课时分层作业(三十七) 简单随机抽样
一、选择题
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．环保局人员取河水进行化验
B．用抽签的方法产生随机数
C．福利彩票用摇奖机摇奖
D．老师抽取数学成绩最优秀的2名同学代表班级参加数学竞赛
2．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．随机抽样法 D．以上都不对
3．从全校2 000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3 cm，则可以推测该校女生的身高( )
A．一定为148.3 cm
B．高于148.3 cm
C．低于148.3 cm
D．约为148.3 cm
4．某班对高一年级学情联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将70名同学按01，02，03，…，70进行编号，然后通过电子表格软件生成如下随机数，则依次选出的第7个个体的编号是( )
29，78，64，56，07，82，52，42，07，44，38，15，51
A．07 B．44 C．15 D．51
5．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为( )
A．36% B．72% C．90% D．25%
二、填空题
6．为了了解某班学生的会考合格率，要从该班70人中选30人进行考察分析，则70人的会考成绩的全体是________，样本是________，样本量是________．
7．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于________．
8．某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：
直径(单位：cm) 12 13 14
频数 12 34 4
估计这50个零件的直径大约为________cm.
三、解答题
9．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名艺人演出，其中从甲地30名艺人中随机挑选10人，从乙地18名艺人中随机挑选6人，从丙地10名艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人．
10．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A． B．
C． D．
11．从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( )
A． B．k＋m－n
C． D．不能估计
12．某校为了解学生的课外阅读情况，通过简单随机抽样抽取了40名学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下：
读书时间/时 7 8 9 10 11
学生人数 6 10 9 8 7
则该校学生一周读书时间的平均数( )
A．一定为9小时 B．高于9小时
C．低于9小时 D．约为9小时
13．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________．
14．小林初三第一学期的数学书面测验成绩如下：平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分；期中考试得82分，期末考试得90分．如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%，30%，60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为多少分？
15．某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．
(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
162，277，943，949，545，354, 821，737, 932，354，873，520，964，384, 263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667．
(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g，二是10袋质量的平均数≥500 g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：
502，500，499，497，503，499，501，500，498，499．
计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．
课时分层作业(三十七) 简单随机抽样
1．C [简单随机抽样要求总体中的个体数有限，每个个体有相同的可能性被抽到．故选C.]
2．B [由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．]
3．D [由抽样调查的意义可以知道该校女生的身高约为148.3 cm.]
4．B [符合条件的是29，64，56，07，52，42，44，故选出的第7个个体的编号是44．]
5．C []
6．总体 30人的会考成绩 30 [为了强调调查目的，由总体、样本、样本量的定义知，70人的会考成绩的全体是总体，样本是30人的会考成绩，样本量是30．]
7．200 [由题意可知：＝0.2，解得n＝200．]
8．12.84 []
9．解：抽签法：
(1)将甲地30名艺人从01到30编号，然后用大小、质地完全相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出．
(2)运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人．
随机数法：
(1)将甲地30名艺人从01到30编号，准备10个大小、质地完全一样的小球．小球上分别写上数字0，1，2，…，9．把它们放入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取2次，每次摸取前充分搅匀，并把第一次、第二次摸到的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～30范围内，就代表了对应编号的艺人被抽中，否则舍弃编号，重复抽取随机数，直到抽中10名艺人为止．
(2)运用相同的办法分别从乙地18名艺人中抽取6人，从丙地10名艺人中抽取4人．
10．A [根据简单随机抽样的定义知选A.]
11．C [设参加游戏的小孩有x人，则.]
12．D [由题目所给数据可知平均数为＝9(小时)，
用样本平均数估计总体平均数，故该校学生一周读书时间的平均数约为9小时．]
13． [因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为，所以某一特定小球被抽到的可能性是.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为.]
14．解：易知小林平时平均成绩为(76＋84＋92)＝84(分)．
依题意，该学期小林总评成绩为84×10%＋82×30%＋90×60%＝87(分)．
15．解：(1)第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500．
第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．
第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．
(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：
162，277，354，384，263，491，175，331，455，068．
(3)＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格.课时分层作业(三十八) 分层随机抽样
一、选择题
1．要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况．应采用的抽样方法分别是( )
A．(1)用简单随机抽样，(2)用分层随机抽样
B．(1)用分层随机抽样，(2)用其他抽样方法
C．(1)用分层随机抽样，(2)用简单随机抽样
D．(1)(2)都用分层随机抽样
2．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为( )
A．3 B．2 C．5 D．9
3．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1 800名高一学生中，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人．则该校高一男生共有( )
A．1 098人 B．1 008人
C．1 000人 D．918人
4．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有( )
A．1人 B．2人 C．5人 D．6人
5．(多选)某旅行社分年龄段统计了某景区5月份的老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则下列说法正确的是( )
A．老年旅客抽到150人
B．中年旅客抽到40人
C．n＝200
D．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200
二、填空题
6．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________．
7．为了解某地区对中小学生“双减”政策的落实情况，现采用分层随机抽样的方法从该地区24所小学，18所初中，12所校外培训机构中抽取9所进行调查，则应抽取初中________所．
8．某分层随机抽样中，有关数据如下：
层数 样本量 平均数
第1层 45 3
第2层 35 4
此样本的平均数为________．
三、解答题
9．为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1 280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：
分组 人数 平均成绩
正科级干部组 a 80
副科级干部组 b 70
(1)求a，b；
(2)求这40名科级干部预测成绩的平均分.
