(共31张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
学习任务 1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(数学抽象)
2．理解随机事件与样本点的关系．(数学建模)
必备知识·情境导学探新知
01
观察下列试验，思考这类现象的共性是什么？
(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况．
知识点1 随机试验
1．定义：我们把对________的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．
2．特点：(1)试验可以在____条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是________的，并且________；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的____，但事先不能确定出现__________．
随机现象
相同
明确可知
不止一个
一个
哪一个结果
知识点2 样本空间
样本点 随机试验E的__________基本结果称为样本点，用___表示样本点
样本空间 __________的集合Ω称为试验E的样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝__________________为有限样本空间
每个可能的
ω
全体样本点
{ω1，ω2，…，ωn}
知识点3 事件的分类
随机 事件 将样本空间Ω的____称为随机事件，简称事件，并把只包含____样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，称 为不可能事件
子集
一个
1．下列现象中，是随机现象的有_________．(填序号)
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a＋1为整数；
③发射一枚炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
2．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________________________．
①③④
{(1，2)，(1，3)，(2，3)}
3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)
①③
②
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 事件类型的判断
类型2 确定试验的样本空间
类型3 随机事件的含义
类型1 事件类型的判断
【例1】 下列事件中，随机事件是__________．(填序号)
(1)任取一个整数，被2整除；
(2)李明在高一期末考试中数学成绩在120分以上；
(3)甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；
(4)当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．
(1)(2)(3) [(1)(2)(3)均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，(4)是一定发生的事件，为必然事件．]
(1)(2)(3)
反思领悟 判断一个事件是哪类事件要看两点
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
[跟进训练]
1．下列事件中，必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．(填序号)
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．
(2)
(3)
(1)(4)(5)
(2) (3) (1)(4)(5) [(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．]
类型2 确定试验的样本空间
【例2】 抛掷一枚骰子，观察其朝上面的点数，该试验的样本空间含6个样本点．
(1)若将一枚骰子先后抛掷两次，请列举出该试验的样本空间所包含的样本点；
(2)“向上的点数之和大于8”包含几个样本点？
[解] (1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．
法一(列举法)：
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
法二(列表法)：
如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描点一一对应．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用虚线圈出)．
法三(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示，
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
反思领悟 样本点个数的三个探求方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
[跟进训练]
2．一个口袋内装有大小相同的4个球，其中2个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)2个球颜色不同包含几个样本点？
[解] 分别记白球为1，2号，黑球为3，4号．
(1)则有以下样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点(其中(1，2)表示摸到1号、2号)．
(2)“2个球颜色不同”包含(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)4个样本点．
类型3 随机事件的含义
【例3】 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，指出下列随机事件的含义．
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
[解] 事件M的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”．
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
[解] 事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”．
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}．
[解] 事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”．
反思领悟 解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
[跟进训练]
3．同时转动如图所示的两个转盘，记
转盘①得到的数为x，转盘②得到的数
为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分
界线上的情况)．
(1)写出这个试验的样本空间；
[解] 这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；
[解] 事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}；
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}．
(3)说出事件C＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，D＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}所表示的含义．
[解] 事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．(多选)下列事件是随机事件的是( )
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
ACD [B是必然事件，其余都是随机事件．]
√
√
√
1
2
3
4
√
2．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是( )
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
D [将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)}，因此至少有1件正品为必然事件．]
1
2
3
4
3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是( )
A．第一枚是3点，第二枚是1点
B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
B [依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，
第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B.]
