课时分层作业(十六) 数系的扩充和复数的概念
一、选择题
1．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是( )
A．1－i B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．纯虚数的平方不小于0
B．i是一个无理数
C．1－ai(a∈R)是一个复数
D．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等
二、填空题
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________．
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题
9．当实数m取何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
10．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
11．集合M＝{4，5，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9，3}，且M∩N≠ ，则实数m的值为( )
A．－3 B．3 C．3或－3 D．－1
12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
13．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________．
14．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，求tan的值．
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
课时分层作业(十六)
1．D [由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，
所以a＋b＝4．]
2．B [由题意知解得m＝3，故选B．]
3．B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”；“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
4．A [－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i．]
5．CD [纯虚数的平方，如i2＝－1＜0，故A错；∈R，故i是纯虚数，故B错；C正确；D中两个复数的虚部不相等，故两个复数不可能相等，D正确，故选CD．]
6．－2 [由题意知，
∴m＝－2．]
7．2 ±2 [由复数相等的充要条件有
]
8．③ [当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
9．解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2．
10．B [由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]
11．B [因为M∩N≠ ，所以M中的－3m＋(m－3)i必须为实数，
所以m＝3，此时实部恰为－9，满足题意．
故选B．]
12．B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0．
所以
解得
所以z＝3－i．]
13．2 [因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．
则 m＝2．
所以m＝2时，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0．]
14．解 ∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，又cos2θ＋sin2θ＝1，
∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－，
∴tan ＝＝＝－7．
15．解 (1)∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2．
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2．
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6]．课时分层作业(十七) 复数的几何意义
一、选择题
1．若＝(0，－3)，则对应的复数( )
A．等于0
B．等于－3
C．在虚轴上
D．既不在实轴上，也不在虚轴上
2．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B．
C． D．2
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合表示的图形是( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
5．(多选)(2022·山东威海一中月考)已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为，则( )
A．m＝－4
B．＝2
C．＝－4－3i
D．复数的虚部为－3i
二、填空题
6．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i(a，b∈R)互为共轭复数，则a＝__________，b＝________．
7．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
8．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________．
三、解答题
9．(源自北师大版教材)在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数：
(1)z1＝3－2i；(2)z2＝－1＋i．
10．当
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( )
A．2 B．－2i
C．－3i D．3＋i
12．(多选)(2022·湖北宜昌市一中月考)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足，下列结论正确的是( )
A．P0点的坐标为()
B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C．复数z对应的点Z在一条直线上
D．满足＝的复数z对应的点z有2个
13．已知014．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时：
(1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称；
(2)|z2|＜．
15．已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i．
(1)当x为何值时，复数z的模最小；
(2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值．
课时分层作业(十七)
1．C [向量对应的复数为－3i，在虚轴上．]
2．C [复数z的共轭复数＝－2－i，在复平面内对应的点为(－2，－1)，位于第三象限．]
3．B [因为x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，
所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B．]
4．A [∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，
∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆．]
5．AC [由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝＋i，
对于A：因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；
对于B：＝1，故B错误；
对于C：＝－4－3i，故C正确；
对于D：复数的虚部为－3，故D错误．
故选AC．]
6．2 4 [因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4．]
7．(3，＋∞) [∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x>3．]
8．±i [因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝．
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i．]
9．解 在复平面作图如图．
(1)|z1|＝|3－2i|＝＝＝3＋2i；
(2)|z2|＝|－1＋i|＝＝2，＝－1－i．
10．D [因为0，m－1<0，所以复数z在复平面内对应的点在第四象限．]
11．B [复数3－i对应的向量的坐标为(3，－)，按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i．]
12．ACD [A．因为复数z0＝1＋2i，由复数的几何意义知，P0点的坐标为()，故正确；
B．复数z0的共轭复数是＝1－2i，其对应的点与点P0关于实轴对称，故错误；