10．(多选)某高中3 000名学生均已接种某疫苗，现按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：
年级 高一 高二 高三
只接种第一、 二剂疫苗人数 50 44 45
接种第一、二、 三剂疫苗人数 0 1 10
则下列判断正确的是( )
A．该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11
B．该校高三学生的人数比高一人数多50
C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200
D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%
11．(多选)在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人持钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是( )
A．甲应付51钱
B．乙应付32钱
C．丙应付16钱
D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
12．某校共有2 000名学生参加跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：
年级 高一年级 高二年级 高三年级
跑步人数 a b c
登山人数 x y z
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层随机抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为( )
A．25 B．35 C．45 D．55
13．高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分别为80分和90分，则
(1)高一、高二抽取的样本量分别为________．
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为________分．
14．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下表格：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据．
15．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
课时分层作业(三十八) 分层随机抽样
1．C [(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样较合适；(2)中总体个数较少，采用简单随机抽样较合适．]
2．D []
3．B [设该校高一男生有x人．
法一：由题意可得，求得x＝1 008，故选B.
法二：，求得x＝1 008，故选B.]
4．C [设这两项成绩均合格的人数为x，则立定跳远合格但100米跑不合格的人数为30－x，则30－x＋35＋5＝45，得x＝25，即这两项成绩均合格的有25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×＝5(人)，故选C.]
5．BC [因为老、中、青旅客的人数比为5∶2∶3，青年旅客抽到60人，
所以，解得n＝200，所以老年旅客抽到200×＝100(人)，
中年旅客抽到200×＝40(人)，100＋40＝140＜200．故选BC.]
6．12 [抽取女运动员的人数为×28＝12．]
7．3 [抽取初中9×＝3所．]
8．3.437 5 []
9．解：(1)样本量与总体中的个体数的比为，
则抽取的正科级干部人数a＝320×＝8，
副科级干部人数b＝1 280×＝32．
(2)这40名科级干部预测成绩的平均分＝72．
10．ACD [由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55，即10∶9∶11，A正确；高三学生人数为3 000×＝1 100人，高一学生人数为3 000×＝1 000人，故高三学生的人数比高一人数多1 100－1 000＝100人，故B错误；高三接种第三剂疫苗的人数约为3 000×＝200人，C正确；该校学生中第三剂疫苗的接种率约为≈7.33%，故D正确．故选ACD.]
11．ACD [依题意由分层随机抽样可知，，
则甲应付(钱)；
乙应付(钱)；
丙应付(钱)．]
12．C [由题意知，全校参加跑步的人数占总人数的，高三年级参加跑步的总人数为×2 000×＝450，由分层随机抽样的特征得高三年级参加跑步的学生中应抽取×450＝45(人)．]
13．(1)90，70 (2)84.375 [(1)由题意可得高一年级抽取的样本量为×160＝90，高二年级抽取的样本量为×160＝70．
(2)高一和高二数学竞赛的平均分约为×90＝84.375分．]
14．解：根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1 700－m)件，样本容量为n－10．
根据分层随机抽样的特点可得，解得m＝900，n＝90，故补全后的表格如下．
产品类型 A B C
产品数量/件 900 1 300 800
样本容量 90 130 80
15．解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%，50%，10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人为200××40%＝60(人)；
抽取的中年人为200××50%＝75(人)；
抽取的老年人为200××10%＝15(人)．课时分层作业(三十九) 获取数据的途径
一、选择题
1．为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( )
A．通过调查获取数据
B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据
D．通过查询获得数据
2．若要研究某城市家庭的收入情况，获取数据的途径应该是( )
A．通过调查获取数据
B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据
D．通过查询获得数据
3．下列调查方案中，抽样方法合适、样本具有代表性的是( )
A．用一本书第1页的字数估计全书的字数
