(共26张PPT)
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
学习任务 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系．(直观想象)
2．掌握两异面直线所成的角的求法．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
观察下面两个图形．
问题：(1)教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？
(2)六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？
知识点1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)空间两条直线所成角α的取值范围是____________．
思考 1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？
[提示] 根据等角定理可知，异面直线所成角的大小与点O的位置无关.
a′与b′
0°≤α≤90°
知识点2 两条异面直线垂直
(1)定义：如果两条异面直线所成的角是____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．
(2)表示：直线a与直线b垂直，记作_____．
思考 2．两条直线垂直，一定相交吗？
[提示] 不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，但不一定相交．
直角
a⊥b
1．已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．
45° [如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为
异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方
形，所以∠BGF＝45°.]
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有________条．
2 [长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条．]
45°
2
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 异面直线所成的角
类型2 直线与直线垂直的证明
类型1 异面直线所成的角
【例1】 如图，空间四边形ABCD的各个棱长都相等，
E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成角的余弦值．
[解] 如图，取BD的中点F，连接EF，AF，又E为BC的中点，
∴EF綉CD，∴∠AEF为异面直线AE与CD所成的角(或补角)．
设空间四边形ABCD的棱长为a，则AE＝AF＝，
∴cos∠AEF＝＝.
故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.
发现规律 求异面直线所成角的一般步骤
“一作”即过空间一点作两条异面直线的______，而空间一点一般取在两异面直线中的一条上，特别是某些特殊点处，例如“端点”或“中点”处．
“二求”即通过解三角形，计算所作的角的大小．
“三结论”即假如所构造的角的大小为α，若0°＜α≤90°，则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°＜α＜180°，则________即为所求．
平行线
180°－α
[跟进训练]
1．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，求异面直线A1C与B1C1所成的角的大小．
[解] 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，
则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)，
∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝.
∴△BCA1是等边三角形，∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
类型2 直线与直线垂直的证明
【例2】 如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，
B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
[解] 法一：如图，连接A1C1，B1D1，设交点为O，取DD1的中点G，连接OG，GA1，GC1．
则OG∥B1D，EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1．∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，∴DB1⊥EF.
法二：如图，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE∥DB1，且HE＝DB1．于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，取A1D1的中点I，连接IF，HI，则HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2．
∴∠HEF＝90°，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，
∴DB1⊥EF.
法三：如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，DQ，则B1Q∥EF.
于是，直线DB1与B1Q所成的角就是异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
通过计算，不难得到B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°，所以DB1⊥EF.
反思领悟 证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．
[跟进训练]
2．(1)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，则线段AA1的长为________．
[连接CD1，AC.
由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，
A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC.
∵底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝，
∴AA1＝.]
(2)空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC
的中点，FG＝2，GE＝EF＝3．
求证：AC⊥BD.
证明：∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE∥BD，同理GF∥AC.
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD.
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．(多选)如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是( )
A．相交直线 B．异面直线
C．共面直线 D．平行直线
√
ABC [由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选ABC.]
√
√
1
2
3
4
√
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
B [取A1B1中点I，连接IG，IH，则EF綉IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.]
1
2
3
4
3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在的直线中与直线BC1所成角为的条数为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
√
B [因为正方体中∠CBC1＝，所以BC与直线BC1所成角为，又BC∥AD∥A1D1∥B1C1，所以AD，A1D1，B1C1与直线BC1所成角为，同理可得BB1，CC1，DD1，AA1与直线BC1所成角为，又AB，CD，C1D1，A1B1与直线BC1所成角为，所以与直线BC1所成角为的棱有8条．故选B.]
1
2
3
4
4．如图，已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝，AA′＝2．
(1)BC和A′C′所成的角为________；
(2)AA′和BC′所成的角为________．
(1)45° (2)60° [(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.]
45°
60°
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
[提示] 异面直线所成角θ的范围为0°<θ≤90°，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b.
