课时分层作业(二十一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一、选择题
1．(多选)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
2．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )
A B C D
3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
4．(2022·湖北丹江口一中月考)一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是( )
A．三棱锥 B．五面体
C．六棱锥 D．六面体
5．(多选)(2022·山东临沂二十四中月考)下列命题中不正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
二、填空题
6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm．
7．在正方体上任意选择4个顶点，则由这四个顶点围成的几何体可以是________．
8．(2022·江西南城二中月考)如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是________．
三、解答题
9．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P．
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的面积为多少？
10．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形
B．三角形
C．三角形或四边形
D．不可能为四边形
11．(多选)(2022·哈尔滨九中期中)如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成．如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V，面数F与棱数E，满足V＋F－E＝2，据此判断，关于这个多面体的说法正确的是( )
A．共有20个六边形 B．共有10个五边形
C．共有90条棱 D．共有32个面
12．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
13．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
14．如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
15．经过三棱柱的三个顶点作截面，可以将三棱柱分割成几个三棱锥？试在如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中设计出分割方案．(请设计尽可能多的方案)
课时分层作业(二十一)
1．ACD [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]
2．C [动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]
3．A [如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]
4．C [一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意，选项A可能；
正四棱锥的每条棱可以都相等，即每个侧面都是等边三角形，底面是正方形，
即五面体的所有棱长可以都相等，选项B可能；
如果六棱锥的棱长都相等，则该棱锥为正六棱锥，如图：六棱锥P-ABCDEF，O为底面中心，
则OA＝AB＝PA，由于PO⊥底面ABCDEF，OA 底面ABCDEF，故PO⊥OA，则PA>OA，与OA＝AB＝PA矛盾，则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能；六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．故选C．]
5．AC [对于A，如图：
几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，
对于B，由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；
对于C，在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；
对于D，由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确．故选AC．]
6．12 [该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm．]
7．答案：三棱锥(或正四面体)(答案不唯一)
8．路 [由图①可知，“国”和“兴”相对，“梦”和“中”相对，“复”和“路”相对；
由图②可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”，
所以到第5格时，小正方体朝上面的字是“路”．]
9．解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△DPF－S△DPE－S△PEF＝2a×2a－a2－a2－a2＝a2．
10．C [按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
]
① ②
11．ACD [由题意，设共有m个正五边形，n个正六边形，＋－＝2，解得m＝12．B错误；∵顶点数：V＝＝60，解得n＝20，∴A正确；面数：F＝m＋n＝32，∴D正确；棱数：E＝＝90，C正确．故选ACD．]
12．B [在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]
13．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]
14．解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，
如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°．
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4．
∴△AEF周长的最小值为4．
15．解：一个三棱柱可以分割成3个三棱锥，有如下六种方案：课时分层作业(二十二) 圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征
一、选择题
1．(多选)下列几何体中是旋转体的是( )
A B C D
2．用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是( )
A．矩形 B．圆形
C．梯形 D．正方形
3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．2
5．(多选)用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C． D．
二、填空题
6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．
7．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________ cm2．
8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．
三、解答题
9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．
10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的小圆锥的母线长为( )
A． B．3 C．12 D．36
11．圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是( )
A B C D
12．(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A B C D
13．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm．
14．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？
15．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
课时分层作业(二十二)
1．答案：BC
2．B [因为圆锥的侧面是曲面，底面是圆，所以用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，不可能是矩形，梯形，正方形．故选B．]
3．B [设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，所以2π×＝πl，
解得l＝2，故选B．]
4．D [圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2．]
5．CD [如图所示，设底面半径为r，若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝．故选CD．
]
6．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]
7．9π [设截面圆半径为r cm，则r2＋42＝52，
所以r＝3，所以截面圆面积为9π cm2．]
8． [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝．]