B．为调查某校学生对航天科技知识的了解程度，上学期间，在该校门口，每隔2分钟随机调查一位学生
C．在省内选取一所城市中学，一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有一些名人的名字，要求每个学生只能在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁
D．为了调查我国小学生的健康状况，共抽取了100名小学生进行调查
4．以下获取的数据不是通过查询获取的是( )
A．某领导想了解A市的大气环境质量，向当地有关部门咨询该市的PM2.5的浓度
B．张三利用互联网了解到某市居民平均寿命达到82.2岁
C．某中学为了了解学生对课堂禁用手机的认同度，进行了问卷调查
D．从某公司员工年度报告中获知某种信息
5．研究下列问题：
①某城市元旦前后的气温；②某种新型电器元件使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞．
一般通过试验获取数据的是( )
A．①② B．③④ C．② D．④
二、填空题
6．为了研究我国房地产市场发展的状况，小李从图书馆借阅了《中国统计年鉴》，小李获得数据的途径是________．
7．为了调查本班同学对班级体育活动的意见，应该如何合理安排抽样才能提高样本的代表性？答：________．
8．学校兴趣小组要对本市某社区的居民睡眠时间进行研究，得到了以下10个数据(单位：h)：
5.6，7.8，8.0，7.3, 3.2，7.9，6.8，7.5，8.6，7.8．
去掉数据________能很好地提高样本数据的代表性．
三、解答题
9．某公司想调查一下本公司员工对某项规章制度的意见，由于本公司车间工人工作任务繁重，负责该项事务的公司办公室向本公司的50名中层及以上领导干部派发了问卷，统计后便得到了调查意见，公司办公室获取数据的途径是什么？你认为该调查结果具有代表性吗？为什么？
10．下列调查工作适合采用普查的是( )
A．环保部门对淮河水域的水污染情况的调查
B．电视台对某电视节目收视率的调查
C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查
D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查
11．下列调查所抽取的样本具有代表性的是( )
A．利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温
B．在农村调查市民的平均寿命
C．利用一块实验水稻田的产量估计水稻的实际产量
D．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中任意抽取100袋进行检验
12．国家统计局、国家残联决定对国家残疾人生活、就业等情况进行调查，某同学设计的调查方案是在国家残联的网站上设立一个调查表，根据网站上的数据进行分析．你认为他的方案________(填“合理”或“不合理”)．
13．下列试验适合用抽样调查方法获取数据的序号是________．
①考察一片草皮的平均高度；
②检查某食品单位职工的身体状况；
③考察参加某次考试的3万考生的数学答题情况；
④检验一个人的血液中白细胞的含量是否正常．
14．某地气象台记录了本地6月份的日最高气温(如下表所示)．
日最高气温(单位：℃) 20 22 24 25 26 28 29 30
频数 5 4 6 6 4 2 2 1
(1)气象台获取数据的途径是什么？
(2)求本地6月份的日最高气温的平均数．(精确到0.1)
15．某校高中学生有900人，校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象．校医务室若从高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高，你认为这样的调查结果会怎样？该问题中的总体和样本是什么？
课时分层作业(三十九) 获取数据的途径
1．D [因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．]
2．A [因为要研究的是某城市家庭的收入情况，所以通过调查获取数据．]
3．B [A中样本缺少代表性(第1页的字数一般较少)；B中抽样保证了随机性原则，样本具有代表性；对于C，城市中学与农村中学的规模往往不同，学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中，这些都会影响数据的代表性；D中总体数量很大，而样本容量太少，不足以体现总体特征．]
4．C [A，B，D都是通过查询获取的数据，C是通过调查获取的数据．]
5．C [①通过观察获取数据，③④通过调查获取数据，只有②通过试验获取数据．]
6．通过查询获得数据 [借阅《中国统计年鉴》属于通过查询获得数据．]
7．按照男、女生人数分层随机抽样
8．3.2 [因为数据3.2明显低于其他几个数据，是极端值，所以去掉这个数据，能够更好地提高样本数据的代表性．]
9．解：公司办公室是通过调查获取数据的，但是这些数据不具有代表性．因为公司的规章制度往往是领导干部制订的，而这部分员工的意见不能很好地代表全体员工，所以结果是片面的，不合理的，不具有代表性．
10．D [A、B中的调查，在理论上来说采用普查是可行的，但是普查会费时费力；C中，质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查不能采用普查，因为调查时的检验对电池具有破坏性；D中，企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查必须采用普查，否则工人的工作服会不合体．故选D.]
11．D [A项中某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温；B项中在农村调查得到的平均寿命不能代表市民的平均寿命；C项中实验田的产量与水稻的实际产量相差可能较大，只有D项正确．]
12．不合理 [由于很多视力残疾的人不具有上网的条件，因此所获取的数据不具有代表性．]
13．①③④ [①该问题用普查的方法很难实现，适合用抽样调查的方法获取数据；
②体检，必须了解每个职工的身体状况，不适合用抽样调查的方法获取数据；
③3万考生的答题情况用普查的方法获取数据不合适，适合用抽样调查的方法获取数据；
④该问题只能用抽样调查的方法获取数据．]
14．解：(1)通过观察获取数据．
(2)本地6月份的日最高气温的平均数＝≈24.3℃.
