2023-2024学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
3.设正项等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“方程表示双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列说法正确的是( )
A. 数列为递减数列 B. 数列为等差数列
C. 若数列为递减数列，则 D. 当时，则取最大值时
10.已知抛物线：的焦点为，过抛物线上一点作两条斜率之和为的直线，与的另外两个交点分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 的准线方程是
B. 直线的斜率为定值
C. 若圆与以为半径的圆相外切，则圆与直线相切
D. 若的面积为，则直线的方程为
11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在直线上，则直线过定点
B. 当取得最小值时，点在圆上
C. 直线，关于直线对称
D. 与的乘积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调增区间为______．
13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知点到两个定点，的距离之比为，则的取值范围为______．
14.已知数列的前项和为，，，则为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程是．
求，的值；
求函数在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
设数列满足：，且对任意的，都有．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为米、米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上．
为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？
考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？
18.本小题分
已知函数，．
当时，求的值域；
若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线：的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为，且离心率为．
求双曲线的标准方程；
过点的直线直线的斜率不为与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，，
则，
所以．
故选：．
由斜率的定义和斜率的计算公式计算即可求得．
本题考查直线的倾斜角的求法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由椭圆的性质可得，
所以，，
所以椭圆的离心率，
解得，即，
解得，
所以椭圆长轴长为．
故选：．
由椭圆的方程可得，的表达式，再由离心率的值，可得的值，进而求出的值，可得长轴长的大小．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则有，
解可得：，
又由，则；
故选：．
根据题意，设等比数列的公比为，分析可得，解可得的值，据此计算可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，时，，，方程表示双曲线，充分性成立，
反之，当时，方程为，表示双曲线，必要性不成立，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：．
根据题意，由双曲线标准方程的形式可得充分性成立，举出反例可得必要性不成立，综合可得答案．
本题考查双曲线的标准方程，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
表示平面上点与点，的距离和，
连接，与轴交于，此时直线方程为，
令，则，
的最小值即为，此时．
故选：．
根据两点距离公式，结合直线方程即可求解．
本题主要考查了两点间距离公式在函数最值求解中的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：如图：在双曲线中，，且焦点在轴上，
椭圆和双曲线的相同焦点为，，它们在第一象限的交点为，
故椭圆中，故，
，，
，，
，
由余弦定理可得．
故选：．
根据双曲线以及椭圆的定义可得，，即可利用余弦定理求解．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由于点在圆的外部，故，解得或，
若圆上存在点使，
所以只需圆和圆相交或相切即可；故圆的圆心为，半径为，故，
故，解得，
由于，故的取值范围为．
故选：．
直接利用直线与圆的位置关系求出结果．
本题考查的知识要点：圆的方程，圆与直线的位置关系，主要考察学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
因为对任意实数恒有，
所以，
所以在上单调递增，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，故A不正确；
因为，所以，即，
所以，故B正确；
又因为，所以，即，
所以，故C不正确；
因为，所以，即，所以，故D不正确．
故选：．
构造函数，利用导数判断其单调性，判断各选项的正误即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由数列的前项和，可得时，，
当时，，对也成立，
所以，，为递减的等差数列，故A正确；
，是首项为，公差为的等差数列，故B正确；
由，，又数列为递减数列，
可得，即，即有恒成立，
而，可得，故C正确；
当时，，当时，取得最大值，故D错误．
故选：．
由数列的通项与求和的关系可得，可判断；求得，可判断；由数列的单调性和不等式恒成立思想，可判断；由配方法可判断．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性和求和的最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：依题意，，解得，
即抛物线：，焦点，准线方程为，A正确；
设，，显然，，，直线的斜率，
同理直线的斜率，由，得，解得，
因此直线的斜率，B错误；
圆：，令圆的半径为，由圆与圆相外切，得，
而，于是，即圆的圆心到轴的距离为圆的半径，则圆与直线相切，C正确；
由，消去得：，，
，，
，
而点到直线的距离，
则的面积为，D错误．
故选：．
根据给定条件，求出抛物线的方程，结合斜率坐标公式及抛物线定义，逐项计算判断得解．
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，由四点，，，共圆，且以为直径，
可得圆的方程为，化简得，
联立圆，
可得直线的方程为，即，令，且，
解得，即直线恒过定点，故A正确；
，
，
由于，当且仅当时，即时等号成立，
故此时点在圆上，故B错误；
由于直线，关于直线对称，而方程为，
由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C正确；
设，则，所以，故D正确．
故选：．
根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，可得点的轨迹，根据直线，关于直线对称，而与直线：垂直，即可判断，根据锐角三角函数即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为函数，
所以，
令，则，解得，
又因为单调递增，为单调递减，
所以为单调递增函数，
所以令，则，即，
所以函数的单调递增区间为．
故答案为：．
求出已知函数的导函数，结合导函数的单调性和零点，即可求出函数的增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，，即，
整理为，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为表示圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，
如图可知，直线与圆有交点，
则，解得．
故答案为：．
首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，动点的轨迹方程的求法，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由，，可得时，，
两式相减可得，即，
化为，
则，对也成立，
则．
故答案为：．
由数列的通项与前项和的关系，以及数列的恒等式，可得，进而得到．
本题考查数列的通项与前项和的关系，以及数列恒等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：由题意得，，，，
所以，，解得，；
由得，
当，令，解得或，
故在和单调递增，在单调递减，
又，，，，
所以，．
【解析】对函数求导，根据切线的方程可得，，即可求解，先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，即可比较端点值以及极值点处的函数值得最值．
本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
16.【答案】解：由题意可得，
又，则，其中，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，；
令，由可知，
则，
，
，
两式相减可得，
所以．
【解析】由已知条件，结合等比数列的定义，即可求得；
根据题意，由条件可得，然后结合错位相减法，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查了数列的递推关系及等比数列的通项公式在数列项的求解中的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
17.【答案】解：如图，以、所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，
并由条件可知，点，
设直线的方程，，
当时，，当时，，
即，
，
当时，即时，等号成立，
所以面积的最大值为平方米，
此时直线的方程为，即，，
此时；
由可知，
，
设，
，
令，则，
当时，，函数在区间单调递减，
当时，，函数在区间单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以当，此时最短．
【解析】首先表示直线方程，并求点，的坐标，并表示三角形的面积，结合基本不等式，即可求解；
根据的结果表示，同时构造函数，并利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
18.【答案】解：当时，，，
则，
故时，，单调递增，当时，，单调递减，
故时，函数取得最大值，
又，，
故函数的值域为；
若对任意，不等式恒成立，
则，即，
当时，，显然不符合题意；
当时，令，，
则，
由可得，或，
故在上单调递增，在上单调递减，
若，即时，在上单调递增，，满足题意；
当，即时，在上单调递增，上单调递减，
若恒成立，则且，
解得，，
故的范围为
【解析】求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解，
构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：设，其中一条渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离，
又，则，则，
所以双曲线方程为；
如图，由知，设直线：，，，
联立，得，
则，且，
所以，
直线的方程为，当时，，
直线的方程为，当时，，
即，
如图可知，
，
当，时，，
所以，
即，
当时，，
所以．
【解析】由条件可得关于，，的方程，即可求解；
由直线方程与双曲线方程联立，并表示直线，的直线方程，并求点，的坐标，并转化为，结合韦达定理，即可求解．
本题考查了双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
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