员根据自己的质量在增加发觉自己在运动
B．航天员根据自己的心脏跳动在慢下来发觉自己在运动
C．航天员根据自己在变小发觉自己在运动
D．航天员永远不能由自身的变化知道自己的速度
D [根据狭义相对论知识可知，航天员以飞船为惯性系，其相对于惯性系的速度始终为零，因此他不可能发现自身变化，也不能由自身变化知道自己的速度，故D正确。]
5．如图所示，强强乘坐速度为0.9c(c为光速)的宇宙飞船追赶正前方的壮壮，壮壮的飞行速度为0.5c，强强向壮壮发出一束光进行联络，则壮壮观测到该光速的传播速度为( )
A．0.4c B．0.9c
C．1.0c D．1.4c
C [根据光速不变原理，在一切惯性参考系中测量到真空中的光速c都一样，而壮壮所处参考系即为惯性参考系，因此壮壮观测到的光速为1.0c，故C正确，A、B、D错误。]
◎题组二 牛顿力学的局限性
6．物理学史上许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程，关于相对论时空观与牛顿力学的局限性，下列说法正确的是( )
A．牛顿力学能够说明微观粒子的规律性，仍能适用于宏观物体的高速运动问题
B．相对论与量子力学的出现否定了牛顿力学，表示牛顿力学已失去意义
C．牛顿力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是牛顿力学的基础
D．牛顿力学在现代广泛应用，它的正确性无可怀疑，仍是普遍适用的
C [牛顿力学具有一定的局限性，只能适用于宏观、低速运动的物体，而对于微观、高速运动的物体则不适用，并不具有普遍性，故A、D错误；相对论与量子力学的出现并未否定牛顿力学，而是补充了牛顿力学的不足，它们并不能替代牛顿力学的地位，故B错误；牛顿力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是牛顿力学的基础，故C正确。]
7．(多选)下列服从牛顿力学规律的是( )
A．自行车、汽车、火车、飞机等交通工具的运动
B．发射导弹、人造卫星、宇宙飞船
C．以接近光速飞行的μ子的运动
D．地壳的变动
ABD [牛顿力学适用于宏观、低速运动的物体，所以A、B、D正确；当物体运动的速率接近于光速时，牛顿力学就不适用了，故C错误。]
8．(多选)2021年1月10日消息，我国国内首款量子安全通话产品试商用。量子通信是利用量子力学原理对量子态进行操控的一种通信形式，可以有效解决信息安全问题。关于牛顿力学和相对论、量子力学，下列说法正确的是( )
A．量子力学和牛顿力学对宏观物体和微观粒子都是适用的
B．牛顿力学理论的成立具有一定的局限性
C．量子力学适用于微观粒子的运动，牛顿力学适用于宏观物体的运动
D．量子力学与相对论否定了牛顿力学理论
BC [牛顿力学适用于宏观低速物体的运动，不适用于微观高速粒子的运动，故A错误，C正确；牛顿力学适用于宏观低速物体的运动，所以牛顿力学理论的成立具有一定的局限性，故B正确；牛顿力学适用于宏观低速的物体的运动，不适用于微观高速粒子的运动，所以量子力学与相对论并没有否定牛顿力学，故D错误。]
9．有兄弟两个，哥哥乘坐宇宙飞船以接近光的速度离开地球去遨游太空，经过一段时间返回地球，哥哥惊奇地发现弟弟比自己要苍老许多，则该现象的科学解释是( )
A．哥哥在太空中发生了基因突变，停止生长了
B．弟弟思念哥哥而加速生长了
C．由相对论可知，物体速度越大，其时间进程就越慢，生理过程也越慢
D．这是神话，科学无法解释
C [根据相对论的时间延缓效应，当飞船速度接近光速时，时间会变慢，时间延缓效应对生命过程、化学反应等也是成立的，飞船运行的速度越大，时间延缓效应越明显，人体新陈代谢越缓慢，故C正确。]
10．宇宙飞船以速度v相对地面做匀速直线飞行。某一时刻，飞船头部的航天员向飞船尾部发出一光信号，光速为c，经Δt(飞船上的钟测量)时间后，被尾部接收器收到。由此可知飞船固有长度为( )
A．cΔt B．vΔt
C．cΔt D．cΔt/
A [根据光速不变原理，可知光以光速c传播，在飞船参考系中，可得飞船的固有长度L0＝cΔt，故A正确。]
11．半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3×1016 m。设有一宇宙飞船自地球往返于半人马星座α星之间。
(1)若宇宙飞船的速率为0.999c，按地球上时钟计算，飞船往返一次需要时间为________s。
(2)如以飞船上时钟计算，往返一次的时间为________s。
[解析] (1)由于题中恒星与地球的距离s和宇宙飞船的速度v均是地球上的观察者测量的，故飞船往返一次，地球时钟所测时间间隔Δt＝≈2.87×108 s。
(2)可从相对论的时间延缓效应考虑，把飞船离开地球和回到地球视为两个事件，显然飞船上的钟测出两事件的时间间隔Δt′是固定的，地球上所测的时间间隔Δt与Δt′之间满足时间延缓效应的关系式。以飞船上的时钟计算，飞船往返一次的时间间隔为Δt′＝Δt≈1.28×107 s。
[答案] (1)2.87×108 (2)1.28×107
12．在某惯性系中测得相对该惯性系静止的立方体的边长为L0，另一惯性系以相对速度v平行于立方体的一边运动。则在后一惯性系中的观察者测得的该立方体体积是多少？
[解析] 由狭义相对论知，在运动方向上，观察者测得的立方体边长L＝L0，而在垂直于运动方向上，测得的立方体边长不变，所以观察者测得的立方体的体积V＝L＝。
[答案]
13．如图所示，假设一根10 m长的梭镖以光速穿过一根10 m长的管子，它们的长度都是在静止状态下测量的。以下叙述中最好地描述了梭镖穿过管子情况的是( )
A．梭镖收缩变短，因此在某些位置上，管子能完全遮住它
B．管子收缩变短，因此在某些位置上，梭镖从管子的两端伸出来
C．两者都收缩，且收缩量相等，因此在某个位置，管子恰好遮住梭镖
D．所有这些都与观察者的运动情况有关
D [如果观察者是在相对于管子静止的参考系中观察运动着的梭镖，那么梭镖看起来就比管子短，在某些位置梭镖会完全在管子内部，然而当观察者和梭镖一起运动时，观察者看到的管子就缩短了，所以在某些位置，观察者可以看到梭镖两端都伸出管子，则D正确，A、B、C错误。]素养提升课(四) 天体运动三类典型问题
