新人教A版必修第二册2024春高中数学第6章 平面向量及其应用 章末综合测评（含解析）

章末综合测评(一)　平面向量及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·广东执信中学月考)下列说法正确的是(　　)
A．单位向量都相等
B．任意向量的模都是正数
C．若四边形ABCD为平行四边形，则＝
D．＝0
2．(2022·哈尔滨工业大学附中期中)向量b＝()在向量a＝()上的投影向量为(　　)
A． B．
C． D．
3．已知△ABC的其中两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为，则△ABC的外接圆的半径为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．8
4．(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b2＋c2－a2＝bc，则sin (B＋C)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则△ABC的周长为(　　)
A．18 B．16
C．20 D．15
7．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
8．如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为(　　)
A．4 B．4
C．8 D．4
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
10．(2022·辽宁沈阳二中期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是(　　)
A．若A>B，则sin A>sin B
B．若sin2A＋sin2BC．若a cosA＝b cos B，则△ABC为等腰三角形
D．若a＝8，c＝10，A＝60°，则符合条件的△ABC有两个
11．(2022·山西晋城一中月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()cos A＝a cos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　　)
A．A＝
B．A＝
C．·＝6
D．△ABC的面积为3
12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2，则点M在线段BC的延长线上
C．若＝－，则点M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．
14．(2022·浙江高考) 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝________．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝________，角C的最大值为________．
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()·的最小值是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥．
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值．
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)·(a－c)＝b(b＋c)．
(1)求角A的大小；
(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若b＝3，c＝4，点D是BC边上的一点，且________，求线段AD的长．
①AD是△ABC的中线；②AD是△ABC的角平分线；③BD＝2CD．
注：若选择多个条件解答，则按第一个计分．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．
(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分12分)(2022·南京师大附中月考)如图，在△OAB中，P为边AB上的一点，＝2，||＝6，||＝2，且与的夹角为60°．
(1)求的模长；
(2)求·的值．
21．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
(1)求sin B sin C；
(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
22．(本小题满分12分)目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图①，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50 m，该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°．
(1)求出山高BE(结果保留一位小数)；
(2)如图②，当该同学面向基站AB前行时(保持在同一铅垂面内)，记该同学所在位置M处(眼睛所在位置)到基站AB所在直线的距离MD＝x m，且记在M处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β．试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB最大？
参考数据：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45°≈0.7，sin 127°≈0.8．
章末综合测评(一)
1．C　[对于C， ABCD中，AB＝DC，且向量与同向，则＝，C正确．故选C．]
2．D　[根据题意可得：a·b＝－1＋2＝1，＝，
向量b＝在向量a＝上的投影向量为×＝＝．故选D．]
3．C　[由题意知，边长分别为2，3的两边的夹角的正弦值为＝．又由余弦定理可得第三边的长为＝3，所以由正弦定理知，△ABC的外接圆的直径为＝，所以其半径为．故选C．]
4．D　[由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝，故选D．]
5．B　[由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝＝，则sin (B＋C)＝sin A＝．]
6．A　[在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，所以bc×＝3，即bc＝24．由余弦定理得a2＝b2＋c2＋2bc×＝b2＋c2＋bc，联立得则△ABC的周长为a＋b＋c＝18，故选A．]
7．C　[由·＝0，得∠A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，设的夹角为θ，
而·＝cos θ＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝，∠BAC＝π－＝π，故△ABC为等腰三角形．]
