(共29张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
学习 任务 掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题，体会向量是处理几何问题、物理问题的重要工具．(数学建模)
必备知识·情境导学探新知
01
物理中的共点力平衡，用两个力和拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的．
问题：(1)F能不能称为和的合力呢？
(2)它们之间有什么关系？
知识点 向量法解决平面几何问题的“三步曲”
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则来解决． ( )
(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0． ( )
(3)物理学中的功是一个向量． ( )
√
×
×
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 向量在平面几何中的应用
类型2 平面向量在物理中的应用
类型1 向量在平面几何中的应用
角度1 长度问题
【例1】 如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝
＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．
角度2 共线问题
【例2】 (源自北师大版教材)如图，点O是 ABCD两条对角线的交点，点E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．
[证明] 设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n．
所以＝．又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度3 垂直问题
【例3】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
[证明] 法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＝－a＋，＝＝b＋，
所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0．
故⊥，即AF⊥DE．
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，
－2)．
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE．
反思领悟 用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
[解] 设＝a，＝b，
则＝＝＋＝＋)＝＋＝a＋b．
∴||2＝＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3．
∴AD＝．
[跟进训练]
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
[解] 设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，则θ为与的夹角．
∴cos θ＝＝＝＝＝0．
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°．
类型2 平面向量在物理中的应用
【例4】 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
[解] (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，
得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥．
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．
反思领悟 用向量方法解决物理问题的四个步骤
[跟进训练]
2．一条宽为km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4 km/h．怎样安排航行速度，可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？
[解] 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED，
当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC⊥AE，
在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
∴||＝＝2，
÷2＝0.5(h)，sin ∠EAD＝，
∴∠EAD＝30°，
∴船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10
C．14 D．70
√
D [F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70．]
2．某人在静水中游泳的速度为 km/h，水流的速度为1 km/h，他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与水流方向的夹角为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
1
2
3
4
√
1
2
3
4
B [如图，表示水速，用表示某人沿着垂直于岸的方向前进的速度，
则他的实际前进的方向与水流方向的夹角为∠AOC．
因为tan ∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°．
故选B．]
3．在四边形ABCD中，若＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
1
2
3
4
√
D [由＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形．]
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为______．
1
2
3
4
2 [因为＝＝，
所以＝＝－·，即＝1，
所以||＝2，即AC＝2．]
2
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题？并说出其大体的求解思路．
[提示] 利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一是选择一组基底，利用基底表示涉及的向量；另一种是建立直角坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
2．用向量解决物理中的力学、速度、位移、功等问题的步骤大体有哪些？
[提示] 首先：问题的转化，把物理问题转化成数学问题；其次：模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；再次：参数的获取，求出数学模型的相关解；最后：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．(共29张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
学习 任务 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法．(数学抽象、逻辑推理)
2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°．根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？
知识点1 余弦定理的表示及其推论
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于_________________减去这两边与它们_________________的两倍
符号语言 a2＝__________________；
b2＝____________________；
c2＝____________________
其他两边平方的和
夹角的余弦的积
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
推论
cos A＝_________；
cos B＝_________；
cos C＝_________
知识点2 解三角形
(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．
其他元素
思考 1．勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗？
[提示] 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例．
思考 2．余弦定理推论的作用是什么？
[提示] 余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)若b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝______；
(2)若a＝1，b＝，c＝，则B＝______．
(1) (2)150° [(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝．
(2)由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝－．又0°
150°
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 已知两边与一角解三角形
类型2 已知三边解三角形
类型3 利用余弦定理判断三角形形状
类型1 已知两边与一角解三角形
