(共12张PPT)
第八章 立体几何初步
探究课3 祖暅原理与柱体、锥体的体积
知识提炼
01
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
典例探究
02
【典例】 利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M，几何体M的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内．设与平面α平行且距离为d的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明．
[解] 由题图可知，图①几何体为半径为R的半球，图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)．
证明如下：
在图①中，设截面圆的圆心为O1，易得截面圆O1的面积为π(R2－
d 2)，
在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d，所以，圆环的面积为π(R2－d 2)，所以，截得的截面的面积相等．
对点训练
03
1．“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β任意距离d处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明S圆＝S环总成立．据此，当b＝2 cm，a＝3 cm时“椭半球体”的体积是( )
A．4π cm3 B．8π cm3 C．12π cm3 D．16π cm3
√
B [设“椭半球体”和被挖去了圆锥体的圆柱体被与β距离d处的平面截得的圆面，圆环面的面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，则S1＝S2，由“祖暅原理”两个几何体的体积相等，故V1＝V2＝πb2a－πb2a＝πb2a＝8π(cm3)，故选B．]
2．如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足祖暅原理的“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
A．π B．2π
C． D．
√
C [因为扇形AOB绕直线OB旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体是半球去掉一个圆锥体剩余部分，球的半径为2，圆锥的底面半径和高均为2，则该几何体的体积为V＝×π×23－π×22×2＝.故选C.](共17张PPT)
第八章 立体几何初步
微专题2 球的切、接问题
与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点，也是各类考试命题的热点．题型以选择题或填空题为主，解答这类问题的基本思路是以几何体的有关几何元素与球的半径之间的关系为切入点，构建球心组成勾股定理求解．
类型1 球与柱体的外接球
01
【例1】 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2 B．πa2 C．πa2 D．5πa2
√
B [如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2．
∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2．]
类型2 球与锥体的外接球
02
【例2】 (1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，则其外接球的表面积是______．
6π 题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球．
设其外接球的半径为R，
则有(2R)2＝12＋()2＋()2＝6．
∴R2＝．
故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π．
6π
(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_________．
或 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为．该圆锥的体积为
×π××＝πr3，球的体积为πr3，
或
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝．
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为．
类型3 球与台体的外接球
03
【例3】 (2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
√
A [由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．]
类型4 球与几何体的内切问题
04
【例4】 (1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πRr D．π(R＋r)2
C 如图，BE＝BO2＝r，
AE＝AO1＝R，
又OE⊥AB且BO⊥OA，
∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝rR，
∴球的表面积为4πOE2＝4πrR．
√
π 法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥
AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，
连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝
＝2．易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半
径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，
即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的
体积为πR3＝π．
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
π
法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．
由题意，设三棱锥P- ABC的内切球的半径为r，球心为O，则
V三棱锥P -ABC＝V三棱锥O -PAB＋V三棱锥O -PAC＋V三棱锥O -PBC＋V三棱锥O -ABC，即××2×1×1＝××2×1×r×2＋××1×1×r＋××r，解得r＝．故内切球的表面积为4πr2＝．
(3)已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为______．(共17张PPT)
第八章 立体几何初步
微专题3 二面角的常见求法
求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角．
类型1 定义法求二面角
01
方法：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．
【例1】 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝
BC＝2，AB＝2，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小．
[解] 如图，取AB中点O，连接VO，CO.
∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，
AB＝2，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，
∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．
∵VO＝＝1，
CO＝＝1，
∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形，
∴∠VOC＝60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°.
类型2 三垂线法求二面角
02
方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．
【例2】 如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝
∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；
[解] ∵∠SAB＝∠SAC＝90°，
∴SA⊥AB，SA⊥AC.
又AB∩AC＝A，AB、AC 平面ABC，∴SA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，∴SA⊥BC.
又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA、AB 平面SAB，∴BC⊥平面SAB.
又BC 平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．
[解] 取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD 平面SAB，∴AD⊥平面SBC.
又SC 平面SBC，所以SC⊥AD.
作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，因为AE∩AD＝A，
AE、AD 平面ADE. 所以SC⊥平面ADE.
又DE 平面ADE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A-SC-B的平面角．
设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝2a，SC＝4a.
由题意得AE＝a，在Rt△ADE中，sin ∠AED＝，
∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为.
类型3 垂面法求二面角
03
方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．
【例3】 如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．
[解] ∵SB＝BC且E是SC的中点，
∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.
又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，
∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.
又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
∵平面SAC∩平面BDE＝DE，
平面SAC∩平面BDC＝DC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC，
∴∠EDC是所求二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.
设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2.
∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.
即所求的二面角等于60°.
类型4 射影面积法
04
方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝.
这个方法对于无棱二面角的求解很简便．
以多边形射影为三角形为例证明，其它情形可自证．
证明：如图，平面β内的△ABC在平面α的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D.
∵AA′⊥α于A′，D∈α，
∴AD在α内的射影为A′D.
∵AA′⊥α，又BC α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，
AD∩A′A＝A，AD，A′A 平面AA′D，
∴BC⊥平面AA′D，又A′D 平面AA′D，
∴A′D⊥BC.
∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．
设△ABC和△A′BC的面积分别为S和S′，∠ADA′＝θ，则S＝BC·AD，S′＝BC·A′D.
∴cos θ＝.
【例4】 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小．
[解] 如图，∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴AD⊥平面PAB.
同理BC⊥平面PAB.
∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB，
设平面PBA与平面PCD所成的二面角为θ，
∴cos θ＝，∴θ＝45°.
故平面PBA与平面PCD所成的二面角的大小为45°.(共18张PPT)
第八章 立体几何初步
章末综合提升
巩固层·知识整合
01
提升层·题型探究
02
类型1 空间几何体的表面积和体积
类型2 空间点、线、面位置关系
类型3 空间角的计算
类型4 空间距离的计算
类型1 空间几何体的表面积和体积
1．主要考查空间几何体的几何体表面积、体积的计算以及外接球和内切球问题；对于不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
2．利用公式求解表面积、体积，提高数学运算素养．
【例1】 (1)(2022·山东泰安期末)已知三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥AC，A1A⊥BC，平面A1BC⊥平面AA1B，AC＝5，若该三棱柱存在体积为π的内切球，则三棱锥A-A1BC体积为( )
A． B． C．2 D．4
√
D [如图所示，因为C1C⊥AC，A1A⊥BC C1C⊥BC，AC∩BC＝C，所以CC1⊥平面ABC，又因为平面A1BC⊥平面AA1B，平面A1BC∩平面AA1B＝A1B，过点A作AE⊥A1B，则AE⊥平面A1BC，则AE⊥BC.
又因为BC⊥BB1，所以BC⊥平面AA1B，AB 平面ABB1A1，所以AB⊥BC.设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则b2＝a2＋c2，又因为三棱柱内切球的体积为π，则πR3，则R＝1.
又R＝，即c＋a－b＝2，则，
解得ac＝12，棱柱的高等于内切球直径2，
所以＝＝×12×2＝4，
故三棱锥A-A1BC的体积为4.故选D.]
(2)如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
[解] 由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，S半球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2，故所求几何体的表面积为68π cm2．
由V圆台＝×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×π(cm3)，所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π(cm3)．
类型2 空间点、线、面位置关系
1．空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面及面面的平行与垂直关系，平行、垂直关系的相互转化如图所示．
2．通过线线、线面、面面平行、垂直关系的相互转化，提升直观想象和逻辑推理素养．
√
【例2】 (1)(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的是( )
A．直线AM与C1C是相交直线
B．直线AM与BN的平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线MN与AC所成的角为60°
CD [结合题图，显然直线AM与C1C是异面直线，直线AM与BN是异面直线，直线BN与MB1是异面直线．连接D1C，AD1(图略)，直线MN与AC所成的角即直线D1C与AC所成的角，在等边三角形AD1C中，易知∠ACD1＝60°，所以直线MN与AC所成的角为60°，故选CD.]
√
(2)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．求证：
①AC⊥B1C；
[证明] ∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.
又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
而B1C 平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.
②AC1∥平面CDB1.
[证明] 连接BC1交B1C于点O，连接OD.
如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，
∴OD∥AC1.又OD 平面CDB1，
AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
类型3 空间角的计算
1．空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角，主要考查空间角的定义及求法，求角时要先找角，再证角，最后在三角形中求角．
2．通过找角、证角、求角，提升逻辑推理与数学运算素养．
【例3】 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长
为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成的角的大小；
[解] ∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)．
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，
∴sin∠OAC＝，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成的角为30°.
(2)AO与平面ABCD所成的角的正切值；
[解] 如图，作OE⊥BC于点E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为AO与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
∴tan∠OAE＝.
即AO与平面ABCD所成的角的正切值为.
(3)二面角B-AO-C的大小．
[解] 由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小为90°.
类型4 空间距离的计算
1．我们已学习过的空间距离的计算主要包括点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离，其中点到平面的距离的计算是这三种距离的核心，通常借助几何体的等体积法求解.
2．通过三种距离间的转化，提升逻辑推理和数学运算素养．
【例4】 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2)．
(1)求点B到平面ADE的距离；
[解] 取AE中点G，连接DG，因为AD＝DE＝2，所以DG⊥AE.
因为平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG 平面ADE，所以DG⊥平面ABCE.
在直角三角形ADE中，因为AD＝DE＝2，∴AE＝2，所以DG＝.又S△ABE＝5，S△ADE＝2，VD-ABE＝VB-ADE＝S△ABE·DG＝S△ADE·d＝，所以d＝.
(2)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求三棱锥P-ABC的体积；若不存在，请说明理由．
[解] 存在点P，此时.
过点P作PF∥AB，连接EF、PC，
因为AB＝5，，所以PF＝EC＝1，PF∥EC，
所以四边形EFPC为平行四边形，所以CP∥EF，
因为CP 平面ADE，EF 平面ADE，所以CP∥平面ADE.
由(1)知DG⊥平面ABCE，点P到平面ABCE的距离d2＝＝，S△ABC＝5，所以VP-ABC＝S△ABC·d2＝.
