(共34张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
学习 任务 1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景．(数学抽象)
2．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．(直观想象、数学抽象)
必备知识·情境导学探新知
01
高尔夫球是一项非常有趣的运动，擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要．”方向走对了，哪怕走得慢也能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远．
知识点1 向量与数量
(1)向量：既有_____又有_____的量叫做向量．
(2)数量：只有_____没有_____的量称为数量．
大小
方向
大小
方向
思考 1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？
[提示] 海拔不是向量，它只有大小没有方向．海拔的正负，只是相对规定的标准来说的，不是指方向，不是向量．
知识点2 向量的几何表示
(1)有向线段：具有_____的线段叫做有向线段，它包含三个要素：_____、_____、_____．
方向
起点
方向
长度
(2)
思考 2．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？
[提示] 有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．
知识点3 向量的有关概念
零向量 长度为_的向量，记做_
单位向量 长度等于_个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向_____或_____的非零向量．
向量a与b平行，记作______．
规定：零向量与任意向量_____
相等向量 长度_____且方向_____的向量．
向量a与b相等，记作______
0
0
1
相同
相反
a∥b
平行
相等
相同
a＝b
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量的大小为0，没有方向． ( )
(2)若a，b都是单位向量，则a＝b． ( )
(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．
( )
×
×
×
2．如图，B是线段AC的中点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出______个向量．
6 [由向量的几何表示，知可以写出6个向量，它们分别是．]
6
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 向量的有关概念
类型2 向量的表示及应用
类型3 相等向量和共线向量
类型1 向量的有关概念
【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
反思领悟 辨析向量概念的方法
(1)理解向量概念的关键是突出向量的两个要素——大小和方向，只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
(2)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
[跟进训练]
1．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是______．
③
③ [①错误．若b＝0，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上．]
类型2 向量的表示及应用
【例2】 (源自北师大版教材)小明从学校的教学楼出发，向北走了1 500 m到达图书馆，2 h后又从图书馆向南偏东60°走了1 000 m到食堂就餐，用餐后又从食堂向西走了2 000 m来到操场运动．请选择适当的比例尺画图，用向量表示小明每次的位移．
[解] 设比例尺为1∶50 000，如图．
小明的位移表示如图：
向量表示从教学楼到图书馆的距离与方向；
向量表示从图书馆到食堂的距离与方向；
向量表示从食堂到操场的距离与方向．
发现规律 用有向线段表示向量的方法
第一步：确定_____；
第二步：确定_____；
第三步：依据向量________确定有向线段的终点．
起点
方向
模的大小
[跟进训练]
2．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O北偏西45°方向；
[解] ∵||＝3，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点．
(2)||＝2，点B在点O正南方向．
[解] ∵||＝2＝，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径作圆，
圆弧与OR的交点即为B点．
类型3 相等向量和共线向量
【例3】 在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：＝．
[思路导引] (1)与共线的向量与的方向相同或相反．
(2)＝必须具备||＝||，且二者方向相同．
[解] (1)由满足共线向量的条件得与向量共线的向量有：．
(2)证明：在 ABCD中，AD綉BC．
又E，F分别为AD，BC的中点，
∴ED綉BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE綉FD，∴＝．
反思领悟 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
[跟进训练]
3．如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
[解] ∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
∴与共线的向量为．
(2)写出与长度相等的向量；
[解] ∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，
∴与长度相等的向量为．
(3)写出与相等的向量．
[解] 与相等的向量为．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
C [质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．]
√
2．如图，在圆O中，向量是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
C [由题图可知，三个向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]
1
2
3
4
√
ACD [对于A，相等向量的起点未必相同，所以A错误；对于B，零向量与单位向量是平行向量，正确；对于C，有向线段与方向不同，不表示同一个向量，故C错误；对于D，共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．故选ACD．]
3．(多选)下列说法错误的是( )
A．相等向量的起点相同
B．零向量与单位向量是平行向量
C．有向线段与表示同一个向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
1
2
3
4
√
√
√
4．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为_________；
(2)若||＝3，则||＝______．
1
2
3
4
(1) (2)6 [(1)在 ABCD和 ABDE中，
∵＝＝，
∴＝．
(2)由(1)知，＝，
∴E，D，C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6．]
6
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量与数量有什么区别？向量能比较大小吗？
[提示] 数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、 零来表示，可以比较大小，如长度、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小．
2．零向量与任意向量存在什么关系？
[提示] 平行．
3．向量中的“平行”“共线”与几何中的“平行”“共线”是否一致？
[提示] 向量中的“平行”与“共线”是一个概念，而几何中的“平行”与“共线”不是一个概念．由于向量可以平移，因此无论两个向量所在的直线是平行还是共线，我们都说这两个向量共线，而几何中则不同．(共32张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