√
1
2
3
4
4．一个家庭有两个小孩，则关于两个孩子的性别的随机事件的样本空间Ω＝_______________________________________．
{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．确定样本点个数的常用方法有哪些？书写样本点时常常注意哪些问题？
[提示] 确定样本点个数的常用方法有：列举法、列表法、树状图法．书写样本点时常常注意以下问题：要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
2．如何写出试验的样本空间？
[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．
3．如何判断一个事件是否为随机事件、必然事件和不可能事件？
[提示] 看结果是否发生，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件．(共26张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.2 事件的关系和运算
学习任务 1．了解随机事件的并、交与互斥的含义．(数学抽象)
2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
在掷骰子试验中，定义如下事件：Ci＝{出现i点}，Di＝{出现的点数不大于2i－1}．
在上述事件中，(1)事件C1与事件C2间有什么关系？(2)事件D2与事件C2间有什么关系？
知识点1 事件的关系
关系 定义 表示法 图示
包含关系 若事件A发生，事件B____发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) ____(或A B)
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等 A＝B
一定
B A
关系 定义 表示法 图示
互斥事件 如果事件A与事件B________发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若________，则A与B互斥
对立事件 若________，且A∪B＝Ω，则A与B对立
不能同时
A∩B＝
有且仅有一个
A∩B＝
知识点2 事件的运算
项目 定义 表示法 图示
并事件 __________________________，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) _____(或_____)
交事件 _____________________，称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) _____(或___)
事件A与事件B至少有一个发生
A∪B
A＋B
事件A与事件B同时发生
A∩B
AB
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件． ( )
(2)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件． ( )
(3)若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生． ( )
(4)抛掷一枚骰子一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生． ( )
×
√
×
√
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个球恰有一个红球”，则A∪B表示的事件为____________________________；A∩B表示的事件为__________________________．
所取两个球至少有一个白球
所取两个球恰有一个红球
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 事件关系的判断
类型2 事件的运算
类型1 事件关系的判断
【例1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
[解] 是互斥事件，不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
[解] 既是互斥事件，又是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
[解] 不是互斥事件，当然不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不是对立事件．
反思领悟 判断互斥事件、对立事件的两种方法
定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断．不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件
集合法 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集
[跟进训练]
1．(1)同时掷两枚硬币，向上面都是正面为事件A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A．A B B．A B
C．A＝B D．A与B互斥
A 由事件的包含关系知A B.
√
(2)从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( )
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有红球也有白球
D．取出的3个球中不止一个红球
D 从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球．故选D.
√
类型2 事件的运算
【例2】 掷一枚骰子，下列事件：
A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3的倍数”．
求：(1)A∩B，BC；
(2)A∪B，B＋C；
(3)记为事件H的对立事件，求 .
[解] (1)A∩B＝ ，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B＋C＝{1，2，4，6}．
(3)C＝BC＝{2}；
＝{1，2，4，5}．
反思领悟 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
[跟进训练]
2．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A＝{数学书}；B＝{中文版的书}；C＝{2022年后出版的书}．问：
(1)A∩B∩表示什么事件？
(2)在什么条件下有A∩B∩C＝A
(3)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？
[解] (1)A∩B∩＝{2022年或2022年前出版的中文版的数学书}．
(2)在“图书室中所有数学书都是2022年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A．
(3)是．＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为( )
A．恰有两件次品 B．恰有一件次品
C．恰有两件正品 D．至少有两件正品
B [事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.]
√
1
2
3
4
√
2．抛掷一枚骰子，“向上一面的点数是1或2”为事件A，“向上一面的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上一面的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上一面的点数是1或2或3
C [设A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A∪B表示向上一面的点数是1或2或3．]
1
2
3
4
3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝__________________．
{向上的点数为2} [E＝{向上的点数为偶数}＝{2，4，6}，F＝{向上的点数为质数}＝{2，3，5}，∴E∩F＝{向上的点数为2}．]
{向上的点数为2}
1
2
3
4
4．从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝“3件产品全不是次品”，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，则下列结论正确的是___________(填写序号)．
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．
①②⑤ [A＝“3件产品全不是次品”，指的是3件产品全是正品，B＝“3件产品全是次品”，C＝“3件产品不全是次品”，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.]
