(共29张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
学习 任务 1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(数学抽象)
2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
如图，在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，其作用体现在两个方向：与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向，故在解决问题时，常常要把重力分解为使物体沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的力F2．在实际应用中，常常需要把一个力、速度、位移等分解为不同方向的分量的和．
知识点1 平面向量坐标的相关概念
知识点2 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表：
运算 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a＋b＝________________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a－b＝________________
重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____的坐标减去_____的坐标
和
(x1＋x2，y1＋y2)
差
(x1－x2，y1－y2)
终点
起点
(xB－xA，yB－yA)
思考 向量坐标与点的坐标的区别是什么？
[提示] 意义不同．点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．
1．设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为______________．
(2，5)，(4，3)
2．已知点A(1，－2)，点B(4，0)，则向量＝______．
(3，2)
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 平面向量的坐标表示
类型2 平面向量的坐标运算
类型3 平面向量坐标运算的应用
类型1 平面向量的坐标表示
【例1】 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
[解] (1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
反思领悟 求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
[跟进训练]
1．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标．
[解] 由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)．
类型2 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝
( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
A [法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A．
法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A．]
√
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标．
[解] a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)．
反思领悟 平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算．
(3)向量的坐标(线性)运算可类比数的运算进行．
[跟进训练]
2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求的坐标．
[解] 法一：∵＝(－2，10)，＝(－8，4)，
＝(－10，14)，
∴＝(－2，10)＋(－8，4)＝(－10，14)，
＝(－8，4)－(－10，14)＝(2，－10)．
法二：∵＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
∴＝＝(－10，14)，＝＝－＝(2，－10)．
类型3 平面向量坐标运算的应用
【例3】 已知点O(0，0)，A(1，2)．
(1)若点B(3t，3t)，＝，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解] ＝＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－．
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－．
若点P在第二象限，则
∴－(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由．
[解] ＝(1，2)，＝＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∴ 该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
反思领悟 向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
[跟进训练]
3．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
[解] 设点D的坐标为(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2)；
当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6)；
当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0)，
故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于( )
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
√
2．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B的坐标为( )
A．(－5，5) B．(5，－5)
C．(－1，1) D．(1，1)
1
2
3
4
√
B [＝＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．故选B．]
3．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为__________．
1
2
3
4
() [由题意知a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝i＋j＝()．]
()
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为___________．
(－1，2) [设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1，2)．]
1
2
3
4
(－1，2)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面向量正交分解与平面向量基本定理存在哪些联系？
[提示] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
2．向量终点的坐标就是向量的坐标吗？
[提示] 如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，如：若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)．
3．如何求两个向量的和或差的坐标？
[提示] 向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差．(共29张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
学习 任务 1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．(数学抽象)
2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
在物理课《力的合成与分解》中，我们知道，一个力可以分解成无数对大小、方向不同的分力．
知识点 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个___________
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使______________
2．基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
不共线向量
a＝λ1e1＋λ2e2
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基底中的向量可以是零向量． ( )
(2)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． ( )
(3)若＝a，＝b，AD是△ABC的中线，则＝(a＋b)． ( )
×
√
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 平面向量基本定理的理解
类型2 用基底表示向量
类型3 平面向量基本定理的应用
类型1 平面向量基本定理的理解
【例1】 (多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D．若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
√
√
BC [由平面向量基本定理可知，AD的说法是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底确定，那么同一平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，结论不成立．]
反思领悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．
[跟进训练]
1．(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
√
√
√
ACD [选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．]
类型2 用基底表示向量
【例2】 (源自湘教版教材)如图，△ABC中，AB边的中点为P，重心为G．在△ABC外任取一点O，作向量．
(1)试用表示；
[解] ＝＝＋
＝＋)
＝＋－
＝＋．
(2)试用表示．
[解] ＝＝＋
＝＋)
＝＋－
＝＋
＝＋
＝＋＋．
反思领悟 基底表示其他向量的方法
方法一：利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止．
方法二：列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
[跟进训练]
2．已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC．设＝a，＝b．
(1)用a，b表示；
[解] 由题意知A为BC的中点，
∴＝)，
∴＝2＝2a－b，
＝＝－＝2a－b．
(2)若与＋k共线，求k的值．
[解] 由(1)得＋k＝(2k＋1)a－kb，