1．知道同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运动特点，并会对描述它们运动的物理量进行比较。
2．理解人造卫星的发射过程，知道变轨问题的分析方法。
3．理解双星问题的特点，并会解决相关问题。
同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量比较
1．相同点：都以地心为圆心做匀速圆周运动。
2．不同点：
(1)轨道半径。近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近＝r物。
(2)运行周期。同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2π可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T近＜T同＝T物。
(3)向心加速度。由G＝man知，同步卫星的向心加速度小于近地卫星的向心加速度。由an＝rω2＝知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，即a近＞a同＞a物。
(4)向心力。同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，即G＝m；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，即G≠m。
【典例1】 北斗卫星导航系统第三颗组网卫星(简称“三号卫星”)的工作轨道为地球同步轨道，设地球半径为R，“三号卫星”的离地高度为h，则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和“三号卫星”的有关物理量，下列说法中正确的是( )
A．近地卫星与“三号卫星”的周期之比为＝
B．近地卫星与“三号卫星”的角速度之比为＝
C．赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为＝
D．赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为＝
A [“三号卫星”为同步卫星，故其周期与地球自转周期相同，根据v＝ωr可知赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为＝，故C错误；根据an＝ω2r可知赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为＝，故D错误；由万有引力提供向心力可得＝mr＝mω2r解得T＝2π，ω＝，所以近地卫星与“三号卫星”的周期和角速度之比分别为＝，＝，故A正确，B错误。]
同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动比较技巧
(1)同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man。由上式比较各运动参量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大。
(2)同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度和周期，由圆周运动的规律v＝ωr，an＝ω2r，比较同步卫星和赤道上物体的线速度大小和向心加速度大小。
(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动时，往往借助同步卫星这一纽带。
[跟进训练]
1．如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。三颗卫星质量相同，线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则( )
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCC．vA＝vCaB
A [同步卫星周期与地球自转周期相同，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及an＝ω2r得vC>vA，aC>aA，同步卫星和近地卫星，根据G＝m＝mω2r＝mr＝man，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC。故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA2．(多选)(2022·山东济南一中高一检测)同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
AD [由于同步卫星与赤道上物体的角速度相等，由a＝rω2得＝，A正确，B错误；由G＝m，得v＝，故＝，D正确，C错误。]
卫星变轨问题与对接问题
1．两类运行——稳定运行和变轨运行
(1)稳定运行。
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供卫星做圆周运动的向心力。由＝m，得v＝，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小。
(2)变轨运行。
①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G＞m，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动发动机使卫星做减速运动。
②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即G＜m，卫星做离心运动，轨道半径将变大，所以要使卫星的轨道半径变大，需开动发动机使卫星做加速运动。