【例1】 (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝______cm；
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C ＝，则BC＝______．
(1)60 (2)4或5 [(1)由余弦定理，得
a＝ ＝60(cm)．
(2)由余弦定理，得()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．]
60
4或5
反思领悟 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
[跟进训练]
1．在△ABC中，a＝2，c＝，B＝45°，解这个三角形．
[解] 根据余弦定理得
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(2)2＋()2－2×2×()×cos 45°＝8，∴b＝2，
又∵cos A＝
＝＝，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°．
类型2 已知三边解三角形
【例2】 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C．
[解] 根据余弦定理的推论，得cos A＝
＝＝．
∵A∈(0，π)，
∴A＝．
cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝，
∴B＝π－A－C＝π－－＝π，
∴A＝，B＝π，C＝．
反思领悟 已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[跟进训练]
2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数．
[解] 已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)，
由余弦定理的推论，得cos A＝
＝＝，
∵0°∴A＝45°，
cos B＝
＝＝，
∵0°∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°．
类型3 利用余弦定理判断三角形形状
【例3】 (源自人教B版教材)在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断这个三角形的形状．
[思路导引] a cos A＝b cos B得出a，b，c间的数量关系．
[解] ∵a cos A＝bcos B，
∴由余弦定理可得
a·＝b·，
整理得(c2＋b2－a2)a2 ＝(a2＋c2－b2)b2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2或a＝b．
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
反思领悟 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化边的关系：将条件中的角，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．
(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．
[跟进训练]
3．在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
[解] 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0．
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A． B．
C． D．5
√
A [由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝．]
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A． B．
C． D．
1
2
3
4
√
B [∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理的推论，得cos C＝＝＝．
又∵C为锐角，∴C＝．]
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( )
A．60° B．45°
C．120° D．30°
1
2
3
4
√
C [∵cos A＝＝－，∴A＝120°．]
4．在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为____________．
1
2
3
4
等腰三角形 [∵a＝2b cos C＝2b·＝，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．]
等腰三角形
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．余弦定理及其推论的内容是什么？
[提示] (1)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．
(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝(已知三边求三角)．
2．解三角形是如何定义的？余弦定理可解哪些三角形？
[提示] 由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形，余弦定理主要解决知道三边求三角，或知道两边及一角求第三边．
3．在△ABC中，若a2[提示] 当a2第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
学习 任务 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(逻辑推理、数学抽象)
2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？
知识点 正弦定理
思考 在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？
[提示] 如图所示，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，＝＝c，c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆的半径)．
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A． C．
A [由＝，得＝，解得sin B＝．故选A．]
√
2．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为______．
2
2 [因为＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2．]
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 已知两角及一边解三角形
类型2 已知两边和其中一边的对角解三角形
类型3 三角形形状的判断
类型1 已知两角及一边解三角形
【例1】 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
[解] 因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°．
由正弦定理，得＝＝，解得a＝＝4，c＝＝2()．
反思领悟 已知两角及一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[跟进训练]
1．已知△ABC中，c＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，求a，b．
[解] 由题意可得∠C＝180°－45°－60°＝75°．
由正弦定理得a＝＝．
又sin 75°＝，
于是a＝＝4－4．
同理可得b＝＝＝6－2．
类型2 已知两边和其中一边的对角解三角形
【例2】 (源自湘教版教材)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c．
(1)a＝5，b＝5，∠A＝30°；
[解] 由正弦定理得＝，
即sin B＝，
所以∠B＝60°或∠B＝120°．
当∠B＝60°时，∠C＝90°，
所以c＝sin 90°·＝10．
当∠B＝120°时，∠C＝30°，
所以c＝a＝5．
(2)a＝5，b＝，∠A＝45°．
[解] 由正弦定理得sin B＝·＝，
所以∠B＝30°或∠B＝150°．
又∠A＝45°，a＞b，
所以∠B＜45°．
由此得到∠B＝30°，∠C＝105°．
因此c＝sin 105°·＝sin 75°·＝．
反思领悟 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．
(2)用三角形内角和定理求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
[跟进训练]
2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a．
[解] 由正弦定理得sin C＝＝＝，
∵c>b，0°∴C＝45°或135°．
当C＝45°时，A＝105°，
a＝＝＝＋1，
当C＝135°时，A＝15°，
a＝＝＝－1．
类型3 三角形形状的判断
【例3】 在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[思路导引] 先有sin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2；
再由sinA＝2sin B cos C求出B，C的关系．
[解] 根据正弦定理，
得＝＝，
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．
∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C，
∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C
＝2sin B cos C，
∴sin (B－C )＝0．
又－90°∴B－C＝0，∴B＝C，
∴△ABC是等腰直角三角形．
反思领悟 利用正弦定理判断三角形形状的方法
(1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状．
(2)化角为边：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状．
[跟进训练]
3．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
√
A [法一：由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A
sin (A－B)＝0．由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
法二：由题意及余弦定理的推论，得
a·＝b·，
整理得2a2＝2b2，
因为a>0，b>0，得a＝b，
所以△ABC为等腰三角形．]
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是( )
A．a∶b＝A∶B B．a∶b＝sin A∶sin B
C．a∶b＝sin B∶sin A D．asin A＝bsin B
√
B [由正弦定理＝可得a∶b＝sin A∶sin B，可知B正确．故选B．]
2．一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长是( )
A．4 B．12 C．4 D．12
1
2
3
4
√
D [设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝
，得x＝＝＝12，故选D．]
3．在△ABC中，若c＝2a cos B，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．非等边三角形
1
2
3
4
√
B [由正弦定理知c＝2R sin C，a＝2R sin A(R为三角形外接圆的半径)，
故sin C＝2sin A cos B＝sin (A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以sin A cos B＝cos A sin B，
即sin (A－B)＝0，所以A＝B．
故△ABC为等腰三角形．]
4．在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝____________．
1
2
3
4
60°或120° [由正弦定理＝，得sin B＝＝．∵b>a，∴B>A，且0°60°或120°
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么作用？
[提示] 由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sin A＝，a＝2R sin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．
2．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？
[提示] 正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．(共29张PPT)
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理习题课
学习 任务 1．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的几何度量问题．(数学运算)
2．能根据条件，判断三角形解的个数．(逻辑推理)
3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(数学运算)
关键能力·合作探究释疑难
01
类型1 三角形解的个数的判断
类型2 三角形的面积
类型3 正、余弦定理的综合应用
类型1 三角形解的个数的判断
【例1】 不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
[解] sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解．
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
[解] sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°(3)b＝72，c＝50，C＝135°．
[解] sin B＝＝sin C >sin C＝．
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解．
反思领悟 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 absin A 两解
a＝bsin A 一解
a[跟进训练]
1．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
√
√
√
ABD [A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C >B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b类型2 三角形的面积
【例2】 在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos ∠CAD＝且AD＝BD，求△ABC的面积．
[解] 设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，
在△CAD中，由余弦定理的推论可知：
cos ∠CAD＝＝，
解得x＝1．
在△CAD中，由正弦定理可知：
sin C＝·＝4＝，
∴S△ABC＝AC·BC·sinC
＝×4×5×＝．
∴△ABC的面积为．
反思领悟 已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
[跟进训练]
2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝______．
2 ∵cos C＝，
∴C∈(0°，90°)，∴sin C＝＝，
又S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝4，
∴b＝2．
2
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为__________．
或 由正弦定理得sin C＝＝＝，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或．
或
类型3 正、余弦定理的综合应用
【例3】 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B．
(1)求B的大小；
[解] ∵bsin A＝acos B，
∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B．
在△ABC中，sin A≠0，
∴sin B＝cos B，即得tan B＝，∴B＝．
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
[解] ∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2．
反思领悟 应用正、余弦定理解决三角形问题，关键是根据已知条件对边和角进行相互转化，化简表达式，通过代数变形或三角恒等变换解决问题．
[跟进训练]
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B．
(1)求B的大小；
[解] 由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2，
即a2＋c2－b2＝ac．
由余弦定理的推论，得cos B＝＝．
又0°＜B＜180°，因此B＝45°．
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c的值．
[解] sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝．
由正弦定理，得a＝b·＝1＋．
由(1)得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝．
学习效果·课堂评估夯基础
02
1
2
3
4
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为( )
A．2 B． C． D．
√
B [由题意可知，a＝，b＝4，C＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×4×＝．]
2．已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形
( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
1
2
3
4
√
C [由正弦定理和已知条件，得＝，
∴sin B＝>1，∴此三角形无解．]
3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为( )
A． B．
C． D．
1
2
3
4
√