15．解：由于学生的身高会随着年龄的增长而增高，校医务室想了解全校高中学生的身高情况，在抽样时应当关注高中各年级学生的身高，并且还要分性别进行抽查．如果只抽取高一的学生，结果一定是片面的．
这个问题涉及的调查对象的总体是某校全体高中学生的身高，其中准备抽取的50名学生的身高是样本．课时分层作业(四十) 总体取值规律的估计
一、选择题
1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为( )
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
则第三组的频数和频率分别是( )
A．14和0.14 B．0.14和14
C．和0.14 D．和
3．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．8 B．12 C．16 D．18
4．(多选)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2022年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论正确的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
5．(多选)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
二、填空题
6．甲、乙两个城市2023年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是________(选填“甲”或“乙”)城市．
7．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为________．
8．如图所示是某校高一年级学生到校方式的条形统计图，根据图形可得出骑自行车人数占高一年级学生总人数的百分比为________．
三、解答题
9．某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家进行健步运动，要求200名职工每天晚上9：30上传手机计步截图，对于步数超过10 000的职工予以奖励，图(1)为甲、乙两名职工在某一星期内的运动步数统计图，图(2)为根据这星期内某一天全体职工的运动步数作出的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求出该天运动步数不少于15 000的人数；
(2)如果当天甲的排名为130，乙的排名为40，试判断作出的是星期几的频率分布直方图．
10．(多选)样本容量为100的样本，其数据分布在[2，18]内，将样本数据分为4组：[2，6)，[6，10)，[10，14)，[14，18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是( )
A．样本数据分布在[6，10)内的频率为0.32
B．样本数据分布在[10，14)内的频数为40
C．样本数据分布在[2，10)内的频数为40
D．估计总体数据大约有10%分布在[10，14)内
11．(多选)(2022·泰安期末)旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃，下面叙述正确的是( )
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．八月的平均温差比十一月的平均温差大
C．平均最高气温高于20℃的月份有4个
D．四月和十一月的平均最低气温基本相同
12．(多选)随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是( )
A．样本容量为70
B．样本中三居室住户共抽取了25户
C．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户
D．样本中对三居室满意的有15户
13．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[45，50)，第2组[50，55)，第3组[55，60)，第4组[60，65)，第5组[65，70]，得到如图所示的频率分布直方图，则a＝________．现采用分层随机抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生，则第3，4，5组抽取的学生人数依次为________．
14．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
15．为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：①1.5小时以上；②1～1.5小时；③0.5～1小时；④0.5小时以下．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次一共调查了多少名学生？
(2)在图(1)中将②对应的部分补充完整；
(3)若该校有3 000名学生，试估计全校学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数．
课时分层作业(四十) 总体取值规律的估计
1．B [极差为140－51＝89，而组距为10，故应将样本数据分为9组．]
2．A [x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，第三组的频率为＝0.14．]
3．B [志愿者的总人数为＝50，
∴第3组的人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12人．故选B.]
4．BCD [由折线图，可知2020年8月到9月的月接待游客量在减少，A错误，其余选项均正确．]
5．BCD [设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%＋28%＝58%＞50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确．故选BCD.]
6．甲 [这9天里，乙城市的最高气温约为35 ℃，最低气温约为20 ℃；甲城市的最高气温约为25 ℃，最低气温约为21 ℃.故甲城市气温较稳定．]
7．24 [因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16．所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24．]
8．30% [某校高一年级学生总数为60＋90＋150＝300(人)，骑自行车人数为90，所以骑自行车人数占高一年级学生总数的百分比为×100%＝30%.]
9．解：(1)由图(2)可知，(0.02＋0.03＋0.04＋0.06＋m)×5＝1，解得m＝0.05，
∴该天运动步数不少于15 000的人数为
(0.05＋0.03)×5×200＝80．
(2)40÷200＝0.2，130÷200＝0.65．
假设甲的步数为x，乙的步数为y，
由频率分布直方图可得0.2－0.15＝(20－y)×0.05，解得y＝19．
(1－0.65)－0.3＝(x－10)×0.06，解得x＝≈10.833，故作出的是星期二的频率分布直方图．
10．ABC [对于A，由题图可得，样本数据分布在[6，10)内的频率为0.08×4＝0.32，故A正确；对于B，由题图可得，样本数据分布在[10，14)内的频数为100×0.1×4＝40，故B正确；对于C，由题图可得，样本数据分布在[2，10)内的频数为100×(0.02＋0.08)×4＝40，故C正确；对于D，由题图可估计，总体数据分布在[10，14)内的比例约为0.1×4＝0.4＝40%，故D错误．]
11．ABD [对于A，由图可知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，故A正确；对于B，由图知八月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离长度大于十一月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离，故B正确，对于C，平均最高气温高于20℃的月份有八月和七月，只有两个月份，故C错误；对于D，四月和十一月的平均最低气温均为5 ℃，D正确．故选ABD.]
12．ABC [A选项，总体容量为600，样本容量为600×10%＝60，故选项A错误；
B选项，样本中三居室住户共抽取300×10%＝30(户)，故选项B错误；
C选项，对四居室满意的住户共有200×40%＝80(户)，故选项C错误；
D选项，样本中三居室住户有300×10%＝30(户)，
对三居室满意的住户有30×50%＝15(户)，故选项D正确．故选ABC.]