∵与＋k共线，设＝λ(＋k)，
则2a－b＝λ(2k＋1)a－λkb，
∴ 解得k＝．
类型3 平面向量基本定理的应用
【例3】 (2022·江苏马坝高中月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．
(1)设＝a，＝b，用a，b表示；
[解] 因为AE＝2BE，所以＝＝，
所以＝＝b－a，
＝＝＋＝a＋b．
(2)已知ED⊥EF，求证：AB＝AD．
证明：因为ED⊥EF，所以·＝0，
即·＝b2－a2＝0，
即|a|＝|b|，所以AB＝AD．
反思领悟 利用向量解决几何问题的一般思路
(1)选取不共线的两个平面向量作为基底．
(2)将相关的向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题．
(3)利用向量知识进行向量运算，得向量问题的解．
(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解．
[跟进训练]
3．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．
[证明] 设＝a，＝b ．
因为四边形ABCD为菱形，所以|a|＝|b|，
又＝＝a＋b，＝＝b－a，
则·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0，
故⊥．所以AC⊥BD．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A．{} B．{}
C．{} D．{}
√
D [由于不共线，所以是一组基底．故选D．]
2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(5x－6y)e1＋(4x－5y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
1
2
3
4
√
A [由平面向量基本定理，得
则①－②得x－y＝3．]
3．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝
( )
A．－ B．－1
C． D．－
1
2
3
4
√
D [由题意可得＝×)＝＋＝＋)＝＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－－2×＝－．]
4．如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用基底{a，b}表示，则＝_________，＝_________．
1
2
3
4
a－b
a＋b
1
2
3
4
a－b a＋b [法一：设AC，BD交于点O(图略)，则有＝＝＝a，＝＝＝b．所以＝＝＝a－b，
＝＝a＋b．
1
2
3
4
法二：设＝x，＝y，
则＝＝y，
又
所以
解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面内满足什么条件的两个向量可以构成基底？
[提示] 平面内任意不共线的两个向量都可以构成一组基底．
2．若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
[提示] 由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2．(共34张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习 任务 1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．(数学运算)
2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(逻辑推理)
3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
当a∥b时，a，b存在怎样的等量关系，其坐标之间又存在怎样的等量关系？让我们一起来学习吧！
知识点 平面向量数乘运算的坐标表示
1．数乘运算的坐标表示
(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝__________．
(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_________．
(λx，λy)
相应坐标
2．平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使______．
(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是____________．
a＝λb
x1y2－x2y1＝0
思考 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成＝吗？
[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
1．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为_________．
(－1，3) [根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3)．]
2．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝______．
－4 [∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．]
(－1，3)
－4
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 向量数乘的坐标运算
类型2 向量共线的坐标表示及应用
类型3 共线向量与线段分点坐标的计算
类型1 向量数乘的坐标运算
【例1】 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)
＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1，2)－(2，1)
＝－＝．
反思领悟 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．
[跟进训练]
1．(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝( )
A．(2，－3) B．(－2，－3)
C．(－2，3) D．(2，3)
(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，则a＋2b－3c的坐标是_____________．
√
(－11，－1)
(1)A (2)(－11，－1) [(1)因为A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以＝(1，－6)，＝(3，9)，所以＋＝(2，－3)．
(2)因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1)．]
类型2 向量共线的坐标表示及应用
角度1 向量共线的判定与证明
【例2】 (1)下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)
B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)
D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
D [A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－
(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0．故选D．]
√
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
[解] ∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)．
又2×2－4×1＝0，
∴∥．
又＝(2，6)，＝(2，4)，
∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD．
反思领悟 三点共线的实质与证明步骤
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．
角度2 已知平面向量共线求参数
【例3】 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解] 法一：(向量共线定理法)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以解得k＝λ＝－．
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以平行时ka＋b与a－3b反向．
法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－．
这时ka＋b＝＝－(a－3b)，
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
反思领悟 利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2 y1＝0直接求解．
[跟进训练]
2．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝______．
[法一(定义法)：因为a∥b，所以a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得
法二(结论法)：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝．]
3．已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
[证明] ＝＝＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
∵7×4－×8＝0，
∴∥，且有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
类型3 共线向量与线段分点坐标的计算
【例4】 已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
[思路导引] 点P在直线AB上，且||＝2||→＝2或＝
－2．
[解] 设P点坐标为(x，y)，||＝2||．
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为．
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(－5，8)．
综上所述，点P的坐标为或(－5，8)．
[母题探究]
若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”其他条件不变，求点P的坐标．
[解] 因为＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为．
反思领悟 若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)．特别地，当点P是P1P2的中点时，则P点坐标为．
[跟进训练]
4．如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解] 因为＝＝(0，5)＝，
所以C．
因为＝＝(4，3)＝，
所以D．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝．
因为∥，
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20．①
又＝＝，
因为∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20．②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为．