8．D　[因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，
所以cos ∠ADC＝＝，
因此cos ∠ADB＝－，
所以sin ∠ADB＝，
又B＝45°，DA＝7，
由正弦定理，可得＝，
所以AB＝＝＝4．]
9．ACD　[|a·b|＝|a|·|b|·|cos 〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|＞||a|－|b||，故B错误．故选ACD．]
10．AB　[对A选项，根据结论大角对大边，则有a>b，又因为正弦定理＝，
所以sin A>sin B，故A正确；
对B选项，由sin2A＋sin2B∴cosC<0，△ABC为钝角三角形，故B正确；
对C选项，由a cos A＝b cos B可得sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或2A＋2B＝π，∴△ABC是直角三角形或等腰三角形，故C错误；
对D选项，由正弦定理得sin C＝＝>1，故不存在满足条件的△ABC，故D错误．故选AB．]
11．ACD　[根据正弦定理，由cos A＝a cos C 2sin B cos A－sin C cos A＝sin A cos C 2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，因此2cos A＝1 cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，因此选项A正确，选项B错误；
因为AD是中线，所以由＝＝＋＋2· 36＝c2＋12＋2×2×c c＝2，或c＝－4舍去，因此·＝2×2×＝6，所以选项C正确；
△ABC的面积为bc sin A＝×2×2×＝3，所以选项D正确．故选ACD．]
12．ACD　[A项，＝＋ －＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确；
B项，＝2 ＝，即＝，则点M在线段CB的延长线上，所以B错误；
C项，如图，设BC的中点为D，
则＝－＝＝2，由重心性质可知C成立；
D项，＝x＋y，
且x＋y＝ 2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设＝2，
所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，
可知B，C，D三点共线，
所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．]
13．　[由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m＝．]
14．　[法一：S＝＝＝．
法二：cos A＝＝＝，sin A＝，
S＝×2×＝．]
15．2　　[∵2sinAsin Bcos C＝sin2C，
∴2ab cosC＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，
∴cos C＝＝≥，
∵0即角C的最大值为．]
16．－　[因为点O是AB的中点，
所以＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以()·＝2·＝－2x(1－x)
＝2－．
所以当x＝时，()·取到最小值－．]
17．解　(1)因为＝(－1，3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＝(3，3＋m＋n)，
因为∥，设＝λ，
即解得n＝－3．
(2)因为＝＝(2，3＋m)，
＝＝(4，m－3)，
又⊥，所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，
解得m＝±1．
18．解　(1)由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，得b2＋c2－a2＝－bc，
即cos A＝＝－，
因为0(2)选①，由b＝3，c＝4，A＝，
则||2＝＝||2＋||2＋·＝c2＋b2＋bc·cos A＝4＋＋6×＝，所以AD＝．
选②，因为S△ABC＝S△ADC＋S△ABD，b＝3，c＝4，A＝，
所以bc sin A＝b·AD sin ＋c·AD sin ，
即×3×4·sin＝×3AD·sin＋×4AD·sin，解得AD＝．
选③，依题意，得＝＋)＝＋，由b＝3，c＝4，A＝，
则||2＝＝||2＋||2＋·＝c2＋b2＋bc·cos A＝＋4＋×＝．
故AD＝．
19．解　(1)因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，
cos C＝＝，所以C为锐角，则sin C＝＝，
因此，S△ABC＝ab sinC＝×4×5×＝．
(2)显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝<0，
解得－1由三角形的三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，
∵a∈Z，故a＝2．
20．解　(1)因为＝2，
所以＝＝＋＝＋)＝＋，
因为||＝6，||＝2，与的夹角为60°，
所以＝＝＝×36＋×6×2×＋×4＝，所以||＝．
(2)·＝·()＝＋·＋＝－×36＋×6×2×＋×4＝－．
21．解　(1)由题设得ac sin B＝，
即c sin B＝．
由正弦定理得sin C sin B＝．
故sin B sin C＝．
(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－，
即cos (B＋C)＝－，
所以B＋C＝，故A＝．
法一：由题设得bc sin A＝，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝．
故△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋．
法二：因为a＝3，所以2R＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，
所以sin B sin C＝·＝＝＝，则bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－2bc·cos ＝9，
即b2＋c2－bc＝9，
所以(b＋c)2－3bc＝9，
所以(b＋c)2＝9＋3bc＝9＋3×8＝33，故b＋c＝．
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋．
22．解　(1)由题知∠ACB＝8°，∠BAC＝45°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
所以BC≈＝250，
在Rt△BDC中，sin ∠BCD＝，
即sin 37°＝，所以BD≈250×0.6＝150，
所以山高BE＝BD＋DE≈150＋1.5＝151.5 m．
(2)由题知∠AMD＝β，∠BMD＝α，
则在Rt△BMD中，tan α＝＝，
在Rt△AMD中，tan β＝＝，
由题知∠AMB＝β－α，
则tan ∠AMB＝tan (β－α)＝
＝＝＝≤＝＝，
当且仅当x＝，即x＝100m时，tan ∠AMB取得最大值，即视角最大．