①②⑤
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．事件间的关系和运算有哪些？如何用符号表示？
[提示] 事件关系或运算的含义
事件关系或运算 含义 符号表示
包含 A发生导致B发生 A B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
2．互斥事件与对立事件有什么关系？
[提示] (1)对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝ ，若A，B对立，则A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，即 ΩB＝A， ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.(共28张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
学习任务 1．结合具体实例，理解古典概型．(数学抽象)
2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．(数学建模、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
问题：1．丢一枚质量均匀的骰子，丢出奇数的概率是多少？
2．丢一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？
知识点1 概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用______表示．
知识点2 古典概型的定义
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有____个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性____．
将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
P(A)
有限
相等
知识点3 古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在区间[0，10]上任取一个数的试验是古典概型． ( )
(2)任何一个事件都是一个样本点． ( )
(3)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． ( )
(4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． ( )
2．若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．
×
×
√
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 古典概型的判断
类型2 较简单的古典概型问题
类型3 “放回”与“不放回”问题
类型1 古典概型的判断
【例1】 下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
C [A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]
√
发现规律 古典概型的判断方法
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——______和________，二者缺一不可．
有限性
等可能性
[跟进训练]
1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率．
①② [①②是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]
①②
类型2 较简单的古典概型问题
【例2】 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
[解] 由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率为P＝.
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解] 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本点有：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：
(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝.
反思领悟 求古典概型概率的步骤
(1)判断所给概率模型是否为古典概型．
(2)算出样本点的总数n.
(3)算出事件A包含的样本点个数m.
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝.
[跟进训练]
2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
[解] 将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6．任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝.
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
[解] 由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝.
类型3 “放回”与“不放回”问题
【例3】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解] 按照题意，取产品的过程可以用
如图所示的树形图直观表示．
因此样本空间可记为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6个样本点．
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A包含的样本点个数为4，所以P(A)＝.
[母题探究]
把本例的条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[解] 有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点．
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．
事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.
反思领悟 抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要注意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．
[跟进训练]
3．(2022·山东聊城一中月考)一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率．
(1)信的选取是无放回的；
[解] 记事件A为“选取的2封信上的数字为不相邻整数”．
从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A＝{(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(4，2)}，包含6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝，故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
(2)信的选取是有放回的．
[解] 从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16个样本点，且这16个样本点出现的可能性是相等的．
A＝{(1，1)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，包含10个样本点.
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝，故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为.
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．(多选)下列试验是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
BD [A不是等可能事件，C不满足有限性．]
√
√
1
2
3
4
√
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A． B． C． D．
C [样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率是P＝.]
1
2
3
4
3．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A． B． C． D．
√
A [把2个红球分别标记为红1、红2，2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率P＝.]
1
2
3
4
4．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面朝上的概率是________．
[试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个试验是不是古典概型？
[提示] 若该试验具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，则该试验是古典概型，否则，不是．
2．古典概型的概率公式是什么？
[提示] 古典概型试验的计算公式P(A)＝，其中样本点总数为n，事件A所包含的样本点个数为m.
3．解决有序和无序问题时应注意哪些问题？
[提示] (1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a，b)，(b，a)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是相等的．(共27张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
学习任务 掌握概率的基本性质并能运用这些性质求一些简单事件的概率．(数学抽象、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．
问题：甲获胜的概率是多少？
知识点 概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝_，P( )＝__．
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________．
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝_________，P(A)＝_________．
性质5 如果A B，那么P(A)__P(B)．
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_____________________．
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
≤
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1． ( )
(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． ( )
2．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝______．
0.3 [P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]
×
×
0.3
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 互斥事件概率公式的应用
类型2 对立事件的概率公式
类型3 非互斥事件概率加法公式的应用
类型1 互斥事件概率公式的应用
【例1】 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].
年最高水位(单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
[解] 记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥．
(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82．
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38．
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24．
反思领悟 运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤
(1)确定题中哪些事件彼此互斥；
(2)将待求事件拆分为几个互斥事件的和；
(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
[跟进训练]
1．(1)抛掷一枚骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝，则出现1点或2点的概率为________．
设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝，所以出现1点或出现2点的概率是.
(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，则这3只球中既有红球又有白球的概率为________．
因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是.
类型2 对立事件的概率公式
【例2】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
[解] “甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－，即甲获胜的概率是.
(2)甲不输的概率．
[解] 法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－，即甲不输的概率是.
