2023-2024学年黑龙江省大庆重点中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆重点中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.用“二分法”求函数的一个正零点的近似值精确到时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是
( )
A. 已经达到精确度的要求，可以取作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算
5.( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的对称中心为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，若其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
10.函数在上不单调，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
11.如图是函数的部分图象，
则( )
A. B. C. D.
12.已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论中正确的是( )
A. B. 且
C. D. 方程有个不同的实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知半径为的扇形，其弧长与面积的比值为 ．
14.函数，且的图象过定点______．
15.已知函数在区间上的最大值是，最小值是，则 ______．
16.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值：
；
．
18.本小题分
已知，且为第二象限角，
求，的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数在一个周期内的图象如图所示．
求函数的解析式和最小正周期；
求函数在上的单调递减区间．
20.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值，并用定义证明在上的单调性；
若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知
求函数的单调递减区间：
若函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数为偶函数．
求实数的值；
解关于的不等式；
设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：解得，，
由得，故B，
所以．
故选：．
分别解一元二次不等式、对数不等式，化简，，然后求交集．
本题考查不等式的解法，交集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题：，，
则命题的否定是，．
故选：．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，，
若，解可得，
当时，则有；
故选：．
根据题意，令可得，进而将代入解析式分析可得答案．
本题考查函数的值的计算，注意特殊值的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】本题考查二分法求方程根的近似值的步骤：依次求出区间的端点的中点的值，判断出根分布的区间．
利用二分法的方法判断出方程的根分布的区间，据精确度求出根的近似值．
解：
由由二分法知，方程的根在区间区间，没有达到精确度的要求，应该接着计算．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】
解：
，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，，，则．
故选：．
可以与，比较，确定三个数的大小．
本题考查函数性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，
由图可知，，解得，
则，
令，解得，
的对称中心为，
故选：．
利用辅助角公式化简函数，根据图象求出解析式，利用正弦函数的性质求出对称中心．
本题考查三角函数的性质，考查三角函数的图象，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用基本不等式即可求得答案．
本题考查对数函数的性质，二次函数性质，转化思想，基本不等式的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为，
又因为其中，
所以，
即
因为
所以，即，
所以，当仅当，即，时取“”，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，若，，，此时，A错误；
对于，，，
则，故B正确；
对于，在上单调递增，
，
，C正确；
对于，，若，则，D错误．
故选：．
通过举反例来判断，利用函数和不等式的性质判断．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为函数的对称轴为，且开口向上，
又函数在上不单调，
则，解得，
所以满足范围的选项为，，
故选：．
求出函数的对称轴，然后利用二次函数的单调性建立不等式求出的范围，由此即可求解．
本题考查了二次函数的单调性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．
根据图象先求出函数的周期，进而求得，利用五点作图法求出函数解析式中的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】
解：由图象知函数的周期，即，即，
显然不正确；
当时，由五点作图法，可使，则，
则
，C正确；
当时，由五点作图法，可使，则，
所以，B正确．
当时，，这与图象不符，所以不正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：函数与直线的图象，如下图所示：
因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，则A正确；
因为二次函数的图象关于直线对称，则，，则B正确；
设，因为，所以，
令，则，，
设，，
因为，，所以，即函数在上单调递增，
故，即，则C正确；
令，则．
由得，则方程的解为、、、．
当时，由于，则直线与函数的图象相交一点，
当时，由于，则直线与函数的图象相交一点，
当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的四点，
当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的两点，
则方程有个不同的实数根，则D错误；
故选：．
画出函数的图象，根据图象，得出的范围；利用对称性以及对数的运算性质得出且；结合且，将变形为，利用函数的单调性即可得出的取值范围；令，则，解出的根，根据直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设扇形的圆心角为，
弧长，
面积，
所以弧长和面积的比值为．
故答案为：．
直接利用扇形的弧长和面积公式，即可得解．
本题考查扇形的弧长和面积公式，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，解得，此时．
定点坐标为，
故答案为：
根据指数函数过定点的性质，令指数为，即可确定定点的坐标．
本题主要考查指数函数过定点的性质，直接让幂指数等于即可求出定点的横坐标，比较基础．
15.【答案】
【解析】解：令，则，
和在上单调性相同，
设在上有最大值，有最小值．
，
，
在上为奇函数，，
，，．
故答案为：．
令，则，和在上单调性相同，时奇函数，可得在，据此可求，从而求出．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，
得．
为偶函数，为奇函数，
，
，得．
又在上恒成立，
，即在上恒成立．
设，则只需，
显然在上为增函数，，
，
实数的取值范围为．
故答案为：．
根据奇偶性的性质可求得与的解析式，由参变量分离可得在上恒成立，求出的最大值即可得解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：原式．
原式．
【解析】利用有理数指数幂的运算性质求解．
利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：，且为第二象限角，
，
；
由得，
故．
【解析】利用同角三角函数的基本关系可求得，的值；
运用诱导公式，将所求关系式中的“弦”化“切”，即可求得答案．
本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：根据函数在一个周期内的图象，
可得，，．
再根据五点法做图，可得，
，，它的最小正周期为．
令，，可得，，
故函数的减区间为，．
【解析】由顶点坐标求出，由周期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
由题意，利用正弦函数的单调性，求出函数在上的单调递减区间．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出，由周期求出，由五点作图求出，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
20.【答案】解：函数的定义域为，且为奇函数，
，解得．
证明：由题知，设，
则
，
即，
在上是单调递增函数．
是上的奇函数且为严格增函数，
由，
可得，
即对一切恒成立．
令，，设，
则，
即，解得，
实数的取值范围是
【解析】由函数的定义域为，且为奇函数，得到，由此能求出，利用定义法能证明在上是单调递增函数．
由，得对一切恒成立．令，，设，则，由此能求出结果．
本题考查函数的奇偶性、单调性、换元法、函数恒成立值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：因为
，
令，
解得，
故函数的单调递减区间为；
函数在区间上有唯一零点，
等价于方程即在上有唯一实数根，
所以，
设，，则，
根据函数在上的图象，要满足与有唯一交点，
只需或，解得或，
故实数的取值范围为
【解析】本题考查了三角函数的单调性以及函数零点与方程根的问题，考查了学生的运算转化能力，属于难题．
先化简函数的解析式，然后根据正弦函数的单调递减区间利用整体代换思想即可求解；
由函数的零点等价转化为方程的根，再转化为两个函数的图象的交点问题，从而可以求解．
22.【答案】解：函数的定义域为，
因为函数为偶函数．
所以，即，
所以，
所以；
因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
因为，所以，解得或，
所以所求不等式的解集为；
因为函数与图象有个公共点，
所以，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，解得，
所以的取值范围为．
【解析】根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围．
本题考查了函数的奇偶性，不等式的解法和函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
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