课时分层作业(二十七) 平面
一、选择题
1．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )
A．Q∈b∈β B．Q∈b β
C．Q b β D．Q b∈β
2．(多选)下列命题中正确的是( )
A．三角形是平面图形
B．四边形是平面图形
C．四边相等的四边形是平面图形
D．圆是平面图形
3．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( )
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．1或3
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l．
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．
三、解答题
9．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线．
10．设P1，P2，P3，P4为空间中的四个不同点，则“P1，P2，P3，P4中有三点在同一条直线上”是“P1，P2，P3，P4在同一个平面内”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
11．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
12．(多选)如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1四点共面
C．A，O，C，M四点共面
D．B，B1，O，M四点共面
13．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1CC1与平面BDC1的交线是________．
14．已知空间四边形ABCD(如图所示)中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC．
求证：(1)E，F，H，G四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
15．如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
课时分层作业(二十七)
1．B [∵点Q在直线b上，∴Q∈b．又∵直线b在平面β内，∴b β，∴Q∈b β．]
2．AD [根据基本事实1可知AD正确，BC错误．故选AD．]
3．C [若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]
4．B [两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，故选B．]
5．D [当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面；当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，故选D．]
6．∈ [因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．]
7． [由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1，共5条．]
8．1或2或3 [当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]
9．证明：如图，∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．
∵l∩α＝O，∴O∈α．
又∵O∈AB，AB β，∴O∈β，
∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．
10．A [由过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，可得P1，P2，P3，P4在同一个平面内，故充分条件成立．由过两条平行直线有且只有一个平面可得，当P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2时，P1，P2，P3，P4在同一个平面内，但P1，P2，P3，P4中无三点共线，故必要条件不成立．故选A．]
11．D [A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]
12．ABC [因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知ABC均正确．]
13．C1M [因为C1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同时M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，
所以平面A1CC1与平面BDC1的交线是C1M．]
14．证明：(1)连接EF，GH．因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF綉BD．因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC．
所以GH綉BD，所以EF∥GH，
所以E，F，H，G四点共面．
(2)由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形．
设两腰EG，FH相交于一点T．
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD．又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T．
15．解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在平面SBD和平面SAC的交线上．
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，
如图所示，
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，则直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．课时分层作业(二十八) 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
2．若平面α与β的公共点多于两个，则( )
A．α，β可能只有三个公共点
B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上
C．α，β一定有无数个公共点
D．以上均不正确
3．(多选)以下四个命题中正确的是( )
A．两个平面最多可以把空间分成四部分
B．若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C．若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面
4．如图所示，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则( )
A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线
B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线
C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线
D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线
5．(多选)如图，点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是( )
A B C D
二、填空题
6．若直线l上有两点到平面α的距离(非零)相等，则直线l与平面α的关系是________．
7．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
三、解答题
9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
10．两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b( )
A．一定与平面β都相交
B．至少一条与平面β相交
C．至多一条与平面β相交
D．可能与平面β都不相交
11．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )
A．过P，Q的平面一定与α，β都相交
B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
12．已知A，B，C，D是空间内四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC与BD不相交，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13．过平面外两点，可作________个平面与已知平面平行．
14．如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，C l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
15．三个平面分空间有几种情况？试画图说明每种情况可把空间分成几个部分？
课时分层作业(二十八)
1．D [若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]
2．C [若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，因此α与β一定有无数个公共点．]
3．AC [A正确；B中当α与β相交时，a与b不一定相交，故B不正确；C正确；D的反例：正方体的四条侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面．故选AC．]