2．飞船对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接。
如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间站对接。
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再适时加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
【典例2】 (多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1D．v2>v1>v4>v3
CD [卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即＝，所以v2>v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3v4，综上所述可知D正确；由开普勒第三定律＝k(k为常量)得T1 变轨问题相关物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度大小不相等，图中Ⅰ为近地圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，A为近地点、B为远地点，Ⅲ为远地圆轨道。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。
(3)两个不同圆轨道上的线速度大小v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅡA＞vⅠA＞vⅢB＞vⅡB。
(4)不同轨道上运行周期T不相等，根据开普勒第三定律＝k知，图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。
(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a大小相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
[跟进训练]
3．如图所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在轨道1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是( )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道2上经过P点时的速度大于它在轨道2上经过Q点的速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道1上经过Q点时的速度
D [由G＝m得，v＝，由于r1v3，根据开普勒第二定律知，卫星距地球较近时运行速度较大，A、B错误；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律，可知卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，C错误；卫星在Q点从轨道1变轨到轨道2，做离心运动，速度增大，故D正确。]
4．(2022·福建南平高一期末)如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c
D．b、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度
B [人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，根据万有引力提供向心力，有G＝m＝man，解得卫星线速度v＝，由题图可知，ra＜rb＝rc，则b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，故A错误；由v＝知，a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大，故B正确；c加速要做离心运动，不可以追上同一轨道上的b；b减速要做向心运动，不可以等候同一轨道上的c，故C错误；由向心加速度an＝知，b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故D错误。]
双星及多星问题
1．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供(如图)，即G＝r1＝r2。
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
【典例3】 (多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．太阳的轨道半径为R＝L
B．木星的轨道半径为r＝L
C．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πL
D．若认为木星绕太阳为中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πL
CD [双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有＝m1R，对木星有＝m2r，其中L＝R＋r，联立解得R＝L，r＝L，T＝2πL，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有＝m2L，解得T＝2πL，故D正确。]
求解双星问题的思路
(1)两个星球之间的万有引力为它们做匀速圆周运动提供向心力。
(2)两个星球的角速度和周期都相同。
(3)两个星球做匀速圆周运动时圆心为同一点。
(4)两个星球的轨道半径之和等于它们中心之间的距离。
[跟进训练]
5．我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图所示)。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S1的质量为( )
