(共15张PPT)
第六章 平面向量及其应用
探究课1 用向量法研究三角形的性质
知识提炼
01
三角形“四心”的向量表示
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1)三角形的重心：＝0 O是△ABC的重心．
(2)三角形的垂心：·＝·＝· O是△ABC的垂心．
(3)三角形的内心：a＋b＋c＝0 O是△ABC的内心．
(4)三角形的外心：||＝||＝|| O是△ABC的外心．
典例探究
02
【典例】 (1)若三个不共线的向量满足·＝·＝·＝0，则点O为△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
A [由题意知与＋＝(E在∠BAC的邻补角的平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，故点O为△ABC的内心．
√
(2)已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2 ＝0，则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶1
C．2∶1∶1 D．1∶1∶2
B 延长PB至D，使得＝2 (图略)，于是有＝0，即点P是△ADC的重心，依据重心的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1．
√
(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝3．若O是△ABC外心，且＝p＋q，则p＝______，q＝______．
如图所示，取AB的中点D，AC的中点E，连接OD，OE，则OD⊥AB，OE⊥AC．
由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝．
·＝||||cos ∠BAC＝．
∵＝p＋q，
∴
∵·＝||·||·cos ∠BAO＝||·||＝2，·＝||·||·cos ∠CAO＝||·||＝，
∴解得p＝，q＝．]
对点训练
03
1．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于( )
A． B．6
C．12 D．18
√
D [如图，过点O作OD⊥AB于点D，
可知AD＝AB＝3，
则·＝()·＝··＝3×6＋0＝18．]
2．用向量方法证明：
(1)三角形的三条高线交于一点．
如图①所示，△ABC中，设BC，CA边上的高AD，BE交于点H，求证：边AB上的高过点H；
[解] 在△ABC中，
∵AH⊥BC，BH⊥AC，∴·＝0，·＝0，
∴·()＝0，·()＝0．
∴··＝0，
∴·＝0，∴CH⊥AB，故三角形三条高交于一点．
(2)三角形的三边的垂直平分线交于一点．
如图②所示，△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别为D，E，F，BC和CA边上的垂直平分线交于点O，求证：AB边上的垂直平分线过点O．
[解] 设＝c，＝a，＝b，
则a＋b＋c＝0，
因为BC和CA边上的垂直平分线交于点O，
所以⊥⊥，所以·＝0，·＝0，
因为＝＝，
所以()·＝0，()·＝0，
所以b2＋c·b＋·b＝0，－a2－c·a＋·a＝0，
两式相加得，(b2－a2)＋c·(b－a)＋·(b＋a)＝0，
因为c＝－(b＋a)，
所以(b2－a2)－(b＋a)·(b－a)＋·(b＋a)＝0，
所以(b2－a2)－(b2－a2)－·c＝0，
所以·c＝0，所以⊥c，所以FO⊥AB，即AB边上的垂直平分线过点O．(共15张PPT)
第六章 平面向量及其应用
微专题1 平面向量中的最值与范围问题
平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有了“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等．
类型1 目标函数法求最值
(或范围)
01
【例1】 (1)已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为( )
A． C．
C [(1)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，
cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝，
又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[()2＋2]＝4，
所以0所以a，b的夹角的最小值为．
√
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为______．
4 法一(构造函数法)：由题意得|a|＝1，|b|＝2 ，
a·b＝sin θ－cos θ＝2sin ，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sin ＝8－8sin ．
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值为4．
法二(几何意义)：由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4．
4
类型2 坐标法、几何意义法求最值(或范围)
02
【例2】 (2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4) D．(－4，6)
√
A [法一(坐标法)：
如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6)．
法二(几何意义法)：
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义，可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，所以·的取值范围是(－2，6)，故选A．]
类型3 基本不等式法求最值
(或范围)
03
【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为______．
[由题意得＝＝－，所以＝m＋n＝m＋n＝＋n，由P，B，C三点共线，得
m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，
所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＝
(当且仅当3n2＝4m2，即时取等号)，则＋的最小值为．]
类型4 极化恒等式法求最值
(或范围)
04
2 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则·＝－．因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以·的最大值为2．
【例4】 (1)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是______．
2
(2)四边形ABCD为菱形，∠BAC＝30°，AB＝6，P是菱形ABCD所在平面的任意一点，则·的最小值为______．
－27 由题设，AC＝6，取AC的中点O，连接OA，OC，OP，
则＝＝＝，所以·＝()·()＝－＝－27≥－27．
－27(共21张PPT)
第六章 平面向量及其应用
章末综合提升
巩固层·知识整合
01
提升层·题型探究
02
类型1 平面向量的线性运算
类型2 平面向量数量积的运算
类型3 利用余弦、正弦定理解三角形
类型4 余弦、正弦定理在实际问题中的应用
类型1 平面向量的线性运算
1．向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题．
2．通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养．
【例1】 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
√
A 法一：如图所示，＝＝＋＝×＋)＝－，故选A．
法二：＝＝－＝－×＝－，故选A．
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝______．
2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．
类型2 平面向量数量积的运算
1．平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的模等．
2．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例2】 (1)(多选)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则( )
A．|b|＝
B．(2a＋b)∥(a＋2b)
C．向量2a－b与a－2b的夹角为
D．向量a在向量b上的投影向量的模为
√
√
AC 将a＝(1，2)，b＝(m，1)代入b·(a＋b)＝3，得(m，1)·(1＋m，3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1，1)，所以|b|＝＝，故A正确；
因为2a＋b＝(1，5)，a＋2b＝(－1，4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；
设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3，3)，a－2b＝(3，0)，所以cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故C正确；
向量a在向量b上的投影向量的模为＝＝，故D错误．
(2)(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝______．
－ c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－．
－
类型3 利用余弦、正弦定理解三角形
1．常以余弦定理和正弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了知识的交汇性．
2．借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养．
【例3】 (2022·湖南长郡中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足4sin B cos C＝2a－c．
[解] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，
则a＝2sin A，c＝2sin C，
又4sin B cos C＝2a－c，
则2sin B cos C＝2sin A－sin C，
则2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C－sin C，
又sin C＞0，即cos B＝，
又0＜B＜π，则B＝．
(1)求角B；
(2)若AC边上的中线长为，求△ABC的面积．
[解] 由题意可得b＝2sin B＝2×＝3，
又AC边上的中线长为，
则||＝5，
即c2＋a2＋2×ac×＝25，
即a2＋c2＋ac＝25，①
又由余弦定理可得a2＋c2－2ac×＝9，
即a2＋c2－ac＝9，②
由①②可得ac＝8，
即△ABC的面积为ac sin B＝×8×＝2．
类型4 余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1．余弦定理和正弦定理在实际生活中的应用主要涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验．
2．将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养．
【例4】 甲船在静水中的速度为40海里/时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60°方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东30°方向．
(1)假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离；
[解] 两船的位置图如下：
由图可得，∠PAB＝120°，∠APB＝30°，所以AB＝AP＝40×0.5＝20，所以由余弦定理可得PB＝
＝＝20，
所以点B与点P之间的距离为20海里．
(2)若水流的速度为10海里/时，方向向正东方向，甲船保持40海里/时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
[解] 如图，的方向为水流的方向，的方向为船头的方向，的方向为实际行进的方向，其中BD＝4BC，∠CBP＝∠BPD＝60°．
在△BPD中，由正弦定理可得＝，
所以sin ∠PBD＝sin ∠BPD＝×＝．
即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为．