4．C [设正方体的棱长为2，则EF＝A1B＝，GH＝＝，所以GH≠2EF．设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面(图略)，所以EF与GH是共面直线．因为EF与GH不平行，所以EF与GH是相交直线．故选C．]
5．BD [A中HG∥MN，C中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，BD正确．]
6．平行或相交 [当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．]
7．8 [以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．]
8．(1)平行 (2)相交 [(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]
9．解：还原的正方体如图所示：
根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH．
10．B [设α∩β＝c，若直线a，b都不与β相交，则a∥c，b∥c，∴a∥b，这与直线a，b相交矛盾，故直线a，b中至少一条与β相交．]
11．C [当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C．]
12．A [若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙的充分不必要条件．]
13．0或1 [若过两点的直线与已知平面相交，则作不出平面与已知平面平行；若过两点的直线与已知平面平行，则可作一个平面与已知平面平行．]
14．解：平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明如下：
∵AB与l不平行，且AB α，l α，
∴AB与l是相交直线．
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l，
又∵AB 平面ABC，l β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
15．解：三个平面分空间共有5种情况．三个平面可把空间分成4(如图①)，6(如图②③)，7(如图④)或8(如图⑤)个部分．
(1)当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图①；
(2)当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图②；
(3)当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图③；
(4)当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图④；
(5)当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图⑤．课时分层作业(二十九) 直线与直线平行
一、选择题
1．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．全等或相似
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是( )
A．OB∥O1B1，且方向相同
B．OB∥O1B1，方向可能不同
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
4．(多选)下列命题中，错误的有( )
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
5．(多选)在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则( )
A．PQ＝MN
B．PQ∥MN
C．M，N，P，Q四点共面
D．四边形MNPQ是梯形
二、填空题
6．空间中有两个角α，β，且角α，β的两边分别平行．若α＝60°，则β＝________．
7．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与AD1平行的面上的对角线有________条．
8．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝________.
三、解答题
9．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且.
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值．
10．如图，α∩β＝l，a α，b β，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是( )
A．a，b都与l平行
B．a，b中至多有一条与l平行
C．a，b都与l相交
D．a，b中至多有一条与l相交
11．(多选)已知空间四边形ABCD，顺次连接四边中点所得的四边形可能是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
12．(多选)如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠DBC
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
13．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2＝________．
14．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：四边形B1EDF是菱形．
15．如图①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将四边形CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C′D′的位置(如图②)，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
课时分层作业(二十九) 直线与直线平行
1．A [∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.]
2．D [由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．]
3．D [当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1时，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D.
]
4．AC [这两个角相等或互补，选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中，这样的两个角大小关系不确定，选项C错误；由基本事实4知选项D正确．]
5．BCD [由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，
所以PQ≠MN，故A不正确；
又PQ∥DE，DE∥MN，
所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确．]
6．60°或120° [因为α与β两边对应平行，但方向不确定，所以α与β相等或互补．]
7．1 [连接正方体各面上的对角线．
过点D1和A点的对角线和直线AD1相交．A1B，A1C1，C1D分别与AD1是异面直线，夹角为60°，B1C，A1D和AD1是垂直的，故只有直线BC1∥AD1．
故满足条件的直线只有1条．]
8．m [连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF(图略)，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD，∴MN綉EF，EF綉BD，∴MN綉BD，∴MN＝m.]
9．解：(1)证明：在△ABO与△A′B′O中，
∵∠AOB＝∠A′OB′，.
∴△ABO∽△A′B′O，
∴，∠BAO＝∠B′A′O，∴A′B′∥AB.
同理A′C′∥AC，B′C′∥BC.
(2)∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，
∴易知∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′.
又，∴.
10．B [如果a，b都与l平行，根据基本事实4，有a∥b，这与a，b为异面直线矛盾，故a，b中至多有一条与l平行．]
11．BCD [如图所示，设E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
则EH∥BD且EH＝BD，同理可得FG∥BD且FG＝BD，EF∥AC且EF＝AC，
∴EH∥FG且EH＝FG，则四边形EFGH为平行四边形．
①若AC⊥BD，则EH⊥EF，此时，平行四边形EFGH为矩形；
②若AC＝BD，则EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为菱形；
③若AC⊥BD且AC＝BD，则EH⊥EF且EH＝EF，此时，平行四边形EFGH为正方形．]
12．ABC [对于A选项，由基本事实4易得MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；对于B选项，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故B正确；对于C选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽MEQ，故C正确；由三角形中位线的性质知MQ∥BD，MQ＝BD，NP∥BD，NP＝BD，所以MQ綉NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确．故选ABC.]
