2023-2024学年河南省新乡市封丘重点中学高一（下）开学数学试卷（2）（含解析）

2023-2024学年河南省新乡市封丘重点中学高一（下）开学数学试卷（2）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知向量，，且，则实数等于( )
A. B. C. D.
4.已知，则的解析式为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.若两个正实数，满足，对这样的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.若函数在区间上恰有一个零点，则的值可以是( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是
( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.若函数在上的最大值与最小值的差为，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
11.对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：在上是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”下列函数存在“和谐区间”的有( )
A. B. C. D.
12.已知函数的定义域为，，且，则( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 在上具有单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象过点，则 ______．
14.已知向量，，，，若，则的最小值为 ．
15.已知命题“，”为假命题，则取值范围为______．
16.已知函数，若的图象上存在关于直线对称的两个点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知集合，．
当时，求，；
当，时，求实数的取值范围．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为线段延长线上的一点，且，，求．
20.本小题分
已知，，．
求的最小正周期及单调递减区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
21.本小题分
如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
已知在时刻单位：时点距离地面的高度其中，，，求函数解析式及时点距离地面的高度；
当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
22.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值；
若对于任意，不等式恒成立，求的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故选：．
根据全称命题的否定为特称命题求解．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，
则，
若，则有，
解可得；
故选：．
根据题意，由向量、的坐标可得，又由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案、
本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是在掌握向量垂直与向量数量积的关系．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求法，熟练掌握换元法求函数解析式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
利用换元法，令，可得的解析式，从而得解．
【解答】
解：令，则，
，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以
．
故选：．
由，然后利用二倍角公式求解即可．
本题考查了三角函数的求值问题，二倍角公式以及诱导公式的应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，当且仅当“”时取等号，
故，解得，
故选：．
利用基本不等式可把问题转化为解不等式，由此容易得解．
本题考查基本不等式的运用及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由可得，，
由函数在区间上恰有一个零点，可知在只有一个零点，
当时，，
，结合选项可知，符合题意．
故选：．
由已知可转化为在只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求的范围．
本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
可得函数的最小正周期为，故A错误；
令，求得，故B错误；
令，求得，故C错误；
在上，，可得的图象单调递增，故D正确．
故选：．
利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，取，但，故A错误；
对于，若，则，即，故B正确；
对于，取，但，故C错误；
对于，若，则，即，故D正确．
故选：．
对于，分别取、，即可推翻结论；对于，可以用作差法进行判断即可．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，是基础题．
由已知可得，对分类可得函数的单调性，求得最值，再由最大值与最小值的差为列式求解值．
【解答】
解：由题意，当时，在上单调递增，
有，解得；
当时，在上单调递减，
有，解得．
综上知．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：是上的增函数，
若满足条件则，
即，是方程的两个不同的根，
则，得，
设，则，
由得，且当时，函数取得极小值，此时，即只有一个根，不满足条件．
B.在和上是减函数，
则，即，得，则，同号，当时，，此时满足条件．
C.是上的增函数，
若满足条件则，
即，是方程的两个不同的根，
由，得，
作出函数和，则两个函数有两个交点，满足条件，
D.是上的增函数，
若满足条件则，
即，是方程的两个不同的根，
由，得，
设，，
则，
由得，且当时，函数取得极大值，此时，
即只有一个根，不满足条件．
故存在“和谐区间”的函数是，
故选：．
根据和谐区间的定义，建立方程，转化为对应方程有两个不同的根即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合条件建立方程，利用导数或数形结合判断交点个数是解决本题的关键．难度中等．
12.【答案】
【解析】解：的定义域为，，
，
令，得，
，A正确；
，令，，得，即，
，B正确；
在中，令，
则，
为奇函数，C正确；
在中，令，得；
令，得，
在上不具有单调性，D错误．
故选：．
依题意，得，通过对、的赋值，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设，且的图象过点，
，，
．
故答案为：．
根据幂函数的解析式即可得出答案．
本题考查了幂函数的定义，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于基础题．
由，可得：，则，化简利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：，
，即，
，，
，
当且仅当时取等号，
的最小值是．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：因为命题“，”为假命题，
则，，为真命题，
则当时，满足题意，
当时，则，则，
综上，的取值范围为，
故答案为：，
根据题意将特称命题转化全称命题即可解．
本题考查特称命题转化全称命题以及二次函数性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：与的图象关于直线对称，
因此函数的图象上存在关于直线的对称点，
则函数与的图象在时有交点，
即在时有解，
在时有解，
令，
设，
则，，，
所以，从而，
所以在上是增函数，
由题意，
所以的最大值是．
故答案为：．
由与的图象关于直线对称，得出函数与的图象在时有交点，在时有解，令，由单调性求出的范围或最大值即可得．
本题考查了函数的对称性、单调性及转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：；
．
【解析】运用公式求解；
运用公式求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，，，
，或，
或或；
，
由，，
，，，，，
的取值范围是．
【解析】，直接求出集合，进而求出结果；
由，时，求出的范围．
考查集合的交并补的混合运算，属于基础题．
19.【答案】解：由已知得，
由正弦定理，得，
则，
即，
所以舍去或，
故，
所以．
设，
在中，
由正弦定理，得，
在中，
由正弦定理，得，
所以，
所以，解得，
又，
所以，即．
【解析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得，可得，利用三角形内角和定理即可求解的值．
设，在，中，由正弦定理，得，利用三角函数恒等变换的应用可求的值，进而可求的值．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
在上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值．
21.【答案】解：函数中，，，，所以，
，解得，因为，所以；
所以函数；
所以，
所以时点距离地面的高度为；
令，得，，；
解得，；
时，；时，；时，；时，；
所以时，，，，；
所以游客在上面游玩，共有可以看到公园的全貌．
【解析】根据函数，求出、、和、，写出函数的解析式，计算的值即可；
令，求出的取值范围，即可得出结果．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：定义域为的函数是奇函数，
，即，解得，
由即，
得，经检验，符合题意．
对于任意，不等式恒成立，
则，
为奇函数，，
即不等式等价为，
在上为减函数，
，
即恒成立，即有，
而，当时，取得最小值，
．
【解析】根据奇函数性质建立条件关系即可求，的值；
根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．
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