学习 任务 1．能从实例中抽象出向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义．(数学抽象)
2．掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则．(直观想象)
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
天车是大型生产车间或工地进行起重作业的重要设备．如图，物体在天车的作用下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移，实际位移可以看作竖直方向的位移与水平方向的位移的合成．
知识点1 向量的加法
1．向量加法的定义
(1)定义：求___________的运算，叫做向量的加法．
(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋___＝____．
两个向量和
0
a
三角 形法 则
平行四边形法则
2．向量求和的法则
a＋b
不共线
3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|__|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是________的非零向量时等号成立．
≤
方向相同
思考 非零向量a，b处于什么位置时，
(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
[提示] (1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；
(2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．
知识点2 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝______．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________．
b＋a
a＋(b＋c)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． ( )
(2)>． ( )
(3)||＋||＝||． ( )
√
×
×
2．如图，在 ABCD中，＝______．
[由平行四边形法则可知＝．]
3．化简：＝______．
[＝＝．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 向量的加法法则
类型2 向量加法的运算
类型3 向量加法的实际应用
[解] (1)如图①，在平面内任取一点O′，作＝a，＝b，连接O′E，则＝a＋b．
(2)如图②，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，以OA，OB为
邻边作 OACB，连接OC，则＝＝a＋b．
类型1 向量的加法法则
【例1】 如图，已知向量a，b．
(1)用三角形法则作出向量a＋b；
(2)用平行四边形法则作出向量a＋b．
反思领悟 三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
注意：(1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
[跟进训练]
1．(1)如图甲所示，求作向量和a＋b；
[解] 首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b．如图所示．
(2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．
[解] 法一(三角形法则)：如图所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＝a＋b．
再以OD，OC为邻边作 ODEC，
连接OE，则＝＝a＋b＋c即为所求．
类型2 向量加法的运算
【例2】 (源自人教B版教材)化简下列各式：
(1)；
(2)．
[解] (1)＝()＋＝＝．
(2)＝＋()＝＝()＋＝＝0．
反思领悟 向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．
(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
[跟进训练]
2．已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①；②；③．
[解] 如图所示，①易知四边形OAFE为平行四边形，连接OF，则＝．
②连接OC，则四边形OABC为平行四边形，连接AC，则＝．
③连接DB，则四边形AEDB为平行四边形，连接OD，则＝．
类型3 向量加法的实际应用
【例3】 (源自苏教版教材)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
[思路导引] 位移问题向量问题结合图形求解．
[解] 如图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，因为∠ACD＝90°，
||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°．
答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．
反思领悟 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
[跟进训练]
3．一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
[解] 如图所示，设分别是直升飞机的位移，则
表示两次位移的合位移，即＝．
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km．
在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．(多选)如图所示，在 ABCD中，下列结论中正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
√
√
2．向量()＋()＋化简后等于( )
A． B． C． D．
1
2
3
4
√
D [原式＝()＋()＝＋0＝．故选D．]
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
1
2
3
4
13 [因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]
13
4．小船以10 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为______km/h．
1
2
3
4
20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度的大小为＝20(km/h)．]
20
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？其运算法则有哪些？
[提示] 两个向量相加不是两个向量的模相加，向量相加要考虑大小及方向，其运算法则有三角形法则和平行四边形法则．
2．应用三角形法则应注意哪些问题？
[提示] 使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点．
3．应用平行四边形法则应注意哪些问题？
[提示] 平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和．基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量．
4．对于任意的向量a，b ， |a＋b|与|a|，|b|之间存在怎样的大小关系？
[提示] |a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立．(共31张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
学习 任务 1．能通过向量的加法运算抽象出向量的减法运算．(数学抽象)
2．理解相反向量的概念，了解向量加法与减法的关系．(逻辑推理)
3．掌握向量的减法运算，并理解其几何意义．(直观想象)
必备知识·情境导学探新知
01
一架飞机由A地―→B地，再由B地―→ A地．
问题：飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？
知识点1 相反向量
(1)定义：与向量a长度_____，方向_____的向量，叫做a的相反向量，记作_____．
(2)性质：①－(－a)＝____．