13．0.04 3，2，1 [由(0.01＋0.02＋a＋0.06＋0.07)×5＝1，得a＝0.04．
设第3，4，5组抽取的学生人数依次为x，y，z，
则x∶y∶z＝0.06∶0.04∶0.02＝3∶2∶1，
又x＋y＋z＝6，所以x＝3，y＝2，z＝1．]
14．解：(1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，占被调查人数的×100%＝36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，200÷20%＝1 000(人)，×100%×1 000＝160(人)，所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．
15．解：(1)从题图中知，选①的共60名学生，占总学生数的百分比为30%，所以总学生数为60÷30%＝200，即本次一共调查了200名学生．
(2)被调查的学生中，选②的有200－60－30－10＝100名，补充完整的条形统计图如图所示．
(3)3 000×5%＝150(名)，估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．课时分层作业(四十一) 总体百分位数的估计
一、选择题
1．(多选)在秋季运动会的跳远比赛中，张明是选手中跳得最远的，李华是选手中跳得最近的，总共有20名选手，则下列描述中正确的有( )
A．张明跳远成绩的百分位数约为100
B．张明跳远成绩的百分位数约为20
C．李华跳远成绩的百分位数约为0
D．李华跳远成绩的百分位数约为6
2．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是( )
A．14 B．17 C．19 D．23
3．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：
78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，
则这15人成绩的第80百分位数是( )
A．90 B．90.5 C．91 D．91.5
4．数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是( )
A．[4.5，＋∞) B．[4.5，6.6)
C．(4.5，＋∞) D．(4.5，6.6]
5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]之间，其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是( )
A．32.5 mm B．33 mm
C．33.5 mm D．34 mm
二、填空题
6．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示．
估计样本数据的50%分位数为________．
7．已知30个数据的第60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________．
8．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒．
三、解答题
9．在①55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题．维生素C又叫L-抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素．现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量(单位：mg)各10个数据如下，其中猕猴桃的一个数据x被污损．
猕猴桃：104，119，106，102，132，107，113，134，116，x；
柚子：121，113，109，122，114，116，132，121，131，117．
已知x等于柚子的10个数据中的________．
(1)求x的值与猕猴桃的数据的中位数；
(2)分别计算上述猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C含量的平均数．
10．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有( )
A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14, b＝15
C．a＝12, b＝15.5 D．a＝14.7, b＝15
11．某城市抽样了100户居民月均用水量(单位：t)，并作出频率分布表如表，
分组 频数 频率
[1，1.5) 6 0.060
[1.5，2) 18 0.180
[2，2.5) 44 0.440
[2.5，3) 16 0.160
[3，3.5) 11 0.110
[3.5，4] 5 0.050
则第80百分位数为( )
A．2.625 B．2.750
C．2.875 D．3.125
12．(多选)一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，这组数据的一个四分位数是15，则它是( )
A．第一四分位数 B．下四分位数
C．第三四分位数 D．上四分位数
13．如图是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为_______，日最低气温的第80百分位数为_______.
14．从某保险公司的推销员中随机抽取50名，统计这些推销员某月的月销售额(单位：千元)，由统计结果得如下频数分布表：
月销售 额分组 [12.25， 14.75) [14.75， 17.25) [17.25， 19.75) [19.75， 22.25) [22.25， 24.75]
频数 4 10 24 8 4
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)根据以上抽样调查数据，公司将推销员的月销售指标确定为17.875千元，试判断是否有60%的推销员能够完成该销售指标．
15．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
课时分层作业(四十一) 总体百分位数的估计
1．AC [对于A，跳远成绩从小到大排序，因为张明是选手中跳得最远的，即至少有100%数据小于或等于张明的成绩，至少有0%的数据大于或等于这个值，所以张明跳远成绩的百分位数约为100，故A正确， B不正确；对于C，跳远成绩从小到大排序，因为李华是选手中跳得最近的，即有至少0%数据小于或等于李华的成绩，至少有100%的数据大于或等于这个值，所以李华跳远成绩的百分位数约为0，故C正确，D不正确．故选AC.]
2．D [因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第6项数据23．]
3．B [把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5．]
4．A [因为8×65%＝5.2，这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.]
5．A [棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为
(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，
在35 mm以下的比例为85%＋10%＝95%，
因此，90%分位数一定位于[30，35)内，
由30＋5×＝32.5，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm.]
6．62.5 [依题意，产品数量在[45，55)的频率为0.020×10＝0.2，前两组频率和为(0.020＋0.040)×10＝0.6，所以50%分位数应位于[55，65)内，由55＋10×＝62.5．所以估计样本数据的50%分位数为62.5．]
7．8.6 [由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6．]
8．16.5 [设成绩的70%分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈ [16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5秒．]
9．解：(1)柚子的10个数据按照从小到大的顺序排列为：109，113，114，116，117，121，121，122，131，132．
选①，因为10×55%＝5.5，所以柚子10个数据的55%分位数为第6个数，即121，所以x＝121．
猕猴桃的10个数据按照从小到大的顺序排列为：102，104，106，107，113，116，119，121，132，134，则中位数为(113＋116)＝114.5．
选②，因为柚子的10个数据的众数为121，所以x＝121．
猕猴桃的10个数据按照从小到大的顺序排列为：102，104，106，107，113，116，119，121，132，134，则中位数为(113＋116)＝114.5．
(2)由(1)得每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为×(102＋104＋106＋107＋113＋116＋119＋121＋132＋134)＝115.4 mg，
每100克柚子维生素C含量的平均数为×(109＋113＋114＋116＋117＋121＋121＋122＋131＋132)＝119.6 mg.