反思领悟 利用对立事件的概率公式解题的思路
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么．该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．
[跟进训练]
2．备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
求该选手射击一次：
(1)命中9环或10环的概率；
[解] 记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7，8，9，10)．
因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60．
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
(2)至少命中8环的概率；
[解] 记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．
(3)命中不足8环的概率．
[解] 记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．
类型3 非互斥事件概率加法公式的应用
【例3】 从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示“选到的数能被2整除”，事件B表示“选到的数能被3整除”，求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
[解] 显然从1～20这20个整数中随机选择一个数，样本点总数为20．其中这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以P(A)＝，P(B)＝.
“这个数既能被2整除也能被3整除”即事件AB，因为1～20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以P(AB)＝.
(2)这个数能被2整除或能被3整除；
[解] “这个数能被2整除或能被3整除”即事件A∪B，由分析得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝.
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．
[解] 由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”(即事件)与事件“这个数能被2整除或能被3整除”(即事件A∪B)为对立事件，所以P＝1－P(A∪B)＝1－.
反思领悟 首先判断该事件不是互斥事件，为此需要考虑非互斥事件概率加法如何求解，借助公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)进行计算．
[跟进训练]
3．甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解] 设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.
记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．
甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，故P(A∩B)＝.
所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝.
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于( )
A．0.3 B．0.7 C．0.1 D．1
A [∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3．故选A.]
√
1
2
3
4
√
2．从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量不小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) g范围内的概率是( )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
B [质量在[4.8，4.85) g范围内的概率P＝1－0.3－0.32＝0.38．]
1
2
3
4
3．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．
(1)如果B A，则P(A∪B)＝__________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝_______，P(AB)＝________．
(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 [(1)因为B A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB) ＝P(B)＝0.2．
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．P(AB)＝P( )＝0．]
0.4
0.2
0.6
0
1
2
3
4
4．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．
0.96 [设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．]
0.96
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示] P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？
[提示] P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？
[提示] P(A)＋P(B)＝1．(共33张PPT)
第十章 概率
10.2 事件的相互独立性
学习任务 1．结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．(数学抽象)
2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”．事件A的发生是否会影响B发生的概率？
知识点 事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立．
P(A)P(B)
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立． ( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立． ( )
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立． ( )
√
√
×
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 独立性的判断
类型2 相互独立事件概率的计算
类型3 相互独立事件的概率的综合应用
类型1 独立性的判断
【例1】 (源自湘教版教材)一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，讨论事件A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
[解] 有两个小孩的家庭，样本空间
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为，这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}．
于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不独立．
(2)家庭中有三个小孩．
[解] 有三个小孩的家庭，样本空间
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A含有6个基本事件，B含有4个基本事件，A∩B含有3个基本事件，于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.
显然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是独立的．
发现规律 判断两个事件相互独立的方法
(1)定量法：利用P(AB)＝_________是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若________就是相互独立事件．
P(A)P(B)
没有影响
[跟进训练]
1．掷一枚质地均匀的硬币，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则( )
A．A与B相互独立 B．P(AB)＝P(A)P(B)
C．A与不相互独立 D．P(AB)＝
√
C [由题得P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝0，故A与不相互独立，A，B，D不正确．故选C.]
类型2 相互独立事件概率的计算
【例2】 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，且各自能否被选中互不影响．求：
(1)3人同时被选中的概率；
[解] 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)＝.
(2)3人中恰有1人被选中的概率．
[解] 3人中恰有1人被选中的概率P2＝P＝.
[母题探究]
1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．
解：法一：3人中有2人被选中的概率P3＝＝＋＋.
由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P＝P1＋P2＋P3＝.
法二：3人均未被选中的概率P＝P＝.
因为“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”互为对立事件，所以“3人中至少有1人被选中”的概率为1－.
2．若本例条件“3人能被选中的概率分别为”变为“甲、乙两人恰有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
[解] 设甲、乙两人恰有一人被选中为事件A，甲、乙都被选中为事件B，丙被选中为事件C，则恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)P＝.
反思领悟 事件间的独立性关系
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件 表示 概率
A，B同时发生 AB P(A)P(B)
A，B都不发生
A，B恰有一个发生
A，B中至少有一个发生
A，B中至多有一个发生
[跟进训练]
2．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
[解] 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
“两个人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(2)两个人都译不出密码的概率；
[解] “两个人都译不出密码”概率为P＝PP＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝.