C．设z＝x＋yi，x，y∈R，因为，所以＝，化简得y＝x，故正确；
D．因为点P0到直线y＝x距离的最小值为d＝＝，所以满足＝的z有2个，故正确．故选ACD．]
13．(1，) [因为0所以|z|＝∈(1，)．]
14．解 (1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，
则 (k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(2)由|z2|＜，得＜，
即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ＜，
所以kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z)．
15．解 (1)|z|＝＝≥2，当且仅当x＝0时，复数z的模最小，为2．
(2)当复数z的模最小时，Z(－2，2)．又点Z位于函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2．
又mn＞0，所以＋＝＝＋＋≥，当且仅当n2＝2m2时等号成立．
又2m＋n＝2，所以m＝2－，n＝2－2．
所以＋的最小值为，此时m＝2－，n＝2－2.课时分层作业(十八) 复数的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
2．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
A B C D
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
4．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A． B．5
C．2 D．10
5．(多选)表示( )
A．点()与点()之间的距离
B．点()与点()之间的距离
C．点()到原点的距离
D．坐标为()的向量的模
二、填空题
6．已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝________．
7．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量＝________，则对应的复数为________，A，B两点间的距离为________．
8．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．
三、解答题
9．已知复数z1＝1＋ai，z2＝2a－3i，z3＝a2＋i(a∈R)．
(1)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是实数？
(2)当a为何值时，复数z1－z2＋z3是纯虚数？
10．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
11．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是坐标原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
12．(多选)设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )
A．z＋∈R
B．z－是纯虚数
C．若z＝cos ＋isin，则|z|＝1
D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2
13．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________．
14．在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝3，求|z1＋z2|．
15．在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
课时分层作业(十八)
1．A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故选A．]
2．A [由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1，1)．故选A．]
3．A [由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故解得a＝－3，b＝－4．]
4．B [依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5．]
5．ACD [由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点()与点()，所以表示点()与点()之间的距离，故A说法正确，B说法错误；＝，可表示点到原点的距离，故C说法正确；＝＝|－2－i|，|－2－i|可表示点(－2，－1)到原点的距离，即坐标为()的向量的模，故D说法正确．故选ACD．]
6．4－3i [z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i．]
7．2 －8－2i 2 [向量对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．
∵＝，
∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．
∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2．]
8．±2－2i [因为z＋2i是实数，所以可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，
所以z＝±2－2i．]
9．解 由题意，知z1－z2＋z3＝(1＋ai)－(2a－3i)＋(a2＋i)＝1－2a＋a2＋(a＋4)i．
(1)若复数z1－z2＋z3是实数，
则a＋4＝0，即a＝－4．
(2)若复数z1－z2＋z3是纯虚数，则解得a＝1．
10．C [由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得得a＝－2．]
11．B [根据复数加(减)法的几何意义，可知以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．]
12．AD [因为复数z与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A正确；
当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B错误；若z＝cos ＋isin ，
则|z|＝≠1，C错误；
若|z－i|＝1，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x2＋(y－1)2＝1，则|z|表示满足方程x2＋(y－1)2＝1的圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确．]
13．3＋3 [z1＋z2＝3＋3i，故f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3．]
14．在复平面内，已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝3，求|z1＋z2|．
解 设对应的复数为z1，对应的复数为z2，
则对应的复数为z1＋z2，对应的复数为z1－z2，因为|z1|＝|z2|＝3，且|z1－z2|＝3，
所以△AOB为等腰直角三角形，且||＝3．
作正方形AOBC，如图所示，
则＝对应的复数为z1＋z2，
故|z1＋z2|＝||＝||＝3．
15．解 (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i．
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝×2＝2．课时分层作业(十九) 复数的乘、除运算
一、选择题
1．(2022·浙江高考)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
2．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
3．复数z满足z2＋1＝0，则z3＝( )
A．1 B．±1
C．i D．±i
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A． B．1
C． D．2
5．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2
C． D．
二、填空题
6．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________．
7．若复数z满足方程i＝1－i，则z＝________．
8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b＝________．
三、解答题
9．已知复数z＝．
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
10．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝0
11．(多选)已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是( )
A．若<0，则z1是纯虚数
B．若|z1|＝|z2|，则＝
C．若z1＝，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若>0，则