13．10 [如图所示，由三角形中位线的性质，可得EH綉BD，FG綉HG綉AC，EF綉AC，再根据基本事实4可得四边形EFGH为平行四边形，在△GHE中，由余弦定理得GE2＝HG2＋HE2－2HE·HG·cos ∠GHE.
同理，在△HEF中，HF2＝HE2＋EF2－2HE·EF·cos ∠HEF，
又EF＝HG，cos ∠GHE＝－cos ∠HEF，所以EG2＋HF2＝2(HE2＋HG2)，所以EG2＋HF2＝＝10．]
14．证明：取B1C1的中点G，连接GD1，GE，
则GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1D，
∴四边形GEDD1是平行四边形，
GD1∥ED，GD1＝ED.
∵FD1∥B1G，FD1＝B1G，
∴四边形FB1GD1是平行四边形，
∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，
∴B1F∥ED，B1F＝ED，
∴四边形B1EDF是平行四边形，
又B1E＝BB1，
B1F＝A1B1，A1B1＝BB1，∴B1E＝B1F，
∴四边形B1EDF是菱形．
15．证明：在题图①中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
在题图②中，易知C′D′∥EF∥AB.
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形．课时分层作业(三十) 直线与平面平行
一、选择题
1．若直线l不平行于平面α，且l α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
2．如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行
B．若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行
C．若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行
D．若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交
5．(多选)在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A B
C D
二、填空题
6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．
7．如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
8．如图，P为 ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝________．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．
(1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB；
(2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点．
10．对于直线m，n和平面α，下列命题中是真命题的是( )
A．如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
11．如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
12．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列说法中正确的是( )
A．OM∥PD
B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA
D．OM∥平面PBA
13．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．
14．如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
15．如图，E为平行四边形ABCD所在平面外一点，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE，若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
课时分层作业(三十) 直线与平面平行
1．B [若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l α，故l∥α，这与题意矛盾．]
2．A [由题意可知EF∥AB，∴EF∥平面ABCD.
又平面EFGH∩平面ABCD＝GH，
∴EF∥GH，
∴GH∥AB，故选A.]
3．B [∵AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，∴CD∥平面α，∴直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选B.]
4．ABD [C中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故C不正确，A，B，D正确．故选ABD.]
5．BCD [对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知B满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知C满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知D满足题意．故选BCD.]
6．平行或相交
7．平行 [连接A1C1(图略)，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1B1C1D1，
又∵AC 平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，
∴AC∥l.]
8． [连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，
PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，
所以.
又因为AD∥BC，E为AD的中点，
所以，所以.]
9．证明：(1)取PA的中点G，连接BG，EG，
在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，所以EG∥AD，且EG＝AD，
又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，所以BF∥AD，且BF＝AD，
所以EG∥BF，且EG＝BF，
所以四边形BFEG为平行四边形，
所以EF∥BG，因为EF 平面PAB，BG 平面PAB，所以EF∥平面PAB.
(2)如图，连接BD，交AC于点H，连接EH，
因为PB∥平面ACE，PB 平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，
所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD的中点，
所以E为PD的中点．
10．C [对于A，如果m α，n α，m，n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错误；对于B，如果m α，n与α相交，则m，n相交或是异面直线，故B错误；对于C，如果m α，n∥α，m，n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C正确；对于D，如果m∥α，n∥α，m，n共面，则m∥n或m，n相交，故D错误．]
11．C [由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.]
12．ABC [因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又PD 平面PCD，且PD 平面PDA，OM 平面PCD，且OM 平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA相交．]
13．a [∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.
∵MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC.
∵AP＝，∴DP＝DQ＝.
∴PQ＝a.]
14．解：(1)证明：因为BC∥AD，
BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.
(2)平行．如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，又因为MN 平面APD，AE 平面APD，
所以MN∥平面APD.
15．解：存在点M，如图，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
证明如下：取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN∥AB且MN＝AB.
又PC∥AB且PC＝AB，所以MN∥PC且MN＝PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.课时分层作业(三十一) 平面与平面平行
一、选择题
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行
B．一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行
C．平行于同一个平面的两平面平行
D．夹在两个平行平面间的平行线段相等
2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．MN∥AP
B．MN∥BD1
C．MN∥平面BB1D1D
D．MN∥平面BDP
4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．(多选)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
二、填空题
6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.