(3)恰有一个人译出密码的概率；
[解] 恰有一个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有一个人译出密码的概率为P＝P＋P＝P(A)P＋PP(B)
＝.
(4)至多一个人译出密码的概率；
[解] “至多一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多一个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－.
(5)至少一个人译出密码的概率．
[解] “至少一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译不出密码”，所以至少一个人译出密码的概率为1－P＝1－.
类型3 相互独立事件的概率的综合应用
【例3】 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，将它们中的两个元件T2，T3并联后再和第三个元件T1串
联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，不发生故障的事件为(A2∪A3)A1．
法一：(直接法)
电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P＝.
法二：(间接法)
电路不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[·P]·P(A1)
＝.
反思领悟 求较复杂事件的概率的一般步骤
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[跟进训练]
3．甲、乙二人进行一次围棋比赛，一共赛5局，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
[解] 记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i＝3，4，5，
Bj表示事件“第j局乙获胜”，j＝3，4，5．
记A表示事件“再赛2局结束比赛”．A＝(A3A4)∪(B3B4)．
由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52．
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
[解] 记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”．
因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，
由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是( )
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
√
A [由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件．]
1
2
3
4
√
2．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用外科口罩的概率分别如表：
则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为( )
A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32
B [由表知，甲购买A口罩的概率为0.5，乙购买B口罩的概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28．]
项目 购买A种医 用外科口罩 购买B种 医用外科口罩 购买C种医
用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
1
2
3
4
3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P＝________，P＝________．
[因为P(A)＝，P(B)＝.
所以P＝，P＝.
所以P＝P(A)P＝，
P＝PP＝.]
1
2
3
4
4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为______；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为________．
(1) (2) [记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－＝1－PP＝1－.]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．相互独立事件的定义是什么？具有哪些性质？
[提示] 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．若A，B相互独立，则也是相互独立．
2．相互独立事件与互斥事件有什么区别？
[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式 P(AB)＝P(A)·P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(共28张PPT)
第十章 概率
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
学习任务 1．了解概率的意义以及频率与概率的区别．(数学抽象)
2． 结合实例，会用频率估计概率．(数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次．由此估计试验中该硬币正面朝上的频率是多少？若再抛掷一枚硬币一次，出现正面朝上的概率是多少？
知识点 频率的稳定性
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
稳定于
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机事件的频率和概率不可能相等． ( )
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化． ( )
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能． ( )
×
×
×
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 频率和概率的关系
类型2 用随机事件的频率估计其概率
类型3 概率思想的实际应用
类型1 频率和概率的关系
【例1】 (1)若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f (n)，则随着n的逐渐增大，有( )
A．f (n)与某个常数相等
B．f (n)与某个常数的差逐渐减小
C．f (n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D．f (n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
D 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f (n)，随着n的逐渐增加，频率f (n)逐渐趋近于概率．故选D.
√
(2)下列关于概率和频率的叙述中正确的有________．(把符合条件的所有答案的序号填在横线上)
①随机事件的频率就是概率；
②随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个确定的数值；
③频率是客观存在的，与试验次数无关；
④概率是随机的，在试验前不能确定；
⑤概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．
②⑤ 随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故①错误；随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故②正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故③④错误；由频率与概率的关系可知⑤正确．
②⑤
反思领悟 频率与概率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
[跟进训练]
1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，那么P(A)与的大小关系是( )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
√
A [在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近P(A)，因此我们可以用近似地代替P(A)．故选A.]