12．复数z同时满足①|z－2i|＝|z－2|；②|z|2＝2，则z＝________．
13．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________．
14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i，i为虚数单位．
(1)求；
(2)若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，求|z|．
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2．
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明：u为纯虚数．
课时分层作业(十九)
1．B [a＋3i＝bi－1，∴a＝－1，b＝3，故选B．]
2．D [(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故选D．]
3．D [因为z2＋1＝0，所以z2＝－1，则z＝±i．
当z＝i时，z3＝i3＝－i．
当z＝－i时，z3＝(－i)3＝i．所以z3＝±i．]
4．B [∵＋＝＋＝＋i，
又∵∈R，∴＝0，解得a＝1．]
5．BC [计算得AD为实数，BC为纯虚数．]
6． [因为Δ＝b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23<0，
所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为
x＝＝．]
7．－1＋i [由题意可得＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，所以z＝－1＋i．]
8．设复数z＝－2＋i，若复数z＋的虚部为b，则b＝________．
[因为z＝－2＋i，所以z＋＝－2＋i＋＝－2＋i＋＝－2＋i－－i＝－＋i，所以b＝．]
9．解 (1)z＝＝＝＝1＋i．
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
10．D [因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i．由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0．]
11．AC [对于A，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a2－b2＋2abi<0，则ab＝0且a2－b2<0，所以a＝0，b≠0，所以z1是纯虚数，故A正确；
对于B，若z1＝1，z2＝i，此时|z1|＝|z2|＝1，但＝＝－1，故B错误；
对于C，若z2＝a＋bi(a，b∈R)，在复平面对应的点为(a，b)，则z1＝＝a－bi(a，b∈R)，在复平面对应的点为(a，－b)，所以z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
对于D，若z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则＝＝－3＋4i，此时>0，但的大小无法比较，故D错误．故选AC．]
12．±(1＋i) [设z＝a＋bi，a，b∈R，由条件①可以得到＝，两边平方化简可得a＝b，故|z|2＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±(1＋i)．]
13．2＋3i 13 [设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13．]
14．解 (1)＝＝＝＝－1＋5i．
(2)因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i．
因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，所以b＝1，
所以z＝1＋i，所以|z|＝．
15．解 (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0．
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i．
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，即|z|＝1．
此时ω＝2x．
因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，从而有－＜x＜1，即z的实部的取值范围是．
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
所以u＝＝
＝
＝＝－i．
因为x∈，y≠0，所以≠0，
所以u为纯虚数．课时分层作业(二十) 复数的三角表示
一、选择题
1．(多选)复数z＝i的三角形式可以是( )
A．2
B．2
C．2
D．2
2．复数z＝的代数形式为( )
A．1－i B．1＋i
C．1 D．i
3．复数z＝，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为( )
A． B．i
C．1 D．i
4．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
5．(多选)已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是( )
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
二、填空题
6．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________．
7．arg＝________．
8．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．
三、解答题
9．设复数z＝(1－i)5，求z的模和辐角的主值．
10．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
11．“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．(多选)下列各角可以作为复数3－3i的辐角的是( )
A．－ B．
C．－ D．
13．设复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，则tan (α＋β)＝________．
14．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O为原点)．已知点Z2对应的复数z2＝1＋i，求Z1和Z3分别对应的复数z1，z3．
15．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，并证明S△AOB＝|α|2．
课时分层作业(二十)
1．CD [∵r＝＝2，
cos θ＝，sin θ＝－，
∴θ可取或－．]
2．B [z＝
＝[cos(75°－30°)＋isin(75°－30°)]
＝(cos 45°＋isin 45°)＝1＋i．故选B．]
3．A [z＝＝1－i，
又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转，
∴旋转后的向量对应复数(1－i)
＝(1－i)＝．]
4．D [sin 50°－isin 140°
＝cos (270°＋50°)＋isin (180°＋140°)
＝cos 320°＋isin 320°．]
5．AD [因为(－1－i)z＝2z
＝2z，z
＝z
＝z．故选AD．]
6．1＋i [由题意知，z＝2＝1＋i．]
7． [复数z＝－－i对应的点位于第三象限，且cos θ＝－，所以arg＝．]
8． [∵(1＋i)z＝i，
∴z＝＝＝(1＋i)
＝．]
9．解 ∵z＝(1－i)5＝25
＝32＝32
＝32，
∴复数z的模为32，辐角的主值为．
10．B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，
所以所以a＝－1，故选B．]
11．A [当复数z1，z2的模与辐角分别相等时，一定有z1＝z2，充分性成立；但当z1＝z2时，z1与z2的辐角可以相等，也可以相差2π的整数倍，必要性不成立．综上，“复数z1，z2的模与辐角分别相等”是“z1＝z2”的充分不必要条件．故选A．]
12．AB [依题意得，r＝＝6，
cos θ＝＝，复数3－3i对应的点在第四象限，所以arg(3－3i)＝，
所以2kπ＋(k∈Z)都可以作为复数3－3i的辐角．故选AB．]
13．1 [因为复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别是α，β，所以tan α＝，tan β＝，所以tan (α＋β)＝＝1．]
14．解 根据题意画出草图，如图所示．
由复数运算的几何意义知z1＝·z2·[cos ＋isin]
＝(1＋i)
＝＋i，
z3＝·z2·
＝(1＋i)
＝＋i．
15．解 △AOB为等腰直角三角形．
证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴＝1＋i＝，
∴∠AOB＝．
∵分别表示复数α，β－α，
由β－α＝αi，得＝i＝cos ＋isin，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．
∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2．