2．用平移法求异面直线所成角的一般步骤是什么？
[提示] (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．
3．用平移法求异面直线所成角时应用了什么数学思想？
[提示] 应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．(共30张PPT)
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的定义及判定定理
学习任务 1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．(直观想象)
2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．(数学抽象)
3．了解直线与平面所成的角．(数学抽象)
必备知识·情境导学探新知
01
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
知识点1 直线与平面垂直的定义
定义 一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α
有关概念 直线l叫做平面α的____，平面α叫做直线l的____．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做____
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
任意一条
垂线
垂面
垂足
思考 直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“无数条直线”？
[提示] 不可以，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
知识点2 直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，_____＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
两条相交直线
m∩n
知识点3 直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面____，但不与这个平面____，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的____，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引____，过____和____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 相交
垂直
交点
垂线
垂足
斜足
有关概念 对应图形
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是____；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是___． 取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则____________ 90°
0°
0°≤θ≤90°
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． ( )
(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． ( )
(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． ( )
×
×
×
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1
与平面ABCD所成的角等于________；
AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；
AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．
45° 45° 0° [∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.]
45°
45°
0°
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 直线与平面垂直的判定
类型2 直线与平面所成的角
类型1 直线与平面垂直的判定
【例1】 如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，
D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
反思领悟 证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)．
②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α.
②α∥β，a⊥α a⊥β.
[跟进训练]
1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，
M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
[证明] 设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM α，∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
[证明] 如图，连接AC，则AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
类型2 直线与平面所成的角
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
[解] ∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，
∴tan∠A1CA＝.
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[解] 连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
[母题探究]
在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与
平面BB1D1D所成角的正切值．
[解] 连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a.
∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，
∴EO1＝，
B1O1＝，
∴tan∠EB1O1＝.
发现规律 求直线与平面所成角的步骤
(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的____，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的__________中计算．
垂线
直角三角形
[跟进训练]
3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面
ABB′A′所成角的正弦值．
[解] 如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD.
因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.
因为AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.
又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥侧面ABB′A′，所以BD是斜线BC′在
平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．
等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝，
在Rt△BB′C′中，BC′＝，
故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值为sin∠C′BD＝.
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
√
1
2
3
4
√
2．(多选)下列说法，正确的是( )
A．若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任一直线
B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
C．若a∥b，a α，l⊥α，则l⊥b
D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
AC [由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．]
√
1
2
3
4
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．120°
√
A [∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.]
1
2
3
4
4．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是点H，给出以下说法：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则点H是△ABC的垂心；
③若点P到△ABC的三边距离相等，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；
④若PA＝PB＝PC，则点H是△ABC的外心．
其中正确的说法是____________(填序号)．
①②③④
1
2
3
4
①②③④ [①正确，因为点P在平面ABC上的射影是H，则PH⊥平面ABC，故PH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；②正确，若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；③正确，易证Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F为△ABC各边的垂足)，所以HD＝HE＝HF，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④正确，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，所以HA＝HB＝HC，则H是△ABC的外心．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？证明线面垂直的主要方法有哪些？
[提示] 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直；证明线面垂直的主要方法：(1)线面垂直定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)借助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，
则需具备哪些条件？如何求直线与平面所成的角？
[提示] 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．求直线与平面所成角的步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．(共31张PPT)
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 线面垂直的性质与空间距离
学习任务 1．理解直线与平面垂直的性质定理．(数学抽象、逻辑推理)
2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．(数学抽象、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯．
问题：(1)灯杆与水平面有什么样的位置关系？
(2)灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？
(3)由此你能得出什么结论？
知识点1 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线____
符号语言
图形语言
平行
a∥b
思考 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
[提示] 棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．
知识点2 空间距离
1．过一点作____于已知平面的直线，则该点与____间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，____________叫做这个点到该平面的距离．
2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的________到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
垂直
垂足
垂线段的长度
任意一点
任意一点
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为______；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．
2
4
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 线面垂直性质定理的应用
类型2 空间中的距离问题
类型3 直线与平面垂直关系的综合应用
类型1 线面垂直性质定理的应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
反思领悟 证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
[跟进训练]
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足
为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.求证：
a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
类型2 空间中的距离问题
【例2】 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3,求点D到平面PBC的距离．
[思路导引] 点D到平面PBC的距离点A到平面PBC的距离．
[解] 法一(几何法)：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离．
如图，在平面PAB内作AH⊥PB交PB于点H.
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，
PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
而AH 平面PAB，所以BC⊥AH.
又PB∩BC＝B，且PB 平面PBC，
BC 平面PBC，所以AH⊥平面PBC.
即AH为点A到平面PBC的距离．
在直角三角形PAB中，AB＝AP＝1，故PB＝，
由S△PAB＝PA×AB，
得AH＝.
即点A到平面PBC的距离为，
所以点D到平面PBC的距离为.
法二(等体积转化法)：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离，设为h，
连接AC(图略)，则V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC，即×S△PBC×h＝×S△ABC×PA.