A． B．
D．
A [双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有G＝m2(r－r1)，解得m1＝，A正确。]
6．我国的“天眼”是世界上最大的射电望远镜，通过“天眼”观测到的某三星系统可理想化为如下模型：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则( )
A．甲星所受合外力为
B．甲星的线速度为
C．甲星的周期2πR
D．甲星的向心加速度为
A [甲星同时受到乙星和丙星的引力作用，故甲星所受合外力为F合＝＋＝，A正确；设甲星做匀速圆周运动的线速度为v，周期为T，向心加速度为an，根据牛顿第二定律有＝Man＝M＝MR，解得an＝，v＝，T＝4πR，B、C、D错误。]
素养提升练(四) 天体运动三类典型问题
一、选择题
1．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动。如图所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动机做短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为( )
A．与v的方向相反 B．与v的方向一致
C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左
B [要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，产生阻力，B正确。]
2．我国将在轨运行的“天和”核心舱与“神舟十五号”飞船对接。假设“天和”核心舱与“神舟十五号”飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与核心舱的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后飞船加速追上核心舱实现对接
B．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后核心舱减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，加速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，减速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接
C [若使飞船与核心舱在同一轨道上运行，飞船加速会进入较高的轨道，核心舱减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，A、B错误；要想实现对接，可使飞船在比核心舱半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的核心舱轨道，逐渐靠近核心舱后，两者速度接近时实现对接，C正确，D错误。]
3．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
D [赤道上物体随地球自转的向心力为万有引力与支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1F3，加速度：a14．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为( )
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
C [月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力大小相等。且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。设月球的质量为m，地球的质量为M，因此有mω2r＝Mω2R，所以＝＝，线速度和质量成反比，故C正确。]
5．如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球沿椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对于地心，下列说法中正确的是( )
A．物体A和卫星C具有大小相同的线速度
B．物体A和卫星C具有大小相同的加速度
C．卫星B在P点的加速度与卫星C在该点的加速度一定不相同
D．可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方
D [物体A和卫星B、C周期相同，故物体A和卫星C角速度相同，但半径不同，由v＝ωr可知二者线速度大小不同，A错误；由an＝ω2r可知，物体A和卫星C向心加速度不同，B错误；根据牛顿第二定律，卫星B和卫星C在P点的加速度an＝，故两卫星在P点的加速度相同，C错误；对于D选项，物体A是匀速圆周运动，线速度大小不变，角速度不变，而卫星B的线速度是变化的，近地点最大，远地点最小，因此角速度也发生变化，而周期相等，所以在如题图所示开始转动一周的过程中，会出现A先追上B，后又被B落下，一个周期后A和B都回到自己的起点，所以可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方，D正确。]
6．(多选)如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为r的圆轨道1运动。经P点时，启动推进器短时间向前喷气使其变轨，2、3是与轨道1相切于P点的可能轨道。则飞行器( )
A．相对于变轨前运行周期变长
B．变轨后可能沿轨道3运动
C．变轨前、后在两轨道上经过P点的速度大小相等
D．变轨前、后在两轨道上经过P点的加速度大小相等