7．如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．
8．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．
三、解答题
9．如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
10．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动都共面
11．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为( )
A．2 B．4 C． D．5
12．(多选)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有( )
A．AG∥CD
B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFH
D．BE∥平面DGC
13．如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝2 cm，BC＝3 cm，DE＝4 cm，则EF＝________cm.
14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
15．如图所示，矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，点M，N分别位于AE，DB上(点M异于点A，点N异于点D)，且AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折．
(1)求证：当F，A，D三点不共线时，线段MN总平行于平面ADF；
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行．”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．
课时分层作业(三十一) 平面与平面平行
1．BCD [A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确．]
2．B [①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．]
3．C [由题意，取B1C1的中点E，
连接EM，NE，B1D1，BD，如图．
M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，
所以BB1∥NE，B1D1∥EM，EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1，所以平面EMN∥平面BB1D1D，
那么MN∥平面BB1D1D.]
4．A [平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，
∴A1F∥BE，又A1E∥FB，
∴四边形A1FBE为平行四边形，
∴FB＝A1E＝3－1＝2，∴AF＝1．]
5．CD [对于选项A，若存在一条直线a, a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要不充分条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要不充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD.]
6．平行四边形 [∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．]
7．5 [因为AB∥平面α，AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以点N是BC的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5．]
8． [∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
.]
9．证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
10．D [因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．根据平行平面的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过点C且与平面α，β都平行的平面上．故选D.]
11．C [如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求MN＝，
所以此截面的面积S＝.]
12．BC [还原为原正方体如图所示，
由图可知，AG与CD异面，故A错误；
因为DE∥AF，AF 平面ABFG，
所以DE∥平面ABFG，故B正确；
因为DE∥AF，AF 平面AFH，
所以DE∥平面AFH，
因为DB∥FH，FH 平面AFH，
所以DB∥平面AFH，
而DE∩DB＝D，DE、DB 平面BDE，
所以平面BDE∥平面AFH，故C正确；
因为BE∥AH，AH与平面DGC相交，
所以BE与平面DGC相交，故D错误．故选BC.]
13．6 [如图所示，连接AF交平面β于点G，连接CF，BG，EG，AD.
因为AC∩AF＝A，所以直线AC和AF确定一个平面AFC，则平面AFC∩β＝BG，平面AFC∩γ＝CF.
又β∥γ，所以BG∥CF.
所以.同理可证，
所以，所以，所以EF＝6 cm.]
14．证明：过点E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，如图，则.
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴，∴FG∥B1C1，
又B1C1∥BC，∴FG∥BC，
又FG 平面ABCD, BC 平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD，
又EG∥AB且EG 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴EG∥平面ABCD，∵FG∩EG＝G，FG，EG 平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD.
∵EF 平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
15．解：(1)证明：在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略)．∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，且AD＝AF，∴AD∥BE且AD＝BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD.
又AM＝DN，∴MN∥AD.
翻折之后，如图所示．
∵MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，∴平面GNM∥平面ADF.又MN 平面GNM，
∴MN∥平面ADF.
∴当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF.
(2)这个结论不对．
要使上述结论成立，M，N应分别为AE，BD的中点．
翻折后连接FB(图略)．
在△BDF中，∵M，N分别为BF，BD的中点，
∴MN∥FD.课时分层作业(三十二) 直线与直线垂直
一、选择题
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为90°
二、填空题
6．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD与AC所成角的度数为________．
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________.
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
三、解答题
9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：A1C1⊥EF.
10．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．0°
11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
12．(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是( )
A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MN∥CD
13．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小是________．
14．如图，已知E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，求EG的长．
15．如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1．
若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题．
(1)求三棱锥A1-APB的体积；
(2)在线段AP上是否存在一点M(M点异于A，P两点)，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
课时分层作业(三十二) 直线与直线垂直
1．B [和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B.]
2．A [①不正确，有可能平行；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交也可能异面．]
3．C [连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，
∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]
4．C [连接A1C1(图略)，因为BB1∥AA1，
所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．
因为tan ∠A1AC1＝，
所以∠A1AC1＝60°，故选C.]