类型2 用随机事件的频率估计其概率
【例2】 某公司为了解当地用户对其产品的满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40名用户，根据用户对产品的满意度评分(单位：分)，得到A地区的用户满意度评分的频率分布直方图(如图)和B地区的用户满意度评分的频数分布表(如表1)．
(1)分别估计A，B两地区样本用户满意度评分低于70分的频率．
满意度评分 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 2 8 14 10 6
表1
[解] 由题图可得(0.005＋0.010＋0.015＋0.020×2＋a)×10＝1，解得a＝0.030，
估计A地区样本用户满意度评分低于70分的频率为(0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.6，估计B地区样本用户满意度评分低于70分的频率为＝0.25．
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级(如表2)，将频率看作概率，从A，B两地区的用户中各随机抽查一名用户进行调查，求至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率．
表2
满意度评分 低于70分 [70，90) [90，100]
满意度等级 不满意 满意 非常满意
[解] 根据样本频率可以估计总体频率，记事件M表示“从A地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则P＝0.6．
记事件N表示“从B地区随机抽取一名用户满意度评级为不满意”，则P＝0.25．
易知事件M和事件N相互独立，则事件相互独立．
记事件C表示“至少有一名用户评分满意度等级为‘满意’或‘非常满意’”，则P＝1－0.6×0.25＝0.85，故至少有一名用户评分满意度等级为“满意”或“非常满意”的概率为0.85．
反思领悟 解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[跟进训练]
2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
[解] 车辆数为500＋130＋100＋150＋120＝1 000．设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27．
赔偿金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解] 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24．
类型3 概率思想的实际应用
【例3】 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球．先随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．推断这球是从哪一个箱子中取出的？
[解] 甲箱中有99个白球，1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是.乙箱中有1个白球，99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中取出的．所以我们作出统计推断：该白球是从甲箱中取出的．
反思领悟 概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．
[跟进训练]
3．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
[解] 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝.
从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈.
由，解得n≈1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
√
B [做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率，故为事件A的频率．]
1
2
3
4
√
2．“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
D [某彩票的中奖率为，意味着中奖的可能性为，可能中奖，也可能不中奖．]
1
2
3
4
3．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
500 [设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验．]
500
1
2
3
4
4．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．
白 [取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．]
白
回顾本节知识，自主完成以下问题：
频率和概率有什么区别和联系？
[提示]
名称 区别 联系
频率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变(共30张PPT)
第十章 概率
10.3 频率与概率
10.3.2 随机模拟
学习任务 了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率．(数学建模、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
01
在求解频率与概率的关系时需要做大量的重复试验去验证，既费时又费力，有没有更好的其他办法可以替代试验呢？
知识点 随机模拟
1．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
2．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数． ( )
(2)不能用伪随机数估计概率． ( )
(3)用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值． ( )
√
×
√
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1 随机数的产生方法
类型2 简单的随机模拟试验的应用
类型3 较复杂的随机模拟试验的应用
类型1 随机数的产生方法
【例1】 要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
[解] 法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌均匀，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
(1)选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
反思领悟 随机数产生的方法比较
方法 抽签法 用计算器或计算机产生
优点 保证机会均等 操作简单，省时、省力
缺点 耗费大量人力、物力、时间，或不具有实际操作性 由于是伪随机数，故不能保证完全等可能
[跟进训练]
1．某校高一年级共20个班，1 200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
[解] 要把1 200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机．
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)．
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1 200名学生的考试号0 001，0 002，…，1 200，然后0 001～0 030为第一考场，0 031～0 060为第二考场，依次类推．
类型2 简单的随机模拟试验的应用
【例2】 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．
[解] 用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数．因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组．如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375
716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1．
反思领悟 在设计随机模拟试验时，注意以下两点
(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正地模拟随机事件．
(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生．
[跟进训练]
2．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取一支，用模拟方法求取到一级品的概率．
[解] 设事件A：“取到一级品”．
(1)用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，10)或计算器产生1到10之间的整数随机数，分别用1，2，3，4，5，6，7表示取到一级品，用8，9，10表示取到二级品．
(2)统计试验总次数N及其中出现1至7之间数的次数N1．
(3)计算频率fn(A)＝，即为事件A的概率的近似值．
类型3 较复杂的随机模拟试验的应用
【例3】 A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0－9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
102 798 391 925 173 845 812
529 769 683 231 307 592 027
516 588 730 113 977 539
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( )
A． B． C． D．
√
D [在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的可以通过列举得到，共4组随机数：798，769，588，977，所求概率为.故选D.]