10．D [把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a＝×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，第50百分位数为b＝＝15．]
11．C [∵0.06＋0.18＋0.44＝0.68，0.06＋0.18＋0.44＋0.16＝0.84，
∴第80百分位数位于[2.5，3)，则第80百分位数为2.5＋×0.5＝2.875．故选C.]
12．AB [将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11项．由11×25%＝2.75，故15是第一四分位数或下四分位数．]
13．24 16 [由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27．
因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24．
把日最低气温按照从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17．
因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据，为16．]
14．解：(1)根据题意作出频率分布表：
月销售 额分组 [12.25，14.75) [14.75，17.25) [17.25，19.75) [19.75，22.25) [22.25，24.75]
频数 4 10 24 8 4
频率 0.08 0.20 0.48 0.16 0.08
作出频率分布直方图如图所示．
(2)由(1)得，月销售额小于17.875千元的频率为0.08+0.2+×0.48＝0.4，所以有60%的推销员能够完成该销售指标．
15．解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140．
所以y与x之间的函数解析式为y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0．
(3)设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数在[300，400)内，设为m，
所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．课时分层作业(四十二) 总体集中趋势的估计
一、选择题
1．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：
84，79，86，87，84，93，84，
则这组分数的中位数和众数分别是( )
A．84，85 B．84，84
C．85，84 D．85，85
2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )
A．平均数 B．极差
C．中位数 D．方差
3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是( )
A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数
B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数
C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数
D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．数据2，4，6，8的中位数是4，6
B．数据1，2，3，4，4的众数是4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
5．(多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是( )
A．成绩在[70，80)内的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
二、填空题
6．一组数据1，10，5，2，x，2，且27．数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为m，第60百分位数为a，则m＋a＝________．
8．对一批底部周长在[80，130](单位：cm)内的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计，这批树木的底部周长的众数是________cm，中位数是________cm.
三、解答题
9．某校课外活动小组对该市做空气含尘量调查，下面是一天中每隔两小时测得的数据(单位：g/m3)：
0.03，0.04，0.03，0.02，0.04，0.01，0.03，0.03，
0.04，0.05，0.01，0.03．
(1)求出这组数据的众数和中位数；
(2)若国标(国家环境保护部的标准)是平均值不得超过0.025 g/m3，则这一天该城市的空气是否符合国标？
10．(多选)某研究所检测甲、乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图(如图所示)，则下列结论正确的是( )
A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数
B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数
C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数
D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数
11．(多选)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数a、中位数b、众数c满足a＋c＝2b，则丢失的数据可能为( )
A．－10 B．4 C．12 D．18
12．某学生5次考试的成绩(单位：分)分别为85，67，m，80，93，其中m>0，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为( )
A．70 B．75 C．80 D．85
13．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如下：88，89，89，93，92，9■，92，91，94．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数的个位数字无法看清．若记分员计算无误，则该数应该是________．
14．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？
15．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
课时分层作业(四十二) 总体集中趋势的估计
1．B [把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为：79，84，84，84，86，87，93，可知众数是84，中位数是84．]
2．C [判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数．]
3．A [在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．
故选A.]
4．BCD [数据2，4，6，8的中位数为＝5，显然A是错误的，B，C，D都是正确的．]
5．ABC [由频率分布直方图可得，成绩在[70，80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确．由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)内的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确．由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确．因为成绩在[40，70)内的频率为0.45，[70，80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．故选ABC.]
6．4 [因为27．10 [中位数m＝＝4.5，因为10×60%＝6，所以第60百分位数a＝＝5.5，所以m＋a＝10．]
8．105 [由题图知，这批树木的底部周长的众数约是＝105(cm)，中位数约是(cm)．]
9．解：(1)由题意知众数是0.03 g/m3(出现5次)，将这12个数从小到大排列，中间的两个数都是0.03，故中位数是0.03 g/m3．
(2)这组数据的平均数×(0.01×2＋0.02＋0.03×5＋0.04×3＋0.05)＝0.03(g/m3)，
也就是说，这一天该城市的空气含尘量的平均值是0.03 g/m3，超过了0.025 g/m3，故不符合国标．
10．BCD [根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，
同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，
故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；
甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B正确；
甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；
乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确．
故选BCD.]
11．ABD [设丢失的数据为x，则七个数据的平均数a＝，众数c＝3，由题意，若x≤3，则中位数b＝3，此时平均数a＝2b－c，即＝3，解得x＝－10；若312．D [设平均数为，因为中位数为80，所以5次成绩排序为67，m，80，85，93或m，67，80，85，93．则，m＝－325．
∵m≤80，∴5－325≤80，解得≤81．故选D.]