5．CD [由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选CD.]
6．60° [依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.]
7．5 [取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝BD＝3，∴MN＝5．]
8．90° [如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，则异面直线A1M与DN所成的角为90°.]
9．解：(1)如图，连接AC，AB1．
由几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
从而AC与B1C所成的角为A1C1与B1C所成的角．
由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°.
故A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)证明：如图，连接BD.
易知四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，
因为EF为△ABD的中位线，所以EF∥BD.
又AC⊥BD，所以EF⊥AC，所以A1C1⊥EF.
10．B [将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，
因此GH与IJ所成角为60°.]
11．D [如图，连接CD1，
AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]
12．AC [把正方体的平面展开图还原为原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确．]
13．15°或75° [取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝FG∥CD，且FG＝CD，由AB＝CD知EG＝FG.
易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°.
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.]
14．解：因为E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，所以EF为△ABC的中位线，故EF∥AC且EF＝AC，同理GH为△ACD的中位线，
故GH∥AC且GH＝AC，所以EF綉GH，
所以四边形EFGH是平行四边形且EF＝AC＝1．
同理FG∥BD且FG＝BD＝1．
因为AC与BD所成角为60°，
所以∠EFG＝60°或120°，
当∠EFG＝60°时，EG＝1．
当∠EFG＝120°时，EG＝.
15．解：(1)由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3．
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝∴S△PAB＝，
∴V三棱锥A1-APB＝S△PAB·AA1＝.
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，
∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，
∴A1B＝5．
又BP⊥A1P，∴cos ∠A1BP＝，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.课时分层作业(三十三) 直线与平面垂直的定义及判定定理
一、选择题
1．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有( )
A．0条 B．1条
C．无数条 D．不确定
2．若直线l与平面α所成的角为，直线a在平面α内且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．(多选题)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
A B
C D
二、填空题
6．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两垂直，已知PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P-ABC的体积是________．
7．已知圆锥的底面半径为1 cm，侧面积为2π cm2，则母线与底面所成角的大小为________．
8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．
三、解答题
9．如图，四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E是上底面圆周上的一点，已知AB＝BC＝5，AE＝3．
(1)求证：DE⊥平面ABE；
(2)求直线BE与平面ADE所成角的正切值．
10．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
11．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3．则下列关系一定成立的是( )
A．cos θ1cos θ2＝cos θ3
B．cos θ1cos θ3＝cos θ2
C．sin θ1sin θ2＝sin θ3
D．sin θ1sin θ3＝sin θ2
12．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是( )
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1．(填上你认为正确的一种条件即可)
14．如图，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边CA，CB的距离PE，PF都等于2 cm，求PC与平面ABC所成角的大小．
15．如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD
课时分层作业(三十三) 直线与平面垂直的定义及判定定理
1．C [如图，a不与α垂直，A是a上一点，C是a与α的交点，AB⊥α，又c α，故AB⊥c，若c⊥b，AB∩b＝B，则c⊥平面ABC，且a 平面ABC，则有c⊥a，故这样的直线有无数条．]
2．D [如图所示，设直线l与平面α的交点为A，过点A在α内作直线b∥a，则直线l与直线b所成的角即为直线l与直线α所成的角．而这两条直线所成的角的取值范围是，所以所成的角的最大值是．又由最小角定理知直线l与直线b所成的角的最小角即为直线l与平面α所成的角，所以最小值为.因此所求角的取值范围是．故选D.]
3．C [∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，∴l⊥AC.]
4．C [如图，连接AC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角，
∵AC＝，
∴tan ∠PCA＝.
∴∠PCA＝60°.]
5．BD [对于A，由AB与CE所成角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC(图略)，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB，又ED∩EC＝E，所以AB⊥平面CDE.故选BD.]
6．4 [因为BP⊥PC，BP⊥PA，且PC∩PA＝P，
所以BP⊥平面PAC，
所以V＝S△PAC×PB＝×2×4×3＝4．]
7． [由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π·1·l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，则cos θ＝，所以θ＝.]
8．平面AB1C，平面A1C1D [因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，AC∩B1C＝C，所以OM⊥平面AB1C；同理，OM⊥平面A1C1D.]