9．解：如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，
则＝＝＝＝8，
又∵R2＝＝＝8－5＝3，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，
又d1－d2＝1，
∴解得
∴R＝＝＝3，
即球的半径等于3．
10．B [设截去的小圆锥的母线长为y，根据相似三角形的性质，得＝，解得y＝3．故选B．]
11．D [结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．]
12．AD [一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]
13．13 [如图，O′A＝3 cm，OB＝8 cm，OO′＝12 cm，O′A∥OB，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．
在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．
∴AB＝＝13(cm)．]
14．解：(1)设圆柱的底面半径为r cm，
则由＝，得r＝，
所以S＝2r·x＝－x2＋4x(0
(2)因为S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，
所以当x＝3时，S取得最大值，Smax＝6 cm2．
15．解：(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，∠AOA′＝θ，
则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
解得θ＝，l＝20 cm．
∴OA＝40 cm，OM＝30 cm．
∴AM＝＝50(cm)．
即绳子的最短长度为50(cm)．
(2)如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ即为所求的最短距离．
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24(cm)．
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm．课时分层作业(二十三) 立体图形的直观图
一、选择题
1．若利用斜二测画法把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
2．(多选)如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A B C D
3．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋) cm D．2(1＋) cm
4．如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )
A． B．
C．1 D．
5．(多选)已知水平放置的正方形一条边在x轴上，其由斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，其中有一个边长为4，则此正方形的面积可以为( )
A．16 B．64
C．32 D．无法确定
二、填空题
6．关于斜二测画法，下列说法不正确的是________．(填序号)
①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变；
②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图△A′B′C′如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°且∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
三、解答题
9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
10．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是( )
A．面积为6的矩形
B．面积为的矩形
C．面积为6的菱形
D．面积为的菱形
11．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′C′A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
12．(多选)如图所示，用斜二测画法作水平放置的△ABC的直观图，得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是( )
A．AB＝BC＝AC
B．AD⊥BC
C．AB⊥BC
D．AC>AD>AB>BC
13．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为________．
14．如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
15．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，求△ABC的边AB上的高．
课时分层作业(二十三)
1．A [平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．]
2．CD [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]
3．A [根据直观图的画法，可得原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，且OB＝2 cm，OA＝1 cm，AB＝3 cm，从而四边形OABC的周长为8 cm．]
4．B [×2×sin 45°＝．]
5．AB [等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64．]
6．③ [画与直角坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°．]
7．2.5 [由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5．]
8．2 [△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD，所以与BD的长相等的线段有2条．]
9．解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC．
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
10．C [∠D′O′A′＝45°，O′C′＝1，所以O′D′＝，
故在原图中，OD＝2，
OC＝＝＝3，
所以四边形OABC为菱形(如图所示)，OA＝3，
则面积为6．故选C．]
11．C [由题意得，原△ABC的平面图如图所示，其中，AD⊥BC，BD>DC，∴AB>AC>AD，
∴△ABC的AB，AD，AC三条线段中，最长的是AB，最短的是AD．
故选C．]
12．CD [由直观图知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，AB＝2A1B1，BC＝B1C1，
D为BC的中点，如图所示，
又A1B1＝B1C1，
故A、B错误，C、D正确．]
13．72 [如图所示，作出正方形OABC的直观图O′A′B′C′，作C′D′⊥x′轴于点D′．
S直观图＝O′A′×C′D′．又S正方形＝OC×OA，
所以＝，
又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝C′D′，
即C′D′＝O′C′，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，
所以＝＝＝2．
又S直观图＝18，所以S正方形＝2×18＝72．]
14．解：四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD中，
AD⊥AC，AC⊥BC，
因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2．
15．解：如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，则2C′D′是△ABC的边AB上的高．
由于△B′C′D′是等腰直角三角形，
则C′D′＝B′C′＝3．
所以△ABC的边AB上的高等于2×3＝6．课时分层作业(二十四) 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、选择题
1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则长方体的体积与表面积分别为( )
A．6，22 B．3，22
C．6，11 D．3，11
2．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26 B．28
C．30 D．32
3．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A． B．
C． D．
4．如图，已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是( )
A． B．
C． D．
5．(多选)(2022·哈尔滨九中月考)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是( )
A．正三棱锥高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
二、填空题
6．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则六棱锥的侧面积为________．