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥BC.
又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
又PB 平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC是直角三角形.
又∠ADC＝45°，AB＝AP＝1，AD＝3，所以BC＝2，PB＝，
所以h＝，
则点D到平面PBC的距离为.
反思领悟 空间中距离的转化
(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．
(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．
(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．
[跟进训练]
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1．
(1)证明：直线BC1∥平面D1AC；
[解] 证明：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1∥平面D1AC.
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
[解] 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，考虑三棱锥D1-ABC的体积，以平面ABC为底面，可得V＝，∵在△AD1C中，AC＝D1C＝，
∴cos∠ACD1＝，sin∠ACD1＝，∴＝.
∴V＝，∴h＝，即直线BC1到平面D1AC的距离为.
类型3 直线与平面垂直关系的综合应用
【例3】 如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，
PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF.
[证明] 因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以
PA⊥BC.
又AB是圆O的直径，所以AC⊥BC.
又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC.又AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
因为AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC.又PB 平面PBC，所以AF⊥PB.
又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF.
反思领悟 关于线面垂直判定、性质的应用
(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．
(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.
(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．
[跟进训练]
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
[解] 证明：由题意，可得DC＝AC＝，又AD＝2，所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，
又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC.
(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．
[解] 过点A作AH⊥PC，垂足为H，
由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，
所以AH⊥平面PCD，因为在Rt△PAC中，PA＝2，
AC＝，解得PH＝，所以PH＝PC，即在棱PC上存在点H，且PH＝使得AH⊥平面PCD.
学习效果·课堂评估夯基础
03
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2
3
4
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b α C．b⊥α D．b∩α＝A
√
1
2
3
4
√
2．(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PD⊥BD D．PA⊥BD
ABD [PA⊥平面ABCD PA⊥BD，D正确；
BC⊥平面PAB BC⊥PB.
故A正确；同理B正确；C错误．]
√
√
1
2
3
4
3．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
4
4 [如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4．]
1
2
3
4
4．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件_______________________________________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．
四边形ABCD为菱形(答案不唯一)
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．线面垂直的性质定理揭示了平行关系与垂直关系之间的相互转化，你能表述一下他们间的转化关系吗？
[提示] 平行关系与
垂直关系之间的相互
转化
2．点到平面的距离、直线到平面的距离以及平面到平面的距离之间是如何转化的？
[提示] 直线到平面的距离以及平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离．(共27张PPT)
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 二面角及平面与平面垂直的判定定理
学习任务 1．理解二面角及其平面角的概念，会作二面角的平面角，会求简单的二面角的平面角．(数学抽象、数学运算)
2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，会用定理证明垂直关系．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉．你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？
知识点1 二面角
1．定义：从一条直线出发的__________所组成的图形．
2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的__，(2)两个半平面叫做__________．
3．画法：
两个半平面
棱
二面角的面
4．记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA α，OB β；(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是______．
6．平面角是直角的二面角叫做________，二面角的平面角α的取值范围是_____________．
∠AOB
直二面角
0°≤α≤180°
思考 1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
[提示] 无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
思考 2．二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，构成二面角的平面角的三要素是什么？
[提示] 三要素是“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直．
知识点2 平面与平面垂直
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．
2．画法：
3．记作：_____．
4．判定定理：如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直．
直二面角
α⊥β
垂线
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β. ( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β. ( )
(3)两平面垂直时，其二面角是直二面角. ( )
×
×
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 二面角的计算问题
类型2 平面与平面垂直的判定
类型1 二面角的计算问题
【例1】 如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数；
[解] ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.
PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.
(2)求二面角B-PA-D的平面角的大小；
[解] ∵PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.
(3)求二面角B-PA-C的平面角的大小．
[解] ∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
反思领悟 求二面角的平面角的大小的步骤
(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线．
(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角．
(3)求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．
(4)结论．
[跟进训练]
1．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，
C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．
[解] 由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.
类型2 平面与平面垂直的判定
角度1 定义法判定平面与平面垂直
【例2】 如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝
AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
[解] 因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，则∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．
在△ABD中，AB＝a, BE＝a，
所以AE＝a.
同理CE＝a.
在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a.
因为AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，
即∠AEC＝90°，
所以二面角A-BD-C为直二面角，
所以平面ABD⊥平面BCD.