9．解：(1)证明：四边形ABCD是圆柱的一个轴截面，AB⊥平面ADE，因为ED 平面ADE，
所以AB⊥ED，又E在底面圆上，AD为直径，所以AE⊥DE，又AE∩AB＝A，所以DE⊥平面ABE.
(2)因为AB⊥平面ADE，所以∠AEB为直线BE与平面ADE所成角，
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝3，
所以tan ∠AEB＝.
10．B [∵EG⊥平面α，PQ 平面α，
∴EG⊥PQ.
又EG⊥平面α，FH⊥平面α，
∴EG∥FH，则EG与FH共面，
为使PQ⊥GH，只需PQ⊥平面EGHF.
若EF⊥平面β，由PQ 平面β，得EF⊥PQ.
又∵EG与EF相交于点E，
从而PQ⊥平面EGHF，则PQ⊥GH.]
11．B [因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，
所以cos θ1＝，cos θ2＝，cos θ3＝.
则有cos θ1cos θ3＝cos θ2．]
12．ABC [∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C正确；∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D不正确．]
13．A1C1⊥B1C1(答案不唯一) [如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)]
14．解：如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°.
连接OF，易知△CFO为直角三角形．
又PC＝4，PF＝2，∴CF＝2，∴CO＝2.
在Rt△PCO中，cos θ＝，∴θ＝45°.
15．解：(1)证明：取PD的中点E，连接NE，AE，如图．
又∵N是PC的中点，
∴NE∥DC且NE＝DC，又∵DC∥AB且DC＝AB, AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，
∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角α，
若MN⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴AE⊥平面PCD，
∵PD 平面PCD，∴AE⊥PD，
又EP＝DE，∴AP＝AD，
∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，∠PAD＝90°，
∴∠PDA＝45°，即当α为45°时，MN⊥平面PCD.课时分层作业(三十四) 线面垂直的性质与空间距离
一、选择题
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
2．(多选)下列命题正确的是( )
A． b⊥α B． a∥b
C． b∥α D． b⊥α
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
4．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为( )
A．1 B． C．2 D．2
5．(多选)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系正确的是( )
A．PA⊥BC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB
D．PC⊥BC
二、填空题
6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，则点C到平面ABB1A1的距离为________．
7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．
8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．
(1)证明：PD⊥平面ABCD；
(2)若三棱锥P-ADQ的体积为2，求点B到平面PDQ的距离．
10．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为，平面AB1D1到平面BC1D的距离为( )
A． B． C． D．
11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
12．一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成的角大小是________．
13．已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有以下五个数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4．若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取________．(填上一个正确的数据序号即可)
14．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．
15．如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．
课时分层作业(三十四) 线面垂直的性质与空间距离
1．B [因为B1B⊥平面A1C1，l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.]
2．AB [由线面垂直的性质定理可得AB正确．]
3．C [如图，取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC异面，
∴BD与AC垂直但不相交，
故选C.]
4．B [如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1．
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO.
∵AB＝2，∴AC＝2，
∴CO＝.]
5．ABD [∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，A选项正确；又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，又PC 平面PAC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确．故选ABD.]
6． [如图，取AB的中点D，连接CD.
因为CA＝CB，所以CD⊥AB.
因为AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，所以AA1⊥CD.
因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1．
所以点C到平面ABB1A1的距离为CD＝.]
7．4 [∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC. 综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]
8．1 [在三棱锥P-ABC中，因为PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面PAC.
因为EF 平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥平面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1．]
9．解：(1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝2，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D，
所以PD⊥平面ABCD.
(2)因为三棱锥P-ADQ的体积为2，
所以S△ADQ·PD＝2，所以S△ADQ＝3.
所以AD·AQ·sin 60°＝3，所以AQ＝3．
所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．
在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝.
所以S△PDQ＝.
由VP-ADQ＝VA-PDQ 2×d，所以d＝.
所以点B到平面PDQ的距离为.
10．C [由题意知两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得＝，即××22×sin 60°·h＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.]
11．A [显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1．
又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1．
同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1．又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．]
12．30° [如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10 cm，AC＝3 cm，BD＝2 cm，则AO＝6 cm，BO＝4 cm，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.]