BD [由于在P点推进器向前喷气，故飞行器将做减速运动，v减小，飞行器做圆周运动需要的向心力Fn＝m减小，小于在P点受到的万有引力G，则飞行器将做近心运动，轨道半径r减小，故可能沿轨道3运动，B正确；根据开普勒行星运动定律知，卫星轨道半径减小，则周期减小，A错误；因为变轨过程是飞行器向前喷气过程，故是减速过程，所以变轨前后经过P点的速度大小不相等，C错误；飞行器在轨道P点都是由万有引力提供加速度，因此在同一点P，万有引力产生的加速度大小相等，D正确。]
7．某一双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为( )
A． B．
C． D．
A [设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有＝·，解得T理论＝πl；设黑洞的质量为m′，同理有＋＝·，解得T观测＝πl，又因为T理论＝kT观测，联立解得＝，故A正确，B、C、D错误。]
8．《天问》是战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天、问地、问自然，表现了古人对传统的质疑和对真理的探索精神。我国火星探测器“天问一号”成功发射，屈原的“天问”梦想成为现实。图中虚线为“天问一号”的“地”“火”转移轨道，下列说法正确的是( )
A．“天问一号”的最小发射速度为7.9 km/s
B．“天问一号”由虚线轨道进入火星轨道需要点火加速
C．“天问一号”在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变大
D．“天问一号”从地球飞到火星轨道的时间大于火星公转周期的一半
B [“天问一号”要离开地球到达火星，所以“天问一号”的发射速度要大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度，故A错误；“天问一号”由虚线轨道进入火星轨道，需点火加速做离心运动，故B正确；由开普勒第二定律知，“天问一号”在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变小，故C错误；“天问一号”的椭圆轨道半长轴小于火星轨道半径，由开普勒第三定律可知，“天问一号”从地球飞到火星轨道的时间小于火星公转周期的一半，故D错误。]
9．(多选)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，则可知( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1做圆周运动的半径为L
C．m1、m2做圆周运动的角速度之比为1∶1
D．m2做圆周运动的半径为L
BC [双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期，根据ω＝可知，角速度ω相同，对m1有G＝m1r1ω2，对m2有G＝m2r2ω2，可得m1r1＝m2r2，则有＝＝，又因为r1＋r2＝L，所以有r1＝L，r2＝L，又v＝rω，所以线速度之比为＝＝，故B、C正确。]
10．(多选)如图所示，地球球心为O，半径为R，地球表面的重力加速度为g。一宇宙飞船绕地球无动力飞行且沿椭圆轨道运动，轨道上P点距地心最远，距离为3R。为研究方便，假设地球不自转且忽略空气阻力，则( )
A．飞船经过P点的加速度一定是
B．飞船经过P点的速度一定是
C．飞船经过P点的速度小于
D．飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要制动减速
AC [在地球表面重力加速度与万有引力加速度相等，根据牛顿第二定律有G＝mg，所以在地球表面有g＝，在P点根据牛顿第二定律有G＝maP，联立解得aP＝，故A正确；在椭圆轨道上飞船从P点开始将做近心运动，此时满足飞船受到的万有引力大于飞船在P点所需向心力，即，则vP＜，故B错误，C正确；飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要点火加速，故D错误。]
11．天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件。假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小，若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )
A．这两个黑洞运行的线速度大小始终相等
B．这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C．36倍太阳质量的黑洞和29倍太阳质量的黑洞运行的线速度大小之比为36∶29
D．随着两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小
D [设大小两个黑洞做圆周运动的半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，由题意知，m1ω2r1＝m2ω2r2，解得＝＝，这两个黑洞做圆周运动的角速度相等，由v＝ωr知线速度大小不相等，故A错误；由an＝rω2知向心加速度大小不相等，故B错误；由v＝ωr知大小两黑洞运行的线速度大小之比为29∶36，故C错误；设两个黑洞间距为L，随着两个黑洞的间距缓慢减小，黑洞做匀速圆周运动的半径也在减小，根据万有引力提供向心力，对质量为m1的黑洞有G＝m1r1，对质量为m2的黑洞有G＝m2r2，r1＋r2＝L，解得T＝2π，其中L为两个黑洞的间距，因m1、m2不变，L减小，所以周期减小，故D正确。]
二、非选择题
12．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星球中心距离为R，其运动周期为T，求两星球的总质量。
[解析] 设两星球质量分别为m1和m2，做圆周运动的半径分别为r1和R－r1，则由万有引力提供向心力得
r1＝G ①
(R－r1)＝G ②
由①②可得m1r1＝m2(R－r1) ③
则＝ ④
由①④得＝＝
所以m1＋m2＝。
[答案]