②对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
③若a，b互为相反向量，则a＝_____，b＝－a，a＋b＝___．
相等
相反
－a
a
－b
0
定义 求两个向量差的运算，a－b＝a＋______，即减去一个向量相当于加上这个向量的__________
作法
几何 意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的_____指向向量a的_____的向量
知识点2 向量的减法
相反向量
终点
终点
(－b)
思考 在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|
[提示] 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量． ( )
(2)向量与是相反向量． ( )
(3)零向量的相反向量仍是零向量． ( )
×
√
√
2．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝______，＝______．
a＋b b－a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－a．]
a＋b
b－a
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 向量减法的几何意义
类型2 向量减法的运算
类型3 向量加减法的综合应用
类型1 向量减法的几何意义
【例1】 如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作
向量a＋b－c．
[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c．
法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，
连接OC，则＝a＋b－c．
反思领悟 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
[跟进训练]
1．向量可以写成：
①；②；③；④．
其中正确的是______(填序号)．
①④ [①＝；②＝－＝－()≠；③＝；④＝，故填①④．]
①④
类型2 向量减法的运算
【例2】 化简下列各向量的表达式：
(1)；
[解] ＝＝．
(2)()－()；
[解] 法一：加法法则
原式＝
＝()－()
＝＝0．
法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝
＝()＋()＝＝0．
法三：减法法则(创造同一起点)
原式＝
＝()－()－()＋()＝＝0．
(3)()－()．
[解] ()－()
＝()－()＝＝0．
反思领悟 向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
[跟进训练]
2．化简下列向量的表达式：
(1)；
(2)()＋()．
[解] (1)＝＝＝．
(2)()＋()＝＝＋()＝＋0＝．
类型3 向量加减法的综合应用
【例3】 已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b．求证：
(1)|a－b|＝|a|．
(2)|a＋(a－b)|＝|b|．
[证明] 在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||．
(1)在△ACM中，＝＝a－b．
于是由||＝||，得|a－b|＝|a|．
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
所以＝＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|．
反思领悟 解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与待证向量的转化渠道．
[跟进训练]
3．(1)已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量满足＝，则四边形ABCD的形状为_____________．
平行四边形 ∵＝，
∴＝，∴＝．
∴||＝||，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形
(2)如图，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量＝__________．(用a，b，c表示)．
a－b＋c 在△AOD中，＝＝－a．
在△BOC中，＝＝c－b．
又在 ABCD中，＝，
故－a＝c－b，即＝a－b＋c．
a－b＋c
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则等于( )
A． B． C． D．
√
C [在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得＝．故选C．]
2．化简的结果等于( )
A． B．
C． D．
1
2
3
4
√
B [原式＝()＋()＝＋0＝．]
3．(多选)非零向量m与n是相反向量，下列正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
1
2
3
4
√
BCD [由条件可知，当m≠0且n≠0时，B，C，D项都成立，故选BCD．]
√
√
4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b|＝______．
1
2
3
4
0 2 [若a，b为相反向量，则a＋b＝0，
∴|a＋b|＝0．
又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，
∵a与b共线，
∴|a－b|＝2．]
0
2
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量减法的实质是什么？
[提示] 向量减法的实质是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意什么？
[提示] “差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以 ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量如何表示？
[提示] ＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论应用非常广泛，应该加强理解并掌握．
4．对于任意的向量a，b，|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|．(共33张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
学习 任务 1．了解向量数乘的概念．(数学抽象)
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算．(数学运算)
3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
一只蚂蚁做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？
问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”，你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？
知识点1 向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的数乘，记作：_____，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝_______．
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向_____．
当λ＜0时，λa的方向与a的方向_____．
当λ＝0时，λa＝___．
向量
λa
|λ||a|
相同
相反
0
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μ a)＝_________．
②(λ＋μ)a＝_________．
③λ(a＋b)＝_________．
特别地，有(－λ)a＝_________＝_________；
λ(a－b)＝_________．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
－(λa)
λ(－a)
λa－λb
(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是_____．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________．