13．91 [设该数的个位数字为x，则这个数为90＋x，由题意，知最低分为88．若90＋x为最高分，则平均分为≈91.4≠91，故最高分为94，则去掉最高分94和最低分88，平均分为＝91，解得x＝1，故该数为91．]
14．解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，
故直方图中x的值是0.007 5．
(2)月平均用电量的众数为＝230．
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，
由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，得a＝224，
即月平均用电量的中位数为224度．
(3)月平均用电量在[220，240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量在[240，260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量在[260，280)内的有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量在[280，300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例为，∴月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取25×＝5(户)．
15．解：(1)依题意得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40．
(2)使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．课时分层作业(四十三) 总体离散程度的估计
一、选择题
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
2．(多选)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的是( )
A．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的平均数为3
B．x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1的方差为3
C．2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为4
D．2x1＋2，2x2＋2，2x3＋2，2x4＋2，2x5＋2的方差为8
3．甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为( )
A．s1>s2>s3 B．s1>s3>s2
C．s3>s1>s2 D．s3>s2>s1
4．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均数 方差
甲 20 2
乙 30 3
其中，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
5．某选手的9个得分分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91，其中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示．若去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，则7个剩余分数的方差为( )
A． B． C．36 D．
二、填空题
6．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________．
7．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________．
8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________.
三、解答题
9．某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85．
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
10．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )
A．40.6，1.1 B．48.8，4.4
C．81.2，44.4 D．78.8，75.6
11．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A．>，sA>sB
B．<，sA>sB
C．>，sAD．<，sA12．(多选)已知样本x1，x2，…，xl的平均数为，方差为，样本y1，y2，…，ym的平均数为，方差为，样本z1，z2，…，zn的平均数为，方差为，设样本x1，，…，，…，，…，的平均数为，方差为s2，则下列说法正确的是( )
A．
B．
D．s2＝＋]＋m[]＋n[＋]}
13．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图如图，则这500件产品质量指标值的样本方差s2＝________(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
14．(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
(1)求；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
15．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示．
(1)填写下表：
项目 平均数 方差 中位数 命中9环及以上
甲 7 1.2 1
乙 5.4 3
(2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析．
①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定；
②由平均数和中位数结合分析谁的成绩更好些；
③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
课时分层作业(四十三) 总体离散程度的估计
1．B [平均数能反映一组数据的平均水平；中位数是把一组数据从小到大或从大到小排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶数，则取中间两个数据的平均数．平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度．]
2．AD [将每个数据在原基础上加1，故平均数加1，但是方差保持不变，故其平均数是3，方差是2，故A正确，B错误；将每个数据乘以2，故其方差变为原来的4倍，即为8，故C错误；将每个数据乘以2再加2，故其方差也变为原来的4倍，即为8，故D正确．故选AD.]
3．B [比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间．综上可知s1>s3>s2．]
4．C [由题意可知两个班的数学成绩的平均数为，则两个班数学成绩的方差为s2＝＋＝×3＝2.6．]
5．B [由题意知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4．
故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.]
6．91 [由平均数是10，得x＋y＝20．①
由方差是4，得x2＋y2＝218．②
①2－②得2xy＝182，∴xy＝91．]
7．2 [由题意知＝200，
所以s＝
＝
＝＝2．]
8．200 [设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，由题意可知s2＝ω男[＋]＋ω女[＋]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)·[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝，因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200．]
9．解：(1)甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35，
平均数为×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79，
方差为×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119．
乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30，
平均数为×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5，
方差为＝75.25．
(2)由于乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定．
从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定．
10．A [法一：设原来的数据为x1，x2，x3，…，xn，则新数据为2x1－80，2x2－80，2x3－80，…，2xn－80，
所以＝1.2，
所以＝1.2，
即＝40.6．
[(2x1－80－1.2)2＋(2x2－80－1.2)2＋…＋(2xn－80－1.2)2]＝4.4，
即[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝4.4，
所以[(2x1－81.2)2＋(2x2－81.2)2＋…＋(2xn－81.2)2]＝×4.4＝1.1．
法二：设原数据的平均数为，方差为s2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为－80，方差为22s2，
由题意得2－80＝1.2，22s2＝4.4，解得＝40.6，s2＝1.1．]
11．B [由题图知，A组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10，
所以，
.
显然<.
又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.]
12．ACD [依题意，x1＋x2＋…＋xl＝l·，A正确、B错误；由方差的定义知＝
＝＋]＋m[＋]}，D正确.故选ACD.]