角度2 判定定理法判定平面与平面垂直
【例3】 (源自湘教版教材)如图，已知△ABC中，AD是边BC上的高，以AD为折痕折叠△ABC，使∠BDC为直角．
求证：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.
[证明] 因为AD⊥BD，AD⊥DC，
BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.
因为AD 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.
已知∠BDC为直角，所以BD⊥DC.
又AD∩DC＝D，因此BD⊥平面ADC.
因为BD 平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD.
反思领悟 证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[跟进训练]
2．如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面
ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC的中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
学习效果·课堂评估夯基础
03
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3
4
1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件( )
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
√
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3
4
√
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
C [∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.]
1
2
3
4
3．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
C [若方向相同则相等，若方向相反则互补．故选C.]
√
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4
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
45° [根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，
∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角．
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，
所以∠ABA1＝45°.]
45°
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何求二面角的平面角的大小？
[提示] 求二面角的平面角的大小的步骤
2．如何证明两个平面垂直？
[提示] 证明面面垂直主要有两种方法：
(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理．(共27张PPT)
第八章 立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
学习任务 1．通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象)
2．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题．(逻辑推理)
必备知识·情境导学探新知
01
黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？由此，你能得到什么样的一般结论呢？
知识点 平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面____
符号语言
图形语言
交线
垂直
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β. ( )
(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β. ( )
(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β. ( )
×
√
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 面面垂直性质定理的应用
类型2 线线、线面、面面垂直的综合应用
类型1 面面垂直性质定理的应用
【例1】 如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求证：AB⊥BC.
[思路导引] 平面VAB⊥平面VBCAD⊥BC
BC⊥平面VBBC⊥AB.
[证明] 如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D.
∵平面VAB⊥平面VBC，且交线为VB，
∴AD⊥平面VBC.
∴AD⊥BC.
∵VA⊥平面ABC，
∴VA⊥BC.
∵AD∩VA＝A，且VA 平面VAB，AD 平面VAB，
∴BC⊥平面VAB.
∵AB 平面VAB，∴AB⊥BC.
[母题探究]
若将本例中的条件变为：平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC，CA⊥AB.求证：VA⊥BC.
[证明] ∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，AC 平面ABC，CA⊥AB，
∴CA⊥平面VAB，∴CA⊥VA.同理，BA⊥VA.
又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，
∵BC 平面ABC，∴VA⊥BC.
反思领悟 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．
[跟进训练]
1．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°
且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直
于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：
(1)BG⊥平面PAD；
[证明] 由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
[证明] 由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，∴AD⊥平面PBG，
又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
类型2 线线、线面、面面垂直的综合应用
【例2】 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥
平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
[证明] 如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
[证明] 如图，连接BE并延长交PC于点H.
∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由(1)知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
反思领悟 垂直关系的转化
直线与直线垂直(线线垂直)、直线与平面垂直(线面垂直)、平面与平面垂直(面面垂直)之间可以相互转化，它们之间的转化关系可用框图来表示．
[跟进训练]
2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；
[证明] 设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.
因为CE⊥平面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝a.又因为DB⊥平面ABC，所以DA＝a，所以DE＝DA.
(2)平面BDM⊥平面ECA；
[证明] 取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綉CE綉DB.
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
又AE∩EC＝E，所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)平面DEA⊥平面ECA.
[证明] 由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
学习效果·课堂评估夯基础
03
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4
1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
D [A项中缺少了条件l α，故A错误．
B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．
C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．
D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．]
√
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3
4
√
2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则( )
A．ME⊥平面ABCD B．ME 平面ABCD
C．ME∥平面ABCD D．以上都有可能
A [因为ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.]
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3．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )
A．2 B． C． D．1
√
C [如图所示，连接BC.因为AC⊥l，α⊥β，AC α，α∩β＝l，所以AC⊥β.因为BC β，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形，所以BC＝.
在Rt△BCD中，CD＝.]
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4．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________．
[∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，∠PAC＝90°，
∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，
∴PB＝.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．面面垂直的性质定理包含哪些条件？
[提示] 面面垂直的性质定理必须满足四条，缺一不可，即①面面垂直；②面和面的交线；③有一条线和交线垂直；④这一条线必须在其中一个面内，这样才能证明这条线垂直于另一平面，即将面面垂直转化为线面垂直．切记：前提是平面与平面垂直．
2．当题设条件中给出面面垂直时，我们常如何作辅助线？
[提示] 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
3．线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定和性质是如何转化的？
[提示] 垂直问题转化
关系如下所示：