学习效果·课堂评估夯基础
03
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3
4
1．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于( )
A．(0，5) B．(0，1)
C．(2，5) D．(2，1)
√
D [＝)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．故选D．]
2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
1
2
3
4
√
A [因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，
－12)．]
3．若P1(1，2)，P(3，2)且＝2，则P2的坐标为( )
A．(7，2) B．(－7，－2)
C．(－4，－2) D．(4，2)
1
2
3
4
√
D [设P2(x，y)，则由＝2得(2，0)＝2(x－3，y－2)，
∴ 得 即P2(4，2)．]
4．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于__________．
1
2
3
4
(－4，－8) [∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，
∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]
(－4，－8)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若a＝(x，y)，则λa等于什么？
[提示] λa＝(λx，λy)．
2．向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？
[提示] x1y2＝x2 y1．
3．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标如何表示？
[提示] 线段P1P2的中点坐标是．(共38张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习 任务 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(数学运算)
2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．(逻辑推理、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
知识点 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．
(1)数量积的坐标表示：a·b＝__________．
(2)向量模的公式：|a|＝_________．
(3)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝______________________．
x1x2＋y1y2
(4)向量的夹角公式：
cos θ＝＝．
(5)向量垂直的充要条件：
若a与b都是非零向量，则a⊥b ____________．
x1x2＋y1y2＝0
思考 已知向量a＝(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么？
[提示] 设与a共线的单位向量为±a＝±＝±
2．已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则|a|＝______，|b|＝______，a，b的夹角θ＝______．
1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______．
2
2
120°
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 平面向量数量积的坐标运算
类型2 向量模的坐标表示
类型3 向量的夹角与垂直问题
类型1 平面向量数量积的坐标运算
【例1】 (1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
B a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．故选B．
√
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝______．
建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为＝2，
所以F．
所以＝(2，1)，
＝－(2，0)＝，
所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝．
反思领悟 数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
[跟进训练]
1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．无法确定
√
C 以B为原点，以的方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．
则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．
所以＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4．
(2)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影向量长度为______．
由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影向量长度为＝＝．
类型2 向量模的坐标表示
【例2】 若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：
(1)向量a的模；
[解] ∵a＝＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，∴|a|＝＝5．
(2)与a平行的单位向量的坐标；
[解] 与a平行的单位向量是±＝±(4，－3)，
即坐标为或．
(3)与a垂直的单位向量的坐标．
[解] 设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴＝．
又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1，
解得 或
∴e＝或e＝．
反思领悟 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝．
[跟进训练]
2．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．
[解] (1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，
|a－2b|＝＝．
(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，
∴c＝a－(a·b)·b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，
∴|c|＝＝．
类型3 向量的夹角与垂直问题
【例3】 (源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝，求k为何值时：
(1)a∥b；
[解] 因为a∥b，
所以3k－1×＝0，解得k＝－．
(2)a⊥b；
[解] 因为a⊥b，
所以3×＋1×k＝0，解得k＝．
(3)a与b的夹角为钝角．
[解] 因为＜〈a，b〉＜π，所以cos 〈a，b〉＜0，
则由向量夹角余弦公式可得
3×＋1×k＝－＋k＜0，
解得k＜．
由(1)知，k＝－时，a∥b，即a，b共线，此时〈a，b〉＝π．
所以k＜且k≠－时，a，b的夹角为钝角．
反思领悟 利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
[跟进训练]
3．已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
[解] 证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD．
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
[解] 因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝，设点C的坐标为(x，y)，
则由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得
所以点C的坐标为(0，5)，从而＝(－2，4)，＝(－4，2)，
且||＝2，||＝2·＝8＋8＝16．
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
√
D [因为a－b＝－＝，
所以＝＝5．
故选D．]
2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
1
2
3
4
√
B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝．
又0≤θ≤π，∴θ＝．]
3．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝______．
4 [a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4．]
1
2
3
4
4
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n＝______．
1
2
3
4
± [由题意2a－b＝(3，n)，
∵2a－b与b垂直，
∴3×(－1)＋n2＝0，
∴n2＝3，∴n＝±．]
±
回顾本节知识，自主完成以下问题：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．如何求向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？
[提示] cos θ＝＝．
2．向量a与b的夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？
[提示] (1)当θ为锐角或零角 x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角 x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角 x1x2＋y1y2<0．
阅读材料·拓展数学大视野
04
向量的数量积与三角形的面积
在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？
一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为
S＝|x1y2－x2y1|．
事实上，如图所示，记t＝|OA|，a＝(－y1，x1)，则容易验证，a是与垂直的单位向量．
过B作OA的垂线BC．因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知
|BC|＝|a·|，
因此，△OAB的面积为
S＝|AO|×|BC|＝|AO|×|a·|
＝t×
＝|(－y1，x1)·(x2，y2)|
＝|x1y2－x2y1|．
由此也可以看出，如图所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为
S＝|x1 y2－x2 y1|．
由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？