13．110 [由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均值为(100×0.010＋110×0.020＋120×0.035＋130×0.030＋140×0.005)×10＝120，
∴样本方差s2＝[(100－120)2×0.010＋(110－120)2×0.020＋(120－120)2×0.035＋(130－120)2×0.030＋(140－120)2×0.005]×10＝110．]
14．解：(1)由表格中数据可得：
＝＋10.0＝10.0，
＝＋10.0＝10.3，
＝0.036，
×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04．
(2)由(1)中数据可得＞，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
15．解：(1)由题图可知，乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，所以(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7．
乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是＝7.5．
甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7．
于是填充后的表格如下表所示．
平均数 方差 中位数 命中9环及以上
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大，故甲的成绩更稳定．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，故从平均数和中位数的角度分析乙射靶成绩比甲好．
③从折线图可以看出乙的成绩有明显进步，甲的较为稳定，所以乙更有潜力．课时分层作业(四十四) 有限样本空间与随机事件
一、选择题
1．下列现象中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．a⊥α，b⊥α，a∥b
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任意两边之和大于第三边
2．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为( )
A．{10，11，…，99} B．{1，2，…，18}
C．{0，1，…，18} D．{1，2，…，10}
3．某校高一年级要组建书法、乒乓球、机器人、篮球四个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外其他完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
6．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有______个．
7．下列试验中是随机事件的有________．
①某收费站在一天内通过的车辆数；②一个平行四边形的对边平行且相等；③某运动员在下届奥运会上获得冠军；④某同学在回家的路上捡到100元钱；⑤没有水和阳光的条件下，小麦的种子发芽．
8．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．
三、解答题
9．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
10．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是( )
A．3件都是正品 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 D．恰有1件正品
11．(多选)给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是( )
A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B．若任取x A，则x∈B是不可能事件
C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D．若任取x B，则x A是必然事件
12．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为( )
A．6 B．17 C．19 D．21
13．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
14．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．
(1)写出样本空间；
(2)用集合表示事件“甲赢”；
(3)用集合表示事件“平局”．
15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可
能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A，B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
课时分层作业(四十四) 有限样本空间与随机事件
1．C [锐角三角形中两内角和大于90°.]
2．B
3．D [该生选报的所有可能情况是：书法和乒乓球、书法和机器人、书法和篮球、乒乓球和机器人、乒乓球和篮球、机器人和篮球，所以样本点有6个．]
4．B [设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点．]
5．B [从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个样本点．故选B.]
6．5 [样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5个．]
7．①③④ [①③④都是随机事件，②是必然事件，⑤是不可能事件．]
8．Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10} 5 [样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．]
9．解：(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．
(2)试验样本点的总数是12．
(3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．
10．C [25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件．]
11．ACD [根据A B的Venn图(图略)可知，对于A，集合A中的所有元素都在B中，故A正确；对于B，当集合B的范围比A大时，不在A中的元素，有可能在B中，故B错误，应为“若任取x A，则x∈B是随机事件”；对于C，因为A B，所以在B中的元素有可能在A中，易知C正确；对于D，由于B包含A，故若所取元素不在B中，则必不在A中，故D正确．]
12．C [将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为a和b，
∵方程ax2＋bx＋1＝0(a＞0)有实数解，∴Δ＝b2－4a≥0，
则M＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共含19个样本点．]
13．(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0，1，2，3，4} [(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不能再有其他结果．]
14．解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．
(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．
(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．
15．解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．课时分层作业(四十五) 事件的关系和运算
一、选择题
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不小于5}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A B
B．A∩B＝{出现的点数为6}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
2．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．全部未击中
3．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为( )
A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1
4．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G互为对立
5．(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名学生去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是( )
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
二、填空题
6．设某随机试验的样本空间Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，C＝{5，6，7}．则A∪B＝________；∩B＝________．
7．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是________，事件“密码被破译”可表示为________．
8．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．
三、解答题
9．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？说明理由．
10．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．以上说法都不对
11．(多选)(2022·江苏南京六校联考)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
12．(多选)在一次随机试验中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，则下列说法正确的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，但不是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
13．如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为________，表示的含义为________．
14．对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{至少有2个正品}，B＝{至少1个产品是正品}；并判断事件A与事件B的关系．
15．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．
(1)求事件A包含的基本事件；
(2)写出事件A的对立事件，以及事件A的一个互斥事件．
课时分层作业(四十五) 事件的关系和运算
1．B [由题意事件A表示出现的点数是5或6；事件B表示出现的点数是2或4或6．故A∩B＝{出现的点数为6}．]
2．B [A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.]
3．C [从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}．其中事件A包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．事件B包含的样本点有：(1，3)，(2，4)，共2个．所以事件A∪B包含的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个．事件A∩B包含的样本点有：(2，4)，共1个．]
4．D [由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确；事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G互为对立，故B不正确，D正确．]
5．AD [A中两个事件是互斥事件，恰有一名男生即选出的两名学生中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B中两个事件不是互斥事件；C中两个事件不是互斥事件；D中两个事件是互斥事件，至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．]
6．{2，3，4，5} {5}
7．只有一人破译密码 B∪A∪AB
8．② [①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]
9．解：(1)由题意可知三个圆可能颜色一样，也可能有两个圆颜色一样，另一个圆异色，还可能三个圆异色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2)A＝{(红，黄，蓝)}．
B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．
D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3)由(2)可知C B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
10．B [因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．]
11．ABC [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中．
“至少有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中．∴A∪B≠B∪D.]
12．BD [由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B，D中的说法正确．]
13．电路工作正常 电路工作不正常
14．解：依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00，010，011，100，101，110，111}．
A＝{011，101，110，111}．
B＝{010，011，100，101，110，111}，所以A B.
15．解：(1)事件A包含的基本事件为：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}．
(2)事件A的对立事件是＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．