13．①(或②) [如图所示．
因为PA⊥平面ABCD，QD 平面ABCD，
所以PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，
所以QD⊥平面PAQ，
因为AQ 平面PAQ，
所以QD⊥AQ，
所以Q在以AD为直径的圆上，
若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，
则BC与以AD为直径的圆有公共点，
所以AB≤AD，即a≤1．
故答案为：①或②.]
14．解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1．
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，
故B1C⊥平面ABO.
由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，
故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．
又BC＝1，可得OD＝.
由于AC⊥AB1，所以OA＝.
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝，得OH＝.
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABC-A1B1C1的高为.
15．解：(1)证明：由已知，得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB.
又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.
(2)假设在线段AB上存在一点E，使得PB⊥平面CEF.
因为CE 平面CEF，所以PB⊥CE.
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥CE.
又PA∩PB＝P，所以CE⊥平面PAB.
因为AB 平面PAB，所以CE⊥AB.
设BE＝x，因为AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°，所以BC2＝BE·AB，即32＝5x，所以x＝，
故在AB上存在点E满足题意，且BE＝.课时分层作业(三十五) 二面角及平面与平面垂直的判定定理
一、选择题
1．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是( )
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，n β，m⊥n，则α⊥β
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于( )
A． B． C． D．
4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．5对
5．如图所示，在三棱锥V-ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论不正确的是( )
A．平面VAC⊥平面ABC
B．平面VAB⊥平面ABC
C．平面VAC⊥平面VBC
D．平面VAB⊥平面VBC
二、填空题
6．自空间一点分别向大小为70°的二面角的两个半平面引垂线，则这两条垂线所成的角的大小是________．
7．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小等于________.
8．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．
三、解答题
9．如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
10．已知三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA>PB>PC，且P在底面ABC内的射影在△ABC的内部(不包括边界)，二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的大小分别为α，β，γ，则( )
A．α>β>γ B．γ>α>β
C．α<γ<β D．α<β<γ
11．(多选)在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PAE⊥平面ABC
D．平面PDE⊥平面ABC
12．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有( )
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A-BE-P的大小．
15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
课时分层作业(三十五) 二面角及平面与平面垂直的判定定理
1．C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]
2．B [A中，α，β可能平行也可能相交，所以A错误；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m α，n β，所以C错误；D中，α，β可能平行也可能相交，所以D错误．故选B.]
3．C [如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，所以tan ∠A1OA＝.]
4．D [∵四边形ABCD是矩形，
∴DA⊥AB.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DA.又AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.
又易证AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]
5．C [由题设VA⊥AB，VA⊥AC，且AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，又VA 平面VAB，VA 平面VAC，
∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确；又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC 平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，故D正确，故选C.]
6．70° [如图，PB⊥α，PC⊥β，易知∠BAC＝70°，由四边形PBAC的内角和为360°，可知∠BPC＝110°.由空间中两直线所成角的取值范围可知，这两条垂线所成的角的大小为70°.]
7．90° [∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，
∴所求二面角的大小为90°.]
8．面面垂直的判定定理 [如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB β，OC β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.]
9．证明：(1)法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为等腰直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SBC.
10．C [设P在底面ABC内的射影为O，过O分别作AB，BC，CA垂线，垂足分别为D，E，F(图略)，则α＝∠PDO，β＝∠PEO，γ＝∠PFO，从而tan α＝，tan β＝，tan γ＝，因为PA>PB>PC，所以OA>OB>OC,OD>OF>OE，即tan α11．ABC [如图，由题意知BC∥DF，所以BC∥平面PDF.由正四面体的性质知BC⊥PE，BC⊥AE，所以BC⊥平面PAE，所以DF⊥平面PAE，平面PAE⊥平面ABC.]
12．B [因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC.又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC.因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.又BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.]
13．DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]
14．解：(1)证明：如图所示，连接BD，由四边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．∵E是CD的中点，∴BE⊥CD.∵CD∥AB，∴BE⊥AB.
∵PA⊥平面ABCD，且BE 平面ABCD，∴PA⊥BE.∵PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴BE⊥平面PAB.