向量
λμ1a±λμ2b
思考1．实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？
[提示] 不能进行加减，像a＋λ，a－λ(λ为实数)都是没有意义的．
思考2．若λa＝0，则一定有a＝0吗？
[提示] 不一定，还有可能λ＝0．
知识点2 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使______．
提醒 定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．
b＝λa
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＝λb a与b共线． ( )
(2)若a与b共线，一定有a＝λb． ( )
(3)若a，b不共线，则a，b中任何一个均不为0． ( )
√
√
×
2．化简：2(3a＋4b)－8a＝__________．
－2a＋8b [原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．]
－2a＋8b
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 向量的线性运算
类型2 用已知向量表示相关向量
类型3 向量共线定理
类型1 向量的线性运算
【例1】 化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0．
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．
反思领悟 向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
[跟进训练]
1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．
[解] 由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，
所以y＝4a＋3b．
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b．
类型2 用已知向量表示相关向量
【例2】 如图，D是△ABC的边AB的中点，则＝( )
A．－ B．－＋
C．－－ D．＋
B [法一：∵D是AB的中点，∴＝，∴＝＝－＋．
法二：＝)＝＋()]＝＋＝－＋．]
√
反思领悟 用已知向量表示其他向量的方法
(1)直接法：结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量．
(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
(3)中点向量公式：若M为AB的中点，O为平面内任一点，则＝．
[跟进训练]
2．如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
√
D [因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＝＝a－b．]
类型3 向量共线定理
【例3】 设a，b是不共线的两个向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
[思路导引] (1)＝λ．
(2)8a＋kb与ka＋2b共线→8a＋kb＝λ(ka＋2b)．
[解] (1)[证明] ∵＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4．
反思领悟 1．证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
2．利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．
[跟进训练]
3．设不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
[解] 证明：当a＝，b＝时，
＝＋，
所以)＝)，
即2＝，
所以与共线．又与有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？说明理由．
[解] a＋b为定值1，理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥，
不妨设＝λ(λ∈R)，所以＝λ()，
即＝(1－λ)＋λ，
又＝a＋b，且不共线，
则
所以a＋b＝1(定值)．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．(多选)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是( )
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
C．－2a与2a是一对相反向量
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
√
√
√
1
2
3
4
ABC [A正确，∵2＞0，
∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|．
B正确，∵5＞0，
∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2＜0，
∴－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，
∴5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的．
C正确，按照相反向量的定义可以判断．
D不正确，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，
∴a－b与－(b－a)为相等向量．
故选ABC．]
2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A．(a－b) B．－(a－b)
C．(a＋b) D．－(a＋b)
1
2
3
4
√
C [因为M是BC的中点，所以＝(a＋b)．]
3．＝_________．
1
2
3
4
2b－a [原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b．]
2b－a
4．已知O，A，B是平面内任意三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝______．
1
2
3
4
－2 [因为点P在直线AB上，
所以＝λ，λ∈R，＝λ()，
即＝λ＋(1－λ)，
所以所以x＝－2．]
－2
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量λa的几何意义是什么？
[提示] λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．
2．向量共线定理的内容是什么？
[提示] 若向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使得b＝λa(a≠0)．
3．如何利用向量共线定理证明A，B，C三点共线？
[提示] 要证三点A，B，C共线，只需证明与或与共线即可．(共34张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念及性质
学习 任务 1．了解向量的数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．(数学抽象)
2．掌握向量的数量积的定义及投影向量．(数学抽象)
3．会计算平面向量的数量积．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．
问题：该大力士所做的功是多少？
知识点1 向量的数量积
1．两向量的夹角
已知两个_____向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(________)叫做向量a与b的夹角．
当θ＝0时，向量a，b_____；
当θ＝π时，向量a，b_____；
当θ＝时，向量a与b_____，记作a⊥b．
非零
0≤θ≤π
同向
反向
垂直
思考1．如何作出向量a与b的夹角？
[提示]
2．平面向量数量积的定义
已知两个_____向量a与b，它们的夹角为θ，把数量_________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________．
规定：零向量与任一向量的数量积为_．
非零
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