D [由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos ∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝．]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝____，b＋c＝______．
1
2
3
4
7 [由已知及正弦定理可得，
2cos A(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝sin A，
可得2cos A sin (B＋C)＝sin A，
即2cos Asin A＝sin A，
又sin A≠0，∴cos A＝，
7
1
2
3
4
∵A∈(0，π)，∴A＝．
由三角形的面积公式可得，
3＝bcsin A＝bc，即bc＝12．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，
解得b＋c＝7．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．正弦定理有哪些常见变形？
[提示] ①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．
②＝＝＝＝2R．
③a＝2Rsin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C．
④sin A＝，sin B＝，sin C＝．
2．三角形的面积公式有哪些？
[提示] (1)S△ABC＝bcsin A＝ac sin B＝ab sin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
3．如何判断三角形解的个数？
[提示] 已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：
根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin B＝．
当>1时，则无解；当＝1时，则有一解；
当<1时，若a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；若a第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
学习 任务 1．能将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模)
2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．
问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？
知识点 基线
(1)定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做_____．
(2)性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越___．
基线
高
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同． ( )
(2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解． ( )
√
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 测量距离问题
类型2 测量高度问题
类型3 角度问题
类型1 测量距离问题
【例1】 (源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D 四点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，
∠BDA＝15°，CD＝100 m，求AB的长．
[解] 因为A，B，C，D 4点都在水平面上，所以∠BDC＝∠BDA＋∠CDA＝15°＋45°＝60°，
因此∠CBD＝180°－30°－60°＝90°，
所以在Rt△BCD中，BC＝100cos 30°＝50(m)．
在△ACD中，因为∠CAD＝180°－45°－30°－45°＝60°，所以由正弦定理可知
＝，因此AC＝m．
在△ABC中，由余弦定理可知
AB2＝＋(50)2－2××50cos 45°＝，从而有AB＝ m．
反思领悟 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
[跟进训练]
1．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______m．
60
60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，
∴河宽BD＝120·sin 30°＝60(m)．]
类型2 测量高度问题
【例2】 如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
[解] 在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，
∠AMC＝180°－60°＝120°，
由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝600(m)．
在△ACD中，因为tan ∠DAC＝＝，
所以CD＝600×＝600(m)．
即电视塔CD的高度为600 m．
反思领悟 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[跟进训练]
2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝______m．
150
150 [由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100(m)，所以MN＝
AM sin 60°＝100×＝150(m)．]
类型3 角度问题
【例3】 如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
[解] 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，
即128t2－60t－27＝0，解得t＝或t＝－(舍去)，
∴AC＝21海里，BC＝15海里．根据正弦定理，
得sin ∠BAC＝＝，
则cos ∠BAC＝＝．
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，
∴θ＝45°－∠BAC，sin θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝．
反思领悟 解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
[跟进训练]
3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，所以渔船甲的速度为＝7 (n mile/h)．
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
√
D [如图所示．
]
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
1
2
3
4
√
A [∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m)．]
3．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( )
A．50 m B．100 m C．50 m D．100 m
1
2
3
4
√
A [因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
由正弦定理得＝，所以AC＝DC＝100 m，
在Rt△ABC中，AB＝AC sin 60°＝50 m．]
4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：
(1)A处与D处之间的距离为______海里；
1
2
3
4
24 由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，可知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．
由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24海里．
24
1
2
3
4
(2)灯塔C与D处之间的距离为______海里．
8 在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC 2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8海里．
即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为8海里．
8
回顾本节知识，自主完成以下问题：
测量距离问题有哪些类型？如何求解？
[提示] 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A，B间不可达也不可视
类型 简图 计算方法
B，C与点A可视但不可达
C，D与点A，B均可视不可达 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB
阅读材料·拓展数学大视野
04
秦九韶的“三斜求积术”
你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即
S＝．
你能证明这个公式吗？
“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．
事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．
S2＝c2a2sin2B＝(c2a2－c2a2cos2B)，
又因为ca cosB＝，所以
S2＝，
从而可知
S＝．