13．如图所示为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于P点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道，探测器距火星表面的高度为h，P、S两点分别是椭圆轨道的近火星点和远火星点，P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，S、Q间距离为H。探测器在轨道Ⅲ上绕火星做周期为T的匀速圆周运动，火星半径为R，引力常量为G。求：
(1)火星的质量及火星表面的重力加速度；
(2)火星的第一宇宙速度；
(3)探测器在轨道Ⅱ上的运动周期。
[解析] (1)探测器在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得
G＝m
解得M＝
根据黄金代换公式，即GM＝gR2
解得g＝。
(2)设质量为m′的物体在火星附近做圆周运动，由万有引力提供向心力，即
＝m′，解得v＝。
(3)根据开普勒第三定律得＝
探测器在轨道Ⅱ上的运动周期
T′＝。
[答案] (1) (2) (3)主题提升课1 曲线运动 万有引力定律与相对论初步
主题一 运动模型的构建
通过研究平抛运动、匀速圆周运动等运动形式，体会物理学化繁为简的研究方法，会用运动与相互作用的知识分析曲线运动问题。
【典例1】 (2022·云南高二学业考试)曲线运动是常见的运动形式。图甲中投出的篮球在空中做曲线运动，图乙是中国(珠海)航展中飞机飞行表演的精彩镜头。关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A．做曲线运动的物体，其速度方向一定变化
B．做曲线运动的物体，其速度大小一定变化
C．物体受恒力作用，不可能做曲线运动
D．物体受变力作用，一定做曲线运动
A [做曲线运动的物体速度方向沿轨迹切线方向，所以速度方向时刻在变，但是大小不一定变化，如匀速圆周运动，故A正确，B错误；物体做曲线运动的条件是合外力与速度方向不共线，故恒力作用下也可以做曲线运动，如匀变速曲线运动，故C错误；物体受变力作用，如果这个力只是大小发生变化而方向与速度方向共线，则物体一定做直线运动，故D错误。]
【典例2】 (2022·北京二中高一期中)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨(如图丙所示)，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v1。在修建一些急转弯的公路时，通常也会将弯道设置成外高内低(如图丁所示)，当汽车以规定的行驶速度转弯时，可不受地面的侧向摩擦力，设此时的速度大小为v2，重力加速度为g。以下说法中正确的是( )
A．火车弯道的半径R＝
B．当火车速率大于v1时，外轨将受到轮缘的挤压
C．当汽车速率大于v2时，汽车一定会向弯道外侧“漂移”
D．当汽车质量改变时，规定的行驶速度v2也将改变
B [火车转弯时设轨道平面与水平面的夹角为θ，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，则有mg tan θ＝，解得R＝，A错误；当火车速率大于v1时，重力与支持力的合力不足够提供向心力，火车做离心运动，对外轨有挤压的作用，B正确；当汽车速率大于v2时，汽车有向弯道外侧“漂移”的趋势，这时汽车与路面的摩擦力增大，但不一定发生“漂移”，C错误；当汽车质量改变时，规定的行驶速度不会改变，因为mg tan θ＝，解得v2＝，速度与质量无关，D错误。]
主题二 运动模型在航天技术中的应用
通过对行星运动规律的学习，关注物理学定律与航天技术等现代科技的联系，了解人类对宇宙天体的探索历程，从万有引力定律的普适性认识自然界的统一性。
【典例3】 (多选)(2022·广东佛山高一期末)在2022年3月23日的“空中课堂”上，航天员叶光富在距地高约440 km的中国空间站进行了水油分离实验，在太空微重力环境下水油混合物很难自动分离，但叶老师通过使装有水油混合物的小瓶做圆周运动，实现了水和油的分离。已知地球同步卫星离地高度约为36 000 km，则下列说法正确的是( )
A．航天员在空间站所受重力近似为零
B．空间站绕地球运动的速度小于7.9 km/s
C．空间站绕地球运动的周期大于24 h
D．空间站中分离水油混合物的原理和洗衣机脱水的原理类似
BD [航天员随空间站绕地球做圆周运动，重力提供向心力，所以航天员在空间站所受重力不近似为零，故A错误；7.9 km/s是最小的发射速度，最大的环绕速度，所以空间站绕地球运动的速度小于7.9 km/s，故B正确；地球同步卫星的运行周期为24 h，空间站的轨道高度小于同步卫星的轨道高度，由＝可得T＝，所以空间站绕地球运动的周期小于24 h，故C错误；水的密度大于油的密度，在做圆周运动时更容易发生离心，所以空间站中分离水油混合物的原理和洗衣机脱水的原理类似，故D正确。]
主题三 科学无止境
通过对相对论的学习，认识到科学研究包含大胆的想象和创新，科学理论既具有相对稳定性，又是不断发展的，人类对自然的探索永无止境。具有探索自然、造福人类的意识。
【典例4】 (多选)关于牛顿运动定律的适用范围，下列说法正确的是( )
A．适用于一切参考系中的力学现象
B．适用于宏观物体的低速运动
C．不适用于微观粒子的运动
D．适用于宏观物体速度接近光速的运动现象
BC [牛顿运动定律适用于惯性参考系中的力学现象，故A错误；牛顿运动定律适用于宏观物体的低速运动，故B正确，D错误；牛顿运动定律不适用于微观粒子的运动，故C正确。]
【典例5】 下列说法不符合相对论的观点的是( )
A．时间和空间都是绝对的，在任何参考系中一个事件发生的时间和一个物体的长度总不会改变
B．一条沿自身长度方向运动的杆，其长度总比杆静止时的长度小
C．相对论认为时间和空间与物体的运动状态有关
D．当物体运动的速度v远小于c时，“长度收缩”和“时间膨胀”效果可忽略不计
A [时间和空间都是相对的，没有绝对准确的时间和空间，A错误；由l＝l0可知l