思考2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？
[提示] 不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称这种变换为向量a向向量b投影，_____叫做向量a在向量b上的投影向量．
思考3．如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
[提示] ＝|a|cos θe．
知识点2 向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b ______＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝______；
当a与b反向时，a·b＝_______．
特别地，a·a＝_______或|a|＝________．
(4)|a·b|___|a||b|．
a·b
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
思考4．若a·b＝0，则a⊥b一定成立吗？
[提示] 不一定，也可能a＝0或b＝0．
思考5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？
[提示] a·b<0，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是钝角或180°．而a·b>0时，由a·b＝|a||b|cos θ可知，两向量的夹角是锐角或0°．
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝( )
A．－3 B．－6 C．6 D．2
B [a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6．]
√
2．若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为______．
120°
3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为______．
a [向量b在a方向上的投影向量为
(|b|cos θ)＝2×cos 60°×a＝a．]
a
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 定义法求向量的夹角
类型2 平面向量的数量积运算
类型3 投影向量
类型1 定义法求向量的夹角
【例1】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
[解] 如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°．
以为邻边作 OACB，
则＝a＋b，＝a－b．
因为|a|＝|b|＝2，
所以 OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°．
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°．
反思领悟 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
[解] 因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．
如右上图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，所以∠DBC为向量与的夹角．
因为∠ABC＝60°，
所以∠DBC＝120°，
所以向量与的夹角为120°．
[跟进训练]
1．如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
[解] 因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
所以向量与的夹角为90°．
类型2 平面向量的数量积运算
【例2】 如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·．
[解] (1)因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9．
(2)因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6．
发现规律 定义法求平面向量的数量积
(1)求模：即分别求|a|和|b|．
(2)求夹角：尤其注意向量a与b的方向．
(3)求数量积：即a·b＝___________．
|a||b|cos θ
[跟进训练]
2．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：
(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°．
[解] (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30；
若a与b反向，则θ＝180°，
a·b＝|a||b|cos 180°＝－6×5＝－30．
(2)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，
a·b＝|a||b|cos 90°＝0．
(3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5×＝15．
类型3 投影向量
【例3】 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．
[解] (1)∵|b|＝1，∴b为单位向量．
∴向量a在向量b上的投影向量为
|a|cos 120°·b＝3×b＝－b．
(2)∵|a|＝3，∴＝a，
∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°＝1··a＝－a．
发现规律 投影向量的求法
方法一：用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为____________．
|a|·cos θ·
[跟进训练]
3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．
[解] 设a，b的夹角为θ，
∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝，
∴向量a在向量b上的投影向量为
|a|cos θ·＝12××b＝b．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1．在 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
√
D [如图，与的夹角为∠ABC＝150°．故选D．
]
2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝( )
A．18 B．－18
C．±18 D．0
√
C [当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a|·|b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18．故选C．]
[设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．]
3．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为______．
4．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为______．
a [b在a方向上的投影向量为|b|cos ·＝2×a＝a．]
a
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量夹角的范围是多少？
[提示] [0，π]．
2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
[提示] a·b＝|a||b|cos θ，从而cos θ＝．
3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？
[提示] b在a方向上的投影向量为|b|e1cos θ，a在b方向上的投影向量为|a|e2cos θ(θ为a与b的夹角，e1为a方向的单位向量，e2为b方向的单位向量)．
4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示] a⊥b a·b＝0．反之成立．
5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？
[提示] |a·b|≤|a||b|．