反思领悟 利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
[跟进训练]
3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132
220 001 231 130 133 231 013
320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A． B． C． D．
√
B [经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的样本点有：023，123，132，共3个，由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为.故选B.]
学习效果·课堂评估夯基础
03
1
2
3
4
1．用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度决定于( )
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
B [用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，准确程度越高，故选B.]
√
1
2
3
4
√
2．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组( )
A．1 B．2 C．9 D．12
B [由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．]
1
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4
3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812
458 569 683 431 257 393 027
556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
√
B [由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，∴所求概率为＝0.25．故选B.]
1
2
3
4
4．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中选4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生，因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数“4678”，则它代表的含义是__________________________．
选出的4人中，只有1个男生 [用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1男3 女，即选出的4人中，只有1个男生．]
选出的4人中，只有1个男生
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．产生随机数的方法有哪些？
[提示] 产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等．
2．如何用随机模拟的方法估计概率？
[提示] 用随机模拟法估计概率的主要步骤：(1)设计概率模型．(2)进行模拟试验．(3)统计试验结果，估计概率．
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04
“黄金72小时”中的概率
当地震等地质灾害发生后，在媒体上经常可以看到“黄金72小时”这几个字．你知道它表示的是什么意思吗？
医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过3天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天(即24小时内)，存活率约为90%；第二天，存活率为50%—60%；第三天，存活率为20%—30%.再往后的话，存活率将进一步减少．
这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员，如果是在24小时内被发现的，那么该人员生还的概率为90%；如果是在第24—48小时内被发现的，那么生还的概率为50%—60%；如果是第48—72小时内发现的，那么生还的概率为20%—30%.这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员．
需要注意的是，概率描述的只是事件发生的可能性大小，发生的可能性小(即概率小)并不代表不会发生．统计数据表明，地震六天后，被埋人员生还的概率几乎为零．但是这样的事例并不是没有：2005年巴基斯坦7.6级地震中，一名青年被埋27天后获救生还；2008年我国汶川地震中，一位60岁的老人被困11天后获救生还；等等．因此，几乎所有的救援工作，在“黄金72小时”之外都会继续，以发现更多生命的奇迹．(共15张PPT)
第十章 概率
章末综合提升
巩固层·知识整合
01
提升层·题型探究
02
类型1 随机事件与概率
类型2 古典概型
类型3 事件的相互独立性
类型1 随机事件与概率
1．随机事件与概率主要包含以下内容：样本空间、事件间的关系、频率与概率的关系及概率的性质，特别是互斥事件与对立事件的概念辨析及相应概率的求解，是历次考试命题的重点，对于互斥事件的概率求法一般有两种方法：一是直接求解法，二是间接法．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．
2．掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养．
【例1】 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
[解] P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
故事件A，B，C的概率分别为.
(2)1张奖券的中奖概率；
[解] 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解] 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
类型2 古典概型
1．古典概型有两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
2．掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学建模的数学素养．
【例2】 袋中有形状、大小都相同的4个小球.
(1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；
[解] 设取出的2只球颜色不同为事件A.
试验的样本空间Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A)＝.
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1，2，3，4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
[解] 试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以P(B)＝.
(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
[解] 试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝.
类型3 事件的相互独立性
1．相互独立事件的辨析及概率计算主要依据P(AB)＝P(A)P(B)．由于相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，解题时先要判断事件的关系是互斥还是相互独立，再选择相应的公式计算求解．
2．掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学建模和逻辑推理的数学素养．
【例3】 (2022·石家庄期末)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
[解] 记第四盘棋甲赢的事件为A，它是第三盘棋甲赢和甲输的两个互斥事件A1，A2的和，P(A1)＝，P(A2)＝＝，则＝
P(A2)＝，所以第四盘棋甲赢的概率是.
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
[解] 记甲恰好赢三盘棋的事件为B，它是后三盘棋甲只赢一盘的三个互斥事件的和，甲只在第三盘赢的事件为B1、只在第四盘赢的事件为B2、只在第五盘赢的事件为B3，则P(B1)＝＝＝＝，P(B3)＝，则有P＝＝，所以比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为.