7．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为________．
8．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．
三、解答题
9．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积．
10．已知长方体两两相邻的三个面的面积分别为x，y，z，则长方体的体积为( )
A．xyz B．
C． D．
11．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积( )
A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
12．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是( )
A．侧面积之比为1∶4
B．侧面积之比为1∶8
C．体积之比为1∶27
D．体积之比为1∶26
13．我国有一种容器叫做方斗，方斗的形状是一个上大下小的正四棱台，如果一个方斗的高为3分米(即该方斗上、下底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为________平方分米．(容器厚度忽略不计)
14．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
15．有两个相同的直三棱柱，高为(a＞0)，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围．
课时分层作业(二十四)
1．A [V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．]
2．B [所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28．]
3．C [∵V三棱锥C-A′B′C′＝V三棱柱ABC-A′B′C′＝，
∴V四棱锥C-AA′B′B＝1－＝．]
4．B [设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D-A1BC1的棱长为，表面积为4×sin 60°＝2，∴正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是．故选B．]
5．ABD [设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝＝，EF＝×3×＝，故PE＝＝3，故AB正确；而正三棱锥的体积为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．故选ABD．]
6．12 [设六棱锥的高为h，斜高为h0，
S底＝×2×2×sin 60°×6＝6．
∴×6×h＝2，∴h＝1，h0＝2，
∴S侧＝×2×2×6＝12．]
7． [设正四棱台的高、斜高分别为h，h′．
由题意得，4××(1＋2)×h′＝12＋22，解得h′＝．
根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，
可得h2＋＝，解得h＝．]
8． [S表＝4××12＝，
V体＝××12×＝．]
9．解：由题图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，
故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝＋3S△DBC＋3＝a2＋3××a2＋3a2＝a2．
几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝－＝a3－××a×a×a＝a3．
10．B [设长方体长、宽、高分别为a，b，c，
则∴(abc)2＝xyz，abc＝，∴V长方体＝abc＝．故选B．]
11．D [因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长为4，所以VA′-QEF＝VQ-A′EF＝××2×4×4＝，是定值，与点E，F，Q的位置均无关．]
12．BD [依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26．]
13．20 [方斗大致图形如图所示，设点O，O1分别为上、下两底面的中心，M，N分别为AD，A1D1的中点，则MN为等腰梯形A1D1DA的高．根据题意可知MO＝3，NO1＝2，OO1＝3，则MN＝＝，
所以此方斗的侧面等腰梯形ADD1A1的高为分米．所以此方斗外表面的侧面积为4×＝20(平方分米)．]
14．解：如图，连接EB，EC，AC．
V四棱锥E-ABCD＝×42×3＝16．
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF．
∴V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB
＝V三棱锥C-ABE＝V三棱锥E-ABC＝×V四棱锥E-ABCD＝4．
∴多面体的体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20．
15．解：由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有如下四种情况：
①边长为5a，的面重合在一起，拼成一个四棱柱，表面积为24a2＋28；
②边长为4a，的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a2＋32；
③边长为3a，的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a2＋36；
④两个直三棱柱的底面重合在一起，拼成一个三棱柱，表面积为12a2＋48．
因为表面积最小的是一个四棱柱，所以24a2＋28<12a2＋48，即12a2<20，解得0一、选择题
1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( )
A．1∶2 B．2∶3
C．1∶3 D．1∶4
2．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
3．如果圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120° B．150°
C．180° D．210°
4．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，现以AB所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
A．24π B．21π
C．33π D．39π
5．(多选)如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的( )
A．高为4
B．体积为π
C．表面积为34π
D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶22
二、填空题
6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
8．如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是________．
三、解答题
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
10．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( )
A．πR3 B．πR3
C．πR3 D．πR3
11．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的体积约为( )
A．100 cm3 B．200 cm3
C．300 cm3 D．400 cm3
12．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
13．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
14．如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？请求出这个最大值．
15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济？
课时分层作业(二十五)
1．B [设正方形边长为1，则S侧＝2π××1＝π，S表＝S侧＋2S底＝π＋2π·＝π．所以S侧∶S表＝2∶3．]
2．D [设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r．由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3．]
3．C [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得πrl＋πr2＝3πr2，即l＝2r．又由弧长公式得＝2πr，解得θ＝180°．故选C．]
4．A [因为在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，所以△ABC是以∠B为直角的直角三角形，故以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π．故选A．]
5．AC [设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×2π×3，2πR＝×2π×9，解得r＝1，R＝3．圆台的母线长l＝6，圆台的高为h＝＝4，则选项A正确；
圆台的体积＝π×4×＝π，则选项B错误；
圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为π×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，则C正确；
由前面可知上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24，则选项D错误．故选AC．]
6．2 [设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr．解得r＝1，即直径为2．]
7．3 [圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3(寸)．]
8．96＋2π [原正方体的表面积为4×4×6＝96，
圆柱的侧面积为2π×1＝2π，
则挖洞后几何体的表面积为96＋2π．]
9．解：将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台，如图．
由题意可得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，BC＝5，所以几何体的表面积为S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4π＋35π＋25π＝60π＋4π，几何体的体积为V＝π·(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE－π·CE2·DE＝52π－π＝．
10．C [设圆锥的底面半径为r，则2πr＝πR，所以r＝．所以圆锥的高h＝＝R．
所以圆锥的体积V＝πr2×h＝π×R＝πR3．故选C．]
11．C [由题图可知，石瓢壶的体积V＝π×6×(32＋52＋3×5)＝98π≈300(cm3)．故选C．]
12．A [圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝＝2．故选A．
]
13． [设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝．]
14．解：(1)在△POB中，＝，即＝，
∴DB＝x，∴OD＝OB－DB＝2－x，
∴圆柱的侧面积S＝2π·OD·D1D
＝2πx＝(6－x)x(cm2)(0(2)由(1)知S＝(6－x)·x＝－(x－3)2＋6π．
根据二次函数的性质得，当x＝3时，圆柱的侧面积最大，最大值为6π cm2．
15．解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2．
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3)．
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2．
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)＝96π(m2)．
(3)因为V2>V1，S2所以方案二比方案一更加经济．课时分层作业(二十六) 球的表面积和体积
一、选择题
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C．∶ D．∶
2．若一个实心球对半分成两半后表面积增加了4π，则原来实心球的表面积为( )
A．4π B．8π
C．12π D．16π
3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A． B．
C． D．
4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为( )
A． B．
C． D．
5．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
二、填空题
6．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为________．
7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm．
8．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为________．
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
10．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． B．
C． D．
11．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为( )
A．153π B．160π
C．169π D．360π
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π，那么这个正三棱柱的体积是( )
A．96 B．16
C．24 D．48
13．圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为________．
14．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
15．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥内切球的体积．
课时分层作业(二十六)
1．B [设两个球的半径分别为r，R，则∶＝r3∶R3＝8∶27，所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9．]
2．B [设实心球的半径为R．由题意可得，2πR2＝4π，∴原来实心球的表面积为4πR2＝8π．故选B．]
3．A [设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r．易知R2＝R2＋r2，∴R2＝r2．
则S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为＝．故选A．]
4．D [由题意，得r＝，d＝，
所以≈，解得V≈．]
5．CD [依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，所以A错误；圆锥的侧面积为πR×·R＝πR2，所以B错误；球面面积为4πR2，因为圆柱的侧面积为4πR2，所以C正确；因为V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，所以D正确．故选CD．]
6．8 [设球的半径为R，正方体的棱长为a，
则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8．]
7．4 [设铁球的半径为r cm，由题意得πr2×8＝πr2×6r－πr3×3，解得r＝4．]
8．1 [设两球的半径分别为R，r(R>r)，则由题意得解得故R－r＝1．]
9．解：该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝．
10．A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝．]
11．C [由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝＝，所以球O的表面积S＝4π×＝169π，故选C．]
12．D [由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝πr3＝π，得r＝2．由S柱底＝a×r×3＝a2，得a＝2r＝4，所以V柱＝S柱底·2r＝48．]
13．100π [如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π．
]
14．解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，
所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°．
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，
设O′C＝r，OC＝R，
则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，
由题设知sin ∠O′CO＝＝，
所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝，
即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30 r＝15，代入(*)得R＝10．
所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10)2＝1 200π．
球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4 000π．
15．解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB．
设圆O的半径为R，则有πR3＝972π，
∴R＝9，∴SE＝2R＝18．
∵SD＝16，∴ED＝2．
连接AE，又SE是圆O的直径，
∴SA⊥AE，
∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12．
∵AB⊥SD，D为AB中点，
∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4．
∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π．
(2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r，
∵△SAB的周长为2×(12＋4)＝32，
∴r×32＝×8×16，解得r＝4．
故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π．