又∵BE 平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB.
(2)∵BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，∴BE⊥PB.
∴∠ABP是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，AB＝1，PA＝，tan ∠ABP＝，
∴∠ABP＝60°.
∴二面角A-BE-P的大小是60°.
15．解：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG.
因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PGB，
所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，
则在△PBC中，EF∥PB，从而EF∥平面PGB，
在菱形ABCD中，GB∥DE，
从而DE∥平面PGB，
而EF 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD 平面ABCD，
所以平面PGB⊥平面ABCD.
所以平面DEF⊥平面ABCD.课时分层作业(三十六) 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，则( )
A．l∥平面γ B．l 平面γ
C．l与平面γ斜交 D．l⊥平面γ
3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
4．设α-l-β是直二面角，直线a 平面α，直线b 平面β，a，b与直线l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论一定成立的是( )
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
二、填空题
6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．(用序号表示)
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝ ．
8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是 ．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.求证：平面PAB⊥平面PBD.
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ADC⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ABD⊥平面ABC
11．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
12．如图，线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
13．如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设＝λ，当AE⊥CF时，λ的值为 ．
14．如图，M是半圆弧上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点．
(1)证明：MC∥平面PBD；
(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，证明：平面AMD⊥平面BMC.
15．如图所示，在三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD
课时分层作业(三十六) 平面与平面垂直的性质
1．C [当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β.]
2．D [在平面γ内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于平面β⊥平面γ，平面γ∩平面β＝m，所以OE⊥平面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，又OE∩OF＝O，所以l⊥平面γ.故选D.]
3．B [因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，
所以PD⊥平面ABC.]
4．C [当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾．所以a与b不可能垂直．]
5．ABC [因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立．又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选ABC.]
6．①② ③(或①③ ②) [由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′ β，∴α⊥β，故①② ③.①③ ②，也对．]
7．1 [因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，
所以BD＝CD＝，
所以BC＝＝1.]
8．45° [如图，过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.]
9．证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.
又PD 平面PAD，所以PD⊥AB.
因为PA＝PD＝AD，所以PA2＋PD2＝AD2，
所以PA⊥PD.
又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.
因为PD 平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.
10．A [易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD 平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，又BA 平面ABD，
∴CD⊥BA.
又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD 平面ADC，∴BA⊥平面ADC，又BA 平面ABC，
∴平面ADC⊥平面ABC.]
11．A [如图，连接AC1，
∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，又∵AC⊥BC1，BA∩BC1＝B，BA，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．]
12．B [如图，设AB＝a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，
则AA′⊥β，连接A′B，则∠ABA′＝30°.
在Rt△AA′B中，AB＝a，
所以AA′＝a.
同理作BB′⊥l于B′，连接AB′，则∠BAB′＝30°，
所以BB′＝a，AB′＝a，
所以A′B′＝a.
过B作BC綉A′B′，连接A′C，
则A′C綉BB′，连接AC.
在Rt△AA′C中，AC＝a.
易证BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，
且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l与AB所成的角是45°.]
13．2或 [如图所示，过A作AH⊥EF于H，
由平面AEF⊥平面BCFE，可得AH⊥平面BCFE，所以AH⊥CF，
又AE⊥CF，故可证得CF⊥平面AEF.
所以CF⊥EF，由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角．
所以∠AEF＝30°，所以AE＝2AF，故λ＝2.
又当AE垂直于底面时显然满足题意，
此时有AF＝2AE，故此情况下有λ＝.]
14．证明：(1)连接AC，交BD于O，
因为四边形ABCD是矩形，所以O是AC中点，连接OP，因为P是AM中点，所以MC∥OP，因为MC 平面PBD，OP 平面PBD，所以MC∥平面PBD.
(2)平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，
因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，
所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM 平面AMD，
所以平面AMD⊥平面BMC.
15．解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又＝λ(0<λ<1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又EF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)，知BE⊥EF.
若平面BEF⊥平面ACD，又平面BEF∩平面ACD＝EF，则BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝tan 60°＝，
∴AC＝.
由AB2＝AE·AC，得AE＝，∴λ＝，
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
